初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)知識

初中數(shù)學(xué)

基礎(chǔ)知識系統(tǒng)化整理

（2018年春修改）

編撰者朱靜安韓慶川

—數(shù)與式

1實數(shù)

1.數(shù)的分類及概念

「正整數(shù)

X0

'有理數(shù)（有限或無限循環(huán)小數(shù)）I負(fù)整數(shù)

工正分?jǐn)?shù)

工負(fù)分?jǐn)?shù)

實數(shù)＜

撫理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)）｛彥流

｛正有理數(shù)

正實數(shù)

正無理數(shù)

實數(shù)Y0

｛負(fù)無理數(shù)

負(fù)實數(shù)

負(fù)有理數(shù)

2.非負(fù)數(shù)：正實數(shù)與零的統(tǒng)稱。（表為：a20）

常見的非負(fù)數(shù)有三種:

推廣：a的偶次方

Ia|

、4a(a40)

推廣：癡具有雙重非負(fù)性

性質(zhì)：幾個非負(fù)數(shù)的和為0,則每個非負(fù)數(shù)均為0。

運用：已知：［2x+y1+44—y+（x-5z”=0，那么x-2y-3z的值為多少？

3.倒數(shù)：（1）定義:如果兩個數(shù)的乘積為1.那么這兩個數(shù)互為倒數(shù).

（2）性質(zhì)：①乘積為1;②0沒有倒數(shù)；③土1的倒數(shù)是本身。

4.相反數(shù)：（1）定義:如果兩個數(shù)的和為0.那么這兩個數(shù)互為相反數(shù).

（2）求相反數(shù)的公式：a的相反數(shù)為-a.

（3）性質(zhì)：①和為0;②a與-a在數(shù)軸上的位置關(guān)于原點對稱;③0的相反數(shù)是0

5.數(shù)軸：

（1）定義（“三要素”）：具有原點、正方向、單位長度的直線叫數(shù)軸.

（2）數(shù)軸上的點與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系：

所有的有理數(shù)可以在數(shù)軸上表示出來，所有的無理數(shù)如血也可以在數(shù)軸上表示出來，所以數(shù)軸

上的點有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應(yīng)關(guān)系。

6.絕對值：

(1)幾何定義：數(shù)a的絕對值頂?shù)膸缀我饬x是實數(shù)a在數(shù)軸上所對應(yīng)的點到原點的距離。

代數(shù)定義：正數(shù)的絕對值是它的本身；0的絕對值是0；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)

注意：。的絕對值既等于它本省，又等于它的相反數(shù)。

1a(a>0)

Ia|=J

Io(a=0)

-a(a<0)

(2)怎樣去掉代數(shù)式的絕對值符號？

若代數(shù)式的結(jié)果為正數(shù)，直接去掉絕對值符號，但是代數(shù)式要加括號。

若代數(shù)式的結(jié)果為負(fù)數(shù)，去掉絕對值符號后，將代數(shù)式加上括號，前面再加上負(fù)號。

7.科學(xué)記數(shù)法：N=aX10"(lWa<10,n是整數(shù))。

(1)當(dāng)N是大于1的數(shù)時，n=N的整數(shù)位數(shù)減去1。如：3241.56=3.24156X103.

(2)當(dāng)N是小于1的數(shù)時，n=N的第一個有效數(shù)字前0的個數(shù).

如:0.0000324156=3.24156x10-5

8.有效數(shù)字：從左邊第一個不是0的數(shù)字起到右邊的所有數(shù)字止，所有的數(shù)字叫這個數(shù)的有效數(shù)

字。如：0.004015,有效數(shù)字是4,0,1,5.一共四個.又如:0.00401500,有效數(shù)字是4,0,1,5,0,0,

一共六個.思考：2.15X10"的有效數(shù)字呢？

9.平方根

(1)定義：一個數(shù)的平方等于a,我們就說這個數(shù)是a的平方根。

(2)記法：a的平方根記作：土布；(a的算術(shù)平方根記作：a的立方根記作：板.)

(3)性質(zhì)：正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)。

0的平方根是0。

負(fù)數(shù)沒有平方根。

10.算術(shù)平方根：

正數(shù)有兩個平方根，其中正的平方根叫這個正數(shù)的算術(shù)平方根。

0的算術(shù)平方根是0.

負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根

11.立方根

任何實數(shù)都有且只有一個立方根。正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0,負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)

數(shù)。

12.塞

a=a,a?a?a.....a,a(n為正整數(shù))a°=l(aWO)

__________________，

n個a

a=￡三口訣為：底數(shù)顛倒，指數(shù)變號.如(|)

2實數(shù)的運算

1.運算法則

(1)有理數(shù)加法法則：同號........，異號........。

(2)有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。(變減為加)

(3)有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號……，異號……，再把……

(4)有理數(shù)除法法則：①兩數(shù)相除，同號……，異號……，再把……

②除以一個數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。(變除為乘)

(5)有理數(shù)的乘方：變?yōu)槌朔ā?/p>

2.運算定律(五個:加法交換律，加法結(jié)合律；乘法交換律，乘法結(jié)合律，乘法對加法的分配律)

3.運算順序：高級運算到低級運算，同級運算從左到右(如5+，X5),有括號時先算小括號

5

內(nèi)的，再算中括號內(nèi)的，后算大括號內(nèi)的。。

4.逆運算：加法與減法互為逆運算，乘法與除法互為逆運算，乘方與開方互為逆運算。

5.實數(shù)的大小比較：

(1)差值比較法：如a-b>0,則a>b

如a-b=O,則a=b

如a-b<0,則a<b

例如：當(dāng)實數(shù)a<0時，1+al—a(填“v”或“>”)

(2)商值比較法：若a+b>l,則a>b；

若a+b=l,則a=b；

若a-rb<l,則a<b；

(3)平方比較法如：比較2痛與3百

(4)倒數(shù)比較法如：比較歷一6和6—后

亞-“翁:"小小

.?冊6

靈活運用：

己知：a-b=-2且ab<0,(a#0,b#0),判斷a、b的符號。

3整式

一.什么叫代數(shù)式？

用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子，叫做代數(shù)式。

二、代數(shù)式的分類

代數(shù)式分有理式和無理式兩大類。

若字母在根號內(nèi)的代數(shù)式叫無理式，否則，若字母不在根號內(nèi)的代數(shù)式叫有理式。

有理式包括整式和分式兩大類。

三、基本概念

1.什么叫整式、什么叫分式？

分母中含有字母的代數(shù)式叫做分式。如：—O

a3a

分母中不含有字母的代數(shù)式叫做整式。

整式和分式統(tǒng)稱有理式，整式包括單項式和多項式。

2.什么叫單項式、多項式？

數(shù)字和字母之間，字母和字母之間只有乘除運算的代數(shù)式叫單項式。如：3a°be,-a2be.

3

單獨的一個數(shù)或字母也是單項式。如：。、0、-3。

幾個單項式的和或差，叫做多項式。如：2x2y-3y+l.

3.什么叫單項式的系數(shù)、次數(shù)？

單項式前面的數(shù)字叫單項式的系數(shù)，如上1//,JC的系數(shù)是1上，11乃/,3,,的系數(shù)是上1乃

3333

單項式中所有字母指數(shù)的和叫單項式的次數(shù)。如1病比的次數(shù)是4次，1乃/人3c的次數(shù)是6次.

33

4.什么叫多項式的次數(shù)和項數(shù)？

在一個多項式中，次數(shù)最高那一項的次數(shù)，叫多項式的次數(shù)。如：2x?y-3y+l中，次數(shù)最高的一項為'"x》",

故它是3次多項式。

在一個多項式中，有幾項，就叫幾項式。如2x0-3y+l有三項，叫三項式，它是三次三項式。注意：多項式

的每一項都有符號。

5.什么叫同類項？

兩個單項式所含字母相同，相同字母的指數(shù)也相同，這樣的單項式叫做同類項。如：歷與2a2歷.

3

四、去括號法則

括號前為正號時，把括號連同前面的"+”號去掉以后，括號內(nèi)的各項不變號；

括號前是負(fù)號，把括號和它前面的號去掉，要改變括號內(nèi)各項的符號

五、三種區(qū)分

(1)怎樣區(qū)分整式和分式？分母中有字母是分式，分母中沒有字母則為整式。

(2)怎樣區(qū)分單項式與多項式？整式中有加減運算的是多項式，整式中沒有加減運算只有乘積運算

則是單項式。

(3)怎樣區(qū)分分?jǐn)?shù)與整數(shù)？怎樣區(qū)分分式與整式？

區(qū)分原則：數(shù)看化簡式，字母看原形式。如：？不是分?jǐn)?shù)，而是整數(shù)；二不是整式，而是分式。

2x

4.整式的運算

(-)整式的加減運算：合并同類項。

(二)整式的累的運算：

①同底數(shù)幕相乘：a'n-a"=am+n②同底數(shù)幕相除:am^an=am-n

③事的乘方：("")"=a'""④積的乘方：(ab)"=a"b"

⑤分式乘方：（￡）"=注（注意：凡是公式都可以倒用）

⑥零指數(shù)嘉的意義：a°=l（a^O）

⑦負(fù)指數(shù)幕的意義：。一°=A（a，O,p是正整數(shù)）

a'

（三）整式的乘法運算

1.單項式與多項式的乘法：

⑴單X單;（2）單X多;⑶多X多。

2.特殊形式的乘法：運用乘法公式

平方差公式：（a+b）（a-b）=a2—b2.

完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2.

三項和的完全平方公式：3+〃+c）2=a2+h2+c2+2ab+2hc+lac

（四）整式的除法

單項式與多項式的除法：⑴單+單;（2）多+單。

七、充分理解公式中字母的含義

公式的字母不僅代表一個數(shù)字、一個單獨的字母，而且代表一個單項式、一個多項式、一個非常復(fù)雜

的多項式、甚至代表一個國家、一個地球、一個宇宙，代表一切的一切.

八、用公式做題三大步驟：找模、整模、用模.

九、公式的三用：順用、倒用（世界上所有的公式都可以倒用）、變形用.

十、常用的變形公式有

⑴/+〃=(a+by-2ab

(2)/+b2=(a-b)2+2ab

(3)(。+A)~—(a—b)~+4ab

(4)(〃-b)2=(〃+b)2-4ab

(a-bf

(5)。+b=

(a-b)

(6)Q—b-----------

(4+h)

⑺a2+/+6J=(〃+〃+c)2_2(ab+Oc+ac)

(S)ah+he+ac=^-[(a+h+c)2-(a2+h2+c2)]

(9)/+/+c2-ab-bc—c=?(f)、(―(…溝

(10)/+1=(a+與-2

a-a

(1l)a2+-L=(a--)2+2

aa

以上常用的變形公式常用于代數(shù)式的整體變用，對于解決難題很有幫助。

5.分解因式

1.分解因式：又叫因式分解，就是把一個多項式變成幾個整式的乘積形式。

2.分解因式注意點：(1)分解因式要徹底，要分解到每一個因式不能再分解為止

(2)分解因式的結(jié)果不帶中括號

(3)如第一項系數(shù)為負(fù)，先將負(fù)號提出來

(4)注意分解因式的范圍(有理數(shù)范圍內(nèi)還是實數(shù)范圍內(nèi))

3.分解因式的步驟：一提二套三分組。

提：指提公因式。如24x)2-16x?yz

套：指套用公式：a2±2ab+b2=(a±b)~

a~-b~=(a+b)(a-b)

稍復(fù)雜的可以分組，分組要確保組與組之間有聯(lián)系，組與組之間能再分解。

4.分解因式的常用方法：

(1)提取公因式法；(2)倒用乘法公式法；(3)分組分解法；(4)十字相乘法.

嘗試：(x+2y)2-x2-2xy.(2m+3n)(2m-n)-4n(2m-n)

m,：(p-q)-p+q(X2-2X)2+2X(X-2)+1

3x'-48y,4a2b2-（a2+b2）2

6.分式

一.什么叫分式？

分母中有字母的式子叫分式。

二.分式的三種條件：分式有意義的條件：分母不等于0

分式無意義的條件：分母等于0

分式的值為0的條件：分母不等于0,分子等于0

三.分式的基本性質(zhì)：

分式的分子、分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變。

四、什么叫分式的約分、通分？

將分式的分子和分母中同時除以公因式叫做約去.

把不同的分母的分式化成同分母的分式叫通分。

五、分式的運算

「同分母的：分母不變，分子向加減。

（1）分式的加減Y

L異分母的：先通分，化為同分母的再加減。

如何確定最簡公分母？

（1）各個分母先分解因式；（2）系數(shù)取各系數(shù)的最小公倍數(shù)，因式取各個因式的最高次幕，然后全部

相乘.

（2）分式的乘法：分子分母先分解因式，再約分，約分后，分子乘分子，分母乘分母。

（3）分式的除法：變除為乘。

（4）分式的乘除法與分式的加減法步驟的區(qū)別？

分式的乘除法：（1）分子分母都要分解因式；（2）約分；（3）相乘，分子乘分子，分母乘分母.

分式的加減法的步驟：（1）只把分母分解因式；（2）通分；（3）按同分母法則計算.

（5）分式的混合運算：有括號，先算括號里面的；沒有括號，先算乘除，再算加減.

六、分式方程

1.什么叫分式方程？

分母中含未知數(shù)的方程，叫分式方程。如：—1+-^2-=-1

2xx+32

2.解分式方程

(1)基本思想:

轉(zhuǎn)化___________

分式方程整式方程

方程兩邊同是乘以最簡公分母

如何將分式方程化為整式方程？答：去分母一去括號一移項一合并同類項一降基排列.

(2)解分式方程的基本步驟：

①降累排列分母；

②提分母第一項的負(fù)號；

③將分母的負(fù)號寫在分?jǐn)?shù)線前；

④分母分解因式.

⑤去分母，方程兩邊同時乘以最簡公分母；

⑥去括號；

⑦移項；

⑧合并同類項；

⑨未知數(shù)系數(shù)化為1；

⑩檢驗：將未知數(shù)的值代入最簡公分母，看是否為0.若分母不為0則是原方程的根，否則，是原方

程的增根。

總的來說：變形三步+分母分解因式+老五步+檢驗.

3.列分式方程：與以前列方程的方法步驟完全一樣，只不過別忘了寫檢驗.

7.二次根式

一.對的含義的理解

&表示a的算術(shù)平方根，由于負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以，在“右”中，被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù),

即：a20.

二.什么叫二次根式？

形如的式子，叫做二次根式.二次根式的實質(zhì)是指一個數(shù)的算術(shù)平方根.

三.理解二次根式的雙重非負(fù)性

(1)在“右”中，由于負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，即：a20.

(2)在“\[a"中，由于一個數(shù)的算術(shù)平方根不可能是負(fù)數(shù)，所以G的結(jié)果不可能是負(fù)數(shù)，故

0.

四.二次根式的兩個重要性質(zhì)

(1)(V?)2=?(a>0)

(2)=\a\

五、什么叫最簡二次根式？

若一個二次根式滿足兩個條件：被開方數(shù)不含開方開得盡的因數(shù)或因式，被開方數(shù)不含分母，這樣的

二次根式叫做最簡二次根式。

二次根式運算的結(jié)果必須化成最簡二次根式，同時分母不含根號.

六、怎樣化簡二次根式？

化簡公式有兩個：(1)Vab=Va?Vb(a20,b20)

(2)Ja+b=Va-+-y/b(a20,b>0)

七、二次根式的運算

(1)二次根式的加減法：先將各個二次根式化簡，再合并同類二次根式。

(2)二次根式的乘法

Va?Vb--Vab(a，0,b20)

(3)二次根式的除法

Va-S-Vb=Va+b(a>0,b>0)

(4)二次根式的混合運算

符合公式形式的要按公式計算，沒有公式形式的按運算順序算。

運算順序：如果有括號，先算括號；沒有括號的，先乘除，后加減.

八、二次根式的估算：記住下列數(shù)據(jù)有利于估算

(1)記住0——10的算術(shù)平方根的近似值

Vo=0;VT=1;V2?1.414;V6?2.449;Vf?2.646;

V3=1.732;V4=2;渥=2.828;彼=3;

V5?2.236;VTox3.162;

(2)記住下列各數(shù)算術(shù)平方根：

?x/5"=0;A/T=1;VT=2;

邪=3;VT6-=4;V25-=5;

回二6;四二7;洞二8;V144=12;Vi69=13;Vi96=14;

V8T=9；A/T60=10；5/T2T=11;V225=15;V256=16;V289=17;

7324=18;7361=19;7400=20;

7441=21;V484=22;7529=23;

"576=24;V625=25;

V676=26;J729=27;

"784=28;

784?=29;V900=30;

(2)記住下列各數(shù)立方根

g=—i；V5=o；Vi=i；

雙=2而=3;癡=4;

V125=5;V216=6;

V343=7;VM2=8;

V729=9;V1000=10;

二方程與不等式

1.一元一次方程

i.方程：含未知數(shù)的等式叫方程。

2.方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。

3.解方程的依據(jù)一等式的基本性質(zhì)

（1）等式兩邊同時加上或減去同一個代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式。

（2）等式兩邊同時乘以同一個數(shù)，所得結(jié)果仍是等式。

（3）等式兩邊同時除以同一個不為0的數(shù)，所得結(jié)果仍是等式。

4.一元一次方程：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)為1的整式方程叫一元一次方程。

5.解一元一次方程的程序：去分母一去括號一移項一合并同類項一未知數(shù)系數(shù)化成1.

6.列方程解應(yīng)用題的步驟

（1）“勾”：在題中勾出表示等量的句子。認(rèn)真審題，理解題意。弄清問題中已知量是什么，未知量是

什么，問題給出和涉及的相等關(guān)系（或不等關(guān)系）是什么。

（2）“改”：將表示等量的句子改寫具有“=”的等量關(guān)系。

（3）“析”：分析怎么計算，既分析數(shù)量關(guān)系，怎樣進行計算。

（4）“設(shè)”：將不知道的設(shè)為未知數(shù)。

（5）“列”：列方程.

（6）“解”：解方程（組或不等式）.

（7）“驗”：檢驗，看是否符合題意和符合實際。

（8）“答”：寫答案。

7.列方程怎樣設(shè)未知數(shù)？

（1）直接設(shè)：求什么，設(shè)什么叫直接設(shè)。

（2）間接設(shè)：不設(shè)求的為未知數(shù)，而設(shè)其它數(shù)量為未知數(shù)，叫間接設(shè)。

8.設(shè)未知數(shù)的小技巧：設(shè)“小”些的數(shù)為x,可以使計算簡單。

9.關(guān)于等量關(guān)系的使用

在一道應(yīng)用題，一般都有兩個或三個等量關(guān)系。一般來說，其中一個等量關(guān)系可用于設(shè)未知數(shù)，另

一個用于列方程。

10.什么叫不定方程（組）？

當(dāng)未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)，就叫不定方程（組）.

2.二元一次方程組

1.二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，未知項的最高次數(shù)為1的整式方程叫二元一次方程。

2.二元一次方程組：一個方程組中，共含有兩個未知數(shù)，未知項的最高次數(shù)為1,這樣的方程組叫二

元一次方程組。

3.二元一次方程組的解：方程組中每個方程的公共解。

4.二元一次方程組的解法：基本思想：“消元”

(1)代入消元法(2)加減消元法(3)圖像解法

5.三元一次方程組的解法：與二元一次方程組相同，“消元”。

3.一元二次方程

1.一元二次方程定義：有一個未知數(shù)，未知項的最高次數(shù)為2的整式方程叫一元二次方程。

2.一般形式：ax~+hx+c=0(a0)

如何將一個方程化為一元二次方程的一般形式？

(去分母一去括號一移項一合并同類項~降事排列.)

3.解法：(1)直接開平方法

(2)配方法(注意步驟和推導(dǎo)求根公式)

(3)公式法：x=二"±"士"(02—4ac>0)

2a

(4)因式分解法(特征：方程右邊為0)

說明：用配方法和公式法，都要先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式才行。對于不規(guī)則的方程首先要化

成一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。

4.根的判別式：A=b2-4ac

當(dāng)△=A?-4ac>0時，-元二次方程ox?+bx+c=0(。H0)有兩個不相等的實數(shù)根.反之亦然.

當(dāng)△=〃—4ac=0時,一元二次方程a?+陵+。=0(。。0)有兩個相等的實數(shù)根.反之亦然.

當(dāng)△=〃-4ac<0時,一元二次方程以②+Ox+c=0(aH0)沒有的實數(shù)根.反之亦然.

bc

4.根與系數(shù)頂?shù)年P(guān)系：X)4-X=-,X|,X=一

2a2a

逆定理：若用+/="2，當(dāng)，無2=〃，則以西,82為根的一元二次方程是：x2-iwc+n=0?

5.解應(yīng)用題：關(guān)鍵是找等量關(guān)系。

常見類型：(1)兒何面積問題：如花圓修路問題

(2)商品數(shù)量、價錢、利潤問題

(3)連續(xù)兩次增減問題:逐年逐月分析法.

5一元一次不等式和一元一次不等式組

一、基本概念

1.什么叫不等式？

用不等號連接的式子。如a>b、a<b、a》b、aWb、aWb。

2.什么叫一元一次不等式？

含有一個未知數(shù)，未知項的最高次數(shù)為1且不等號兩邊是關(guān)于未知數(shù)的整式叫元一次不等式組：

3.什么叫一元一次不等式組？

由兩個一元一次不等式組合在一起，叫一元一次不等式組。

二、不等式的性質(zhì)：

(l)a>b*--?a+c>b+c

(2)a>b----ac>bc(c>0)

(3)a>b-->ac<bc(c<0)

(4)a>b,b>c^a>c(傳遞性)

⑸a>b,c>dfa+c>b+d.

三.解一元一次不等式

步驟：與解一元一次方程步驟完全相同.

去分母f去括號一移項一合并同類項一未知數(shù)系數(shù)化成L

三、解一元一次不等式組

先解出每一個不等式，再取各個不等式的公共解。

怎樣取公共解？大大取較大；小小取較小；小大大小中間找：大大小小解不了.

四、怎樣求不等式或不等式組的特殊解？

先解出不等式、不等式組，再按要求取整數(shù)解，正數(shù)解、負(fù)數(shù)解等。

五、怎樣列一元一次不等式或不等式組？

答：抓住題中的“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”、“不超過”，“至少”、“至多”……等字眼，

列出不等式，另外，還要善于挖掘題目中隱含的不等關(guān)系來列不等式。

六、常見題型：

(1)不滿也不空的問題.

(2)選擇費用優(yōu)惠問題.

(3)方案設(shè)計型的問題：方案設(shè)計中，必須求出未知數(shù)x的最大范圍與最小范圍，一般來說至少要列

兩個不等式，組成不等式組。

（4）最優(yōu)化問題。

方案設(shè)計型中的利潤最大值、成本最小值等問題：要設(shè)兩個未知數(shù)，銷售利潤、成本也要設(shè)一個未

知數(shù)如w元，才能建立一次函數(shù)或二次函數(shù)的關(guān)系式，用一次函數(shù)或二次函數(shù)的增減性模型來解決。

6方程與不等式的綜合應(yīng)用

1?列不等式（組）解應(yīng)用題具體步驟：與列方程的步驟相同。

2.常用的相等關(guān)系

（1）相遇問題：速度和X相遇時間=相遇的路程.

（2）追及問題：速度差X追及時間=追及時間.

（3）水中航行：v順=船速+水速；丫逆=船速-水速

⑷商品利潤問題：利潤=售價-進價利潤率=想

進價

（5）儲蓄問題：利息=本金義利率X時間（時間要和利率對應(yīng)）

（6）工程問題：工作量=工作效率X工作時間（常把工作量看著單位“1”）。

（7）數(shù)字問題：

兩位數(shù)的表示：百位數(shù)字X100+個位數(shù)字

三位數(shù)的表示：千位上的數(shù)字義1000+百位數(shù)字義100+個位數(shù)字

三基本圖形

（-）圖形與坐標(biāo)

1.各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的特點：一（+,+）.二（-，+）.三-）.四（+,-）.

2.坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)的特點

3.關(guān)于坐標(biāo)軸、原點對稱的點的坐標(biāo)的特點

關(guān)于x軸對稱，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)

關(guān)于y軸對稱，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同。

關(guān)于原點對稱，橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)

4.坐標(biāo)平面內(nèi)點與有序?qū)崝?shù)對的對應(yīng)關(guān)系

5.坐標(biāo)平面內(nèi)兩點的距離：

點P（XI,0）,Q（x2.0）在X軸上，PQ的長=大的橫坐標(biāo)-小的橫坐標(biāo)，或者，PQ=|x「X4.

點P點（0,弘），Q點（0,%）在y軸上，或PQ的長=大的縱坐標(biāo)-小的縱坐標(biāo)，或者，PQ=Iyiy2|.

22

任意兩個點P點（X"X）,Q點，則PQ=yl（x2-x｝）+（y2-yl'）?

（二）軸對稱

1.軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸

對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。（注意：對稱軸是直線）

2.軸對稱：如果兩個圖形沿著一條直線對折后兩個圖形完全重合，這兩個圖形就關(guān)于

這條直線對稱。這條直線仍叫做對稱軸。（注意：對稱軸是直線）

3.軸對稱指的是兩個圖形的位置關(guān)系；而軸對稱圖形指的是一種具有特殊性質(zhì)的圖形。

4.軸對稱的性質(zhì)：

（1）對應(yīng)點到對稱軸的距離相等

（2）對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分

5.垂直平分線（中垂線）：

（1）定義：垂直且平分某條線段的直線叫這條線段的垂直平分線。

（2）性質(zhì)：垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。

（3）判定：到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上。

6.角平分線:

（1）定義：從角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分

線。

（2）性質(zhì)：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。

（3）判定到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

7.軸對稱作圖：關(guān)鍵是描出關(guān)鍵點的對應(yīng)點，在連線。

8.中心對稱指的是兩個圖形的位置關(guān)系；而中心對稱圖形指的是一種具有特殊性質(zhì)的圖形。

3平移與旋轉(zhuǎn)

1、圖形的平移:

(1)概念：圖形沿著一定的方向移動一定的距離叫平移。

(2)平移的基本要素：基本圖案，平移方向，平移距離

(3)平移的特征：

①平移中，圖形中的每一個點沿著同一方向移動同一距離。

②平移后，對應(yīng)線段平行且相等。

③平移后，對應(yīng)角相等。

④平移后，對應(yīng)點的連線相互平行或在同一條直線上

⑤平移是圖形的平行移動，圖形的形狀、大小都不會發(fā)生改變。

(4)平移圖形作圖：關(guān)鍵是利用平移的性質(zhì)做關(guān)鍵點的對應(yīng)點。

2、圖形的旋轉(zhuǎn)：

⑴旋轉(zhuǎn)：如果平面內(nèi)的點繞著某點0按某個方向(順時針或逆時針)轉(zhuǎn)動一定的角度，這種圖形的

變換稱為旋轉(zhuǎn)，點0就是旋轉(zhuǎn)中心。

⑵旋轉(zhuǎn)角：某組對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線構(gòu)成的夾角。

⑶旋轉(zhuǎn)的基本要素：基本圖案、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度。

⑷旋轉(zhuǎn)中心是旋轉(zhuǎn)變換的唯一不動點，反之，若有一點在旋轉(zhuǎn)中保持不變，則必為旋轉(zhuǎn)中心

⑸圖形旋轉(zhuǎn)的特征：圖形中每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距

離相等；對應(yīng)線段相等；對應(yīng)角相等；圖形的形狀和大小都沒有發(fā)生改變。

⑹作旋轉(zhuǎn)后的圖形：關(guān)鍵在于利用旋轉(zhuǎn)的特征做關(guān)鍵點的對應(yīng)點。

3、中心對稱:

(1)中心對稱：將一個圖形繞著一個點旋轉(zhuǎn)180°后，與另一個圖形重合，我們稱這兩個圖形關(guān)于這

個點成中心對稱。這個點叫對稱中心。

(2)中心對稱圖形：將一個圖形繞著中心點旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合，我們把這種圖形叫做中心對

稱圖形。這個中心點叫對稱中心。

(3)中心對稱指的是兩個圖形的位置關(guān)系；而中心對稱圖形指的是一種具有特殊性質(zhì)的圖形。

(4)中心對稱圖形的特征：在成中心對稱的圖形中，對稱點的連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中

心平分。

(5)中心對稱圖形的識別：如果某個圖形的對應(yīng)點連成的線段都經(jīng)過某一點，并且都被該點平分，那

么這個圖形一定是中心對稱圖形。

4空間圖形

1.常見的幾何體

2.三種視圖：

(1)主視圖、左視圖、俯視圖

(2)畫三視圖時應(yīng)注意：①尺寸：長對正，寬相等、高平齊②位置③虛實④名稱

3.幾何體的展開與折疊

4.投影

(1)基本因素：投影物體、投影光線、投影面

(2)投影分類：平行投影、中心投影

(3)投影作圖：①平行投影利用平行光線作圖，中心投影利用光線交于一點作圖

②投影作圖的關(guān)鍵是作形成影子的光線，形成影子的光線經(jīng)過光源、物體頂端和

影子頂端三點。

5.一天中太陽光線下影子的長短和方向變化

6.盲區(qū)：眼睛看不到的區(qū)域叫盲區(qū)。(類似于中心投影：眼睛似光源，視線似形成影子的光線，盲

區(qū)似影子)

7.投影的解答題多與相似三角形、三角函數(shù)有聯(lián)系。

5基本作圖

1.工具；直尺、圓規(guī)

2.格式：己知、求作、作法、證明

3.要求：標(biāo)注字母，保留痕跡

4.基本尺規(guī)作圖：

(1)作線段等于已知線段

(2)作一個角等于已知角

(3)作線段的垂直平分線

(4)作角平分線

(5)平移和旋轉(zhuǎn)

(6)放大與縮小

四函數(shù)及其圖像

1認(rèn)識函數(shù)

一、變量與常量

1.認(rèn)識變量、常量，區(qū)分自變量和因變量

2.確認(rèn)反映變量關(guān)系的圖像(可借助實際問題、增減性、函數(shù)等)

二、函數(shù)表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶圖象法。

三、確定自變量取值范圍的原則：⑴使代數(shù)式有意義;⑵使實際問題有意義。

四、畫函數(shù)圖象：⑴列表;⑵描點象)連線。

2一次函數(shù)

一、正比例函數(shù)

1.定義：

形如y=kx(k^O)的函數(shù)叫正比例函數(shù).

2.圖象：

(1)形狀：過原點的一條直線.

(2)畫法：過(0,0),(1,k)兩點畫直線。

3.性質(zhì)：

(1)k的符號決定直線的走勢

k>0時，直線從左向右走上坡，過一、三象限，y隨X增大而增大;

k〈0時，直線從左向右走下坡，過二、四象限，y隨x增大而減小。

(2)k的絕對值的大小決定直線的陡度

|k|越大，直線越陡，直線與x軸的交角越大。

4.怎樣求正比例函數(shù)表達(dá)式？

用待定系數(shù)法求：①設(shè)②代③解④代；只需知道一個點的坐標(biāo).

5.正比例函數(shù)圖象草圖：

k>0k<0

一次函數(shù)

1.定義:形如y=kx+b(kWO)的函數(shù)，叫一次函數(shù).

正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)，一次函數(shù)包含正比例函數(shù)。

2.圖象：

(1)形狀：一條直線.

b

(2)畫法：過(0,b),0)畫一條直線.

k

3.性質(zhì)：

(1)k的符號決定直線的走勢

k>0時，直線從左向右走上坡，過一、三象限，y隨x增大而增大；

k〈0時，直線從左向右走下坡，過二、四象限，y隨x增大而減小。

(1)k的絕對值的大小決定直線的陡度

|k|越大，直線越陡，直線與x軸的交角越大。

(2)b的符號決定直線與y軸的交點位置

b>0時，直線與y軸的交點在y軸的正半軸；

b<0時，直線與y軸的交點在y軸的負(fù)半軸。

4.y=kx+b(kr。)的圖像草圖:

5.直線y=Lx+bi與y=kzx+b2的位置關(guān)系:

<>重合

ki=k2bi=b2

<>平仃(可以解答圖像平移問題)

ki=k2bH\)2

ki#k2<>相交

<>垂直

kik2=-1

6.怎樣求一次函數(shù)解析式？

用待定系數(shù)法求：①設(shè)②代③解④代；必須知道兩個點的坐標(biāo).

7.一次函數(shù)運用

(1)在平面直角坐標(biāo)系中，怎樣求三角形的面積？

將底或高至少選一條在坐標(biāo)軸上，斜三角形要豎分。

(2)處理好坐標(biāo)與線段長的關(guān)系：橫、縱坐標(biāo)加了絕對值=線段的長.

(3)平面內(nèi)兩點間的距離公式：

如果兩個點A點(xi,0),B點(xz,0)在x軸上，則A、B兩點的距離是卸=.一%20

如果兩個點A點(0,yJ,B點(0,必)在y軸上，則A、B兩點的距離是w同=|乂一對。

如果兩個點A點(X1,y),B點(々，%)是平面上任意兩點，則A、B兩點的距離是

=近2-4)2+(y2一弘)2。

(4)求兩直線交點的坐標(biāo)：將兩直線解析式列成方程組，方程組的解就是交點的坐標(biāo)。

(5)運用：幾種方案問題，與不等式組聯(lián)系.

3反比例函數(shù)

一、定義

形如y=K(kWO)的函數(shù)叫反比例函數(shù).

X

反比例函數(shù)另外兩種形式：y=kx"(kWO)xy=k(kWO)

二、圖象

(1)形狀：雙曲線，和兩坐標(biāo)軸無限靠近，但不會與坐標(biāo)軸相交.

(2)畫法：列表、描點、連線.

(3)雙對稱：既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。

三、性質(zhì)：

k>0時，圖象位于一、三象限，在每一個象限內(nèi)y隨x而減小。

k<0時，圖象位于二、四象限，在每一個象限內(nèi)y隨x而增大。

4.用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式：①設(shè)②代③解④代.只需知道一個點的坐標(biāo)

四、反比例函數(shù)圖象草圖：

k>0時k<0時

五、反比例函數(shù)k的兒何意義：

①雙曲線上任意一點橫、縱坐標(biāo)的乘積=k

②S矩形=Ik|SRtA=-Ik|(注意矩形和三角形位置)

2

六、運用

(1)一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題：求函數(shù)表達(dá)式和^面積.

(2)比較一次函數(shù)與反比例函數(shù)的大小。

4二次函數(shù)

一、二次函數(shù)的定義：

1.什么叫二次函數(shù)？

形如丁=辦2+b%+c(qw。)的形式的函數(shù)叫二次函數(shù)。注意：(1)x的系數(shù)必須是2；二次

項系數(shù)aKO；(3)自變量x不能在分母中。

2.二次函數(shù)的三種表達(dá)形式:

一般式：y=ax2+bx+c(aW0)

頂點式：y=a(x-h)2+k(a#0)

兩根式：y=a(x-xi)(x-X2)(a#0)(x］、X2是圖像與x軸兩交點的橫坐標(biāo))

二、二次函數(shù)丁=+Z?x+c(〃，0)的圖像畫法

1.四步法：(1)求出對稱軸和頂點坐標(biāo)。(2)列表，頂點坐標(biāo)放在中間，對稱列表。(3)描點。(4)

連線。

b4ac—b2

2.四點法：求出頂點(-，----------)、與y軸交點(0,c)、與x軸的兩個交點(xi,0),(X2,0),

2a4a

過四個點畫.

h4ac—h2

3.三點法：求出頂點(——，---)、與x軸的兩個交點區(qū),0),(X40),過三點畫。

2a4a

4.實際問題中二次函數(shù)的圖像畫法：

(1)求出實際問題中自變量的最小值與最大值。

(2)自變量最小值時，有一個點的坐標(biāo)，自變量取最大值時，有一個點的坐標(biāo)，再求出頂點坐標(biāo)。

過這三個點可以畫圖。

三、二次函數(shù)平移問題：

__iZ欠差攵、，±y丫=>”2門勺千1不多^w

1-平移關(guān)系

-4------------------------------------------*y=a(x—--------------------------------------------—h產(chǎn)+k

當(dāng)hVOEFt,向左干琴當(dāng)kVO?.白下干建

2-亞點變化

Co,o)Ch,o)

af決定開口方向

h-決定左右移動(左加右減：y=a(x-h)2+k,往左移時，h前是加號；往右移時，h前是減號)

k~決定上下移動(上加下減：y=a(x-h)2+k,往左移時，k前是加號；往右移時，k前是減號)

移動時，抓住頂點坐標(biāo)。

四、y=a(x~h)2+k,y=ax2,y=ax2+c,y—OX'+bx+C(以豐0)的聯(lián)系:

函數(shù)統(tǒng)一成頂點式頂點對稱軸

y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2+kx二h(h,k)

y=ax2y=a(x-0)2+0x=0(0,0)

y=ax2+cy=a(x-O)2+cx=0(0,c)

2

1.b、24ac-trb4ac-bb

y=ax++cy=a(x+)-+(C，A)x=-----

2a4a2a4a2a

五、二次函數(shù)y=a(x-h)?+k(aWO)的性質(zhì)

(1)開口方向：a>0時，開口向上；a<0時，開口向下.

(2)對稱軸:直線x=h

(3)頂點坐標(biāo)：頂點坐標(biāo)公式(h,k)

(4)最值：a>0時，當(dāng)x=h時，y有最小值k;a<0時，當(dāng)x=h時，，y有最大值k。

(5)增減性：

a>0時，在對稱軸左側(cè)，x<h時，y隨x增大而減小，

在對稱軸右側(cè)，x>h時，y隨x增大而增大。

a<0時，在對稱軸左側(cè)，x<h時，y隨x增大而增大，

在對稱軸右側(cè)，x>h時，右側(cè)y隨x增大而減小。

六、怎樣求對稱軸，頂點坐標(biāo)？

1.配成頂點式y(tǒng)=a(x-h)、k(aWO)的形式。對稱軸是x=h,頂點是(h,k)?

h4ac—h2

2.直接用公式(—一,------)求，將a、b、c的值代入計算即可。

2a4a

b

3.算出——的值，再代入>=奴92+Zzx+c(aHO)得出縱坐標(biāo)的值.

2a

七、怎樣求二次函數(shù)解析式？

方法：待定系數(shù)法。

任意三點，通常選用一般式；

已知對稱軸或頂點，一般選用頂點式；

已知拋物線與x軸的兩個交點，可設(shè)為兩點式。

八、拋物線)=依2+hx+c(aH0)與一元二次方程at?+bx+c=0(a0)的關(guān)系:

判別式拋物線y=cue2+bx+c（。w0）一元二次方程

a?+么+c=0（a。0）的根的情況

△=/-4ac的值與x軸的交點個數(shù)

△=/72-4ac>0兩個兩個不相等的實數(shù)根。

一個兩個相等的實數(shù)根。

△二〃-4ac=0

沒有沒有實數(shù)根

△二從一4ac<0

九、關(guān)于a、b、c的幾何意義

1.如何確定a、b、c的符號：

a的符號f決定開口方向.

a、b的符號f共同決定對稱軸的位置。a、b同號，對稱軸在y軸左側(cè)；a、b異號，對稱軸

在y軸右左側(cè)

c的符號f決定圖像與y軸的交點。c>0,交y軸正半軸；cVO,交y軸負(fù)半軸；c=O,

過原點.

2.a+b+c、a-b+c、4a+2b+c、4a-2b+c等的符號：分別看x=l,x=T,x=2,x=-2時,y的值。

3.b與2a的關(guān)系：一般看對稱軸的位置。

4.人2-4ac的符號；看拋物線與x軸的交點個數(shù)。

5.有“>,<”的代數(shù)式比較：一般是比較縱坐標(biāo)或橫坐標(biāo)的大小。

6.復(fù)雜的不等式：由各種條件綜合考慮。

等式可以相加、相減；同向不等式可以相加，相減；不等式加上或者減去一個等式，結(jié)果仍為不等式。

十、距離與點的坐標(biāo)的關(guān)系：任何點的橫縱坐標(biāo)必須加絕對值才是距離。

如果兩個點A點（Xi,0）,B點（X2.0）在x軸上,則A、B兩點的距離是=|石一引。

如果兩個點A點（0,y）,B點（0,%）在y軸上，則A、B兩點的距離是川=|x—%|。

如果兩個點A點,B點（々,%）是平面上任意兩點，則A、B兩點的距離是

|陰=&工2-4）2+（〉2一弘）2。

十一、二次函數(shù)的實際運用：

（1）解決實際問題的最大難點：將實際問題中的數(shù)據(jù)與函數(shù)中坐標(biāo)的值對應(yīng)。即實際問題中的某一個

數(shù)字就是函數(shù)中的某一個縱坐標(biāo)或者橫坐標(biāo)。

（2）通常函數(shù)中的最值問題，一次函數(shù)、反比例、二次函數(shù)都有最大、最小值。如最大面積，最大利

潤。二次函數(shù)的最大最小，就是二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)。

這類題要善于假設(shè)因變量和自變量，列出函數(shù)關(guān)系式，再用其最值或增減性解答。

（3）二次函數(shù)與一元二次方程如：2xJ5x+3=0的解就是函數(shù)y=2x?-5x+3的縱坐標(biāo)y=0時，橫坐標(biāo)的

兩個值。2X2-5X+3=2的解就是函數(shù)y=2x2-5x+3的縱坐標(biāo)y=2時，橫坐標(biāo)的兩個值。