高中數(shù)學(xué)校本課程《趣味數(shù)學(xué)》

《趣味數(shù)學(xué)》目錄

第1課時集合中的趣題一"集合"與"模糊數(shù)學(xué)..........2

第2課時函數(shù)中的趣題——份購房合同...................3

第3課時函數(shù)中的趣題一孫悟空大戰(zhàn)牛魔王...............4

第4課時三角函數(shù)的趣題一直角三角形..................6

第5課時三角函數(shù)的趣題一月平均氣溫問題...............7

第6課時數(shù)列中的趣題一柯克曼女生問題.................9

第7課時數(shù)列中的趣題一數(shù)列的應(yīng)用....................11

第8課時不等式性質(zhì)應(yīng)用趣題海邊夾不等式的推廣及趣例......13

第9課時不等式性質(zhì)應(yīng)用趣題一均值不等式的應(yīng)用...........15

第10課時立體幾何趣題一正多面體拼接構(gòu)成新多面體面數(shù)問題…16

第11課時立體幾何趣題一球在平面上的投影..................19

12課時解析幾何中的趣題一神奇的莫比烏斯圈.................21

13課時解析幾何中的趣題—最短途問題.......................22

14課時排列組合中的趣題—抽屜原理.........................23

15課時排列組合中的趣題—摸球游戲.........................24

第16課時概率中的趣題....................................25

第17課時簡易邏輯中的趣題................................28

第18課時解數(shù)學(xué)題的策略..............................31

1

第1課時集合中的趣題一

"集合"與"模糊數(shù)學(xué)"

教學(xué)要求：啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨立思考，學(xué)會分析問題和創(chuàng)造

地解決問題；

教學(xué)過程：

一、情境引入

1965年，美國數(shù)學(xué)家扎德發(fā)表論文《模糊集合》，開辟了一門新的數(shù)學(xué)分支——

模糊數(shù)

學(xué)。

二、實例嘗試，探求新知

模糊數(shù)學(xué)是經(jīng)典集合概念的推廣。在經(jīng)典集合論當(dāng)中，每一個集合都必須由確定

的元素構(gòu)成，元素對于集合的隸屬關(guān)系是明確的，這一性質(zhì)可以用特征函數(shù)：

(

X(x)=1八—)來描述。扎德將特征函數(shù)為(X)改成所謂的“隸屬函數(shù)”

A0,(X誤HA

H(X)：0<|LI(x)<1,,這里A稱為“模糊函數(shù)'NQ)稱為x對A的“隸屬度：：

AAA

經(jīng)典集合論要求隸屬度只能取0,1二值，模糊集合論則突破了這一限制，

N0=1時表示百分之百隸屬于A；NG)=0時表示不屬于A還可以有百分之二十

AA

隸屬于A,百分之八十不隸屬于A……等等，這些模糊集合為對由于外延模糊而導(dǎo)致

的事物是非判斷上的上的不確性提供了數(shù)學(xué)描述。由于集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重基石，

因此,模糊數(shù)學(xué)的概念對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了廣泛的影晌，人們將模糊集合引進(jìn)數(shù)學(xué)的各個分

支，從而出現(xiàn)了模糊拓?fù)洹⒛：赫?、模糊測度與積分、模糊圖論等等，它們一起形

2

成通常所稱的模糊數(shù)學(xué)，模糊數(shù)學(xué)是20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展中的新新事物，它在理論上還

不夠成熟，方法上也未臻統(tǒng)一，它將隨著計算機(jī)科學(xué)的發(fā)展而進(jìn)一步發(fā)展。

例1、學(xué)校先舉辦了一次田徑運(yùn)動會，某班有8名同學(xué)參加，又舉辦了一次球類

運(yùn)動會，這個班有12名同學(xué)參加，那么這兩次運(yùn)動會這個班共有多少名同學(xué)參賽？

⑴如果有5名同學(xué)兩次運(yùn)動會都參加了，問這兩次運(yùn)動會這個班共有多少名同學(xué)

參賽？

⑵如果每一位同學(xué)都只參加一次運(yùn)動會，問這兩次運(yùn)動會這個班共有多少名同

學(xué)參賽？

解析：可能有的同學(xué)兩次運(yùn)動會都參加了，因此，不能簡單地用加法解決這個問

題。

（1）因為這5名同學(xué)在統(tǒng)計人數(shù)時，計算了兩次，所以要減

去.8+12-5=15.

（2）8+12=20.這兩次運(yùn)動會這個班共有20名同學(xué)參賽.

三、本課小結(jié)

通過“模糊數(shù)學(xué)”了解到數(shù)學(xué)的發(fā)展是靠堅忍不拔的意志，實事求是的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)

度和勇于創(chuàng)新的精神而進(jìn)步的。

四、作業(yè)

下列各組對象能否形成集合？（1）高一年級全體男生；（2）高一年級全體高個

子男生（3）所有數(shù)學(xué)難題；（4）不等式x+2>0的解；

第2課時函數(shù)中的趣題——

一份購房合同

教學(xué)要求：能利用一次函數(shù)及其圖象解決簡單的實際問題，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.教

學(xué)過程:

3

一、情境引入

最早把"函數(shù)"（function）這個詞用作數(shù)學(xué)術(shù)語的數(shù)學(xué)家是萊布尼茨（Gottfried

WilhelmLeibniz,1646-1716,德國數(shù)學(xué)家），但其含義和現(xiàn)在不同，他把函數(shù)看成

是〃像曲線上點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長度、垂線長度等所有與曲線上的點有關(guān)的

量1718年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰。貝努利（JohnBernoulli,1667-1748,歐拉的數(shù)學(xué)

老師）將函數(shù)概念公式化，給出了函數(shù)的一個定義，同時第一次使用了“變量”這個詞。他

寫到：”變量的函數(shù)就是變量和變量以任何方式組成的量?！八膶W(xué)生，瑞士數(shù)學(xué)家歐

拉（LeonardEuler,1707-1783,被稱為歷史上最“多產(chǎn)”的數(shù)學(xué)家）將約翰。貝努利

的思想進(jìn)一步解析化，他在《無限小分析引論》中將函數(shù)定義為：”變量的函數(shù)是一

個由該變量與一些常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式”，歐拉的函數(shù)定義在18世紀(jì)后期

占據(jù)了統(tǒng)治地位。

二、實例嘗試，探求新知

例1、陳老師急匆匆的找我看一份合同，是一份下午要簽字的購房合同。內(nèi)容

是陳老師購買安居工程集資房72m2,單價為每平方米1000元，一次性國家財政補(bǔ)貼

28800元，學(xué)校補(bǔ)貼14400元，余款由個人負(fù)擔(dān)。房地產(chǎn)開發(fā)公司對教師實行分期

付款，每期為一年，等額付款，分付10次，10年后付清，年利率為7.5%,房地產(chǎn)

開發(fā)公司要求陳老師每年付款4200元，但陳老師不知這個數(shù)是怎樣的到的。同學(xué)們

你們能幫陳老師算一算么？

解析：陳老師說自己到銀行咨詢，對方說算法是假設(shè)每一年付款為a元那么10

年后第一年付款的本利和為1.0759a元，同樣的方法算得第二年付款的本利和為

1.0758a元、第三年為1.0757a元，…，第十年為a元，然后把這10個本利和加起

來等于余額部分按年利率為7.5%計算10年的本利，即1.0759a+1.0758a+1.0757a+…

4

+a=(72X1000-28800-14400)XL075io,解得的a的值即為每年應(yīng)付的款額。他不能理

解的是自己若按時付款，為何每期的付款還要計算利息？我說銀行的算法是正確的。但

不妨用這種方法來解釋：假設(shè)你沒有履行合同，即沒有按年付每期的款額，且10

年中一次都不付款，那么第一年應(yīng)付的款額a元到第10年付款時，你不僅要付本金a

元，還要付a元所產(chǎn)生的利息，共為1.0759a元，同樣，第二年應(yīng)付的款額a元到第

10年付款時應(yīng)付金額為1.0758a元，第三年為1.0757a元，…，第十年為a元，而

這十年中你一次都沒付款，與你應(yīng)付余款72X1000-28800-14400在10年后一次付清

時的本息是相等的。仍得到1.0759a+l.0758a+l.0757a+…%=(72X1000-

28800-14400)X1.075io.用這種方法計算的a值即為你每年應(yīng)付的款額。

例2、經(jīng)調(diào)查得知，若我們把每日租金定價為160元，則可客滿；而租金每漲20元，

就會失去3位客人。每間住了人的客房每日所需服務(wù)、維修等項支出共計40元。我們

該如何定價才能賺最多的錢？

解析：日租金360元。雖然比客滿價高出200元，因此失去30位客人，但余下

的50位客人還是能給我們帶來360*50=18000元的收入；扣除50間房的支出

40*50=2000元，每日凈賺16000元。而客滿時凈利潤只有160*80-40*80=9600元

三、本課小結(jié)

通過本課學(xué)習(xí)我們認(rèn)識到，生活是多面的，我們在研究一個問題時，可以多角度、

多層次的思考，如若正面不行，亦可利用反面思考

四、作業(yè)

家用冰箱使用的氟化物的釋放破壞了大氣上層的臭氧層.臭氧含量。呈指數(shù)函數(shù)

型變化，滿足關(guān)系式Q=ge-o.oo25，,其中的是臭氧的初始量，r是所經(jīng)過的時間.

1)隨時間的增加，臭氧的含量是增加還是減少？

5

2）多少年后將會有一半的臭氧消失?

第3課時函數(shù)中的趣題——

孫悟空大戰(zhàn)牛魔王

教學(xué)要求：體會數(shù)學(xué)在實際問題中的應(yīng)用價

值.教學(xué)過程：

一、故事引入

孫悟空大戰(zhàn)牛魔王。牛魔王不是孫悟空的對手，力倦神疲，敗陣而逃?？墒?，牛

魔王不簡單，他會變。他見悟空緊緊追趕，便隨身變成一只白鶴，騰空飛去。悟空一

見，立刻變成一只丹鳳，緊追上去。牛魔王一想：鳳是百鳥之王，我這只白鶴那里斗

得過這個丹鳳？！他無可奈何，只好飛下山崖，變作一只香獐，裝著悠閑的樣子，在

崖前吃草。悟空心里想：好牛精，你休想混過我老孫的火眼金睛！他馬上變作一只餓

虎，猛撲過去。牛魔王心慌，趕快變了個獅子，來擒拿餓虎。悟空看得分明，就地一

滾，變成一只巨象，撒開長鼻，去卷那頭獅子。牛魔王拿出絕招，現(xiàn)出原形，原來是

一頭大白牛。這白牛兩角堅似鐵塔，身高八千余丈，力大無窮。他對悟空說：“你還

能把我怎樣？”只見悟空彎腰躬身，大喝一聲“長”！立即身高萬丈，手持大鐵棒朝牛

魔王打去。牛魔王見勢不妙，只好復(fù)了本象相，急忙逃去。孫悟空與牛魔王殺得驚天動

地，驚動了天上的眾神，前來幫助圍困牛魔王。牛魔王困獸猶斗，又變成一頭大白牛，

用鐵角猛頂托塔天王，被哪吒用火輪燒得大聲吼叫，最后被天王用照妖鏡照定，動彈不

得，只得連聲求饒，獻(xiàn)出芭蕉扇，扇滅火焰山烈火，唐僧四人翻越山嶺，繼續(xù)往西天

取經(jīng)

6

二、實例嘗試，探求新知

這段故事很吸引人，而且它和初中代數(shù)中所學(xué)的函數(shù)概念有關(guān)。

首先，就從這個“變”字談起。孫悟空和牛魔王都神通廣大，都能變。他們能變

飛禽、走獸；大喝一聲，身軀能“頂天立地”，也可變成一個小蟲兒。當(dāng)然，這些都是

神話，不是真情實事。不過，世界上一切事物的確無有不在變化著的。既然物質(zhì)在變化,

表示它們量的大小的數(shù)，自然也要隨著而變化了。這就告訴我們，要從變化的觀點來

研究數(shù)和量以及它們之間的關(guān)系。

其次，我們再來看一看，是不是所有的量在任何情況下，都始終變化著的呢？不是

的。研究問題的某個特定過程中，在一定的范圍內(nèi)，有的數(shù)量是保持不變的。或者，雖

然它也在變，但變化微小，我們把它看成是不變的。還是用唐僧師徒來做例子。孫悟

空的本事最大，能七十二變；唐僧最沒用，一點也不會變，所以妖怪一看就認(rèn)得他。都想

吃他的肉。在代數(shù)中，把研究某一問題過程中不斷變化著的量叫做變量，孫悟空就好象

是一個“變量”；把一定范圍內(nèi)保持不變的量叫做常量，唐僧就好象是一個“常量”。

例1、1202年，意大利比薩的數(shù)學(xué)家斐波那契（約1170年?約1250年）在他所著的

《算盤書》里提出了這樣一個有趣的問題：假定1對一雌一雄的大兔，每月能生一雌

一雄的1對小兔，每對小兔過兩個月就能長成大兔。那么，若年初時有1對小兔，按

上面的規(guī)律繁殖，并且不發(fā)生死亡等意外情況，1年后將有多少對兔子？

解析：第一個月時，有小兔1對；第二個月時，小兔還沒有長大，因此兔子數(shù)仍

是1對；第三個月時，小兔已長成大兔，并且生下1對小兔，這時兔子數(shù)是2對；第

四個月時，原來的兔子又生了1對小兔，但上個月剛生的小兔尚未成熟，這時兔子數(shù)是

3對；第五個月時，原來的兔子又生了1對小兔，第三個月出生的小兔這時也已

7

長大并且也生了1對小兔，因此共有兔子5對；一直這樣推算下去，可以得到下面的表:

如果仔細(xì)觀察，就不難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律：從第三個月份起，每個月的兔子對數(shù)都是前兩

個月的兔子對數(shù)之

和。表中兔子對數(shù)構(gòu)成的一列數(shù)1,1,2,3,5,8…就稱為斐波那契數(shù)列。斐波那

契數(shù)列有很有趣的性質(zhì)和重要的應(yīng)用。

例2、某果園有100棵橙子樹，每一棵樹平均結(jié)600個橙子,現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些橙子樹以

提高產(chǎn)量，但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根

據(jù)經(jīng)驗估計,每多種--棵樹,平均每棵樹就會少結(jié)5個橙子.

解析：假設(shè)果園增種x棵橙子樹,果園橙子的總產(chǎn)量為y(個)，依題意，果園共有

(100+x)棵樹,平均每棵樹結(jié)(600-5x)個橙子.

y=(100+x)(600-5x)=-5x+100x+60000.=~5(x-10)-2+60500

即種:100+10=110棵時,產(chǎn)量最高是：60500

三、本課小結(jié)

通過本課學(xué)習(xí)我們知道了，不僅《西游記》和我們的數(shù)學(xué)還很有關(guān)系其實，只要

我們留意，到處都充滿著數(shù)學(xué)的原理。

四、作業(yè)

某市20名下崗職工在近郊承包50畝土地辦農(nóng)場這些地可種蔬菜、煙葉或小麥，

種這幾種農(nóng)作物每畝地所需職工數(shù)和產(chǎn)值預(yù)測如下表：

作物品種每畝地所需職工數(shù)每畝地預(yù)計產(chǎn)值

蔬菜1/21100元

煙葉1/3750元

小麥1/4600元

8

請你設(shè)計一個種植方案，使每畝地都種上農(nóng)作物，20名職工都有工作，且使農(nóng)作物

預(yù)計總產(chǎn)值最多。（設(shè)工人數(shù)）

第4課時三角函數(shù)的趣題一

直角三角形

教學(xué)要求：探索直角三角形在生活中應(yīng)用，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)

用。

教學(xué)過程：

一、情境引入

直角三角形就像一個萬花筒，為我們展現(xiàn)出了一個色彩斑瀾的世界.我們在欣賞

了它神秘的“勾股”、知道了它的邊的關(guān)系后，接著又為我們展現(xiàn)了在它的世界中的邊

角關(guān)系，它使我們現(xiàn)實生活中不可能實現(xiàn)的問題，都可迎刃而解.它在航海、工程等

測量問題中有著廣泛應(yīng)用，例如測旗桿的高度、樹的高度、塔高等.

二、例題分析

例1、海中有一個小島A,該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始

在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后，到達(dá)該島的南偏西25°的C處，之

后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎？

9

A

解析：過A作BC的垂線，交BC于點D.得到RtAABD和RtAACD,從而BD=AD

tan55",CD=ADtan25°,由BD—CD=BC,又BC=20海里得

ADtan55°-ADtan25°=20.

AD（tan55:-tan25'）=2O,

AD=____2?______勺20.79（海里）.

tan55°-tan25°

這樣AD720.79海里＞10海里，所以貨輪沒有觸礁的危險

例2、如圖，某貨船以20海里/時的速度將一批重要物資由A處運(yùn)往正西方向的B

處，經(jīng)16小時的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨.此時.接到氣象部門通知，一臺風(fēng)

中心正以40海里/時的速度由A向北偏西60°方向移動，距臺風(fēng)中心200海里的圓

形區(qū)域（包括邊界）均受到影響.

⑴問：B處是否會受到臺風(fēng)的影響?請說明理由.

⑵為避免受到臺風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時內(nèi)卸完貨物？

解析：⑴過點B作BD1AC.垂足為D.

依題意，得/BAC=30°，在RtAABD中，BD=AB=I2OX16=160V200,

22

AB處會受到臺風(fēng)影響.

⑵以點B為圓心，200海里為半徑畫圓交AC于E、F,由勾股定理可求得DE=120.

10

AD=160J3.

AE=AD-DE=160抑-120,

細(xì)-吧=3.8（小時）.

40

因此，咳船應(yīng)在3.8小時內(nèi)卸完貨物.

練習(xí)：一個人從山底爬到山頂，需先爬40°的山坡300m,再爬30°的山坡100m,

求山高.（結(jié)果精確到0.01m）

三、本課小結(jié)

本節(jié)課我們運(yùn)用三角函數(shù)解決了與直角三角形有關(guān)的實際問題，提高了我們分析

和

解決實際問題的能力.

四、作業(yè)

如圖，RtAABC是一防洪堤背水坡的橫截面圖，斜坡AB的長為12m,它的坡角為

45’,為了提高該堤的防洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成坡比為1：1.5的斜坡AD,求DB

的長.（結(jié)果保留根號）

第5課時三角函數(shù)的趣題一

月平均氣溫問題

教學(xué)要求：選擇生活中學(xué)生感興趣的題材，使學(xué)生能積極參與數(shù)學(xué)活動，提高學(xué)習(xí)數(shù)

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學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的欲望.

教學(xué)過程:

一、談話導(dǎo)入

數(shù)學(xué)的應(yīng)用，隨著人類的進(jìn)步和科技的發(fā)展，已經(jīng)滲透到社會的各個方面，“數(shù)學(xué)

已無處不在：下面我們看看三角函數(shù)在生活中有哪些應(yīng)用。

二、典例分析

例1、受日月的引力，海水會發(fā)生漲落，這種現(xiàn)象叫做潮汐，在通常情況下，船在漲

潮時駛進(jìn)航道，靠近船塢，卸貨后落潮時返回海洋，某港口水的深度y（米）是時間

t（n<f<24,單位：時）的函數(shù)，記作y=f（t）,下面是該港口在某季節(jié)每天水深的數(shù)

據(jù)。

t（時）0361215182124

y（米）10.013.09.910.013.010.17.010.0

y=3sin—f+10

根據(jù)數(shù)據(jù)求出y=f（t）的擬合函數(shù)，76,一般情況下，船舶航行時，

船底離海底的距離為5米或5米以上時，認(rèn)為是安全的（船舶停靠時，船底只需不碰

海底即可），某船吃水深度（船底離水面的距離）為6.5米，如果該船想在同一天內(nèi)

安全進(jìn)出港，問它至多能在港內(nèi)停留多少時間？（忽略進(jìn)出港所需時間）

解析：依題意，該船進(jìn)出港時，水深應(yīng)不小于5+6.5=11.5米，3s1n2"

萬/、1■xwx&wc,5

62,2666,得12m2N+5（Nez）,在同一天內(nèi)，取k=0

或1,1<f<5或,所以該船最早能在凌晨1時進(jìn)港，下午17時

退出，在港口內(nèi)最多停留16小時。

例2、某工廠因生產(chǎn)需要，要生產(chǎn)1200個如圖形狀的三角形鐵片，已知在aABC

中，樂山+^^=號_*。=25/8=35,，問要生產(chǎn)這些三角形鐵片共需要鐵片的面積（精

確到lcm2）.

12

c8

解析：sinA+cosA=。-,①(sinA+cosA)2=T.

,1

/.2sinAcosA=—.2V0°<A<1800,，sinA>0,cosA<0.

3_

*/(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA=T,

yr

/.sinA-cosA=2.②

WZ飛

①+②，得sinA=4，

/.5—CMBrirU&二:(^/2+V6)(cm2).

2244

...要生產(chǎn)這些三角形鐵片共需要鐵片的面積為：120°x副百)777").

答：所以要生產(chǎn)這些三角形鐵片共需要鐵片的面積約3477cm2.

三、本課小結(jié)

三角函數(shù)不但應(yīng)用于數(shù)學(xué)的各個分支，也廣泛應(yīng)用于其他的學(xué)科及社會生產(chǎn)實踐

中，.在實際生活中，也會經(jīng)常碰到一些需要運(yùn)用三角函數(shù)來解決的問題,特別是一些線

段的度量和角的計算等問題我們要靈活運(yùn)用

四、作業(yè)

把一段半徑為R的圓木，鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法，才能使橫截面

積最大？

第6課時數(shù)列中的趣題一

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柯克曼女生問題

教學(xué)要求：通過有關(guān)數(shù)列實際應(yīng)用的介紹，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)研究數(shù)列的積極

性.教學(xué)過程：

一、問題引入：

有一個學(xué)校有15個女生，她們每天要做三人行的散步，要使每個女生在一周內(nèi)的

每天做三人行散步時，與其她同學(xué)在組成三人小組同行時，彼此只有一次相遇在同一

小組，應(yīng)怎樣安排？

二、典例分析

例1、大樓共n層，現(xiàn)每層指定一人，共n人集中到設(shè)在第k層的臨時會議室開會，

問k如何確定能使n位參加人員上、下樓梯所走的路程總和最短。(假定相鄰兩層樓

梯長相等)

分析：設(shè)相鄰兩層樓梯長為a,則

S=a[(1+2++k—1)+0+(1+2++(n-k))]

m+n

=a[k2-(n+1)/c+21(1<k<n)

分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩類討論.

例2、某地區(qū)荒山2200畝，從1995年開始每年春季在荒山植樹造林，第一年植樹

100畝，以后每一年比上一年多植樹50畝.

(1)若所植樹全部都成活，則到哪一年可將荒山全部綠化？

(2)若每畝所植樹苗、木材量為2立方米，每年樹木木材量的自然增長率為20%,

那么全部綠化后的那一年年底，該山木材總量為S,求S的表達(dá)式.

(3)若1.28坊4.3,計算S(精確到1立方米).

14

分析：由題意可知，各年植樹畝數(shù)為：100,150,200,……成等差數(shù)列

三、本課小潔：下面回到課前問題，設(shè)15位女生用下面15個符號表示：x,

al,a2,bl,b2,cl,c2,dl,d2,el,e2,fl,f2,gl,g2將它們排成七行，每天五

個三人行小組(共十五人)，使x處于七行中的最前一位置上：(x,al,a2);(x,bl,b2);

(x,cl,c2);(x,dl,d2);(x,el,e2);(x,fl,f2);(x,gl,g2).

于是只須分配14個元素，再每一行中，后繼三人行小組，即對有下標(biāo)的七個元

素a,b,c,d,e,f,g進(jìn)行三元素組合，填入每行，但每個字母只許出項兩

次。即

Sunday:(x,a,a),(b,d,f),(b,e,g),(c,d,g),(c,e,f);

Monday:(x,b,b),(a,b,e),(a,f,g),(c,d,g),(c,e,f);

Tuesday:(x,c,c),(a,d,e),(a,f,g),(b,d,f),(b,e,g);

Wednsday:(x,d,d),(a,b,c),(a,f,g),(b,e,g),(c,e,f);

Thursday:(x,e,e),(a,b,c),(a,f,g),(b,d,f),(c,d,g)

Friday:(x,f,f),(a,b,c),(a,d,e),(b,e,g),(c,d,g);

Saturday:(x,g,g),(a,b,c),(a,d,e),(b,d,f),(c,e,f)

現(xiàn)在來填下標(biāo)，如果在同一行中，可以有兩個相同字母，例如在第三行中bdf,beg

中，b出現(xiàn)兩次，可標(biāo)上不同的腳標(biāo)bl,b2;若每一個“三人行”，有兩個腳標(biāo)已定，

則在同一行，別的三人行組不能再用；若不是由兩種原則定出腳標(biāo)，就定為1。得到

解：

Sunday:(x,al,a2),(bl,dl,fl),(b2,el,gl),(cl,d2,g2),(c2,e2,f2);

Monday:(x,bl,b2),(al,b2,e2),(a2,f2,g2),(cl,dl,gl),(c2,el,fl);

Tuesday:(x,cl,c2),(al,dl,el),(a2,fl,gl),(bl,d2,f2),(b2,e2,g2);

15

Wednsday:(x,dl,d2),(al,b2,c2),(a2,f2,gl),(b2,el,g2),(cl,e2,fl);

Thursday:(x,el,e2),(al,bl,cl),(a2,fl,g2),(b2,dl,f2),(c2,d2,gl)

Friday:(x,fl,f2),(al,b2,cl),(a2,d2,el),(bl,e2,gl),(c2,dl,g2);

Saturday:(x,gl,g2),(al,bl,c2),(a2,dl,e2),(b2,d2,fl),(cl,el,f2)

三、作業(yè)

某林場有荒山3250畝，從96年開始，每年春季在荒山上植樹造林，第一年植

100畝，計劃以后每年比上一年多植樹50畝(假定全部成活).

(1)需幾年可將此荒山全部綠化.

⑵已知新植樹苗每畝木材量為2m3,樹木每年的自然增長率為10%,設(shè)荒山全部綠

化后的年底木材總量為S,求S的最簡表達(dá)式

第7課時數(shù)列中的趣題一

數(shù)列的應(yīng)用

教學(xué)要求：培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。它要求教師給學(xué)生提供研究的問題及背

景，讓學(xué)生自主探究知識的發(fā)生發(fā)展過程

教學(xué)過程：

一、詩詞引入

16

先由杜甫的詩《絕句》引出課題，每一句都與數(shù)有關(guān)系。再由一些生活中的例子

進(jìn)一步探索數(shù)列的定義及其蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系

二、典例分析

例1、、有一序列圖形PVP2,P3…….已知P］是邊長為1的等邊三角形，將P,的每條

邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉

得P2,…..，將Pz的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三

角形，再將中間部分的線段去掉得P。試分別求P。的周長。和面積S。.

解析：這序列圖形的邊數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為：3,3x4,3x42,,3x4,1,;

它們的邊長構(gòu)成的數(shù)列為：.

3323,1

1(4V-1

C—x3x4”-i-3xI_.

?3n-1I3)

S

S2比S1多3個面積為』的正三角形.即

S-

S-S=」x3,同理，

219

S

S—S=—1x12,

3292

17

s

S—S=1x3x4*2,累加得：

N—9A-1

S.S=1，+UI++匕(”工.*1

"13I[⑼19；19；J39|Ll可J

例2.在E1000,2000]內(nèi)能被3整除且被4除余1的整數(shù)有多少個？

解析：不妨設(shè)a=3n,b=4m+1(m,ne/V*),

nm

則k。｝為｛2口｝與｛1｝的公共項構(gòu)成的等差數(shù)列(1000WCpW2000)

'."an=bin,B|J：3n=4m+l令n=3,則m=2:q=9且有上式可知：d=12

,'.cp=9+12(p-l)(peN*)

711

由1000WcW2000解得：83_<p<166_

n12~2

；.p取84、85、...、166共83項。

三、本課小結(jié)

根據(jù)數(shù)列的定義和前面所學(xué)的函數(shù)關(guān)系，由學(xué)生自己通過聯(lián)想、類比、對比、歸

納的方法遷移到新情境中，將新的知識內(nèi)化到學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。

四、作業(yè)

1.一梯形兩底邊長分別為12cm22cm,將梯形一腰10等分，經(jīng)過每分點作平行于底

邊的直線，求這些直線夾在梯形兩腰間的線段的長度和.

2.某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場的要求雜質(zhì)含量不能超過0.1%.若初時含雜質(zhì)

0.2%,每過濾一次可使雜質(zhì)減少L,問至少過濾多少次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場的要求

3

18

第8課時不等式性質(zhì)應(yīng)用趣題一

兩邊夾不等式”的推廣及趣例

教學(xué)要求：理解“兩邊夾不等式”的推廣及應(yīng)用

教學(xué)過程：

一、情境引入

大家都熟知等比定理：若：=：,則!若將條件中的等式改為不

bdbb+dd

ac

等式，如H〈二，那么結(jié)論如何呢?課本上有這樣一道練習(xí)：已知a,b,c,d都是正數(shù),

bd

19

且bc>ad,則二<高中數(shù)學(xué)第二冊（上）（人教版）），在平時的教學(xué)過程中，

bb+dd

稍不注意，其豐富的內(nèi)涵和研究價值便被忽略了。下面為了說明問題的方便，稱不等

式°<a+c<°為兩邊夾不等式。當(dāng)然這個不等式的證明是簡單的，而探討這個

bb+dd

不等式卻別有一番風(fēng)味.對該不等式的探討是從它的一個簡單應(yīng)用開始的.

二、“兩邊夾不等式”理解推廣

1、兩邊夾不等式的兩種理解

Q

解（1）實際意義的理解：有同種溶液（如糖水）A、B,已知溶液A的濃度為，溶

b

ca+c

液B的濃度;，現(xiàn)將兩種溶液混合成溶液C,此時溶液濃度為一一由日常生

db+d

活經(jīng)驗知道有a+cc

bb+dd

（2）幾何意義的理解：由分式聯(lián)想

到直線的斜率，設(shè)

0A_

=（b,a）,OB=（d,c）則直線0A、

OB斜率分別是：（如圖1）,則

bd

OA+OB=（^b+d,a+c）,它表示圖中的

OC,顯然直線OC的斜率A于OA、

0B的斜率之間，即0<a+jc

bb+dd

進(jìn)一步探討我們還可以得到更多的結(jié)論，如OD=OA+2OB=（b+2d,a+2c）得

到不等式二<￡±上.<：,仿此還可到幾個不等式鏈：

bb+2dd

(1)a<a+ca+2ca+3c<...<a+nc<...<c

bb+db+2db+3db+ndd

bb+d2b+d3b+dnb+dd

QC

(3)_<%t上.<…v_(其中m,〃￡N*)

bmb+ndd

20

2.兩邊夾不等式的一個簡單應(yīng)用

練習(xí)1、利用此不等式，可以輕松地證明下面這個經(jīng)典不等式：已知都

是正數(shù)，且a<b,求證：+m

bb+m

分析：a<b,.<1=上，由兩邊夾不等式立即得二<￡上巴.

bmbb+m

3.兩個有意義的推廣

aaa

推論1（等比定理的推廣）：已知a,beR+（i=1,2,3,,n）,t7<<n,

b

12n

利用兩邊夾不等式可以容易得到證明，這里從略。

由于分?jǐn)?shù)的分子分母同乘以一個非零實數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變，那么將：與1的分子

bd

分母各乘以非零實數(shù)九，九又有什么結(jié)論呢？

12

nr

推論2（一般性推廣）：若正數(shù)Q,b,c。及非零實數(shù)九，入滿足<，則

12bd

Q<〉Q+九

b土匕一_

bdd

12

aXacXcac

證明：

12

aXa+Xcc

由兩邊夾不等式立即得___

練習(xí)2、無限夾數(shù)游戲

⑴給你任意兩個正分?jǐn)?shù)，你能寫出大小介于它們之間的一些數(shù)嗎?

如1與1,1與2,2與1等。

323552

依據(jù)兩邊夾不等式可以得到

21

2

1

1

介±

于與I司

-

-

-

5

3

2

Z

3

1

介2

于與司

-

-

-

X

8

3

介5

3

2

1

于與I司

2

7

5

廣。

種推

及兩

理解

意義

幾何

等式

夾不

兩邊

講了

主要

：本節(jié)

小結(jié)

本節(jié)

三