概率第1、2章(部編)課件

概率統(tǒng)計簡明教程課程名稱概率統(tǒng)計簡明教程計劃學時32學時作業(yè)要求用大張的A4白紙書寫，姓名、班級和序號寫在最上方章次內容講課時數習題講評或測驗第一章隨機事件20第二章事件的概率31第三章條件概率與事件的獨立性31第四章隨機變量及其分布41第五章二維隨機變量及其分布20第六章隨機變量的函數及其分布31第七章隨機變量的數字特征31第八章第九章統(tǒng)計與統(tǒng)計學統(tǒng)計量和抽樣分布2測驗1總復習40概率統(tǒng)計是研究隨機現象數量規(guī)律的學科,理論嚴謹，應用廣泛，發(fā)展迅速.不僅高等學校各專業(yè)都開設了本課程,而且在上世紀末，此課程特意被教育部定為本科生考研的數學課程之一。前言概率統(tǒng)計可分為概率論與數理統(tǒng)計學，概率論嚴格地演繹研究大量隨機現象地數量關系，數理統(tǒng)計學則側重與歸納方法。它們的共同點都是研究隨機現象地統(tǒng)計規(guī)律性。近年來，由于科學技術地日新月異，研究方法的不斷更新，概率統(tǒng)計已成為各門學科中不可或缺的理論基礎和研究工具。本學科的應用概率統(tǒng)計理論與方法的應用幾乎遍及所有科學技術領域、工農業(yè)生產和國民經濟的各個部門中.例如

1.氣象、水文、地震預報、人口控制及預測都與《概率論》緊密相關；2.產品的抽樣驗收，新研制的藥品能否在臨床中應用，均要用到《假設檢驗》；6.探討太陽黑子的變化規(guī)律時,《時間序列分析》方法非常有用;4.電子系統(tǒng)的設計,火箭衛(wèi)星的研制及其發(fā)射都離不開《可靠性估計》;

3.尋求最佳生產方案要進行《實驗設計》和《數據處理》；5.處理通信問題,需要研究《信息論》；法國數學家拉普拉斯(Laplace)說:“生活中最重要的問題,其中絕大多數在實質上只是概率的問題.”英國的邏輯學家和經濟學家杰文斯曾對概率論大加贊美：“概率論是生活真正的領路人,如果沒有對概率的某種估計,那么我們就寸步難行,無所作為.第一章隨機事件第一節(jié)樣本空間和隨機事件重點

1、隨機事件2、樣本空間在自然界和人類社會中，我們所遇到的各種現象按其結果能否準確預言來劃分，可分為兩大類：一類是必然現象；另一類是隨機現象。在一定條件下，必然出現某一種結果的現象稱為必然現象。如：1、在標準大氣壓下，純水加熱到100沸騰。2、三角形中，任意兩邊之和一定大于第三邊。3、異性電荷相互吸引。另一類現象是在一定條件下可能出現這樣的結果，也可能出現那樣的結果，而且不能預先斷言出現哪種結果，這種現象稱為隨機現象。如：1、投擲一枚硬幣，可能出現正面向上，也可能出現反面向上。2、測試某產品是正品還是次品。對于隨機現象，我們感興趣的是那些在相同條件下可以重復觀測的隨機現象。研究它們時，總要在一定條件下進行觀察、測量和試驗，以后我們把這些工作統(tǒng)稱為試驗。概率是研究隨機現象的規(guī)律性的學科一般的，稱具有以下三個特點的試驗為隨機試驗：

試驗在相同的條件下可重復進行

試驗的所有可能結果是已知的或者是可以確定的。每次試驗將會發(fā)生什么結果是事先無法預知的。拋一枚硬幣,觀察正面或反面向上在一條生產線上，檢測在24小時內產出次品的數目

向一目標射擊，直至擊中為止，記錄射擊的次數實例

在隨機試驗中，產生的各種結果叫做隨機事件(randomEvents)，簡稱事件（Events)．隨機事件通常用大寫英文字母Ａ、Ｂ、Ｃ等表示．例：投擲一個骰子，觀察其朝上的點數。

都是隨機事件。A＝｛朝上的點數為2｝B＝｛朝上的點數為偶數點｝C＝｛朝上的點數不超過4｝如觀察馬路交叉口可能遇上的各種顏色交通燈，這是隨機試驗，而“遇上紅燈”則是一個隨機事件。

隨機試驗的每一個可能的結果稱為這個試驗的一個樣本點，記作ω．

全體樣本點組成的集合稱為這個試驗的樣本空間，記作Ω．樣本空間是試驗的所有可能結果所組成的集合.

樣本點與樣本空間樣本點SamplePoint樣本空間SampleSpaceΩ={ｔ|ｔ≥0}

寫出下列事件的樣本空間E4:在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命E1:射手向一目標射擊，記錄射擊的次數E3:擲一顆骰子，觀察向上一面出現的點數Ω={1,2,…}Ω={1,2,3,4,5,6}顯然，每次試驗有且只有一個含在樣本空間中的試驗結果發(fā)生。E2:從四張撲克牌J,Q,K,A任意抽取兩張。Ω={(J,Q),(J,K),(J,A),(Q,J),(Q,K),(Q,A),(K,J),(K,Q),(K,A),(A,J),(A,Q),(A,K)}事件是由試驗的某些可能結果構成的，因此事件是樣本空間的子集。僅含一個樣本點的隨機事件稱為基本事件，含多個樣本點的事件稱為復雜事件。如前例：投擲一個骰子，觀察其朝上的點數。記＝“出現點數為j”（j＝1,2,3,4,5,6）則A＝｛朝上的點數為2｝B＝｛朝上的點數為偶數點｝C＝｛朝上的點數不超過4｝必然事件CertaintyEvents

“拋擲一顆骰子，出現的點數不大于6”例

必然事件——樣本空間本身也是事件,它包含了所有可能的試驗結果，因此不論在哪一次試驗它都發(fā)生，稱為必然事件。也將它記為。不可能事件ImpossibleEvent

“拋擲一顆骰子，出現的點數大于6”例不可能事件——不包含任何樣本點的事件,記為

,每次試驗必定不發(fā)生的事件.拋擲兩顆骰子，觀察出現的點數例隨機試驗樣本空間

Ω＝｛（1，1），（1，2）,（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），...，（6，1），（6，2），...，（6，6）｝．拋擲兩顆骰子，觀察出現的點數A={點數之和等于3}={（1，2），（2，1）}B={點數之和大于11}={6，6}C={點數之和不小于2}D={點數之和大于12}

=Φ=Ω第二節(jié)事件的關系和運算用簡單事件表示復雜事件事件的關系和運算事件的關系與運算事件事件之間的關系與事件的運算集合集合之間的關系與集合的運算

事件Ａ發(fā)生必然導致事件Ｂ發(fā)生

1、事件的包含BA(事件Ａ的樣本點都是事件Ｂ的樣本點)例如拋擲兩顆骰子，觀察出現的點數A={出現1點}B={出現奇數點}

2、事件的相等A=BBA

事件A與事件B至少有一個發(fā)生3、事件的并(和)(由事件A與事件B所有樣本點組成)

多個事件的和4、事件的交(積)

事件Ａ和事件Ｂ同時發(fā)生ＡＢＡ∩Ｂ

多個事件的交(由事件Ａ和事件Ｂ公共的樣本點組成)Ａ－Ｂ

5、事件的差

事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生（由事件A的樣本點去掉事件B的樣本點組成）——

A

與B

互斥A、

B不可能同時發(fā)生（不含公共的樣本點）AB6.事件的互斥(互不相容)兩兩互斥——

A

與B

互相對立A注意：“A

與B

互相對立”與“A

與B

互斥”是不同的概念7.事件的對立稱B

為A的對立事件(or補事件)，記為，可知

交換律

結合律

分配律

對偶律

運算律對應事件運算集合運算某射手向目標射擊三次，用表示第次擊中目標試用及其運算符表示下列事件：（1）三次都擊中目標：（2）至少有一次擊中目標：

（3）至少有一次沒有擊中目標：（4）三次都沒有擊中目標：例：復合事件的表示練一練A,B,C為同一樣本空間的隨機事件，試用A，B，C的運算表示下列事件1）A，B，C都不發(fā)生2）A與B發(fā)生，C不發(fā)生3）A，B，C至少有一個發(fā)生4）事件3）的對立事件作業(yè)P5習題一

1、

2、

3、

4（1）（2）（3）（4）

5（1）（2）（3）（4）第二章事件的概率排列組合有關知識復習加法原理：完成一件事情有n

類方法，第i

類方法中有mi

種具體的方法，則完成這件事情共有種不同的方法乘法原理：完成一件事情有n

個步驟，第i

個步驟中有mi

種具體的方法，則完成這件事情共有種不同的方法排列

從n個不同的元素中取出m

個(不放回地）按一定的次序排成一排,不同的排法共有全排列種?？芍貜团帕?/p>

從n

個不同的元素中可重復地取出m

個排成一排,不同的排法有例某城市的電話號碼是八位，假定一個用戶只給一個號碼，問一共可容納多少電話用戶？號碼的末位數是8的用戶是多少？組合從n個不同的元素中取出m

個(不放回地）組成一組，不同的組合數記為第一節(jié)概率的概念歷史上概率的三次定義③公理化定義②統(tǒng)計定義①古典定義概率的最初定義基于頻率的定義1930年后由前蘇聯(lián)數學家柯爾莫哥洛夫給出設在n

次試驗中，事件A

發(fā)生了m

次，

頻率則稱為事件A發(fā)生的頻率大量試驗表明，在多次重復試驗中，同一事件發(fā)生的頻率盡管不一定相同，然而卻在某一固定的常數附近擺動，呈現出相對穩(wěn)定的狀態(tài)。隨著試驗次數的增加，這種現象越顯著，我們把這種“頻率穩(wěn)定性”稱為統(tǒng)計規(guī)律性。如歷史上，蒲豐、皮爾遜等先后做過拋擲硬幣的試驗：德.摩根試驗者拋擲次數n出現正面的次數m出現正面的頻率m/n204810610.518蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005維尼0.49981499430000拋擲硬幣的試驗Experimentoftossingcoin歷史紀錄

概率的統(tǒng)計定義

在大量重復試驗中，若事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某一常數p附近擺動，則把這個數p稱為事件A

的概率,記作P(A)＝p.對本定義的評價優(yōu)點：直觀易懂缺點：粗糙模糊不便使用

當試驗次數足夠大時，可以用事件A發(fā)生的頻率近似的代替事件A的概率。從頻率的性質可知概率滿足：第二節(jié)古典概型理解概率的古典定義，會計算簡單的古典概率設隨機試驗具有如下特征：（1）試驗的可能結果只有有限個；（2）各個可能結果出現是等可能的。則稱此試驗為古典（等可能）概型。

概率的古典定義古典概型中概率的計算：記

則例1設有批量為100的同型號產品，其中次品有30件?，F按以下兩種方式隨機抽取2件產品（a）有放回抽取，即先任意抽取一件，觀察后放回批中，再從中任取一件；（b）不放回抽取，即先任抽一件，抽后不放回，從剩下的產品中再任取一件。試分別按這兩種抽樣方式求（1）兩件都是次品的概率；（2）第一件是次品，第二件是正品的概率。解本題為古典概型。記A＝{兩件都是次品}B＝{第1件是次品，第二件是正品}（a）在方式（b）下，例2某城市電話號碼升位為六位數，且第一位為6或8，求（1）隨機抽取的一個電話號碼為不重復的六位數的概率；（2）隨機抽取的電話號碼末位數是8的概率。例3（女士品茶問題）一位常飲牛奶加茶的女士稱：她能從一杯沖好的飲料中辨別出先放茶還是先放牛奶。并且她在10次試驗中都正確地辨別出來，問該女士的說法是否可信？分析：判斷10試驗中每一次她都猜對的可能性有多大，A＝{在10次試驗中都能猜出放置牛奶和茶的先后次序}每次試驗的結果：先放牛奶后放茶；先放茶后放牛奶。有兩種可能。10次試驗結果的可能性（樣本點總數）：10次都猜對的概率為：該女士猜對的概率非常小，所以她的說法是可信的。例4（抽獎問題）設某超市有獎銷售，投放n張獎券只有1張有獎。每位顧客可抽一張。求第k位顧客中獎的概率。解抽獎券是不放回抽樣。記A為所求事件的概率，到第k個顧客為止試驗的樣本點總數為：A所包含的樣本點數為：于是：第三節(jié)幾何概型古典概型只考慮了有限等可能結果的隨機試驗的概率模型，下面我們進一步研究樣本空間為一線段、平面區(qū)域或空間立體等的等可能隨機試驗的概率模型－幾何概型。SA1、設樣本空間S是平面上某個區(qū)域，它的面積記為2、向區(qū)域S上隨機投擲一點，這里“隨機投擲一點”的含義是指該點落入S內任何部分區(qū)域內的可能性只與這部分區(qū)域的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無關。3、設事件A是S的某個區(qū)域，它的面積為，則向區(qū)域S隨機投擲一點，該點落在區(qū)域A的概率為幾何概率(*)注若樣本空間S為一線段或空間立體，則向S“投點”的相應概率仍可用(*)式確定，但應理解為長度或體積。例1某人午覺醒來，發(fā)現表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，設電臺每正點報時一次，他打開收音機時電臺還沒有報時，求他等待時間短于10分鐘的概率。解以分鐘為單位，記上一次報時時刻為0，下一次報時時刻為60，于是這個人打開收音機的時間必在(0,60)，記“等待時間少于10分鐘”為事件A，則有于是例2甲乙兩人相約在7點到8點之間在某地會面，先到者等待對方20分鐘，過時就離開。如果每個人可在一小時內的任意時刻到達，求甲乙雙方見面的概率。解記7點為計算時刻的0時，以分鐘為單位，x，y分別記為甲乙到達指定地點的時刻，則樣本空間為以A表示事件“兩人會面”，則有這是一個幾何概型問題，于是：第四節(jié)概率的公理化定義概率的公理化定義掌握概率的基本性質及概率加法定理數學上所說的“公理”，就是一些不加證明而承認的前提，這些前提規(guī)定了所討論對象的一些基本關系和所滿足的條件，然后以之為基礎，推演出所討論對象的進一步內容。設隨機試驗的樣本空間為，若對每一事件A，有且只有一個實數P(A)以之對應，滿足如下公理：公理1（非負性）公理2（規(guī)范性）公理3（完全可加性）對任意一列兩兩互斥事件有則稱P(A)為事件A的概率。概率的性質

有限可加性:設

兩兩互斥,有