2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義第十章10.3　二項(xiàng)式定理(學(xué)生版+解析)

§10.3二項(xiàng)式定理考試要求能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題．知識(shí)梳理1．二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝______________________(n∈N*)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝________________，它表示展開式的第________項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)________(k＝0,1，…，n)2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)________．(2)增減性與最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)________________取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)________________與________________相等，且同時(shí)取得最大值．(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝________.常用結(jié)論1．Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.2．Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n的展開式中的第k項(xiàng)．()(2)(a＋b)n的展開式中每一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無(wú)關(guān)．()(3)通項(xiàng)公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk中的a和b不能互換．()(4)二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)最大項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是相同的．()教材改編題1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\r(x)))10的展開式中x2的系數(shù)等于()A．45B．20C．－30D．－902．已知Ceq\o\al(0,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋23Ceq\o\al(3,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n)＝243，則Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)等于()A．31B．32C．15D．163．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))n的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為________．題型一通項(xiàng)公式的應(yīng)用命題點(diǎn)1形如(a＋b)n(n∈N*)的展開式的特定項(xiàng)例1(1)二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))－x2))10的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是()A．－45B．－10C．45D．65聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))5的展開式中x5的系數(shù)為A，x2的系數(shù)為B，若A＋B＝11，則a＝______.聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)2形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開式問(wèn)題例2(1)(1＋x)8(1＋y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是()A．56B．84C．112D．168聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,x2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))6的展開式中x－2的系數(shù)為75，則a等于()A．－3 B．－2C．2 D．3聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是化簡(jiǎn)通項(xiàng)后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)即可．(2)對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問(wèn)題，一般可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為____(用數(shù)字作答)．(2)在二項(xiàng)式(eq\r(2)＋x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是________；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是________．題型二二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題命題點(diǎn)1二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和例3(1)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,\r(x))))n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為32∶1，則x2的系數(shù)為()A．50B．70C．90D．120聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________.聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)2系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的最值問(wèn)題例4(2023·唐山模擬)下列關(guān)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))6的展開式的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()A．常數(shù)項(xiàng)為－160B．第4項(xiàng)的系數(shù)最大C．第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為1聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華賦值法的應(yīng)用一般地，對(duì)于多項(xiàng)式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，則(a＋bx)n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1)，(a＋bx)n的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為eq\f(1,2)[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為eq\f(1,2)[g(1)－g(－1)]．跟蹤訓(xùn)練2(1)對(duì)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,x)))6的展開式，下列說(shuō)法中正確的有()①所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64；②所有項(xiàng)的系數(shù)和為64；③常數(shù)項(xiàng)為1215；④系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)．A．①④B．②④C．①②③D．②③④(2)設(shè)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)＋x))10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值為________．題型三二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用例5(1)設(shè)a∈Z，且0≤a≤13，若512023＋a能被13整除，則a等于()A．0B．1C．11D．12聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)利用二項(xiàng)式定理計(jì)算1.056，則其結(jié)果精確到0.01的近似值是()A．1.23 B．1.24C．1.33 D．1.34聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華二項(xiàng)式定理應(yīng)用的題型及解法(1)在證明整除問(wèn)題或求余數(shù)問(wèn)題時(shí)要進(jìn)行合理的變形，使被除式(數(shù))展開后的每一項(xiàng)都含有除式的因式．(2)二項(xiàng)式定理的一個(gè)重要用途是做近似計(jì)算：當(dāng)n不是很大，|x|比較小時(shí)，(1＋x)n≈1＋nx.跟蹤訓(xùn)練3(1)設(shè)n為奇數(shù)，那么11n＋Ceq\o\al(1,n)·11n－1＋Ceq\o\al(2,n)·11n－2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·11－1除以13的余數(shù)是()A．－3B．2C．10D．11(2)0.996的計(jì)算結(jié)果精確到0.001的近似值是()A．0.940 B．0.941C．0.942 D．0.943§10.3二項(xiàng)式定理考試要求能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題．知識(shí)梳理1．二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示展開式的第k＋1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．(2)增減性與最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)與相等，且同時(shí)取得最大值．(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.常用結(jié)論1．Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.2．Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n的展開式中的第k項(xiàng)．(×)(2)(a＋b)n的展開式中每一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無(wú)關(guān)．(√)(3)通項(xiàng)公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk中的a和b不能互換．(√)(4)二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)最大項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是相同的．(×)教材改編題1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\r(x)))10的展開式中x2的系數(shù)等于()A．45B．20C．－30D．－90答案A解析因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為Tk＋1＝＝，令－10＋eq\f(3,2)k＝2，得k＝8，所以展開式中x2的系數(shù)為(－1)8×Ceq\o\al(8,10)＝45.2．已知Ceq\o\al(0,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋23Ceq\o\al(3,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n)＝243，則Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)等于()A．31B．32C．15D．16答案A解析逆用二項(xiàng)式定理得Ceq\o\al(0,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋23Ceq\o\al(3,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n)＝(1＋2)n＝243，即3n＝35，所以n＝5，所以Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝25－1＝31.3．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))n的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為________．答案20解析因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)之和為2n＝64，所以n＝6，則Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)·x6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))k＝Ceq\o\al(k,6)x6－2k，當(dāng)6－2k＝0，即k＝3時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，T4＝Ceq\o\al(3,6)＝20.題型一通項(xiàng)公式的應(yīng)用命題點(diǎn)1形如(a＋b)n(n∈N*)的展開式的特定項(xiàng)例1(1)二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))－x2))10的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是()A．－45B．－10C．45D．65答案C解析由二項(xiàng)式定理得Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))10－k(－x2)k＝，令eq\f(5k,2)－5＝0得k＝2，所以常數(shù)項(xiàng)為(－1)2Ceq\o\al(2,10)＝45.(2)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))5的展開式中x5的系數(shù)為A，x2的系數(shù)為B，若A＋B＝11，則a＝__________.答案±1解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))5的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)x5－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,\r(x))))k＝.由5－eq\f(3,2)k＝5，得k＝0，由5－eq\f(3,2)k＝2，得k＝2，所以A＝Ceq\o\al(0,5)×(－a)0＝1，B＝Ceq\o\al(2,5)×(－a)2＝10a2，則由1＋10a2＝11，解得a＝±1.命題點(diǎn)2形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開式問(wèn)題例2(1)(1＋x)8(1＋y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是()A．56B．84C．112D．168答案D解析在(1＋x)8的展開式中含x2的項(xiàng)為Ceq\o\al(2,8)x2＝28x2，(1＋y)4的展開式中含y2的項(xiàng)為Ceq\o\al(2,4)y2＝6y2，所以x2y2的系數(shù)為28×6＝168.(2)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,x2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))6的展開式中x－2的系數(shù)為75，則a等于()A．－3B．－2C．2D．3答案A解析因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))6的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)·x6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))k＝Ceq\o\al(k,6)x6－2k，令6－2k＝－2，得k＝4，令6－2k＝0，得k＝3，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,x2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))6的展開式中x－2的系數(shù)為Ceq\o\al(4,6)－aCeq\o\al(3,6)＝75，解得a＝－3.思維升華(1)求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是化簡(jiǎn)通項(xiàng)后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)即可．(2)對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問(wèn)題，一般可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為________(用數(shù)字作答)．答案－28解析(x＋y)8展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,8)x8－kyk，k＝0,1，…，7,8.令k＝6，得T6＋1＝Ceq\o\al(6,8)x2y6；令k＝5，得T5＋1＝Ceq\o\al(5,8)x3y5，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為Ceq\o\al(6,8)－Ceq\o\al(5,8)＝－28.(2)在二項(xiàng)式(eq\r(2)＋x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是________；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是________．答案16eq\r(2)5解析由題意得，(eq\r(2)＋x)9的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,9)(eq\r(2))9－k·xk(k＝0,1,2，…，9)．當(dāng)k＝0時(shí)，可得常數(shù)項(xiàng)為T1＝Ceq\o\al(0,9)(eq\r(2))9＝16eq\r(2).若展開式的系數(shù)為有理數(shù)，則k＝1,3,5,7,9，有T2，T4，T6，T8，T10，共5個(gè)．題型二二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題命題點(diǎn)1二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和例3(1)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,\r(x))))n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為32∶1，則x2的系數(shù)為()A．50B．70C．90D．120答案C解析令x＝1，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,\r(x))))n＝4n，所以在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,\r(x))))n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和為4n，又二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，所以eq\f(4n,2n)＝2n＝32，解得n＝5.展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)x5－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(x))))k＝，令5－eq\f(3,2)k＝2，得k＝2，所以x2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)32＝90.(2)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________.答案3005120解析①由已知得(1＋x)10展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)xk，所以展開式中每一項(xiàng)的系數(shù)即為其二項(xiàng)式系數(shù)．故a2＋a6＋a8＝Ceq\o\al(2,10)＋Ceq\o\al(6,10)＋Ceq\o\al(8,10)＝300.②對(duì)原式兩邊求導(dǎo)得，10(1＋x)9＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9.令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝10×29＝5120.命題點(diǎn)2系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的最值問(wèn)題例4(2023·唐山模擬)下列關(guān)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))6的展開式的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()A．常數(shù)項(xiàng)為－160B．第4項(xiàng)的系數(shù)最大C．第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為1答案B解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))6展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))6－k·(－2x)k＝(－2)kCeq\o\al(k,6)·x2k－6.對(duì)于A，令2k－6＝0，解得k＝3，∴常數(shù)項(xiàng)為(－2)3Ceq\o\al(3,6)＝－8×20＝－160，A正確；對(duì)于B，由通項(xiàng)公式知，若要系數(shù)最大，k所有可能的取值為0,2,4,6，∴T1＝x－6，T3＝4Ceq\o\al(2,6)x－2＝60x－2，T5＝(－2)4Ceq\o\al(4,6)x2＝240x2，T7＝(－2)6x6＝64x6，∴展開式第5項(xiàng)的系數(shù)最大，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，展開式共有7項(xiàng)，得第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，C正確；對(duì)于D，令x＝1，則所有項(xiàng)的系數(shù)和為(1－2)6＝1，D正確．思維升華賦值法的應(yīng)用一般地，對(duì)于多項(xiàng)式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，則(a＋bx)n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1)，(a＋bx)n的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為eq\f(1,2)[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為eq\f(1,2)[g(1)－g(－1)]．跟蹤訓(xùn)練2(1)對(duì)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,x)))6的展開式，下列說(shuō)法中正確的有()①所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64；②所有項(xiàng)的系數(shù)和為64；③常數(shù)項(xiàng)為1215；④系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)．A．①④ B．②④C．①②③ D．②③④答案C解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,x)))6的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為26＝64，故①正確；在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,x)))6中，令x＝1，得(1－3)6＝64，故②正確；展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(x2)6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,x)))k＝(－3)kCeq\o\al(k,6)x12－3k(0≤k≤6，k∈N)，令12－3k＝0，得k＝4，所以常數(shù)項(xiàng)為(－3)4Ceq\o\al(4,6)＝1215，故③正確；由③的分析可知第2,4,6項(xiàng)系數(shù)為負(fù)值，第1項(xiàng)系數(shù)為1，第3項(xiàng)系數(shù)為(－3)2Ceq\o\al(2,6)＝135，第5項(xiàng)系數(shù)為(－3)4Ceq\o\al(4,6)＝1215，第7項(xiàng)系數(shù)為(－3)6Ceq\o\al(6,6)＝729，則系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，故④不正確．(2)設(shè)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)＋x))10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值為________．答案1解析令x＝1有a0＋a1＋…＋a10＝(eq\r(2)＋1)10，令x＝－1有a0－a1＋a2－…＋a10＝(eq\r(2)－1)10，故(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)·(a0－a1＋a2－…＋a10)＝(eq\r(2)＋1)10(eq\r(2)－1)10＝1.題型三二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用例5(1)設(shè)a∈Z，且0≤a≤13，若512023＋a能被13整除，則a等于()A．0B．1C．11D．12答案B解析因?yàn)閍∈Z，且0≤a≤13，所以512023＋a＝(52－1)2023＋a＝Ceq\o\al(0,2023)522023－Ceq\o\al(1,2023)522022＋Ceq\o\al(2,2023)522021－…＋Ceq\o\al(2022,2023)52－Ceq\o\al(2023,2023)＋a，因?yàn)?12023＋a能被13整除，所以－Ceq\o\al(2023,2023)＋a＝－1＋a能被13整除，結(jié)合選項(xiàng)，所以a＝1.(2)利用二項(xiàng)式定理計(jì)算1.056，則其結(jié)果精確到0.01的近似值是()A．1.23 B．1.24C．1.33 D．1.34答案D解析1.056＝(1＋0.05)6＝Ceq\o\al(0,6)＋Ceq\o\al(1,6)×0.05＋Ceq\o\al(2,6)×0.052＋Ceq\o\al(3,6)×0.053＋…＋Ceq\o\al(6,6)×0.056＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…＋0.056≈1.34.思維升華二項(xiàng)式定理應(yīng)用的題型及解法(1)在證明整除問(wèn)題或求余數(shù)問(wèn)題時(shí)要進(jìn)行合理的變形，使被除式(數(shù))展開后的每一項(xiàng)都含有除式的因式．(2)二項(xiàng)式定理的一個(gè)重要用途是做近似計(jì)算：當(dāng)n不是很大，|x|比較小時(shí)，(1＋x)n≈1＋nx.跟蹤訓(xùn)練3(1)設(shè)n為奇數(shù)，那么11n＋Ceq\o\al(1,n)·11n－1＋Ceq\o\al(2,n)·11n－2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·11－1除以13的余數(shù)是()A．－3B．2C．10D．11答案C解析11n＋Ceq\o\al(1,n)·11n－1＋Ceq\o\al(2,n)·11n－2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·11－1＝Ceq\o\al(0,n)·11n＋Ceq\o\al(1,n)·11n－1＋Ceq\o\al(2,n)·11n－2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·11＋Ceq\o\al(n,n)－2＝(11＋1)n－2＝12n－2＝(13－1)n－2＝Ceq\o\al(0,n)·13n－Ceq\o\al(1,n)·13n－1＋…＋(－1)n－1·Ceq\o\al(n－1,n)·13＋(－1)n·Ceq\o\al(n,n)－2，因?yàn)閚為奇數(shù)，則上式＝Ceq\o\al(0,n)·13n－Ceq\o\al(1,n)·13n－1＋…＋(－1)n－1·Ceq\o\al(n－1,n)·13－3＝[Ceq\o\al(0,n)·13n－Ceq\o\al(1,n)·13n－1＋…＋(－1)n－1·Ceq\o\al(n－1,n)·13－13]＋10，所以11n＋Ceq\o\al(1,n)·11n－1＋Ceq\o\al(2,n)·11n－2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·11－1除以13的余數(shù)是10.(2)0.996的計(jì)算結(jié)果精確到0.001的近似值是()A．0.940 B．0.941C．0.942 D．0.943答案B解析0.996＝(1－0.01)6＝Ceq\o\al(0,6)×1－Ceq\o\al(1,6)×0.01＋Ceq\o\al(2,6)×0.012－Ceq\o\al(3,6)×0.013＋…＋Ceq\o\al(6,6)×0.016＝1－0.06＋0.0015－0.00002＋…＋0.016≈0.941.課時(shí)精練1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))5的展開式中x4的系數(shù)為()A．10B．20C．40D．80答案C解析由題意可得Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)·(x2)5－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))k＝(－1)kCeq\o\al(k,5)·2k·x10－3k，令10－3k＝4，則k＝2，所以所求系數(shù)為(－1)2Ceq\o\al(2,5)·22＝40.2．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x3＋\f(1,x)))n的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是第7項(xiàng)，則正整數(shù)n的值為()A．7B．8C．9D．10答案B解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x3＋\f(1,x)))n的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)2n－kx3n－4k，由題意知，當(dāng)k＝6時(shí)，令3n－4k＝0，得n＝8.3．(3x＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))5的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A．14B．－14C．16D．－16答案A解析因?yàn)樵趀q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))5的展開式中，eq\f(1,x)的系數(shù)為Ceq\o\al(4,5)(－1)4＝5，常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(5,5)(－1)5＝－1，所以(3x＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))5的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為5×3＋(－1)＝14.4．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))24的展開式中，x的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)數(shù)是()A．2B．3C．4D．5答案D解析因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))24的展開式的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,24)(eq\r(x))24－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))k＝，所以當(dāng)k＝0,6,12,18,24時(shí)，x的指數(shù)是整數(shù)，故x的指數(shù)是整數(shù)的有5項(xiàng)．5．在二項(xiàng)式(1－2x)n的展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則展開式的中間項(xiàng)的系數(shù)為()A．－960B．960C．1120D．1680答案C解析根據(jù)題意，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和也為128，所以在(1－2x)n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，即2n＝256，得n＝8，則(1－2x)8的展開式的中間項(xiàng)為第5項(xiàng)，且T5＝Ceq\o\al(4,8)(－2)4x4＝1120x4，即展開式的中間項(xiàng)的系數(shù)為1120.6．20232022被20222除的余數(shù)是()A．1B．0C．2023D．2022答案A＋1＝20222022＋Ceq\o\al(1,2022)·20222021＋…＋Ceq\o\al(2020,2022)·20222＋20222＋1＝20222×(20222020＋Ceq\o\al(1,2022)·20222019＋…＋Ceq\o\al(2020,2022)＋1)＋1，因此20232022被20222除的余數(shù)是1.7．對(duì)于二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(1,2\r(3,x))))6的展開式，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．常數(shù)項(xiàng)是第3項(xiàng)B．各項(xiàng)的系數(shù)和是eq\f(1,64)C．第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D．奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為32答案A解析二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(1,2\r(3,x))))6的展開式通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)·(eq\r(3,x))6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2\r(3,x))))k＝.對(duì)于A選項(xiàng)，令eq\f(6－2k,3)＝0，可得k＝3，故常數(shù)項(xiàng)是第4項(xiàng)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，令x＝1，得各項(xiàng)的系數(shù)和是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))6＝eq\f(1,64)，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，展開式共7項(xiàng)，故第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為25＝32，D正確．8．(2023·滄州模擬)已知(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，則下列說(shuō)法中正確的有()①展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22023；②展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第1350項(xiàng)；③a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝eq\f(32023－1,2)；④eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a2023,22023)＝－1.A．①② B．②③C．①④ D．③④答案C解析易知(1－2x)2023的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22023，故①正確；由二項(xiàng)式通項(xiàng)，知Tk＋1＝Ceq\o\al(k,2023)(－2x)k＝(－2)kCeq\o\al(k,2023)xk，所以第1350項(xiàng)的系數(shù)為(－2)1349Ceq\o\al(1349,2023)<0，所以第1350項(xiàng)不是系數(shù)最大的項(xiàng)，故②錯(cuò)誤；當(dāng)x＝1時(shí)，有a0＋a1＋a2＋…＋a2023＝－1，(ⅰ)當(dāng)x＝－1時(shí)，有a0－a1＋a2－a3＋…＋a2022－a2023＝32023，(ⅱ)(ⅰ)－(ⅱ)，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝－eq\f(1＋32023,2)，故③錯(cuò)誤；當(dāng)x＝0時(shí)，a0＝1，當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a2023,22023)＝0，所以eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a2023,22023)＝－a0＝－1，故④正確．9．若x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，則a1＝________，a1＋a2＋…＋a5＝________.答案80211解析因?yàn)閤5＝[2＋(x－2)]5，則a1＝Ceq\o\al(1,5)·24＝80.令x＝3，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝35＝243；令x＝2，得a0＝25＝32，故a1＋a2＋…＋a5＝243－32＝211.10．已知二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(2,3x)))10，則展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為________；展開式中第4項(xiàng)的系數(shù)為________．答案120－77760解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f