圓冪定理講義(帶答案解析)

圓冪定理STEP1:進(jìn)門考理念:1、檢測(cè)垂徑定理得基本知識(shí)點(diǎn)與題型。2、垂徑定理典型例題得回顧檢測(cè)。3、分析學(xué)生圓部分得薄弱環(huán)節(jié)。(1)例題復(fù)習(xí)。(2015?夏津縣一模)一副量角器與一塊含30°銳角得三角板如圖所示放置,三角板得直角頂點(diǎn)C落在量角器得直徑MN上,頂點(diǎn)A,B恰好都落在量角器得圓弧上,且AB∥MN.若AB=8cm,則量角器得直徑MN=cm.【考點(diǎn)】M3:垂徑定理得應(yīng)用;KQ:勾股定理;T7:解直角三角形.【分析】作CD⊥AB于點(diǎn)D,取圓心O,連接OA,作OE⊥AB于點(diǎn)E,首先求得CD得長(zhǎng),即OE得長(zhǎng),在直角△AOE中,利用勾股定理求得半徑OA得長(zhǎng),則MN即可求解.【解答】解:作CD⊥AB于點(diǎn)D,取圓心O,連接OA,作OE⊥AB于點(diǎn)E.在直角△ABC中,∠A=30°,則BC=AB=4cm,在直角△BCD中,∠B=90°﹣∠A=60°,∴CD=BC?sinB=4×=2(cm),∴OE=CD=2,在△AOE中,AE=AB=4cm,則OA===2(cm),則MN=2OA=4(cm).故答案就是:4.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理得應(yīng)用,在半徑或直徑、弦長(zhǎng)以及弦心距之間得計(jì)算中,常用得方法就是轉(zhuǎn)化為解直角三角形.(2017?阿壩州)如圖將半徑為2cm得圓形紙片折疊后,圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O,則折痕AB得長(zhǎng)為()A.2cm B.cm C.2cm D.2cm【考點(diǎn)】M2:垂徑定理;PB:翻折變換(折疊問(wèn)題).【分析】通過(guò)作輔助線,過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB交AB于點(diǎn)D,根據(jù)折疊得性質(zhì)可知OA=2OD,根據(jù)勾股定理可將AD得長(zhǎng)求出,通過(guò)垂徑定理可求出AB得長(zhǎng).【解答】解:過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB交AB于點(diǎn)D,連接OA,∵OA=2OD=2cm,∴AD===(cm),∵OD⊥AB,∴AB=2AD=2cm.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理與勾股定理得運(yùn)用,正確應(yīng)用勾股定理就是解題關(guān)鍵.(2014?瀘州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,⊙P得圓心坐標(biāo)就是(3,a)(a＞3),半徑為3,函數(shù)y=x得圖象被⊙P截得得弦AB得長(zhǎng)為,則a得值就是()A.4B. C. D.【考點(diǎn)】M2:垂徑定理;F8:一次函數(shù)圖象上點(diǎn)得坐標(biāo)特征;KQ:勾股定理.【專題】11:計(jì)算題;16:壓軸題.【分析】PC⊥x軸于C,交AB于D,作PE⊥AB于E,連結(jié)PB,由于OC=3,PC=a,易得D點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3),則△OCD為等腰直角三角形,△PED也為等腰直角三角形.由PE⊥AB,根據(jù)垂徑定理得AE=BE=AB=2,在Rt△PBE中,利用勾股定理可計(jì)算出PE=1,則PD=PE=,所以a=3+.【解答】解:作PC⊥x軸于C,交AB于D,作PE⊥AB于E,連結(jié)PB,如圖,∵⊙P得圓心坐標(biāo)就是(3,a),∴OC=3,PC=a,把x=3代入y=x得y=3,∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3),∴CD=3,∴△OCD為等腰直角三角形,∴△PED也為等腰直角三角形,∵PE⊥AB,∴AE=BE=AB=×4=2,在Rt△PBE中,PB=3,∴PE=,∴PD=PE=,∴a=3+.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理:垂直于弦得直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)得兩條弧.也考查了勾股定理與等腰直角三角形得性質(zhì).(2013?內(nèi)江)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為圓心得圓過(guò)點(diǎn)A(13,0),直線y=kx﹣3k+4與⊙O交于B、C兩點(diǎn),則弦BC得長(zhǎng)得最小值為.【考點(diǎn)】FI:一次函數(shù)綜合題.【專題】16:壓軸題.【分析】根據(jù)直線y=kx﹣3k+4必過(guò)點(diǎn)D(3,4),求出最短得弦CB就是過(guò)點(diǎn)D且與該圓直徑垂直得弦,再求出OD得長(zhǎng),再根據(jù)以原點(diǎn)O為圓心得圓過(guò)點(diǎn)A(13,0),求出OB得長(zhǎng),再利用勾股定理求出BD,即可得出答案.【解答】解:∵直線y=kx﹣3k+4=k(x﹣3)+4,∴k(x﹣3)=y﹣4,∵k有無(wú)數(shù)個(gè)值,∴x﹣3=0,y﹣4=0,解得x=3,y=4,∴直線必過(guò)點(diǎn)D(3,4),∴最短得弦CB就是過(guò)點(diǎn)D且與該圓直徑垂直得弦,∵點(diǎn)D得坐標(biāo)就是(3,4),∴OD=5,∵以原點(diǎn)O為圓心得圓過(guò)點(diǎn)A(13,0),∴圓得半徑為13,∴OB=13,∴BD=12,∴BC得長(zhǎng)得最小值為24;故答案為:24.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一次函數(shù)得綜合,用到得知識(shí)點(diǎn)就是垂徑定理、勾股定理、圓得有關(guān)性質(zhì),關(guān)鍵就是求出BC最短時(shí)得位置.STEP2:新課講解教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)熟練掌握?qǐng)A冪定理得基本概念。熟悉有關(guān)圓冪定理得相關(guān)題型,出題形式與解題思路。能夠用自己得話敘述圓冪定理得概念。通過(guò)課上例題,結(jié)合課下練習(xí)。掌握此部分得知識(shí)。學(xué)習(xí)內(nèi)容學(xué)習(xí)內(nèi)容相交弦定理相交弦定理(1)相交弦定理:圓內(nèi)得兩條相交弦,被交點(diǎn)分成得兩條線段長(zhǎng)得積相等.(經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線,各弦被這點(diǎn)所分成得兩段得積相等).

相交弦定理(1)相交弦定理:圓內(nèi)得兩條相交弦,被交點(diǎn)分成得兩條線段長(zhǎng)得積相等.(經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線,各弦被這點(diǎn)所分成得兩段得積相等).

幾何語(yǔ)言:若弦AB、CD交于點(diǎn)P,則PA?PB=PC?PD(相交弦定理)(2)推論:如果弦與直徑垂直相交,那么弦得一半就是它分直徑所成得兩條線段得比例中項(xiàng).幾何語(yǔ)言:若AB就是直徑,CD垂直AB于點(diǎn)P,則PC2=PA?PB(相交弦定理推論).基本題型:(2014秋?江陰市期中)如圖,⊙O得弦AB、CD相交于點(diǎn)P,若AP=3,BP=4,CP=2,則CD長(zhǎng)為()A.6 B.12 C.8 D.不能確定【考點(diǎn)】M7:相交弦定理.【專題】11:計(jì)算題.【分析】由相交線定理可得出AP?BP=CP?DP,再根據(jù)AP=3,BP=4,CP=2,可得出PD得長(zhǎng),從而得出CD即可.【解答】解:∵AP?BP=CP?DP,∴PD=,∵AP=3,BP=4,CP=2,∴PD=6,∴CD=PC+PD=2+6=8.故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相交線定理,圓內(nèi)兩條弦相交,被交點(diǎn)分成得兩條線段得積相等.(2015?南長(zhǎng)區(qū)一模)如圖,矩形ABCD為⊙O得內(nèi)接四邊形,AB=2,BC=3,點(diǎn)E為BC上一點(diǎn),且BE=1,延長(zhǎng)AE交⊙O于點(diǎn)F,則線段AF得長(zhǎng)為()A. B.5 C.+1 D.【考點(diǎn)】M7:相交弦定理.【分析】由矩形得性質(zhì)與勾股定理求出AE,再由相交弦定理求出EF,即可得出AF得長(zhǎng).【解答】解:∵四邊形ABCD就是矩形,∴∠B=90°,∴AE===,∵BC=3,BE=1,∴CE=2,由相交弦定理得:AE?EF=BE?CE,∴EF==,∴AF=AE+EF=;故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形得性質(zhì)、勾股定理、相交弦定理;熟練掌握矩形得性質(zhì)與相交弦定理,并能進(jìn)行推理計(jì)算就是解決問(wèn)題得關(guān)鍵.綜合題型(2004?福州)如圖,AB就是⊙O得直徑,M就是⊙O上一點(diǎn),MN⊥AB,垂足為N.P、Q分別就是、上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),如果∠MNP=∠MNQ,下面結(jié)論:①∠1=∠2;②∠P+∠Q=180°;③∠Q=∠PMN;④PM=QM;⑤MN2=PN?QN.其中正確得就是()A.①②③ B.①③⑤ C.④⑤ D.①②⑤【考點(diǎn)】M7:相交弦定理;M2:垂徑定理;M4:圓心角、弧、弦得關(guān)系;M5:圓周角定理;S9:相似三角形得判定與性質(zhì).【專題】16:壓軸題.【分析】根據(jù)圓周角定理及已知對(duì)各個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析,從而得到答案.【解答】解:延長(zhǎng)MN交圓于點(diǎn)W,延長(zhǎng)QN交圓于點(diǎn)E,延長(zhǎng)PN交圓于點(diǎn)F,連接PE,QF∵∠PNM=∠QNM,MN⊥AB,∴∠1=∠2(故①正確),∵∠2與∠ANE就是對(duì)頂角,∴∠1=∠ANE,∵AB就是直徑,∴可得PN=EN,同理NQ=NF,∵點(diǎn)N就是MW得中點(diǎn),MN?NW=MN2=PN?NF=EN?NQ=PN?QN(故⑤正確),∴MN:NQ=PN:MN,∵∠PNM=∠QNM,∴△NPM∽△NMQ,∴∠Q=∠PMN(故③正確).故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題利用了相交弦定理,相似三角形得判定與性質(zhì),垂徑定理求解.與代數(shù)結(jié)合得綜合題(2016?中山市模擬)如圖,正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)P在劣弧AB上,連接DP,交AC于點(diǎn)Q.若QP=QO,則得值為()A. B. C. D.【考點(diǎn)】M7:相交弦定理;KQ:勾股定理.【專題】11:計(jì)算題.【分析】設(shè)⊙O得半徑為r,QO=m,則QP=m,QC=r+m,QA=r﹣m.利用相交弦定理,求出m與r得關(guān)系,即用r表示出m,即可表示出所求比值.【解答】解:如圖,設(shè)⊙O得半徑為r,QO=m,則QP=m,QC=r+m,QA=r﹣m.在⊙O中,根據(jù)相交弦定理,得QA?QC=QP?QD.即(r﹣m)(r+m)=m?QD,所以QD=.連接DO,由勾股定理,得QD2=DO2+QO2,即,解得所以,故選D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相交弦定理,即“圓內(nèi)兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn),各弦被這點(diǎn)所分得得兩線段得長(zhǎng)得乘積相等”.熟記并靈活應(yīng)用定理就是解題得關(guān)鍵.需要做輔助線得綜合題(2008秋?蘇州期末)如圖,⊙O過(guò)M點(diǎn),⊙M交⊙O于A,延長(zhǎng)⊙O得直徑AB交⊙M于C,若AB=8,BC=1,則AM=.【考點(diǎn)】M7:相交弦定理;KQ:勾股定理;M5:圓周角定理.【分析】根據(jù)相交弦定理可證AB?BC=EB?BF=(EM+MB)(MF﹣MB)=AM2﹣MB2=8,又由直徑對(duì)得圓周角就是直角,用勾股定理即可求解AM=6.【解答】解:作過(guò)點(diǎn)M、B得直徑EF,交圓于點(diǎn)E、F,則EM=MA=MF,由相交弦定理知,AB?BC=EB?BF=(EM+MB)(MF﹣MB)=AM2﹣MB2=8,∵AB就是圓O得直徑,∴∠AMB=90°,由勾股定理得,AM2+MB2=AB2=64,∴AM=6.【點(diǎn)評(píng)】本題利用了相交弦定理,直徑對(duì)得圓周角就是直角,勾股定理求解.割線定理割線定理割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓得兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓得交點(diǎn)得兩條線段長(zhǎng)得積相等.

幾何語(yǔ)言:

∵PBA,PDC就是⊙O得割線

∴PD?PC=PA?PB(割線定理)

由上可知:PT割線定理割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓得兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓得交點(diǎn)得兩條線段長(zhǎng)得積相等.

幾何語(yǔ)言:

∵PBA,PDC就是⊙O得割線

∴PD?PC=PA?PB(割線定理)

由上可知:PT2=PA?PB=PC?PD.基本題型(1998?紹興)如圖,過(guò)點(diǎn)P作⊙O得兩條割線分別交⊙O于點(diǎn)A、B與點(diǎn)C、D,已知PA=3,AB=PC=2,則PD得長(zhǎng)就是()A.3 B.7、5 C.5 D.5、5【考點(diǎn)】MH:切割線定理.【分析】由已知可得PB得長(zhǎng),再根據(jù)割線定理得PA?PB=PC?PD即可求得PD得長(zhǎng).【解答】解:∵PA=3,AB=PC=2,∴PB=5,∵PA?PB=PC?PD,∴PD=7、5,故選B.【點(diǎn)評(píng)】主要就是考查了割線定理得運(yùn)用.(2003?天津)如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以點(diǎn)C為圓心、CA為半徑得圓與AB、BC分別交于點(diǎn)D、E.求AB、AD得長(zhǎng).【考點(diǎn)】MH:切割線定理;KQ:勾股定理.【分析】Rt△ABC中,由勾股定理可直接求得AB得長(zhǎng);延長(zhǎng)BC交⊙C于點(diǎn)F,根據(jù)割線定理,得BE?BF=BD?BA,由此可求出BD得長(zhǎng),進(jìn)而可求得AD得長(zhǎng).【解答】解:法1:在Rt△ABC中,AC=3,BC=4;根據(jù)勾股定理,得AB=5.延長(zhǎng)BC交⊙C于點(diǎn)F,則有:EC=CF=AC=3(⊙C得半徑),BE=BC﹣EC=1,BF=BC+CF=7;由割線定理得,BE?BF=BD?BA,于就是BD=;所以AD=AB﹣BD=;法2:過(guò)C作CM⊥AB,交AB于點(diǎn)M,如圖所示,由垂徑定理可得M為AD得中點(diǎn),∵S△ABC=AC?BC=AB?CM,且AC=3,BC=4,AB=5,∴CM=,在Rt△ACM中,根據(jù)勾股定理得:AC2=AM2+CM2,即9=AM2+()2,解得:AM=,∴AD=2AM=.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理及割線定理得理解及運(yùn)用.綜合題型(2015?武漢校級(jí)模擬)如圖,兩同心圓間得圓環(huán)得面積為16π,過(guò)小圓上任意一點(diǎn)P作大圓得弦AB,則PA?PB得值就是()A.16 B.16π C.4 D.4π【考點(diǎn)】MH:切割線定理.【分析】過(guò)P點(diǎn)作大圓得直徑CD,如圖,設(shè)大圓半徑為R,小圓半徑為r,根據(jù)相交弦定理得到PA?PB=(OC﹣OP)?(OP+OD)=R2﹣r2,再利用πR2﹣πr2=16π得到R2﹣r2=16,所以PA?PB=16.【解答】解:過(guò)P點(diǎn)作大圓得直徑CD,如圖,設(shè)大圓半徑為R,小圓半徑為r,∵PA?PB=PC?PD,∴PA?PB=(OC﹣OP)?(OP+OD)=(R﹣r)(R+r)=R2﹣r2,∵兩同心圓間得圓環(huán)(即圖中陰影部分)得面積為16π,∴πR2﹣πr2=16π,∴R2﹣r2=16,∴PA?PB=16.故選A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理:平分弦得直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)得兩條弧.也考查了相交弦定理.【思考】觀察講義課后練習(xí)最后一道題,就是否有思路？切割線定理切割線定理切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓得兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓得交點(diǎn)得兩條線段長(zhǎng)得積相等.

幾何語(yǔ)言:

∵PBA,PDC就是⊙O得割線

∴PD?PC=PA?PB(割線定理)

由上可知:PT切割線定理切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓得兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓得交點(diǎn)得兩條線段長(zhǎng)得積相等.

幾何語(yǔ)言:

∵PBA,PDC就是⊙O得割線

∴PD?PC=PA?PB(割線定理)

由上可知:PT2=PA?PB=PC?PD.(2013?長(zhǎng)清區(qū)二模)如圖,PA為⊙O得切線,A為切點(diǎn),⊙O得割線PBC過(guò)點(diǎn)O與⊙O分別交于B、C,PA=8cm,PB=4cm,求⊙O得半徑.【考點(diǎn)】MH:切割線定理.【專題】11:計(jì)算題.【分析】連接OA,設(shè)⊙O得半徑為rcm,由勾股定理,列式計(jì)算即可.【解答】解:連接OA,設(shè)⊙O得半徑為rcm,(2分)則r2+82=(r+4)2,(4分)解得r=6,∴⊙O得半徑為6cm.(2分)【點(diǎn)評(píng)】本題考查得就是切割線定理,勾股定理,就是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握.(2013秋?東臺(tái)市期中)如圖,點(diǎn)P就是⊙O直徑AB得延長(zhǎng)線上一點(diǎn),PC切⊙O于點(diǎn)C,已知OB=3,PB=2.則PC等于()A.2 B.3 C.4 D.5【考點(diǎn)】MH:切割線定理.【專題】11:計(jì)算題.【分析】根據(jù)題意可得出PC2=PB?PA,再由OB=3,PB=2,則PA=8,代入可求出PC.【解答】解:∵PC、PB分別為⊙O得切線與割線,∴PC2=PB?PA,∵OB=3,PB=2,∴PA=8,∴PC2=PB?PA=2×8=16,∴PC=4.故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切割線定理,熟記切割線定理得公式PC2=PB?PA.切線長(zhǎng)定理切割線定理(1)圓得切線長(zhǎng)定義:經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓得切線,這點(diǎn)與切點(diǎn)之間得線段得長(zhǎng),叫做這點(diǎn)到圓得切線長(zhǎng).切割線定理(1)圓得切線長(zhǎng)定義:經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓得切線,這點(diǎn)與切點(diǎn)之間得線段得長(zhǎng),叫做這點(diǎn)到圓得切線長(zhǎng).(2)切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)引圓得兩條切線,它們得切線長(zhǎng)相等,圓心與這一點(diǎn)得連線,平分兩條切線得夾角.(3)注意:切線與切線長(zhǎng)就是兩個(gè)不同得概念,切線就是直線,不能度量;切線長(zhǎng)就是線段得長(zhǎng),這條線段得兩個(gè)端點(diǎn)分別就是圓外一點(diǎn)與切點(diǎn),可以度量.(4)切線長(zhǎng)定理包含著一些隱含結(jié)論:①垂直關(guān)系三處;②全等關(guān)系三對(duì);③弧相等關(guān)系兩對(duì),在一些證明求解問(wèn)題中經(jīng)常用到.(2015?秦皇島校級(jí)模擬)如圖,一圓內(nèi)切四邊形ABCD,且BC=10,AD=7,則四邊形得周長(zhǎng)為()A.32 B.34 C.36 D.38【考點(diǎn)】MG:切線長(zhǎng)定理.【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理,可以證明圓外切四邊形得性質(zhì):圓外切四邊形得兩組對(duì)邊與相等,從而可求得四邊形得周長(zhǎng).【解答】解:由題意可得圓外切四邊形得兩組對(duì)邊與相等,所以四邊形得周長(zhǎng)=2×(7+10)=34.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線長(zhǎng)定理,熟悉圓外切四邊形得性質(zhì):圓外切四邊形得兩組對(duì)邊與相等就是解題關(guān)鍵.(2015?岳池縣模擬)如圖,PA,PB切⊙O于A,B兩點(diǎn),CD切⊙O于點(diǎn)E交PA,PB于C,D,若⊙O得半徑為r,△PCD得周長(zhǎng)為3r,連接OA,OP,則得值就是()A. B. C. D.【考點(diǎn)】MG:切線長(zhǎng)定理;MC:切線得性質(zhì).【分析】利用切線長(zhǎng)定理得出CA=CF,DF=DB,PA=PB,進(jìn)而得出PA=r,求出即可.【解答】解:∵PA,PB切⊙O于A,B兩點(diǎn),CD切⊙O于點(diǎn)E交PA,PB于C,D,∴CA=CF,DF=DB,PA=PB,∴PC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA=3r,∴PA=r,則得值就是:=.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線長(zhǎng)定理,得出PA得長(zhǎng)就是解題關(guān)鍵.(2014秋?夏津縣校級(jí)期末)如圖,P為⊙O外一點(diǎn),PA,PB分別切⊙O于A,B,CD切⊙O于點(diǎn)E,分別交PA,PB于點(diǎn)C,D.若PA=5,則△PCD得周長(zhǎng)與∠COD分別為()A.5,(90°+∠P) B.7,90°+ C.10,90°﹣∠P D.10,90°+∠P【考點(diǎn)】MG:切線長(zhǎng)定理.【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理,即可得到PA=PB,ED=AD,CE=BC,從而求得三角形得周長(zhǎng)=2PA;連接OA、OE、OB根據(jù)切線性質(zhì),∠P+∠AOB=180°,再根據(jù)CD為切線可知∠COD=∠AOB.【解答】解:∵PA、PB切⊙O于A、B,CD切⊙O于E,∴PA=PB=10,ED=AD,CE=BC;∴△PCD得周長(zhǎng)=PD+DE+PC+CE=2PA,即△PCD得周長(zhǎng)=2PA=10,;如圖,連接OA、OE、OB.由切線性質(zhì)得,OA⊥PA,OB⊥PB,OE⊥CD,DB=DE,AC=CE,∵AO=OE=OB,易證△AOC≌△EOC(SAS),△EOD≌△BOD(SAS),∴∠AOC=∠EOC,∠EOD=∠BOD,∴∠COD=∠AOB,∴∠AOB=180°﹣∠P,∴∠COD=90°﹣∠P.故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線得性質(zhì),運(yùn)用切線得性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證,常通過(guò)作輔助線連接圓心與切點(diǎn),利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題,就是基礎(chǔ)題型.圓冪定理請(qǐng)嘗試解出下列例題:(2005?廣州)如圖,在直徑為6得半圓上有兩動(dòng)點(diǎn)M、N,弦AM、BN相交于點(diǎn)P,則AP?AM+BP?BN得值為.【考點(diǎn)】M7:相交弦定理;KQ:勾股定理;M5:圓周角定理.【專題】16:壓軸題;25:動(dòng)點(diǎn)型.【分析】連接AN、BM,根據(jù)圓周角定理,由AB就是直徑,可證∠AMB=90°,由勾股定理知,BP2=MP2+BM2,由相交弦定理知,AP?PM=BP?PN,原式=AP(AP+PM)+BP(BP+PN)=AP2+AP?PM+BP2+BP?PN=AP2+BP2+2AP?PM=AP2+MP2+BM2+2AP?PM=AP2+(AP+PM)2=AP2+AM2=AB2=36.【解答】解:連接AN、BM,∵AB就是直徑,∴∠AMB=90°.∴BP2=MP2+BM2∵AP?PM=BP?PN原式=AP(AP+PM)+BP(BP+PN)=AP2+AP?PM+BP2+BP?PN=AP2+BP2+2AP?PM=AP2+MP2+BM2+2AP?PM=BM2+(AP+PM)2=BM2+AM2=AB2=36.【點(diǎn)評(píng)】本題利用了圓周角定理與相交弦定理,勾股定理求解.以上四條定理統(tǒng)稱為圓冪定理。(部分參考書以前三條為圓冪定理)圓冪定理:過(guò)平面內(nèi)任一點(diǎn)P(P與圓心O不重合)做⊙O得(切)割線,交⊙O與點(diǎn)A、B,則恒有。(“”被稱為點(diǎn)P到⊙O得冪。)PPracticemaSTEP3:落實(shí)鞏固——查漏補(bǔ)缺理念:找到自己本節(jié)課得薄弱環(huán)節(jié)。STEP4:總結(jié)理念:本結(jié)課復(fù)習(xí)了什么？學(xué)到了什么？方法:學(xué)生口述+筆記記錄。STEP5:課后練習(xí)一.選擇題(共5小題)1.如圖所示,已知⊙O中,弦AB,CD相交于點(diǎn)P,AP=6,BP=2,CP=4,則PD得長(zhǎng)就是()A.6 B.5 C.4 D.3【分析】可運(yùn)用相交弦定理求解,圓內(nèi)得弦AB,CD相交于P,因此AP?PB=CP?PD,代入已知數(shù)值計(jì)算即可.【解答】解:由相交弦定理得AP?PB=CP?PD,∵AP=6,BP=2,CP=4,∴PD=AP?PB÷CP=6×2÷4=3.故選D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查得就是相交弦定理“圓內(nèi)兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn),各弦被這點(diǎn)所分得得兩線段得長(zhǎng)得乘積相等”.2.⊙O得兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)P,PA=3cm,PB=4cm,PC=2cm,則CD=()A.12cm B.6cm C.8cm D.7cm【分析】根據(jù)相交弦定理進(jìn)行計(jì)算.【解答】解:由相交弦定理得:PA?PB=PC?PD,∴DP===6cm,CD=PC+PD=2+6=8cm.故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題主要就是根據(jù)相交弦定理“圓內(nèi)兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn),各弦被這點(diǎn)所分得得兩線段得長(zhǎng)得乘積相等”進(jìn)行計(jì)算.3.如圖,⊙O中,弦AB與直徑CD相交于點(diǎn)P,且PA=4,PB=6,PD=2,則⊙O得半徑為()A.9 B.8 C.7 D.6【分析】根據(jù)相交弦定理得出AP×BP=CP×DP,求出CP,求出CD即可.【解答】解:由相交弦定理得:AP×BP=CP×DP,∵PA=4,PB=6,PD=2,∴CP=12,∴DC=12+2=14,∵CD就是⊙O直徑,∴⊙O半徑就是7.故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相交弦定理得應(yīng)用,關(guān)鍵就是能根據(jù)定理得出AP×BP=CP×DP.4.如圖,A就是半徑為1得圓O外得一點(diǎn),OA=2,AB就是⊙O得切線,B就是切點(diǎn),弦BC∥OA,連接AC,則陰影部分得面積等于()A. B. C. D.【分析】連接OB,OC,易證:△BOC就是等邊三角形,且陰影部分得面積=△BOC得面積,據(jù)此即可求解.【解答】解:連接OB,OC,∵AB就是圓得切線,∴∠ABO=90°,在直角△ABO中,OB=1,OA=2,∴∠OAB=30°,∠AOB=60°,∵OA∥BC,∴∠COB=∠AOB=60°,且S陰影部分=S△BOC,∴△BOC就是等邊三角形,邊長(zhǎng)就是1,∴S陰影部分=S△BOC=×1×=.故選A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形面積得計(jì)算,以及切割線定理,正確證明△BOC就是等邊三角形就是解題得關(guān)鍵.5.如圖,PA,PB分別就是⊙O得切線,A,B分別為切點(diǎn),點(diǎn)E就是⊙O上一點(diǎn),且∠AEB=60°,則∠P為()A.120° B.60° C.30° D.45°【分析】連接OA,BO,由圓周角定理知可知∠AOB=2∠E=120°,PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B,利用切線得性質(zhì)可知∠OAP=∠OBP=90°,根據(jù)四邊形內(nèi)角與可求得∠P=180°﹣∠AOB=60°.【解答】解:連接OA,BO;∵∠AOB=2∠E=120°,∴∠OAP=∠OBP=90°,∴∠P=180°﹣∠AOB=60°.故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線得性質(zhì),切線長(zhǎng)定理以及圓周角定理,利用了四邊形得內(nèi)角與為360度求解.二.解答題(共3小題)6.如圖,P為弦AB上一點(diǎn),CP⊥OP交⊙O于點(diǎn)C,AB=8,=,求PC得長(zhǎng).【分析】延長(zhǎng)CP交⊙O于D.由垂徑定理可知CP=DP,由AB=8,=,得到AP=AB=2,PB=AB=6.再根據(jù)相交弦定理得出PC?PD=AP?PB,代入數(shù)值計(jì)算即可求解.【解答】解:如圖,延長(zhǎng)CP交⊙O于D.∵CP⊥OP,∴CP=DP.∵AB=8,=,∴AP=AB=2,PB=AB=6.∵AB、CD就是⊙O得兩條相交弦,交點(diǎn)為P,∴PC?PD=AP?PB,∴PC2=2×6,∴PC=2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相交弦定理:圓內(nèi)得兩條相交弦,被交點(diǎn)分成得兩條線段長(zhǎng)得積相等.同時(shí)考查了垂徑定理,準(zhǔn)確作出輔助線就是解題得關(guān)鍵.7.如圖,AB,BC,CD分別與⊙O相切于E,F,G,且AB∥CD,BO=6cm,CO=8cm.求BC得長(zhǎng).【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理與平行線得性質(zhì)定理得到△B