【數(shù)學(xué)中的辯證思想與方法探究6300字（論文）】

-2-數(shù)學(xué)中的辯證思想與方法研究TOC\o"1-4"\h\u1引言 -3-2數(shù)學(xué)中的辯證法 -4-2.1數(shù)學(xué)中的對立與統(tǒng)一規(guī)律 -4-2.1.1有限與無限 -5-2.1.1.1數(shù)學(xué)歸納法 -5-2.1.2整體和局部 -6-2.1.2.1將“整體”問題轉(zhuǎn)化為“局部” -7-2.1.2.2“局部”轉(zhuǎn)化為“整體” -8-2.1.2.3整體代入 -8-2.1.3變量與常量 -9-2.1.4直與曲 -10-2.3量變與質(zhì)變 -11-2.3.1積分 -11-2.3.2級數(shù)求和 -12-2.3否定之否定 -12-3總結(jié) -13-主要參考資料 -14-內(nèi)容摘要：黑格爾是辯證法的大師，從某種上來看，辯證法是哲學(xué)的范疇.把辯證法看作孤立的一部分.其實(shí)不然，數(shù)學(xué)當(dāng)中，也充滿著辯證法.辯證法與數(shù)學(xué)有著非常重要的聯(lián)系，本文就探討數(shù)學(xué)當(dāng)中的一些辯證思想以及方法分析.數(shù)學(xué)內(nèi)容，方法，甚至概念中都體現(xiàn)辯證法，在我們所學(xué)的數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)中，存在著大量的辯證法.在辯證法中，存在著大量的對立思想，它們可以相互轉(zhuǎn)化.在數(shù)學(xué)上，我們可以充分利用它們相互轉(zhuǎn)化之間的關(guān)系來解決問題.數(shù)學(xué)內(nèi)容中含有大量的辯證法規(guī)律，本文從有限與無限，整體與局部，變量與常量，直與曲等等幾對矛盾分析了其蘊(yùn)含的辯證統(tǒng)一的思想.闡述每一對辯證思想相互轉(zhuǎn)化，在數(shù)學(xué)解題之間的相互作用.關(guān)鍵詞：對立統(tǒng)一，問題解決，辯證法引言中國古代至今,在數(shù)學(xué)辯證思想領(lǐng)域中的研究并不是很突出和全面,到20世紀(jì)80,90年代.陸陸續(xù)續(xù)開展了一些研究.我國也有許多數(shù)學(xué)家和教授也因此在80年代,90年代寫了許多有關(guān)數(shù)學(xué)辯證思維與數(shù)學(xué)方法解決問題的著作,都起到了很好的作用.但沒有形成很大的熱潮,本次論文就以往數(shù)學(xué)家著作開始討論數(shù)學(xué)當(dāng)中的一些辯證思想和如何運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題.數(shù)學(xué)萌芽開始于公元前600年,至今已有2600多年的歷史.這個(gè)時(shí)候,最主要是用來解決日常生活問題和農(nóng)業(yè)生產(chǎn)上的一些問題,并未形成如今的數(shù)學(xué)學(xué)科.更沒有像后面所說的數(shù)學(xué)教育等.后來慢慢的發(fā)展.出現(xiàn)了一些簡單的數(shù)學(xué)辯證思想方法.直到17世紀(jì)左右，出現(xiàn)了許多數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)辯證思想,比如有限與無限,新的數(shù)學(xué)辯證思想出現(xiàn),人們開始了對數(shù)學(xué)辯證思想進(jìn)行了總結(jié)研究,也出現(xiàn)了一些論述數(shù)學(xué)辯證思想的名著.這一時(shí)候,慢慢形成數(shù)學(xué)辯證思想.到了19世紀(jì),涌現(xiàn)出了大批數(shù)學(xué)家,如迪卡爾,牛頓,拉格朗日,歐拉等等.這時(shí)數(shù)學(xué)辯證思想的研究,成為當(dāng)時(shí)非常熱門的一項(xiàng)工作.這時(shí)出現(xiàn)了變量與常量,整體與局部,等辯證思想進(jìn)行了研究和總結(jié).從19世紀(jì)至今,逐漸形成了數(shù)學(xué)學(xué)科,而數(shù)學(xué)辯證思想也深入數(shù)學(xué)學(xué)科體系當(dāng)中,人們也時(shí)常運(yùn)用數(shù)學(xué)辯證思想方法去解決一些數(shù)學(xué)問題,在日常生活等等一切領(lǐng)域當(dāng)中,都會涉及到數(shù)學(xué)辯證思想,而數(shù)學(xué)辯證思想的研究也發(fā)展成為一個(gè)龐大的體系.2數(shù)學(xué)中的辯證法辯證法有三大規(guī)律，即對立統(tǒng)一規(guī)律，量變與質(zhì)變規(guī)律，否定之否定規(guī)律.從研究上來看,是屬于哲學(xué)的內(nèi)容.但是，在數(shù)學(xué)中，辯證思想也得到了應(yīng)用.然后用科學(xué)概念去解釋,理解以達(dá)到能夠觀察事物的本質(zhì).其中,數(shù)學(xué)理解是科學(xué)和哲學(xué)認(rèn)識事物的一個(gè)基本方法,數(shù)學(xué)與哲學(xué)之間一直存在著密不可分的聯(lián)系,在整個(gè)數(shù)學(xué)當(dāng)中充分體現(xiàn)哲學(xué)思想,成為培養(yǎng)學(xué)生和解決實(shí)際問題的一種很好的方法.2.1數(shù)學(xué)中的對立與統(tǒng)一規(guī)律對立與統(tǒng)一規(guī)律,是唯物辯證法的根本規(guī)律,可以說是辯證法三大規(guī)律的核心.在數(shù)學(xué)方法當(dāng)中,也存在著對立統(tǒng)一規(guī)律.比如數(shù)的運(yùn)算,基本的加和減,乘和除,開方和乘方,微分積分等等,都是互為逆運(yùn)算.這些運(yùn)算都是對立的,但是呢,在一定的條件下,加法和減法又可以相互轉(zhuǎn)化,乘方和除法,開方和乘方,微分和積分也是如此.在一定條件下可以轉(zhuǎn)化而來,在加法和減法運(yùn)算當(dāng)中,是對立的存在.但是在他們在一定的條件下轉(zhuǎn)化時(shí),又是統(tǒng)一的.不僅數(shù)的運(yùn)算是對立的,如幾何證明也是對立的,那些幾何證明的問題,將未知的東西用已知的結(jié)論證明出來.每一個(gè)數(shù)學(xué)命題都是矛盾的統(tǒng)一體,我們證明數(shù)學(xué)命題是就是將已知的條件,將未知的結(jié)果推導(dǎo)出來,成為一個(gè)矛盾的統(tǒng)一體.而未知和已知也是對立的.在整個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容中,這部分內(nèi)容和那部分內(nèi)容之間也存在著對立統(tǒng)一關(guān)系,數(shù)的運(yùn)算便是數(shù)量關(guān)系,幾何證明即是空間形式.因此,數(shù)的運(yùn)算和幾何證明又成了一對對立體,即是對立的,又是統(tǒng)一的.也可以說,數(shù)的運(yùn)算和幾何證明密不可分,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最重要的是要能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合,把抽象的概念幾何化,把幾何圖形數(shù)字化,而在代數(shù)運(yùn)算時(shí),比如“向量”就可以運(yùn)用幾何來計(jì)算.我們求立體幾何某一個(gè)圖形的坐標(biāo)時(shí),也需要運(yùn)用到數(shù)的運(yùn)算.數(shù)學(xué)概念也存在著對立關(guān)系.兩種概念,如果他們的關(guān)系為反對關(guān)系或者對立關(guān)系.比如“正實(shí)數(shù)”與“負(fù)實(shí)數(shù)”,他們在數(shù)的概念當(dāng)中是一對絕對對立的概念,正實(shí)數(shù)指的是大于零的所有實(shí)數(shù),而負(fù)實(shí)數(shù)描述的是小于零的一切實(shí)數(shù).他們是對立的,但他們一起又組成了實(shí)數(shù),又共處于一個(gè)統(tǒng)一體中,他們之間也可以相互轉(zhuǎn)化,都存在于實(shí)數(shù)這個(gè)大集體當(dāng)中.2.1.1有限與無限在初等數(shù)學(xué)中,就已經(jīng)接觸了無限.無限與有限可以相互轉(zhuǎn)化,就如自然數(shù),一個(gè)個(gè)具體的數(shù),是有限的.但是考慮自然數(shù)全體時(shí),就不再是有限了,便是無限了.2.1.1.1數(shù)學(xué)歸納法運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)命題時(shí),有兩個(gè)步驟：當(dāng)n=1時(shí),這個(gè)命題是正確的.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),這個(gè)命題是正確的,那么當(dāng)k=n+1時(shí),這個(gè)命題也是正確的.這就是數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟.例如：1=1=121+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52這個(gè)結(jié)論是否對于任意的自然數(shù)n都成立了?我們知道，自然數(shù)有無數(shù)多個(gè)的，不管我們用了多少個(gè)自然數(shù)，也不可能得到一個(gè)成立的結(jié)論，此時(shí)我們可以想到用數(shù)學(xué)歸納法，從上式可知：1+3+5+7+…+2n?1第一步證明,當(dāng)n=1時(shí),有1=12,所以（1）成立.第二步假設(shè),當(dāng)n=k時(shí)（1）成立,即1+3+5+7+……+（2k?1）=k2成立.那么,當(dāng)n=k+1時(shí),（1）式左邊為1+3+5+7+……+[2(2k+1)–1]==k2+（2k+1）=（k+1）2這表明,當(dāng)n=k+1時(shí)（1）式也成立.這樣我們就證明了（1）對于所有自然數(shù)都成立,也就證明了他是一個(gè)正確的結(jié)論..顯然,我們?nèi)绻荒軓挠邢拮呦驘o限,證明一個(gè)定理對一切自然數(shù)都成立,就得不到一個(gè)正確的結(jié)論.所以有限和無限的辯證思想方法,在數(shù)學(xué)解決問題當(dāng)中,在數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)中都有著體現(xiàn).二者的有機(jī)結(jié)合,相互轉(zhuǎn)化,才能更好的解決實(shí)際問題.2.1.2整體和局部在一些數(shù)學(xué)問題中，如果只從“整體”或者“局部”出發(fā)考慮的話，就有可能解答起來比較困難，如果能夠運(yùn)用“整體”和“局部”之間的相互轉(zhuǎn)化，也許就會簡單許多.將“整體”問題轉(zhuǎn)化為“局部”，把“局部”問題看做“整體”，這樣解題的思路以及難度會大大降低.從而“整體”與“局部”之間的轉(zhuǎn)化在解決問題時(shí)是非常重要的.2.1.2.1將“整體”問題轉(zhuǎn)化為“局部”例1在銳角三角形中，請你證明：sin分析這道題目，如果從整體上考慮，感覺沒有頭緒.仔細(xì)觀察過后發(fā)現(xiàn)，A，B，C三個(gè)量之間的關(guān)系，那么就可以將題目中的整式轉(zhuǎn)化為局部式.證明如下證明∵A+B＞∴A＞∵0＞B＞π2∴sinA＞同理可知sinsin三式相乘可得sin例2n∈N?,證明：2n+1這道題目從整體上考慮，比較棘手，不妨用局部思想試著解決.證明∵11y∴1+12+11+12+故2n+1?1得證這兩個(gè)問題都是將整體轉(zhuǎn)化為局部來解決，用整體思想難以解出，但是用局部的思想就很容易解決，所以“整體”和“局部”之間的相互轉(zhuǎn)化是非常關(guān)鍵的.2.1.2.2“局部”轉(zhuǎn)化為“整體”在數(shù)學(xué)中，有很多題目，必須將其看作為某個(gè)“整體”的一個(gè)“局部”，從更大的整體上考慮，才能更好的去解決這個(gè)問題.”化難為易,化繁為簡等等都用到了整體和局部思想，在證明不等式中，也會用到.所以,在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),整體與局部的辯證思想得到了充分應(yīng)用,在整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中,都離不開辯證思想方法.在數(shù)學(xué)中,分類討論也比較重要.分類討論總的來說是根據(jù)整體和局部這一思想進(jìn)行的,把一個(gè)整體分成多個(gè)小部分來進(jìn)行討論,每一個(gè)小部分又進(jìn)行觀察，接著把觀察和討論的結(jié)果再按照某一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行歸納，又成為一個(gè)整體.這也是整體和部分之間的相互轉(zhuǎn)化,相擁相促.從整體的角度看局部,從局部的角度看整體.在數(shù)學(xué)中,運(yùn)用到整體和局部思想的有太多太多,如整體換元,在統(tǒng)計(jì)中,在區(qū)間中等等都含有整體思想,而局部,合并同類項(xiàng)就是從局部到整體的表現(xiàn).2.1.2.3整體代入若涉及到很多個(gè)量求值時(shí)，首先我們想到的可能就是把每一個(gè)量都求出來.其實(shí)，這個(gè)方法比較復(fù)雜.我們可以把幾個(gè)量當(dāng)做成一個(gè)整體來考慮.例如例3已知x2分析這個(gè)題目如果用解方程的方法來做，那么，過程相對于來說較難，解出來x的值有兩個(gè)，需要進(jìn)行驗(yàn)證.此時(shí)，我們可以運(yùn)用整體代入的方法來做.解將x4+1x即x8∵x∴x2+1=3x即:x4即：x8（1）?（2）得（47?A）x4∵x≠0，∴A=47，即x由此可知，整體與局部思想在數(shù)學(xué)中的相互轉(zhuǎn)化尤為重要.特別是在解題思路上，給我們帶來了許多便利之處.2.1.3變量與常量變量與常量有區(qū)分,卻又有密不可分的聯(lián)系,相互依存,相互轉(zhuǎn)化.常量與變量辯證方法常用于多元函數(shù)微積分中,常常因?yàn)檠芯磕骋粋€(gè)變量,而把變量看作為常量.常量與變量存在著密切的關(guān)系，不管在高等代數(shù)中，還是數(shù)學(xué)分析中，都存在著常量與變量之間的相互轉(zhuǎn)化，其中在高等代數(shù)中體現(xiàn)最多的就是“常數(shù)變易法”.下面我們就舉例用常數(shù)變易法來闡述變量與常量之間的相互轉(zhuǎn)化.例解dy=令yx=u,∴u+duu1u3將yx=uy3在一定的條件下，可以將常量轉(zhuǎn)化為變量，使得問題得到簡化.例設(shè)a,b,c為三角形的三邊，求證：1證明設(shè)b+則x,y∵x+∴（x+y+∴1常量與變量深入到數(shù)學(xué)當(dāng)中,在解決問題中,常量與變量辯證方法有助于問題的解決.把常量看作變量,通過變量研究常量,兩者相互轉(zhuǎn)化,相互依存,對數(shù)學(xué)有著不可描述的作用.2.1.4直與曲只要提到直與曲,在數(shù)學(xué)中,首先我們肯定會想到直線與曲線.直與曲是不同的概念,從字面上的意思來看,直為平直,曲為彎曲.但是從我們所學(xué)的幾何性質(zhì)出發(fā),直的曲率為0,曲的曲率不一定為0.綜上所述,兩者的差別非常明顯,并且是對立的.但是這兩個(gè)千差萬別的對立的概念又有怎樣的聯(lián)系？又如何相互轉(zhuǎn)化？數(shù)學(xué)正是利用直與曲之間的矛盾轉(zhuǎn)化來解決問題.在微積分中,存在“直”與“曲”的矛盾,在我們常用的方法中，“以直代曲”用的最多,此時(shí)就用到了微元法進(jìn)行分隔,再實(shí)施“以直代曲”.在不等式中,同樣也運(yùn)用以直代曲的方法來解決問題.例如求證e證明取y=ex在x=0.5e取y=lnx斜率為e0.5的切線,ln因此,e由于e>2.56,于是e0.5e因此,我們可以知道直與曲之間的相互轉(zhuǎn)化而得來的方法“以直代曲”在數(shù)學(xué)解題中尤為可見.直與曲這對對立概念,在數(shù)學(xué)中的得到充分表現(xiàn).可以去幫助我們數(shù)學(xué)解決問題.對立統(tǒng)一辯證規(guī)律,在數(shù)學(xué)充分表明,對立統(tǒng)一規(guī)律是打開數(shù)學(xué)的一把鑰匙,一把銳利武器.2.3量變與質(zhì)變量變與質(zhì)變可以相互轉(zhuǎn)化，也就是質(zhì)量互變.在某一條件或者沒有一定量的積累，就不會有事物的變化.下面，我將從兩方面來簡單闡述一下.2.3.1積分我們所學(xué)習(xí)的“積分”“級數(shù)求和”等等都存在著量變和質(zhì)變規(guī)律,可以說,量變和質(zhì)變規(guī)律早已深入數(shù)學(xué),而數(shù)學(xué)也充分利用這一點(diǎn)去解決了許多難題,就如微積分：微積分產(chǎn)生以后,我們有了描述連續(xù),平滑變化的數(shù)學(xué)模型,即微分方程.也就是說,這些微分方程的解必須是可以微分的函數(shù).然而,這類漸變的事物嚴(yán)格的說是很少的.我們的微積分從本意上來說就是“求和”和“求極限”,我們在“求和”時(shí),再到“求極限”就是一個(gè)質(zhì)變的過程,定積分和微積分運(yùn)算可以相互轉(zhuǎn)化,形成了一個(gè)量變到質(zhì)變的規(guī)律.我們求積分,也就是把一些不能用常規(guī)方法來計(jì)算的問題,積分把他們積零為整,把它們轉(zhuǎn)化為整體,近似的也就轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)確的了.2.3.2級數(shù)求和在“級數(shù)求和”,“前n項(xiàng)和”,“n的階乘”等等,都是一個(gè)由量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化過程.以數(shù)項(xiàng)級數(shù)1+11!+1眾所周知e=1+即，無理數(shù)e為這個(gè)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和.我們可以看出，n可以取任意一個(gè)值.我們可知,n取的值越大,也就是說算式的項(xiàng)越多,所求出來e的值就會越精確.那么隨著我們項(xiàng)數(shù)的增多,e的值就更加近似.最終,求這個(gè)算式的值轉(zhuǎn)化為求它的極限,也就是e.這也是一個(gè)由量變的過程,所帶來的質(zhì)變.求“階乘”,“前n項(xiàng)和”也是一樣,所以說,量變到質(zhì)變規(guī)律,深入數(shù)學(xué)體系當(dāng)中.也成功的描述量變到質(zhì)變的事實(shí).2.3否定之否定否定之否定辯證規(guī)律，在數(shù)學(xué)當(dāng)中，應(yīng)用也十分廣泛.在各個(gè)領(lǐng)域中都得到了應(yīng)用，其中在數(shù)學(xué)中，否定之否定辯證規(guī)律在“反證法”中體現(xiàn)的淋漓盡致，還有許多包含了的否定之否定思想.在現(xiàn)實(shí)生活中，有著很大的不同.在不等式中，會用到否定之否定辯證思想的最多，因?yàn)樵谇蠼獠坏仁綍r(shí)，需要用到“反證法”，用逆向思維來解決，不妨我們舉個(gè)例子來看一看：例如解不等式13?3x分析若直接求解，則需解兩個(gè)不等式組：3?x或3?x≥0再取兩個(gè)不等式解集的并集，這樣非常的復(fù)雜.故我們用否定之否定辯證思想來解決，使用到的就是“反證法”！所以先解不等式13?3x≤3–x，設(shè)解集為解由不等式13?3x≤3–x，3?x≥0解得x≤?1原不等式x的取值范圍域?yàn)?/p>