新教材高中數(shù)學(xué)課時跟蹤檢測七用空間向量研究距離問題新人教A版選擇性必修第一冊

課時跟蹤檢測(七)用空間向量研究距離問題

1.已知直線/的方向向量n=(1,0,2),點4(0,1,1)在直線，上，則點戶(1,2,2)到直

線)的距離為()

A典

A-5

C書D.2弧

解析：選A由已知得⑸=(—1,-1,-1),所以點戶到直線1的距離為d=

9^30

5=5,

2.若三棱錐回的三條側(cè)棱兩兩垂直，且滿足以=如=47=1,則點尸到平面,

的距離是()

A亞RB-亞3

6

c.f

解析：選D分別以RI,PB,AC所在的直線為x軸、y軸、z軸建立

空間直角坐標(biāo)系,

則2(1,0,0),6(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面46c的一個法向

|萬?n|#

量為n=(1,1,1),則d—

n3'

3.已知△46。的頂點4(1,-1,2),6(5,一6,2),C(l,3,-1),則邊上的高初

的長等于()

A.3B.4

C.5D.6

—>—?—?

解析：選C因為46=(4,-5,0),AC=(0,4,-3),則AC對應(yīng)的單位向量為

43

O

5-5-

所以"邊上的高砌的長為6到然的距離—~AB-u2=^41—16=5.

ABx

4.如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體力及746C2,26=1,BC=2,44=3,則

點6到直線4。的距離為()

2B也

7D，7

C.華D.1

解析：選B過點6作跳工4G垂足為￡,設(shè)點￡的坐標(biāo)為(x,y,z),

由題意知4(0,0,3),6(1,0,0),<7(1,2,0),

故就=(1,2,-3),~BC=(0,2,0),

就對應(yīng)的單位向量為

所以點6到4c的距離為

5.若正方體ABC)A\BCD\的棱長為a,則平面ABM與平面BDQ的距離為()

A.y[2aB./a

「也n也

C.D.

解析：選D建立空間直角坐標(biāo)系如圖.

則2(a0,0),“(0,0,0),Ci(0,a,a),R(0,0,a),A(a,a,a),

ABi=(0,a,a),ADi=(—a,3a).

設(shè)n=(x,y,z)為平面AS〃的法向量，

—?

n,ABi=a,y+z=0,

則《

--?

、n,ADi=a-x+z=0,

得]'取z=l,則n=(l,—1,1).

[x=z.

又YADJ/BCi,AB」/DC\,AD1cAA=A,

DC\CBG=C\,J平面平面初G.

???平面陽〃與平面應(yīng)招的距離可轉(zhuǎn)化為點G到平面/笈〃的距離d.

VGB,=0,0),平面2二〃的法向量為n=(l,-1,1),

n

6.已知向量n=(l,0,—1)與直線，垂直，且直線，經(jīng)過點4(2,3,1),則點戶(4,3,2)

到直線1的距離為.

解析：月=(—2,0,-1),因為n與1垂直，所以尸到/的距離為

—2,0,11?1,0,-11

[一+"""-1""工鏡2.

合秦：2

7.在底面是直角梯形的四棱錐22顆中，側(cè)棱底面/a〃BC//AD,ZABC=W°,

PA=AB=BC=2,AD=1,則/〃到平面皈的距圖為________

解析：到平面陽C的距離等于點A到平面陽，的距離.由已知可知43,AD,4P兩兩

垂直.

以/為坐標(biāo)原點，~AB,~AD,77的方向為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)

系(圖略)，則/(0,0,0),8(2,0,0),。(2,2,0),戶(0,0,2),則~PB=(2,0,-2),定=(0,2,0).

設(shè)平面陽C的法向量為n=(a,b,c),

n_LPB,f2a—2c—0,

則,即八取a=l,得n=(l,0,1),

,F[26=0,

、n_L,

A

又第'=(2,0,0),所以

答案：小

8.如圖，在長方體力成力-45G〃中，41=46=2,AD=\

別是48,CG的中點，則點〃到直線G6的距離為________.

解析：如圖，以〃為坐標(biāo)原點，分別以物，〃C,Z必所在的直線為X,y,Z

z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則〃(0,0,2),6(1,1,0),G(0,2,1),

：/G

于是有per

GF=(\,—1,—1),Z4FB

血=(0,-2,1),

bGF?GD\2-11?,>?r-

所以一>—仄一回\G。I—^5,

GF\N3V3

所以點〃到直線在的距離為｛5—3=華.

名案且

合榮：3

9.已知正方體〃的棱長為a,E,尸分別是郎，⑺的中點，求點尸到平面

4〃￡的距離.

解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則4(20,a),〃(0,0,a),a,a0,宗°)

設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z),

則n?AM=0,n,A\E=0,

x,y,z—a,0,0=0,

即《

?(0，a,—1j=0,

x,y,z

a

??0fay—~z=0.

x=0,

即《z令z=2,得n=(0,1,2)?

尸5,

又9=0,4

3

.二匚4口匚聲\FDi,n|5a3^5

??所求總巨禺dr-i~i

nF1。&

10.如圖所示的多面體是由底面為力比刀的長方體被截面力￡G戶所

截得到的，其中48=4,BC=2,CG=3,BE=\,四邊形/反/為平行

四邊形.

⑴求斯的長;

⑵求點。到平面4制尸的距離.

解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則2(0,0,0),8(2,4,0),4(2,0,0),C(0,4,0),￡(2,4,1),G(0,4,3),設(shè)戶(0,0,z).

因為四邊形/陽尸為平行四邊形，所以由方=立得，(-2,0,z)=(—2,0,2),

所以z=2.所以6(0,0,2).所以"=(-2,-4,2).

于是1=24，即斯的長為24.

⑵設(shè)m為平面/用戶的法向量，

顯然m不垂直于平面血火，故可設(shè)m=(x,y,1),

ni?AF=0f[0X^+4Xy+l=0,

所以所以

[—2Xx+0Xy+2=0,

Im?AF=0f

廠X-X1

|4y+l=0,1

即所以＜

I—2x+2=0,y--4-

-

又CC\=(0,0,3),

所以C到平面/四戶的距離

\~CQ-al34^33

"=㈤=直=11-

4

拔高提能訓(xùn)練

—*■3—*■1—?

1.如圖，ABCIyEFGH是校長為1的正方體，若尸在正方體內(nèi)部且滿足AP=1AB+-AD

十|運，則夕到48的距離為()

4

B.

5

3

D.

5

解析：選C如圖，分別以48AD,/￡所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

AB,AD,可作為筋y,z軸方向上的單位向量，

—**3—?1—?2—?—?(312、—?—?AB3,

AP=~AB+-AD+-AE,AP=\~,,25=(1,0,0),AP-------=彳，所以

4/114,"|li|4

2.已知正四棱柱4?。/心G〃中，AB=2,CG=2鏡，點￡為CG的中點，則直線/G

到平面9的距離為()

A.2B.小C.y[2D.1

解析：選D以，為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則2(0,0,0),/(2,0,0),

8(2,2,0),￡(0,2,y[2),易知/心〃平面初￡

設(shè)n=(x,y,z)是平面〃力的法向量.

n,DB=2x+2p=0,

則_

、n?DE=2y+y[2lz=0.

取y=l,則n=(—1,1,一十)為平面〃應(yīng)的一個法向量.

又因為DA=(2,0,0).

所以直線AG到平面BDE的距離

|n?物|_______|—1X2+0+01_______

d~-N-~yl-12+12+-y[2~1

3.在長方體26。/田G"中，已知24=9,6c=斛履，”為6c的中點，則直線與

平面4&V的距離是.

解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CD=a,則"(0,0,9),4(6鎘，0,9),笈(6/,

a,9),N(.3-\[3,a,0),

所以位=(6/，0,0),歸=(0,a,0),威=(一3/，0,-9).

設(shè)平面4瓦V的法向量n=(x,y,z),

n,A\B\=0,

則,一

、n,B、N=0,

取x=3,則尸0,z=—y[3,

所以平面4笈N的一個法向量為n=(3,0,-

邛=9

所以點〃到平面46W的距離為d=D1A1?n

h2季,

又因為“G〃平面ABN,

所以直線4G與平面46W的距離是9.

答案：9

4.四棱柱/比3481G"中，4/，平面/及力，44=3,底面是邊長為4且/〃傷=60°

的菱形，AC^BD=O,ACCBD",￡是44的中點，求點￡到平面。死的距離.

解：因為。Q_L平面/及刀，所以。a_L的，Oa±OB,又0A10B,

所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因為底面/頗是邊長為4,/物6=60°的菱形，

所以的=2娟，OB=2,貝1」/（2/，0,0）,6（0,2,0）,以一2/,

0,0）,4（0,0,3）,菊=（0,2,-3）,顯=（一24，0,-3）.

設(shè)平面。理的法向量為m=（x,y,z）,

2y—3z=0,

則n」aB,rn±SC,所以

取z=2,則￡=一十，y=3,所以m=（一十，3,2）.

設(shè)點￡到平面a/的距離為d,

因為￡是a/的中點，所以加L=（一十，o,|）,

刖J—E卜上"卜-木，：2|_3

'ni'_-^32+32+222,

3

所以點￡到平面a