高中數(shù)學復習-導數(shù)與復數(shù)試題

1.導數(shù)的計算。

5工2+3r—\[x

例1求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y=sin(3x+l)；(2)y=-----------—；(3)y=ecos2x；(4)

x

y=ln(x+Vx2—1)；(5)y=(l-2x)x(x>0且x<()0

[解](1)/=cos0x4-1)-(3x+1)*=3cos(3x+l).

(5x2+3x-y[x)'-x-(5x2+3x-Vx)-(x)1

1Ox+3尸x—5廠+3x+^-x

=12?)_________________

(3)y=ecos2x?(cos2x),=6?cos2x-(-sin2x)-(2x),=-2^cos2x-sin2x.

]_____1(A

(4)y=——+&_])，=——^=.J^+i

X+yjX~—1X+yjX~—1、個X?—1,

1

xxn(2x)x,n(M

(5)/=[(!-2x)]=[e''-],=e'-(xln(l-2x))'

2x

=(l-2x)xln(l-2x)-------.

\-2x

2.用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。

例2設a>0,求函數(shù)f(x)=4x-In(x+a)(x(0,+°°))的單調(diào)區(qū)間。

[解]/'(%)=—7=--------(X>0),因為x>0,a>0,所以/'(x)>0=x2+(2a-4)x+a2>0；

2j尤x+a

f\x)<0<=>xJ+(2a-4)x+a+<0.

(1)當a>l時，對所有x>0,有x2+(2a-4)x+a2>0,即(x)>0,f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

(2)當a=l時,對x#4,有/+(23-4)*+」2>0,BPf\x)>0,所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)

遞增，在(1,+8)內(nèi)遞增，又f(x)在x=l處連續(xù)，因此f(x)在(0,+8)內(nèi)遞增；(3)當

O〈a〈l時，令/'(%)>(),B|Jx2+(2a_4)x+a2>0,x<2_a_2^J1—tzx>2-a+2A/1—,因

此，￡6)在(0,2-@-2乒￡)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2-a+2ji二Z,+8)內(nèi)也單調(diào)遞增，而當

2-a-2J1-ci<x<2-a+2J1-a時，x2+(2a-4)x+a2<0,即f\x)<0,所以f(x)在

(2-a~2jl-a,2-a+2jl-a)內(nèi)單調(diào)遞減。

3.利用導數(shù)證明不等式。

例3設X￡(0,—),求證：sinx+tanx>2x.

JT

［證明］設f(x)=sinx+tanx-2x,則f'(x)=cosx+sec2x-2,當xG(0,—)時,

1I1-9

cOJSH----；—>2cOJS----；-=..>2(因為(KcosxG)，所以

cosxVco-sxJcOJS

f'(x)=cosx+sec2x-2=cosx+—---2>0.又f(x)在，0,二］上連續(xù)，所以f(x)在(0,二］

cosxk2)I2J

上單調(diào)遞增，所以當x￡時，f(x)>f(0)=0,即sinx+tanx>2x.

4.利用導數(shù)討論極值。

2

例4設f(x)=alnx+bx+x在xi=l和x2=2處都取得極值,試求a與b的值，并指出這時f(x)

在Xi與X2處是取得極大值還是極小值。

［解］因為f(x)在(0,+8)上連續(xù)，可導，又f(x)在XFI,X2=2處取得極值，所以

2

Q+2b+1=0,Q二一

/'(l)=/'(2)=0,又/'(x)=@+2bx+l,所以.a解得<

x-+4/?+l=0,

12b

6-

2i91(D(2T)

所以/(幻=——In%——x2+x,f\x)=----------x+1=

363x33x

所以當xe(0,l)時，f(x)<0,所以f(x)在(0,1］上遞減;

當xe(l,2)時，所以f(x)在［L2］上遞增;

當x￡(2,+8)時，r(x)v0,所以f(x)在［2,+8)上遞減。

綜上可知f(x)在XLI處取得極小值，在xz=2處取得極大值。

例5設x￡［o,n］,yG［0,1］,試求函數(shù)f(x,y)=(2yT)sinx+(l-y)sin(l-y)x的最小值。

［解］首先，當x￡［0,兀］,yW［0,l］時，

f(x,y)=(2y-l)sinx+(l-y)sin(1-y)x=(l-y)2x~——\r?向'=(l"y)2x

(l-y)x(1-y)x

2

sin(l-y)xsinxysinx令g(x)=M：

----------------------------------------1----------------Z--------------

(1-y)xx(l—y)~xX

,z、cosx(x-tanx)z"、

g(x)=—?—叱耳)，

當xe*時，因為cosx>0,tanx>x,所以g'(%)vO；

當X￡時'因為cosx<0,tanx<0,x-tanx>0,所以g'(x)<0；

又因為g(x)在(0,兀)上連續(xù)，所以g(x)在(0,IT)上單調(diào)遞減。

又因為0<(l-y)x<x〈B,所以g[(l-y)x]>g(x),即皿二把—千>0,

(l—y)xx

2?

又因為y，?吧>0,所以當xG(0,n),yG(0,1)時，f(x,y)>0.

(1-y)X

其次,當x=0時，f(x,y)=0；當x=n時,f(x,y)=(l-y)sin(l-y)n>0.

當y=l時，f(x,y)二-sinx+sinx=0；當y=l時，f(x,y)二sinxNO.

綜上，當且僅當x=0或y=0或x=Ji且y=l時，f(x,y)取最小值0。

1.(2009全國卷I理)已知直線y=x+l與曲線y=ln(x+a)相切，則a的值為()

A.1.2C.-lD.-2

答案B

1

解:設切點P(x,%),則為=%()+L%=ln(%o+。)，又：y|=------=1

0v=x0

x0+a

:.x^+a-\%=0,%o=-1a=2.故答案選B

2.(2009安徽卷理)已知函數(shù)/(x)在R上滿足/(x)=2/(2-乃一公+8%-8,則曲線

y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程是()

A.y=2x—1B.y=xC.y=3x-2D.y=—2x+3

答案A

解析由/(刈=2/(2-幻一》2+8》—8得幾何

/Q_x)=2于(x)—(2—x)~+8(2—x)—8,

即27(%)-/(2-幻=1+48-4,二/(幻=/二,(乃=2%,.?.切線方程

y—l=2(x—l),即2x-y_l=0選A

15

3.(2009江西卷文)若存在過點(1,0)的直線與曲線y=V和丁=依02+jx—9者K相切，則

a等于()

…25B.-1或4C.二或-紀D.-工或7

A.一1或一一

6444644

答案A

解析設過(1,0)的直線與y=V相切于點(%,/3),所以切線方程為

1

y-xj=3XQ(X-XQ)

即,=3工02彳一2/3,又(1,0)在切線上，則%=0或%=—1，

1525

當天=0時，由y=0與>=依2+[X—9相切可得。=一公，

3?72715

當改)二一二時，由丁=—x----與》=辦2+一1一9相切可得。=一1,所以選A.

°2444

4.(2009遼寧卷理)若再滿足2x+2'=5,當滿足2x+21og2(x—1)=5,x,+x2=()

57

A.-B.3C.-D.4

22

答案C

解析由題意2%+2'5①

2x2+21o姨卜=1)②

所以以=5-2%,%]=log2(5-2^)

即2x,=21og2(5-2%)

令2xi=7-2t,代入上式得7—2t=21og2(2t—2)=2+21og2(t-l)

???5—2t=21og2(Ll)與②式比較得t=x2

于是2xi=7-2x2

5.(2009天津卷理)設函數(shù)/(工)=；]-111工。＞0),則＞=/(九)()

A在區(qū)間(2,1),(1,e)內(nèi)均有零點。

e

B在區(qū)間(L1),(1,e)內(nèi)均無零點。

e

C在區(qū)間(L1)內(nèi)有零點，在區(qū)間(Le)內(nèi)無零點。

e

D在區(qū)間(1,1)內(nèi)無零點,在區(qū)間(1,e)內(nèi)有零點。

11x-3

解析：由題得「(x)=-----=-----,令廣(x)>0得x>3；令廣(x)<0得

3x3x

0<x<3；/'(x)=0得x=3,故知函數(shù)“X)在區(qū)間(0,3)上為減函數(shù),在區(qū)間(3,+8)

為增函數(shù)，在點x=3處有極小值1-In3<0；又

/(l)=^,/(e)=1-l<0,/(-)=^-+l>0,故選擇D。

33e

6.若曲線/(x)=O?+〃比存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)。的取值范圍是________；

解析由題意該函數(shù)的定義域x>0,由/(x)=2or+2。因為存在垂直于y軸的切線，

故此時斜率為0,問題轉(zhuǎn)化為x〉0范圍內(nèi)導函數(shù)f(x)=2以+J存在零點。

解法(分離變量法)上述也可等價于方程2or+J=0在(0,+?)內(nèi)有解，顯然可得

"一54-oo.O)

7.(2009陜西卷理)設曲線'=》"|(〃€篦)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為

，令an=lgxn,則q+%+…+時的值為,

答案-2

解析：點(1,1)在函數(shù)y=x向("eN*)的圖像上,；.(1,1)為切點，

y=x"的導函數(shù)為y，=("+l)x"=>曠'|.曰=〃+1=>切線是：y-l=("+l)(x-l)

令y=0得切點的橫坐標：%?=—

H+1

4+生+…+%9=1g%/2…X99=lg11?二噌黑二但士=—2

Z3W1UU1UU

8(2010.全國1文).設/(%)=/一3％2—2X+5,當xe［-2,2］時，/(幻―m<0恒成

立，求實數(shù)機的取值范圍.

【解析】：f1(x)=3x2-x-2,由，(x)>0得3--x-2>0,即工<_2或X>1；

3

由廣。)<0得3/7_2<0即二<”1,所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間是(_8二)，

3'3

(1,+8)；

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(-■!，［)。由/(X)〈根恒成立，〃2大于/(X)的最大值。

當xe[—2,2]時,⑴當?shù)玙2,二]時，/（x）為增函數(shù),所以/（%=/（一|）=招;

⑵當x寸同時，/（X）為減函數(shù)，所以y（x）max=/（-|）=J|Z;（3）^%e[1,2],

/（X）為增函數(shù),所以〃x）z=A2）=7；因為7＞巨，從而加＞7

27

復數(shù)

1.（2009年廣東卷文）下列n的取值中，使i"=l（i是虛數(shù)單位）的是()

A.n=2B.n=3C.n=4D.n=5

【解析】因為r=1,故選C.

答案c

2.（2009廣東卷理）設z是復數(shù)，a（z）表示滿足z"=l的最小正整數(shù)〃，則對虛數(shù)單

位i,a(i)-()

A.8B.6C.4D.2

【解析】a(i)=i"=l,則最小正整數(shù)〃為4,選C.

答案C

2

3.(2009浙江卷理)設z=l+i(i是虛數(shù)單位)，則一+z?=()

z

A.-1—zB.-1+/C.1-zD.1+z

22

【解析】對于-+Z?=—+(1+Z)2=1-Z+2/=1+Z

Z1+Z

答案D

2

4.(2009浙江卷文)設z=l+i(i是虛數(shù)單位)，則一+z2=()

Z

A.l+iB.-1+iC.1—iD.—1—i

2?

【解析】對于一+z2=——+(l+z)2=l-J+2z=l+z

z1+z

答案D

5.(2009北京卷理)在復平面內(nèi)，復數(shù)z=i(l+2i)對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解析】?.?z=i(l+2i)=i+2i=-2+i,.?.復數(shù)z所對應的點為(一2,1),故選B.

答案B

6.（2009山東卷理）復數(shù)匕等于

)

1-z

A.l+2zB.l-2zC.2+ZD.2—z

3-z(3-/)(1+/)3+2/-Z24+2z

【解析】：=2+i,故選C.

1-z(l-z)(l+z)1-z22

答案C

7.（2009山東卷文）復數(shù)三■等于

)

1-z

A.1+2iB.1—2zC.2+iD.2—z

3-z(3-z)(l+z)3+2”，生@=2+i,故選C.

【解析】：

1-z(l-z)(l+z)1-i22

答案C

7

8.（2009全國卷I理）已知丁=2+i,則復數(shù)z=()

1+i

(A)-l+3i(B)l-3i(C)3+i(D)3-i

【解析】z=(l+z)-(2+z)=l+3z,.-.z=l-3z故選B。

答案B

9.（2009安徽卷理）i是虛數(shù)單位，若----=a+bi（a,b&R）,則乘積ah的值是（）

2-z

（A）-15（B）-3（C）3（D）15

【解析】=-+力）（2+1）=_]+3??,:.a=-l,b=3,ab=-3,選B。

2-z5

答案B

10.（2009安徽卷文）i是虛數(shù)單位，i（1+i）等于（）

A.1+iB.-1-iC.1-iD.-1+i

【解析】依據(jù)虛數(shù)運算公式可知『=一1可得i（l+i）=i-L選D.

答案D

11.（2009江西卷理）若復數(shù)2=，-1）+（彳-a為純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為（）

A.-1B.0C.1D.-1或1

v-2_10

【解析】由4-=nx=—1故選A

x-1^0

答案A

12.（2009湖北卷理）投擲兩顆骰子，得到其向上的點數(shù)分別為m和n,則復數(shù)（m+ni）（n-mi）

為實數(shù)的概率為