《微積分（第4版）》 示范課課件 定積分概念

返回第六章定積分第一節(jié)定積分的概念一、引入定積分概念的實例二、定積分概念三、定積分的性質(DefiniteIntegral)第六章定積分

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導言：定積分的歷史源遠流長，部分內容可以追溯到古代的面積、體積和弧長等量的計算上.古希臘數(shù)學家阿基米德的窮竭法，中國古代數(shù)學劉徽的割圓術都滲透著積分思想方法.十七世紀牛頓、萊布尼茨等數(shù)學家對積分問題進行了完善形成了近代的定積分概念.第一節(jié)定積分概念第六章定積分

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返回1.面積問題

平面圖形的面積問題是最古老的數(shù)學問題，人類對于平面圖形面積的確定經歷了從直邊形到曲邊形的發(fā)展過程.

經過分割轉化為基本圖形

由極限實現(xiàn)直與曲的轉化平面曲邊圖形面積解決的最典型的古老方法是古希臘數(shù)學家阿基米德提出的窮竭法.一、引入定積分概念的實例阿基米德的窮竭法xoy1第六章定積分

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返回思想方法：問題:曲邊三角形面積（如圖）1.劃分:分割整體為局部；2.近似:局部近似，以直代曲；3.積累:局部積累，整體近似；4.逼近:極限逼近，實現(xiàn)近似與精確的轉化.辯證思想第六章定積分

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返回阿基米德公元前２８７年出生在意大利.是位偉大的數(shù)學家、力學家,并且享有“力學之父”的美稱.阿基米德在幾何學領域做出巨大的貢獻,他是微積分的最早先驅者.阿基米德被后世的數(shù)學家尊稱為“數(shù)學之神”,在人類有史以來最重要的三位數(shù)學家中,阿基米德占首位.給我一個支點,我就能挪動地球.——阿基米德科學家簡介曲邊梯形的面積

曲邊梯形

設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上非負且連續(xù),由曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸圍成的圖形稱為曲邊梯形.oxy第六章定積分

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返回oxyoxyxoy一般圖形可以化為曲邊梯形第六章定積分

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問題

求由x=a,x=b,y=0與y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積.曲邊梯形面積的求解方法整體分割——將曲邊梯形分割成部分小曲邊梯形；局部近似——小曲邊梯形面積由小矩形面積代替；求和積累——曲邊梯形面積由小矩形面積和近似；無限逼近——由極限實現(xiàn)近似于精確的轉化.xyo曲邊梯形面積的求解過程(1)分割（分割整體曲邊梯形為部分小的曲邊梯形）過每個分點xi作y軸的平行線,將曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形.小區(qū)間長度記為

把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間取分點第六章定積分

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返回yxo第六章定積分

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返回(2)近似

(以小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積)

xyo第六章定積分

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返回(3)求和

(小曲邊梯形面積求和)將小矩形面積求和，可得曲邊梯形的近似值(4)取極限

（取極限實現(xiàn)由近似轉化為精確）xyoy=f(x)baξixixi+1x１xn-1第六章定積分

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返回yxo思想方法：劃分——近似——積累——逼近總結概括結論特征：2.變速直線運動的路程解

(1)分割（分割時間區(qū)間）第六章定積分

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返回問題：TOS始點終點...第六章定積分

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返回(2)近似（用勻速運動近似代替變速運動）(3)求和（將小區(qū)間移動路程求和）(4)取極限（取極限實現(xiàn)由近似轉化為精確）

第六章定積分

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返回兩類問題的比較概括整體分割，局部代替（以直代曲，以勻代變），求和近似，無限逼近（由近似轉化為精確）.結論：特定形式乘積和的極限抽象概括結論1.分割2.近似3.積累4.逼近1.分割2.近似3.積累4.逼近思想方法變速直線運動路程曲邊梯形面積第六章定積分

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返回二、定積分的概念定義第六章定積分

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返回其中f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx

稱為被積表達式，x

稱為積分變量，a為積分下限，b為積分上限，[a,b]為積分區(qū)間.積分和被積函數(shù)積分變量積分限積分號

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分存在，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.

(1)定積分是積分和式的極限，是一個數(shù)值.定積分值與區(qū)間分法和取點無關，只與被積函數(shù)f(x)及積分區(qū)間[a,b]有關.(2)定積分與積分變量的記法無關.即有(3)規(guī)定第六章定積分

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定積分概念的說明

定積分的幾何意義

如果,則幾何上表示由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積.

如果,則在幾何上表示曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形面積相反數(shù).第六章定積分

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返回xyoyxo

如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可取負值，則定積分在幾何上表示介于曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸之間的各部分面積的代數(shù)和.三、定積分的存在定理定理定理xyo第六章定積分

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返回解由定積分的