2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題專題11矩形的存在性問題(學(xué)生版+解析)

專題11矩形的存在性問題一、知識導(dǎo)航矩形的判定：（1）有一個角是直角的平行四邊形；（2）對角線相等的平行四邊形；（3）有三個角為直角的四邊形．【題型分析】矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對角線相等”或“內(nèi)角為直角”，因此相比起平行四邊形，坐標系中的矩形滿足以下3個等式：（AC為對角線時）因此在矩形存在性問題最多可以有3個未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．確定了有3個未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個動點，多則可以有3個．題型如下：（1）2個定點+1個半動點+1個全動點；（2）1個定點+3個半動點．【解析思路】思路1：先直角，再矩形在構(gòu)成矩形的4個點中任取3個點，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點，可先確定其中3個點構(gòu)造直角三角形，再確定第4個點．對“2定+1半動+1全動”尤其適用．二、典例精析引例：已知A（1，1）、B（4，2），點C在x軸上，點D在平面中，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是矩形，求D點坐標．【分析】點C滿足以A、B、C為頂點的三角形是直角三角形，構(gòu)造“兩線一圓”可得滿足條件的點C有、、、在點C的基礎(chǔ)上，借助點的平移思路，可迅速得到點D的坐標．【小結(jié)】這種解決矩形存在性問題的方法相當于在直角三角形存在性問題上再加一步求D點坐標，也是因為這兩個圖形之間的密切關(guān)系方能如此．思路2：先平行，再矩形當AC為對角線時，A、B、C、D滿足以下3個等式，則為矩形：其中第1、2個式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形．表示出點坐標后，代入點坐標解方程即可．無論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對于我們列方程來解都沒什么區(qū)別，能得到的都是三元一次方程組．已知A（1，1）、B（4，2），點C在x軸上，點D在坐標系中，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是矩形，求D點坐標．【分析】設(shè)C點坐標為（a，0），D點坐標為（b，c），又A（1，1）、B（4，2）．先考慮平行四邊形存在性：（1）AB為對角線時，，滿足此條件的C、D使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，另外AB=CD，得：，綜合以上可解：或．故C（3，0）、D（2，3）或C（2，0）、D（3，3）．（2）AC為對角線時，，另外AC=BD，得，綜合以上可解得：．故C、D．（3）AD為對角線時，，另外AD=BC，得，綜合以上可解得：．故C、D．【小結(jié)】這個方法是在平行四邊形基礎(chǔ)上多加一個等式而已，剩下的都是計算的故事．三、中考真題演練1．（2023·遼寧丹東·中考真題）拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的表達式；(3)若點P是拋物線上的一個動點（點P不與頂點重合），點M是拋物線對稱軸上的一個點，點N在坐標平面內(nèi)，當四邊形是矩形鄰邊之比為時，請直接寫出點P的橫坐標．2．（2023·海南·中考真題）如圖1，拋物線交x軸于A，兩點，交y軸于點．點P是拋物線上一動點．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(3)當動點P在直線上方時，在平面直角坐標系是否存在點Q，使得以B，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；3．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點分別為和（點在點的左側(cè)），與軸交于點，點是直線上方拋物線上一動點．(1)求拋物線的解析式；(3)如圖2，設(shè)點為拋物線對稱軸上一動點，當點，點運動時，在坐標軸上確定點，使四邊形為矩形，求出所有符合條件的點的坐標．6．（2022·黑龍江綏化·中考真題）如圖，拋物線交y軸于點，并經(jīng)過點，過點A作軸交拋物線于點B，拋物線的對稱軸為直線，D點的坐標為，連接，，.點E從A點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿著射線運動，設(shè)點E的運動時間為m秒，過點E作于F，以為對角線作正方形．(1)求拋物線的解析式；(3)在運動的過程中，是否存在以B，G，C和平面內(nèi)的另一點為頂點的四邊形是矩形，如果存在，直接寫出點G的坐標，如果不存在，請說明理由．7．（2022·貴州黔東南·中考真題）如圖，拋物線的對稱軸是直線，與軸交于點，，與軸交于點，連接．(1)求此拋物線的解析式；(3)已知點是拋物線對稱軸上的點，在坐標平面內(nèi)是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．8.（2022·湖北隨州·中考真題）如圖1，平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸分則點A和點，與y軸交于點C，對稱軸為直線，且，P為拋物線上一動點．(1)直接寫出拋物線的解析式；(3)設(shè)M為拋物線對稱軸上一動點，當P，M運動時，在坐標軸上是否存在點N，使四邊形PMCN為矩形？若存在，直接寫出點P及其對應(yīng)點N的坐標；若不存在，請說明理由．專題11矩形的存在性問題一、知識導(dǎo)航矩形的判定：（1）有一個角是直角的平行四邊形；（2）對角線相等的平行四邊形；（3）有三個角為直角的四邊形．【題型分析】矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對角線相等”或“內(nèi)角為直角”，因此相比起平行四邊形，坐標系中的矩形滿足以下3個等式：（AC為對角線時）因此在矩形存在性問題最多可以有3個未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．確定了有3個未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個動點，多則可以有3個．題型如下：（1）2個定點+1個半動點+1個全動點；（2）1個定點+3個半動點．【解析思路】思路1：先直角，再矩形在構(gòu)成矩形的4個點中任取3個點，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點，可先確定其中3個點構(gòu)造直角三角形，再確定第4個點．對“2定+1半動+1全動”尤其適用．二、典例精析引例：已知A（1，1）、B（4，2），點C在x軸上，點D在平面中，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是矩形，求D點坐標．【分析】點C滿足以A、B、C為頂點的三角形是直角三角形，構(gòu)造“兩線一圓”可得滿足條件的點C有、、、在點C的基礎(chǔ)上，借助點的平移思路，可迅速得到點D的坐標．【小結(jié)】這種解決矩形存在性問題的方法相當于在直角三角形存在性問題上再加一步求D點坐標，也是因為這兩個圖形之間的密切關(guān)系方能如此．思路2：先平行，再矩形當AC為對角線時，A、B、C、D滿足以下3個等式，則為矩形：其中第1、2個式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形．表示出點坐標后，代入點坐標解方程即可．無論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對于我們列方程來解都沒什么區(qū)別，能得到的都是三元一次方程組．已知A（1，1）、B（4，2），點C在x軸上，點D在坐標系中，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是矩形，求D點坐標．【分析】設(shè)C點坐標為（a，0），D點坐標為（b，c），又A（1，1）、B（4，2）．先考慮平行四邊形存在性：（1）AB為對角線時，，滿足此條件的C、D使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，另外AB=CD，得：，綜合以上可解：或．故C（3，0）、D（2，3）或C（2，0）、D（3，3）．（2）AC為對角線時，，另外AC=BD，得，綜合以上可解得：．故C、D．（3）AD為對角線時，，另外AD=BC，得，綜合以上可解得：．故C、D．【小結(jié)】這個方法是在平行四邊形基礎(chǔ)上多加一個等式而已，剩下的都是計算的故事．三、中考真題演練1．（2023·遼寧丹東·中考真題）拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的表達式；(3)若點P是拋物線上的一個動點（點P不與頂點重合），點M是拋物線對稱軸上的一個點，點N在坐標平面內(nèi)，當四邊形是矩形鄰邊之比為時，請直接寫出點P的橫坐標．【分析】（1）將點，代入解析式即可求解；（3）①當在對稱軸的左側(cè)時，得到是矩形，鄰邊之比為，即，即可求解；②當在對稱軸的右側(cè)時，同理可求．【詳解】（1）解：由題意得解得，故拋物線的表達式；（3）解：設(shè)點，，當四邊形是矩形時，則為直角，①當在對稱軸的左側(cè)時，如圖，過作軸交軸于，交過作軸的平行線于，

，∵為直角，則，∵，∴，∴，∵是矩形鄰邊之比為，即或，即和的相似比為或，即，由題意得：，，∴，則，即，解得：，（不符合題意，舍去）；②當在對稱軸的右側(cè)時，

同理可得：，解得：，綜上，或．2．（2023·海南·中考真題）如圖1，拋物線交x軸于A，兩點，交y軸于點．點P是拋物線上一動點．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(3)當動點P在直線上方時，在平面直角坐標系是否存在點Q，使得以B，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（3）當為矩形的邊時，畫出符合題意的矩形，交y軸于點E，交x軸于點F，連接，過點P作軸于點M，過點Q作軸于點N，利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)及矩形的判定與性質(zhì)得到，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立方程組求得點P的坐標，則，進而得到、的長度，即可得出結(jié)果；當為對角線時，畫出相應(yīng)的圖形，求出結(jié)果即可；【詳解】（1）解：由題意可得，，解得，∴拋物線的解析式為；（3）解：在平面直角坐標系內(nèi)存在點Q，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是矩形，理由如下：如圖，當為邊時，四邊形為符合條件的矩形，交y軸于點E，交x軸于點F，連接，過點P作軸于點M，過點Q作軸于點N，∵，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴，∴和為等腰直角三角形，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴和為全等的等腰直角三角形，∴，∵，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，聯(lián)立方程組得，解得或，∴，∴，∴，∴，∴；如圖，當為對角線時，四邊形為矩形，過點Q作軸于點D，軸于點E，則，，∵，∴，∴，∴，設(shè)點P的坐標為：，，∵，，∴，，∴，∴，，，，∴，整理得：，分解因式得：，解得：（舍去），（舍去），，∴此時點Q的坐標為：．綜上所述，在平面直角坐標系內(nèi)存在點Q，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是矩形，此時點Q的坐標為或；3．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點分別為和（點在點的左側(cè)），與軸交于點，點是直線上方拋物線上一動點．(1)求拋物線的解析式；(3)如圖2，設(shè)點為拋物線對稱軸上一動點，當點，點運動時，在坐標軸上確定點，使四邊形為矩形，求出所有符合條件的點的坐標．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，與軸交于點解得拋物線的解析式為：；（3）解：，則拋物線的頂點，對稱軸為，情況一：當點在軸上時，為拋物線的頂點，∵四邊形為矩形，∴與縱坐標相同，∴；情況二：當點在軸負半軸上時，四邊形為矩形，過作軸的垂線，垂足為，過作軸的垂線，垂足為，設(shè)，則，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵拋物線對稱軸為，點在對稱軸上，，∴，，∴，即，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴點的坐標為，∵點在拋物線上，∴，解得，（舍去），∴，綜上所述：符合條件的點坐標為：或．4．（2022·遼寧丹東·中考真題）如圖1，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點，與y軸交于點C，點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點P作PD⊥x軸，垂足為D，PD交直線BC于點E，設(shè)點P的橫坐標為m．(1)求拋物線的表達式；(4)如圖3，連接CP，當四邊形OCPD是矩形時，在拋物線的對稱軸上存在點Q，使原點O關(guān)于直線CQ的對稱點O′恰好落在該矩形對角線所在的直線上，請直接寫出滿足條件的點Q的坐標．【詳解】（1）解：∵拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點，∴，解得：，∴拋物線的表達式為y＝x2+x+3；（4）解：∵拋物線y＝x2+x+3，∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝2，∵點Q在拋物線的對稱軸上，∴設(shè)Q（2，t），設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點H，交CP邊于點G，則GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，①當點O′恰好落在該矩形對角線OD所在的直線上時，如圖，則CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OD，∴∠COP+∠OCQ＝90°，又∵四邊形OCPD是矩形，∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，∴∠PCQ+∠OCQ＝90°，∴∠PCQ＝∠COP，∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝＝，∴＝tan∠PCQ＝，∴＝，解得：t＝，∴Q（2，）；②當點O′恰好落在該矩形對角線CD上時，如圖，連接CD交GH于點K，∵點O與點O′關(guān)于直線CQ對稱，∴CQ垂直平分OO′，∴∠OCQ＝∠DCQ，∵GH//OC，∴∠CQG＝∠OCQ，∴∠DCQ＝∠CQG，∴CK＝KQ，∵C、P關(guān)于對稱軸對稱，即點G是CP的中點，GH//OC//PD，∴點K是CD的中點，∴K（2，），∴GK＝，∴CK＝KQ＝﹣t，在Rt△CKG中，CG2+GK2＝CK2，∴22+（）2＝（﹣t）2，解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣1，∴Q（2，﹣1）；③當點O′恰好落在該矩形對角線DC延長線上時，如圖，過點O′作O′K⊥y軸于點K，連接OO′交CQ于點M，∵點O與點O′關(guān)于直線CQ對稱，∴CQ垂直平分OO′，∴∠OCM＝∠O′CM，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3，∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO，∴△O′CK∽△DCO，∴＝＝，即＝＝，∴O′K＝，CK＝，∴OK＝OC+CK＝3+＝，∴O′（﹣，），∵點M是OO′的中點，∴M（﹣，），設(shè)直線CQ的解析式為y＝k′x+b′，則，解得：，∴直線CQ的解析式為y＝x+3，當x＝2時，y＝×2+3＝4，∴Q（2，4）；綜上所述，點Q的坐標為（2，）或（2，﹣1）或（2，4）．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，軸對稱性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題．5．（2022·貴州黔西·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，經(jīng)過點的直線AB與y軸交于點．經(jīng)過原點O的拋物線交直線AB于點A，C，拋物線的頂點為D．(1)求拋物線的表達式；(3)P是拋物線上一動點，Q是平面直角坐標系內(nèi)一點．是否存在以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(3)存在，或或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（3）畫出圖形，分AC是四邊形的邊和AC是四邊形的對角線，進行討論，利用勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、函數(shù)圖像的交點、平移等知識點進行解答即可得出答案．【詳解】（1）解：∵拋物線過點，∴，解得，∴拋物線的表達式為．（3）存在．滿足條件的點Q的坐標有4個．，，，．理由如下：①如圖，若AC是四邊形的邊．當時，∴拋物線的對稱軸與直線AB相交于點．過點C，A分別作直線AB的垂線交拋物線于點，，∵，，∴，，．∵，∴．∴．∴點與點D重合．當時，四邊形是矩形．∵向右平移1個單位，向上平移1個單位得到．∴向右平移1個單位，向上平移1個單位得到．此時直線的解析式為．∵直線與平行且過點，∴直線的解析式為．∵點是直線與拋物線的交點，∴．解得，（舍去）．∴．當時，四邊形是矩形．∵向左平移3個單位，向上平移3個單位得到．∴向左平移3個單位，向上平移3個單位得到．②如圖，若AC是四邊形的對角線，當時．過點作軸，垂足為H，過點C作，垂足為K．可得，．∴．∴．∴．∵點P不與點A，C重合，∴和．∴．∴．∴如圖，滿足條件的點P有兩個．即，．當時，四邊形是矩形．∵向左平移個單位，向下平移個單位得到．∴向左平移個單位，向下平移個單位得到．當時，四邊形是矩形．∵向右平移個單位，向上平移個單位得到．∴向右平移個單位，向上平移個單位得到．綜上，滿足條件的點Q的坐標為或或或．【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，本題主要涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、勾股定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，點的平移等知識，根據(jù)題意畫出符合條件的圖形、進行分類討論是解題的關(guān)鍵．6．（2022·黑龍江綏化·中考真題）如圖，拋物線交y軸于點，并經(jīng)過點，過點A作軸交拋物線于點B，拋物線的對稱軸為直線，D點的坐標為，連接，，.點E從A點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿著射線運動，設(shè)點E的運動時間為m秒，過點E作于F，以為對角線作正方形．(1)求拋物線的解析式；(3)在運動的過程中，是否存在以B，G，C和平面內(nèi)的另一點為頂點的四邊形是矩形，如果存在，直接寫出點G的坐標，如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(3)或（3，-3）或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；（3）將矩形轉(zhuǎn)化為直角三角形，當△BGC是直角三角形時，當△BCG為直角三角形時，當△CBG為直角三角形時，分情況討論分別列出等式求得m的值，即可求得G點坐標．【詳解】（1）將點A（0，-4）、C（6，0）代入解析式中，以及直線對稱軸，可得，解得，∴拋物線的解析式為；（3）B（4，-4），C（6，0），，∴,，,要使以B，G，C和平面內(nèi)的另一點為頂點的四邊形是矩形，需滿足：當△BGC是直角三角形時，，，解得，，，此時G或（3，-3）；當△BCG為直角三角形時，，，解得，，此時G；當△CBG為直角三角形時，，，解得，，此時G；綜上所述：點G坐標為或（3，-3）或．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，動點運動問題，存在矩形問題，利用數(shù)形結(jié)合，注意分情況討論是解題的關(guān)鍵．7．（2022·貴州黔東南·中考真題）如圖，拋物線的對稱軸是直線，與軸交于點，，與軸交于點，連接．(1)求此拋物線的解析式；(3)已知點是拋物線對稱軸上的點，在坐標平面內(nèi)是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(3)存在點的坐標為（4，1）或（-2，1）或或．【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸是直線，可得a=-1，再把點代入，即可求解；（3）設(shè)點E（1，n），點F（s，t），然后分兩種情況討論：當BC為邊時，當BC為對角線時，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸是直線，∴，解得：a=-1，∵拋物線過點，∴，解得：c