2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義第八章8.1　空間幾何體及其表面積與體積(學(xué)生版+解析)

§8.1空間幾何體及其表面積與體積考試要求1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖.3.了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式．知識(shí)梳理1．多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相____且____多邊形互相____且____側(cè)棱________且____相交于____但不一定相等延長(zhǎng)線交于______側(cè)面形狀2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，____于底面相交于____延長(zhǎng)線交于____軸截面全等的____全等的____全等的____側(cè)面展開圖3.三視圖與直觀圖三視圖畫法規(guī)則：長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等直觀圖斜二測(cè)畫法：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為________________，z′軸與x′軸和y′軸所在平面________．(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍________________________，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度________，平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度為______________.4.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝________S圓錐側(cè)＝________S圓臺(tái)側(cè)＝________5.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝________錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝________臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝______V＝________常用結(jié)論1．在繪制三視圖時(shí)，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來，即“眼見為實(shí)、不見為虛”．在三視圖的判斷與識(shí)別中要特別注意其中的虛線．2．直觀圖與原平面圖形面積之間的關(guān)系S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)菱形的直觀圖仍是菱形．()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱．()(4)錐體的體積等于底面積與高之積．()教材改編題1.如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是()A．四棱臺(tái)B．四棱錐C．四棱柱D．三棱柱2．下列說法正確的是()A．相等的角在直觀圖中仍然相等B．相等的線段在直觀圖中仍然相等C．正方形的直觀圖是正方形D．若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行3．已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為()A．1cmB．2cmC．3cmD.eq\f(3,2)cm題型一空間幾何體命題點(diǎn)1三視圖例1(2022·全國(guó)甲卷)如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該多面體的體積為()A．8B．12C．16D．20聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)2直觀圖例2已知水平放置的四邊形OABC按斜二測(cè)畫法得到如圖所示的直觀圖，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，則原四邊形OABC的面積為()A.eq\f(3\r(2),2) B．3eq\r(2)C．4eq\r(2) D．5eq\r(2)聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)3展開圖例3如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為1cm，高為5cm，一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為()A．12cm B．13cmC.eq\r(61)cm D．15cm聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)由幾何體求三視圖，要注意觀察方向，掌握“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的基本要求，由三視圖推測(cè)幾何體，可以先利用俯視圖推測(cè)底面，然后結(jié)合正視圖、側(cè)視圖推測(cè)幾何體的可能形式．(2)①在斜二測(cè)畫法中，平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半．②S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2021·全國(guó)甲卷)在一個(gè)正方體中，過頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G.該正方體截去三棱錐A－EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是()(2)如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形由斜二測(cè)畫法得到的直觀圖A′B′C′D′是邊長(zhǎng)為2的菱形，且O′D′＝2，則原平面圖形的周長(zhǎng)為()A．4eq\r(2)＋4 B．4eq\r(6)＋4C．8eq\r(2) D．8(3)(2023·岳陽模擬)已知圓錐的側(cè)面積是底面積的eq\f(5,4)倍，則該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角大小為()A.eq\f(4π,5)B.eq\f(6π,5)C.eq\f(8π,5)D.eq\f(9π,5)題型二表面積與體積命題點(diǎn)1表面積例4(1)(2022·深圳模擬)以邊長(zhǎng)為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于()A．8πB．4πC．8D．4聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·麗江模擬)已知三棱錐的三條側(cè)棱長(zhǎng)均為2，有兩個(gè)側(cè)面是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高為eq\r(5)，則這個(gè)三棱錐的表面積為()A．4＋3eq\r(3)＋eq\r(15) B．4＋eq\r(3)＋2eq\r(15)C．4＋eq\r(3)＋eq\r(15) D．4＋2eq\r(3)＋eq\r(15)聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)2體積例5(1)(2021·新高考全國(guó)Ⅱ)正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為()A．20＋12eq\r(3) B．28eq\r(2)C.eq\f(56,3) D.eq\f(28\r(2),3)聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則三棱錐A－B1CD1的體積為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(8,3)C．4D．6聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華求空間幾何體的體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積跟蹤訓(xùn)練2(1)(2021·北京)定義：24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度(mm)來判斷降雨程度．其中小雨(<10mm)，中雨(10mm－25mm)，大雨(25mm－50mm)，暴雨(50mm－100mm)，小明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)()A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨(2)(2022·沈陽模擬)在我國(guó)瓷器的歷史上六棱形的瓷器非常常見，因?yàn)榱?、八是中?guó)人的吉利數(shù)字，所以許多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形筆筒，其余的六棱形都不是六棱柱形．如圖為一個(gè)正六棱柱形狀的瓷器筆筒，高為18.7cm，底面邊長(zhǎng)為7cm(數(shù)據(jù)為筆筒的外觀數(shù)據(jù))，用一層絨布將其側(cè)面包裹住，忽略絨布的厚度，則至少需要絨布的面積為()A．120cm2 B．162.7cm2C．785.4cm2 D．1570.8cm2§8.1空間幾何體及其表面積與體積考試要求1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖.3.了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式．知識(shí)梳理1．多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓面?zhèn)让嬲归_圖矩形扇形扇環(huán)3.三視圖與直觀圖三視圖畫法規(guī)則：長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等直觀圖斜二測(cè)畫法：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度為原來的一半.4.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l5.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3常用結(jié)論1．在繪制三視圖時(shí)，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來，即“眼見為實(shí)、不見為虛”．在三視圖的判斷與識(shí)別中要特別注意其中的虛線．2．直觀圖與原平面圖形面積之間的關(guān)系S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)菱形的直觀圖仍是菱形．(×)(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(×)(3)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱．(×)(4)錐體的體積等于底面積與高之積．(×)教材改編題1.如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是()A．四棱臺(tái)B．四棱錐C．四棱柱D．三棱柱答案C解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，盛水部分的幾何體是四棱柱．2．下列說法正確的是()A．相等的角在直觀圖中仍然相等B．相等的線段在直觀圖中仍然相等C．正方形的直觀圖是正方形D．若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行答案D解析由直觀圖的畫法規(guī)則知，角度、長(zhǎng)度都有可能改變，而線段的平行關(guān)系不變，正方形的直觀圖是平行四邊形．3．已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為()A．1cmB．2cmC．3cmD.eq\f(3,2)cm答案B解析設(shè)圓錐底面圓的半徑為rcm，母線長(zhǎng)為lcm，依題意得2πr＝πl(wèi)，∴l(xiāng)＝2r，S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm)．題型一空間幾何體命題點(diǎn)1三視圖例1(2022·全國(guó)甲卷)如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該多面體的體積為()A．8B．12C．16D．20答案B解析三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體是放倒的直四棱柱，如圖，直四棱柱的高為2，底面是上底為2，下底為4，高為2的梯形，所以體積V＝Sh＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2×2＝12.命題點(diǎn)2直觀圖例2已知水平放置的四邊形OABC按斜二測(cè)畫法得到如圖所示的直觀圖，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，則原四邊形OABC的面積為()A.eq\f(3\r(2),2)B．3eq\r(2)C．4eq\r(2)D．5eq\r(2)答案B解析方法一由已知求得O′C′＝eq\r(2)，把直觀圖還原為原圖形如圖，可得原圖形為直角梯形，OA∥CB，OA⊥OC，且OA＝1，BC＝2，OC＝2eq\r(2)，得原四邊形OABC的面積為eq\f(1,2)×(1＋2)×2eq\r(2)＝3eq\r(2).方法二由題意知A′B′＝1，∴S直觀圖＝eq\f(1,2)×(1＋2)×1＝eq\f(3,2)，∴S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖＝3eq\r(2).命題點(diǎn)3展開圖例3如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為1cm，高為5cm，一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為()A．12cm B．13cmC.eq\r(61)cm D．15cm答案C解析如圖，把側(cè)面展開2周可得對(duì)角線最短，則AA1＝eq\r(62＋52)＝eq\r(61)(cm)．思維升華(1)由幾何體求三視圖，要注意觀察方向，掌握“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的基本要求，由三視圖推測(cè)幾何體，可以先利用俯視圖推測(cè)底面，然后結(jié)合正視圖、側(cè)視圖推測(cè)幾何體的可能形式．(2)①在斜二測(cè)畫法中，平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半．②S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2021·全國(guó)甲卷)在一個(gè)正方體中，過頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G.該正方體截去三棱錐A－EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是()答案D解析根據(jù)題目條件以及正視圖可以得到該幾何體的直觀圖，如圖，結(jié)合選項(xiàng)可知該幾何體的側(cè)視圖為D.(2)如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形由斜二測(cè)畫法得到的直觀圖A′B′C′D′是邊長(zhǎng)為2的菱形，且O′D′＝2，則原平面圖形的周長(zhǎng)為()A．4eq\r(2)＋4 B．4eq\r(6)＋4C．8eq\r(2) D．8答案B解析根據(jù)題意，把直觀圖還原成原平面圖形，如圖所示，其中OA＝2eq\r(2)，OD＝4，AB＝CD＝2，則AD＝eq\r(8＋16)＝2eq\r(6)，故原平面圖形的周長(zhǎng)為2＋2＋2eq\r(6)＋2eq\r(6)＝4eq\r(6)＋4.(3)(2023·岳陽模擬)已知圓錐的側(cè)面積是底面積的eq\f(5,4)倍，則該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角大小為()A.eq\f(4π,5)B.eq\f(6π,5)C.eq\f(8π,5)D.eq\f(9π,5)答案C解析設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則圓錐的側(cè)面積為πrl，由題意得eq\f(πrl,πr2)＝eq\f(5,4)，解得l＝eq\f(5r,4)，∵圓錐底面圓的周長(zhǎng)即為側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)為2πr，∴該扇形的圓心角為α＝eq\f(2πr,l)＝eq\f(2πr,\f(5r,4))＝eq\f(8π,5).題型二表面積與體積命題點(diǎn)1表面積例4(1)(2022·深圳模擬)以邊長(zhǎng)為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于()A．8πB．4πC．8D．4答案A解析以邊長(zhǎng)為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體為圓柱，其底面半徑r＝2，高h(yuǎn)＝2，∴所得圓柱的側(cè)面積S＝2πrh＝2π×2×2＝8π.(2)(2023·麗江模擬)已知三棱錐的三條側(cè)棱長(zhǎng)均為2，有兩個(gè)側(cè)面是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高為eq\r(5)，則這個(gè)三棱錐的表面積為()A．4＋3eq\r(3)＋eq\r(15) B．4＋eq\r(3)＋2eq\r(15)C．4＋eq\r(3)＋eq\r(15) D．4＋2eq\r(3)＋eq\r(15)答案C解析結(jié)合題目邊長(zhǎng)關(guān)系，三棱錐如圖所示，AB＝AC＝AD＝2，CE＝eq\r(5)，由題意得△ABC，△ACD是等腰直角三角形，則BC＝CD＝2eq\r(2)，BE＝eq\r(BC2－CE2)＝eq\r(3)，BD＝2eq\r(3)，AE＝eq\r(AB2－BE2)＝1，則該三棱錐的表面積為S△ABC＋S△ACD＋S△ABD＋S△BCD＝eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1＋eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(5)＝4＋eq\r(3)＋eq\r(15).命題點(diǎn)2體積例5(1)(2021·新高考全國(guó)Ⅱ)正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為()A．20＋12eq\r(3) B．28eq\r(2)C.eq\f(56,3) D.eq\f(28\r(2),3)答案D解析作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上、下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以該棱臺(tái)的高h(yuǎn)＝eq\r(22－2\r(2)－\r(2)2)＝eq\r(2)，下底面面積S1＝16，上底面面積S2＝4，所以該棱臺(tái)的體積V＝eq\f(1,3)h(S1＋S2＋eq\r(S1S2))＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×(16＋4＋eq\r(64))＝eq\f(28\r(2),3).(2)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則三棱錐A－B1CD1的體積為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(8,3)C．4D．6答案B解析如圖，三棱錐A－B1CD1是由正方體ABCD－A1B1C1D1截去四個(gè)小三棱錐A－A1B1D1，C－B1C1D1，B1－ABC，D1－ACD得到的，又＝23＝8，＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×23＝eq\f(4,3)，所以＝8－4×eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).思維升華求空間幾何體的體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積跟蹤訓(xùn)練2(1)(2021·北京)定義：24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度(mm)來判斷降雨程度．其中小雨(<10mm)，中雨(10mm－25mm)，大雨(25mm－50mm)，暴雨(50mm－100mm)，小明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)()A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨答案B解析由題意，一個(gè)半徑為eq\f(200,2)＝100(mm)的圓面內(nèi)的降雨充滿一個(gè)底面半徑為eq\f(200,2)×eq\f(150,300)＝50(mm)，高為150(mm)的圓錐，所以積水厚度d＝eq\f(\f(1,3)π×502×150,π×1002)＝12.5(mm)，屬于中雨．(2)(2022·沈陽模擬)在我國(guó)瓷器的歷史上六棱形的瓷器非常常見，因?yàn)榱?、八是中?guó)人的吉利數(shù)字，所以許多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形筆筒，其余的六棱形都不是六棱柱形．如圖為一個(gè)正六棱柱形狀的瓷器筆筒，高為18.7cm，底面邊長(zhǎng)為7cm(數(shù)據(jù)為筆筒的外觀數(shù)據(jù))，用一層絨布將其側(cè)面包裹住，忽略絨布的厚度，則至少需要絨布的面積為()A．120cm2 B．162.7cm2C．785.4cm2 D．1570.8cm2答案C解析根據(jù)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為7cm，得正六棱柱的側(cè)面積為6×7×18.7＝785.4(cm2)，所以至少需要絨布的面積為785.4cm2.課時(shí)精練1．下列說法正確的是()A．棱柱的兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面B．有兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C．如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐可能為六棱錐D．如果一個(gè)棱柱的所有面都是長(zhǎng)方形，那么這個(gè)棱柱是長(zhǎng)方體答案D解析選項(xiàng)A，例如六棱柱的相對(duì)側(cè)面也互相平行，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，其余各面的邊延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，當(dāng)棱錐的各個(gè)側(cè)面共頂點(diǎn)的角的角度之和是360°時(shí)，各側(cè)面構(gòu)成平面圖形，故這個(gè)棱錐不可能為六棱錐，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，若每個(gè)側(cè)面都是長(zhǎng)方形，則說明側(cè)棱與底面垂直，又底面也是長(zhǎng)方形，符合長(zhǎng)方體的定義，故D正確．2．(2023·淄博模擬)若圓錐的母線長(zhǎng)為2eq\r(3)，側(cè)面展開圖的面積為6π，則該圓錐的體積是()A.eq\r(3)πB．3πC．3eq\r(3)πD．9π答案B解析設(shè)圓錐的高為h，底面圓半徑為r，因?yàn)槟妇€長(zhǎng)為2eq\r(3)，所以側(cè)面展開圖的面積為πr×2eq\r(3)＝6π，解得r＝eq\r(3)，所以h＝eq\r(2\r(3)2－\r(3)2)＝3，所以圓錐的體積V＝eq\f(1,3)π×(eq\r(3))2×3＝3π.3.如圖是用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的△AOB的直觀圖(圖中虛線分別與x′軸、y′軸平行)，則原圖形△AOB的面積是()A．8 B．16C．32 D．64答案C解析根據(jù)題意，如圖，原圖形△AOB的底邊OB的長(zhǎng)為4，高為16，所以其面積S＝eq\f(1,2)×4×16＝32.4．(2023·莆田模擬)已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)面積為2π的半圓，則該圓錐的高為()A.eq\f(\r(5),2)B．1C.eq\r(2)D.eq\r(3)答案D解析設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，圓錐的底面圓半徑為r，如圖．由于圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(πl(wèi)＝2πr，,πrl＝2π，))解得r2＝1，l2＝4，則圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(3).5．(2020·北京)某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為()A．6＋eq\r(3)B．6＋2eq\r(3)C．12＋eq\r(3)D．12＋2eq\r(3)答案D解析由三視圖還原幾何體，該幾何體為直三棱柱，其底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，高為2.S底＝2×eq\f(\r(3),4)×22＝2eq\r(3)，S側(cè)＝3×2×2＝12，則三棱柱的表面積為12＋2eq\r(3).6.如圖，在水平地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為12，底面圓的半徑等于4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)P處，則小蟲爬行的最短路程為()A．12eq\r(3) B．16C．24 D．24eq\r(3)答案A解析如圖，設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為θ，則由題意可得2π×4＝12θ，則θ＝eq\f(2π,3)，在△POP′中，OP＝OP′＝12，則小蟲爬行的最短路程為PP′＝eq\r(122＋122－2×12×12×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝12eq\r(3).時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為(eq\r(7)≈2.65)()A．1.0×109m3 B．1.2×109m3C．1.4×109m3 D．1.6×109m3答案C解析如圖，由已知得該棱臺(tái)的高為157．5－148.5＝9(m)，所以該棱臺(tái)的體積V＝eq\f(1,3)×9×(140＋eq\r(140×180)＋180)×106＝60×(16＋3eq\r(7))×106≈60×(16＋3×2.65)×106＝1.437×109≈1.4×109(m3)．故選C.8.如圖，在正四棱錐P－ABCD中，B1為PB的中點(diǎn)，D1為PD的中點(diǎn)，則棱錐A－B1CD1與棱錐P－ABCD的體積之比是()A．1∶4B．3∶8C．1∶2D．2∶3答案A解析棱錐A－B1CD1的體積可以看成是正四棱錐P－ABCD的體積減去角上的四個(gè)小棱錐的體積得到的．因?yàn)锽1為PB的中點(diǎn)，D1為PD的中點(diǎn)，所以棱錐B1－ABC的體積和棱錐D1－ACD的體積都是正四棱錐P－ABCD的體積的eq\f(1,4)，棱錐C－PB1D1的體積與棱錐A－PB1D1的體積之和是正四棱錐P－ABCD的體積的eq\f(1,4)，則中間剩下的棱錐A－B1CD1的體積＝VP－ABCD－3×eq\f(1,4)VP－ABCD＝eq\f(1,4)VP－ABCD，則∶VP－ABCD＝1∶4.9.某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.eq\f(π,2)＋1 B.eq\f(π,2)＋3C.eq\f(3π,2)＋1 D.eq\f(3π,2)＋3答案A解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為3的圓錐的一半與一個(gè)三棱錐的組合體，三棱錐的底面為直角邊長(zhǎng)是eq\r(2)的等腰直角三角形，高為3，∴該幾何體體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)π×12×3＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×3＝eq\f(π,2)＋1.10．(2022·張家口模擬)陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅．圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中B，C分別是上、下底面圓的圓心，且AC＝3AB＝3BD，則該陀螺下半部分的圓柱的側(cè)面積與上半部分的圓錐的側(cè)面積的比值是________．答案2eq\r(2)解析設(shè)AB＝BD＝m，則AD＝eq\r(2)m，因?yàn)锳C＝3AB＝3m，所以BC＝2m，則圓柱的側(cè)面積S1＝2πr·BC＝4πm2，圓錐的側(cè)面積S2＝πr×AD＝eq\r(2)πm2，故eq\f(S1,S2)＝eq\f(4πm2,\r(2)πm2)＝2eq\r(2).11.如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1的體積為V，點(diǎn)M，N分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則棱錐B－AMNC的體積為________．答案eq\f(1,3)V解析如圖，連接AN，對(duì)于三棱錐B－ACN，B－AMN，顯然它們等底同高，故VB－ACN＝VB－AMN，而VB－ACN＝VN－ABC，注意到CN＝C1N，于是三棱錐N－ABC的高是三棱柱ABC－A1B1C1的一半，且它們都以△ABC為底面，故VN－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)V＝eq\f(1,6)V，故VB－AMNC＝2×eq\f(1,6)V＝eq\f(1,3)V.12.某同學(xué)的通用技術(shù)作品如圖所示，該作品由兩個(gè)相同的正四棱柱制作而成．已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為3cm，這兩個(gè)正四棱柱的公共部分構(gòu)成的多面體的面數(shù)為________，體積為________cm3.答案818eq\r(2)解析公共部分是兩個(gè)正四棱錐且底面重疊的空間幾何體，共8面．四棱錐底面是以3eq\r(2)為邊長(zhǎng)的正方形，S＝18，其中一個(gè)正四棱錐的高為eq\f(3\r(2),2).∴V＝eq\f(1,3)×18×eq\f(3\r(2),2)×2＝18eq\r(2)(cm3)．13．(2022·徐州模擬)如圖，一個(gè)裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落處，容器與地面所成的角為30°，液面呈橢圓形，橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)M，N到容器底部的距離分別是12和18，則容器內(nèi)液體的體積是()A．15πB．36πC．45πD．48π答案C解析如圖為圓柱的軸截面圖，過M作容器壁的垂線，垂足為F，因?yàn)镸N平行于地面，故∠MNF＝30°，因?yàn)闄E圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)M，N到容器底部的距離分別是12和18，故NF＝18－12＝6，在Rt△MFN中，MF＝NF×tan30°＝2eq\r(3)，即圓柱的底面半徑為eq\r(3)，所以容器內(nèi)液體的體積等于一個(gè)底面半徑為eq\r(3)，高為(12＋18)的圓柱體積的一半，即為eq\f(1,2)×π×(eq\r(3))2×(12＋18)＝45π.14．(2022·全國(guó)甲卷)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙．若eq\f(S甲,S乙)＝2，則eq\f(V甲,V乙)等于()A.eq\r(5)B．2eq\r(2)C.eq\r(10)D.eq\f(5\r(10),4)答案C解析方法一由甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，結(jié)合eq\f(S甲,S乙)＝2，可知甲、乙兩個(gè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角之比是2∶1.不妨設(shè)兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為l＝3，甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，則由題意知，兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖剛好可以拼成一個(gè)周長(zhǎng)為6π的圓，所以2πr1＝4π，2πr2＝2π，得r1＝2，r2＝1.由勾股定理得，h1＝eq\r(l2－r\o\al(2,1))＝eq\r(5)，h2＝eq\r(l2－r\o\a