蘇教版初升高一初數(shù)學預習專題12集合的概念與表示-初升高數(shù)學無憂銜接(學生版+解析)

專題12集合的概念與表示學習目標學習目標1、了解集合的含義；2、理解集合中元素與集合的關系；3、掌握集合的表示方法，并能用圖形、符號刻畫集合；4、能夠用不同的方法表示一些簡單集合。知識精講知識精講一、元素與集合的基本概念：集合：一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體組成一個集合.元素：集合中的每一個對象稱為該集合的元素.元素的特性:確定性、無序性、互異性二、集合中元素與集合的關系概念關系記法讀法如果a是集合中A中的元素屬于aa屬于A如果a不是集合中A中的元素不屬于aa不屬于A三、常用數(shù)集的符號表示：特別地,全體自然數(shù)組成的集合,叫作自然數(shù)集,記作N；全體正整數(shù)組成的集合,叫作正整數(shù)集,記作N?或N全體整數(shù)組成的集合,叫作整數(shù)集,記作Z；全體有理數(shù)組成的集合,叫作有理數(shù)集,記作Q；全體實數(shù)組成的集合,叫R.典例剖析典例剖析例題1．下列各對象可以組成集合的是（）A．與1非常接近的全體實數(shù)B．某校2015-2016學年度笫一學期全體高一學生C．高一年級視力比較好的同學D．與無理數(shù)相差很小的全體實數(shù)例題2.已知集合，且，則集合_____.例題3.用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）大于2且小于5的有理數(shù)組成的集合．（2）24的正因數(shù)組成的集合．（3）自然數(shù)的平方組成的集合．（4）由0，1，2這三個數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字(沒有重復)所組成的自然數(shù)組成的集合．例題4.設A是由一些實數(shù)構成的集合，若a∈A，則∈A，且1?A，（1）若3∈A，求A.（2）證明:若a∈A，則.變式訓練變式訓練1．若，則實數(shù)（）A． B．0 C．1 D．0或12．下列四組對象能構成集合的是（）A．某班所有高個子學生 B．某校足球隊的同學C．一切很大的書 D．著名的藝術家3．已知集合，則（）A． B． C． D．4．已知集合，且，則等于（）A． B． C． D．或5．把下列集合用另一種方法表示出來：（1）；（2）；能力提升能力提升1.已知集合，若，求實數(shù)的值.對點精練對點精練一、單選題1．已知集合，，則集合中的元素的個數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．102．設集合，則下列集合中與集合相等的是（）A． B． C． D．3．設集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，則C中元素的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．64．已知集合只有一個元素，則的取值集合為（）A． B． C． D．5．下列集合中，結果是空集的是()A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}二、填空題6．若集合中有且僅有一個元素，則k的值為___________.7．已知集合，用列舉法表示集合，則__________.8．已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且僅有兩個子集，則a的值是________.9．已知集合，且，則_________．10．設集合，若且，則實數(shù)的取值范圍是________三、解答題11．已知集合.（1）若A是空集，求的取值范圍；（2）若A中只有一個元素，求的值，并求集合A；（3）若A中至多有一個元素，求的取值范圍12．若集合A中含有三個元素，，，且，求實數(shù)a的值.13．已知集合．（1）若中只有一個元素，求的值；（2）若中至少有一個元素，求的取值范圍；（3）若中至多有一個元素，求的取值范圍.14．設數(shù)集由實數(shù)構成，且滿足：若(且)，則.（1）若，試證明中還有另外兩個元素；（2）集合是否為雙元素集合，并說明理由.專題12集合的概念與表示學習目標學習目標1、了解集合的含義；2、理解集合中元素與集合的關系；3、掌握集合的表示方法，并能用圖形、符號刻畫集合；4、能夠用不同的方法表示一些簡單集合。知識精講知識精講一、元素與集合的基本概念：集合：一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體組成一個集合.元素：集合中的每一個對象稱為該集合的元素.元素的特性:確定性、無序性、互異性二、集合中元素與集合的關系概念關系記法讀法如果a是集合中A中的元素屬于aa屬于A如果a不是集合中A中的元素不屬于aa不屬于A三、常用數(shù)集的符號表示：特別地,全體自然數(shù)組成的集合,叫作自然數(shù)集,記作N；全體正整數(shù)組成的集合,叫作正整數(shù)集,記作N?或N全體整數(shù)組成的集合,叫作整數(shù)集,記作Z；全體有理數(shù)組成的集合,叫作有理數(shù)集,記作Q；全體實數(shù)組成的集合,叫R.典例剖析典例剖析例題1．下列各對象可以組成集合的是（）A．與1非常接近的全體實數(shù)B．某校2015-2016學年度笫一學期全體高一學生C．高一年級視力比較好的同學D．與無理數(shù)相差很小的全體實數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)集合定義與性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】A中對象不確定，故錯；B中對象可以組成集合；C中視力比較好的對象不確定，故錯；D中相差很小的對象不確定，故錯.故選：B例題2.已知集合，且，則集合_____.【答案】【分析】根據(jù)，分類討論，結合集合中元素的互異性，即可求解.【詳解】由題意，集合，且，若，可得，此時集合不滿足集合中元素的互異性，（舍去）；若，可得或（舍去），當時，可得，即.故答案為：.例題3.用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）大于2且小于5的有理數(shù)組成的集合．（2）24的正因數(shù)組成的集合．（3）自然數(shù)的平方組成的集合．（4）由0，1，2這三個數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字(沒有重復)所組成的自然數(shù)組成的集合．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析；（4）答案見解析．【分析】（1）集合有無限個元素，利用描述法求解；（2）集合中元素較少，利用列舉法求解；（3）集合有無限個元素，利用描述法求解；（4）集合中元素較少，利用列舉法求解；【詳解】（1）用描述法表示為{x|2<x<5且x∈Q}．（2）用列舉法表示為{1，2，3，4，6，8，12，24}．（3）用描述法表示為{x|x=n2，n∈N}．（4）用列舉法表示為{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}．例題4.設A是由一些實數(shù)構成的集合，若a∈A，則∈A，且1?A，（1）若3∈A，求A.（2）證明:若a∈A，則.【答案】（1）;（2）證明見解析.【分析】根據(jù)題意求依次求解即可.【詳解】(1)因為3∈A，所以，所以，所以，所以.(2)因為a∈A，所以，所以.變式訓練變式訓練1．若，則實數(shù)（）A． B．0 C．1 D．0或1【答案】C【分析】根據(jù)集合的確定性，互異性，即可求得答案.【詳解】因為，根據(jù)集合性質(zhì)可得：.故選：C2．下列四組對象能構成集合的是（）A．某班所有高個子學生 B．某校足球隊的同學C．一切很大的書 D．著名的藝術家【答案】B【分析】根據(jù)集合的定義，逐項判定，即可求解.【詳解】根據(jù)集合的定義，可得：對于A中，某班所有高個子學生，其中元素不確定，不能構成集合；對于B中，某校足球隊的同學，滿足集合的定義，能構成集合；對于C中，一切很大的書，其中元素不確定，不能構成集合；對于D中，著名的藝術家，其中元素不確定，不能構成集合.故選：B.3．已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得集合M，再根據(jù)元素與集合的關系，集合與集合的關系可得選項.【詳解】因為集合，所以，故選：D.4．已知集合，且，則等于（）A． B． C． D．或【答案】B【分析】轉化條件為或，驗證集合元素的互異性即可得解.【詳解】因為集合，且，所以當即時，，不滿足集合中元素的互異性；當時，解得或（舍），此時，滿足題意；綜上，.故選：B.5．把下列集合用另一種方法表示出來：（1）；（2）；【答案】（1）{且}；（2）.【分析】（1）根據(jù)集合中的元素都是偶數(shù)用描述法進行表示即可；（2）用列舉法表示即可.【詳解】（1）因為集合中的元素都是偶數(shù)，所以{且}；（2）.能力提升能力提升1.已知集合，若，求實數(shù)的值.【答案】【分析】根據(jù)題意，可得或，然后根據(jù)結果進行驗證即可.【詳解】由題可知：集合，所以或，則或當時，，不符合集合元素的互異性，當時，，符合題意所以【點睛】本題考查元素與集合的關系求參數(shù)，考查計算能力，屬基礎題.對點精練對點精練一、單選題1．已知集合，，則集合中的元素的個數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】由題知以，即，故，進而得答案.【詳解】解：因為，，所以，即所以，故，即集合中的元素的個數(shù)為個.故選：C2．設集合，則下列集合中與集合相等的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合相等的定義判斷選項.【詳解】兩個集合的元素相同，兩個集合相等，集合中有2個元素，分別是1和2，所以與集合相等的集合是.故選：C3．設集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，則C中元素的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】直接求出集合C即可.【詳解】集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，所以C={5，6，7,8}.即C中元素的個數(shù)為4.故選：B.4．已知集合只有一個元素，則的取值集合為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】對參數(shù)分類討論，結合判別式法得到結果.【詳解】解：①當時，，此時滿足條件；②當時，中只有一個元素的話，，解得，綜上，的取值集合為，．故選：D．5．下列集合中，結果是空集的是()A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}【答案】D【分析】分析是否有元素在各選項的集合中，再作出判斷.【詳解】A選項：，不是空集；B選項：{x|x>6或x<1}，不是空集；C選項：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D選項：不存在既大于6又小于1的數(shù)，即：{x|x>6且x<1}=.故選：D二、填空題6．若集合中有且僅有一個元素，則k的值為___________.【答案】0或1【分析】轉化為求方程有且僅有一個解的條件，分k=0和k≠0，利用一次方程和二次方程的解的個數(shù)的判定方法求解.【詳解】當k=0時，方程為2x+1=0,有且只有一解，符合題意；當k≠0時，方程有且僅有一個解等價于,解得k=1,故答案為：0或1.7．已知集合，用列舉法表示集合，則__________.【答案】【分析】根據(jù)集合的描述法即可求解.【詳解】,故答案為：8．已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且僅有兩個子集，則a的值是________.【答案】0或±1【分析】依題意可得出集合A為單元素集合，進而轉化為方程ax2+2x+a=0僅有一根，再分a=0和a≠0兩種情況討論可得最后結果.【詳解】因為A有且僅有兩個子集，所以A僅有一個元素，即方程ax2+2x+a=0僅有一根，當a=0時，方程化為2x=0，A={0}，符合題意；當a≠0時，Δ=4-4a2=0，解得a=±1.此時A={-1}或{1}，符合題意.綜上所述a=0或a=±1.故答案為：0或±1.9．已知集合，且，則_________．【答案】-3【分析】由集合，，，且，得或，由此能求出結果．【詳解】解：集合，，，且，或，解得，或，當時，，，，不合題意，當時，，，，符合題意．綜上，．故答案為：.10．設集合，若且，則實數(shù)的取值范圍是________【答案】【分析】直接根據(jù)元素和集合之間的關系求解即可．【詳解】解：因為集合，若且，且；解得；故答案為：．三、解答題11．已知集合.（1）若A是空集，求的取值范圍；（2）若A中只有一個元素，求的值，并求集合A；（3）若A中至多有一個元素，求的取值范圍【答案】（1）；（2）當時，；當時，；（3）.【分析】（1）方程ax2﹣3x+2＝0無解，則，根據(jù)判別式即可求解；（2）分a＝0和a≠0討論即可；（3）綜合（1）（2）即可得出結論.【詳解】（1）若A是空集，則方程ax2﹣3x+2＝0無解此時＝9-8a＜0即a所以的取值范圍為（2）若A中只有一個元素則方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一個實根當a＝0時方程為一元一次方程，滿足條件當a≠0，此時＝9﹣8a＝0，解得：a∴a＝0或a當時，；當時，（3）若A中至多只有一個元素，則A為空集，或有且只有一個元素由（1），（2）得滿足條件的a的取值范圍是.12．若集合A中含有三個元素，，，且，求實數(shù)a的值.【答案】或.【分析】由已知得或或，解之可求得實數(shù)a的值，代入集合中檢驗是否滿足元素的互異性，可得答案.【詳解】①若，則，此時，滿足題意.②若，則，此時，不滿足元素的互異性.③若，則.當時，，滿足題意；當時，由②知不合題意.綜上可知或.13．已知集合．（1）若中只有一個元素，求的值；（2）若中至少有一個元素，求的取值范圍；（3）若中至多有一個元素，求的取值范圍.【答案】（1）或；（2）；（3）或.【分析】根據(jù)集合中元素的個數(shù)以及方程的解即可確定的取值范圍.【詳解】解：（1）若中只有一個元素，則當時，原方程變?yōu)椋藭r符合題意，當時，方程為二元一次方程，，即，故當或時，原方程只有一個解；（2）中至少有一個元素，即中有一個或兩個元素，由得綜合（1）當時中至少有一