2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義第九章培優(yōu)課9.10　圓錐曲線壓軸小題突破練(學(xué)生版+解析)

§9.10圓錐曲線壓軸小題突破練題型一離心率的范圍問題例1(1)已知F是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，若直線x＝eq\f(a2,c)與x軸的交點(diǎn)為A，在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F，則橢圓的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．[eq\r(2)－1,1] D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))(2)(2022·哈爾濱模擬)已知雙曲線的方程是eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與雙曲線相交于點(diǎn)P(點(diǎn)P在第一象限)，若∠PF1F2≤eq\f(π,6)，則雙曲線離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(3),2)，＋∞)) B．[eq\r(3)＋1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3)＋1,2))) D．(1，eq\r(3)＋1]聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華求解圓錐曲線離心率范圍問題的策略(1)利用圓錐曲線的定義，以及余弦定理或勾股定理，構(gòu)造關(guān)于a，b，c的不等式或不等式組求解，要注意橢圓、雙曲線離心率自身的范圍．(2)利用圓錐曲線的性質(zhì)，如：橢圓的最大角、通徑、三角形中的邊角關(guān)系、曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的范圍等，建立不等式(不等式組)．(3)利用幾何圖形中幾何量的大小，例如線段的長度、角的大小等，構(gòu)造幾何度量之間的關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022·南京市寧海中學(xué)模擬)設(shè)e1，e2分別為具有公共焦點(diǎn)F1與F2的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足∠F1PF2＝eq\f(π,3)，則e1e2的最小值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3,2)C.eq\f(\r(3),4)D.eq\f(3,4)(2)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，點(diǎn)P是C上任意一點(diǎn)，若圓O：x2＋y2＝b2上存在點(diǎn)M，N，使得∠MPN＝120°，則C的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))題型二圓錐曲線中二級結(jié)論的應(yīng)用命題點(diǎn)1橢圓、雙曲線中二級結(jié)論的應(yīng)用例2(1)(2022·咸寧模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，其離心率e＝eq\f(1,2)，點(diǎn)P為該橢圓上一點(diǎn)，且滿足∠F1PF2＝eq\f(π,3)，已知△F1PF2的內(nèi)切圓半徑為r＝eq\r(3)，則該橢圓的長軸長為()A．2B．4C．6D．12聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·石家莊模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，過原點(diǎn)O的直線交C于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在右支上)，雙曲線右支上一點(diǎn)P(異于點(diǎn)B)滿足eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，直線PA交x軸于點(diǎn)D，若∠ADO＝∠AOD，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(2)B．2C.eq\r(3)D．3聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華焦點(diǎn)三角形的面積公式：P為橢圓(或雙曲線)上異于長軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，且∠F1PF2＝θ，則橢圓中＝b2·tan

eq\f(θ,2)，雙曲線中＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).周角定理：已知A，B為橢圓(或雙曲線)上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓(或雙曲線)上異于A，B的任一點(diǎn)，則橢圓中kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2)，雙曲線中kPA·kPB＝eq\f(b2,a2).跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(3,2)D.eq\f(\r(6),2)(2)設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上、下頂點(diǎn)分別為A，B，直線AF2與該橢圓交于A，M兩點(diǎn)，若∠F1AF2＝90°，則直線BM的斜率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．－1D．－eq\f(1,2)命題點(diǎn)2拋物線中二級結(jié)論的應(yīng)用例3(1)(2022·“四省八?！甭?lián)考)已知拋物線y2＝4x過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則2|AF|＋|BF|的最小值為()A．2 B．2eq\r(6)＋3C．4 D．3＋2eq\r(2)聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·長沙模擬)已知拋物線C：y2＝16x，傾斜角為eq\f(π,6)的直線l過焦點(diǎn)F交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△ABO的面積為________．聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華與拋物線的焦點(diǎn)弦有關(guān)的二級結(jié)論：若傾斜角為αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠0，\f(π,2)))的直線l經(jīng)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)兩點(diǎn)，則①焦半徑|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)＝eq\f(p,1＋cosα)，②焦點(diǎn)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)，③S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，④x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2，⑤eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)，⑥以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，以FA為直徑的圓與y軸相切．跟蹤訓(xùn)練3已知A，B是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線與拋物線的交點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，S△OAB＝eq\f(\r(2),3)|AB|，則|AB|的值為()A.eq\f(9,2)B.eq\f(2,9)C．4D．2題型三圓錐曲線與其他知識(shí)的綜合例4油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某市文化宮于春分時(shí)節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié)．活動(dòng)中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個(gè)半徑為1的圓，圓心到傘柄底端的距離為1，陽光照射油紙傘在地面上形成了一個(gè)橢圓形的影子(春分時(shí)，該市的陽光照射方向與地面的夾角為60°)，若傘柄底端正好位于該橢圓的左焦點(diǎn)位置，則①該橢圓的離心率為eq\f(\r(3)－1,2)；②該橢圓的離心率為2－eq\r(3)；③該橢圓的焦距為eq\f(3\r(2)－\r(6),3)；④該橢圓的焦距為2eq\r(3)－1.其中正確的結(jié)論是________．(填序號(hào))聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華高考對圓錐曲線的考查，經(jīng)常出現(xiàn)一些與其他知識(shí)交匯的題目，如與平面向量交匯、與三角函數(shù)交匯、與不等式交匯、與導(dǎo)數(shù)交匯等等，這些問題的實(shí)質(zhì)是圓錐曲線問題，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用性．跟蹤訓(xùn)練4(2022·福州質(zhì)檢)如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐·金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，巧奪天工，是唐代金銀細(xì)作的典范．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支與直線x＝0，y＝4，y＝－2圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為eq\f(10\r(3),3)，下底外直徑為eq\f(2\r(39),3)，雙曲線C與坐標(biāo)軸交于D，E兩點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是()A．雙曲線C的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1B．雙曲線eq\f(y2,3)－x2＝1與雙曲線C共漸近線C．存在一點(diǎn)，使過該點(diǎn)的任意直線與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)D．存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使它與D，E兩點(diǎn)的連線的斜率之積為3§9.10圓錐曲線壓軸小題突破練題型一離心率的范圍問題例1(1)已知F是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，若直線x＝eq\f(a2,c)與x軸的交點(diǎn)為A，在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F，則橢圓的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．[eq\r(2)－1,1] D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案D解析由題意，橢圓上存在點(diǎn)P，使得線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F，即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等，又|FA|＝eq\f(a2,c)－c＝eq\f(b2,c)，|PF|∈[a－c，a＋c]，∴eq\f(b2,c)∈[a－c，a＋c]，∴ac－c2≤b2≤ac＋c2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ac－c2≤a2－c2，,ac＋c2≥a2－c2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e≤1，,2e2＋e－1≥0，))又∵e∈(0,1)，∴e∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)(2022·哈爾濱模擬)已知雙曲線的方程是eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與雙曲線相交于點(diǎn)P(點(diǎn)P在第一象限)，若∠PF1F2≤eq\f(π,6)，則雙曲線離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(3),2)，＋∞)) B．[eq\r(3)＋1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3)＋1,2))) D．(1，eq\r(3)＋1]答案D解析由題意eq\f(|PF2|,2c)＝sin∠PF1F2≤sin

eq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，所以0<|PF2|≤c，又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，即(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2，所以4c2≤(c＋2a)2＋c2，整理得2a2＋2ac－c2≥0，所以e2－2e－2≤0，又e>1，故解得1<e≤eq\r(3)＋1.思維升華求解圓錐曲線離心率范圍問題的策略(1)利用圓錐曲線的定義，以及余弦定理或勾股定理，構(gòu)造關(guān)于a，b，c的不等式或不等式組求解，要注意橢圓、雙曲線離心率自身的范圍．(2)利用圓錐曲線的性質(zhì)，如：橢圓的最大角、通徑、三角形中的邊角關(guān)系、曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的范圍等，建立不等式(不等式組)．(3)利用幾何圖形中幾何量的大小，例如線段的長度、角的大小等，構(gòu)造幾何度量之間的關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022·南京市寧海中學(xué)模擬)設(shè)e1，e2分別為具有公共焦點(diǎn)F1與F2的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足∠F1PF2＝eq\f(π,3)，則e1e2的最小值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3,2)C.eq\f(\r(3),4)D.eq\f(3,4)答案A解析設(shè)橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實(shí)半軸長為a2，不妨設(shè)|PF1|>|PF2|，由橢圓和雙曲線的定義可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝2a1，,|PF1|－|PF2|＝2a2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝a1＋a2，,|PF2|＝a1－a2，))設(shè)|F1F2|＝2c，因?yàn)椤螰1PF2＝eq\f(π,3)，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos

eq\f(π,3)，整理得aeq\o\al(2,1)＋3aeq\o\al(2,2)＝4c2，故eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(3,e\o\al(2,2))＝4.又4＝eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(3,e\o\al(2,2))≥2eq\r(\f(1,e\o\al(2,1))×\f(3,e\o\al(2,2)))＝eq\f(2\r(3),e1e2)，即2≥eq\f(\r(3),e1e2)，所以e1e2≥eq\f(\r(3),2)，即e1e2的最小值為eq\f(\r(3),2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,e\o\al(2,1))＝eq\f(3,e\o\al(2,2))，即e1＝eq\f(\r(2),2)，e2＝eq\f(\r(6),2)時(shí)，等號(hào)成立．(2)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，點(diǎn)P是C上任意一點(diǎn)，若圓O：x2＋y2＝b2上存在點(diǎn)M，N，使得∠MPN＝120°，則C的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案C解析連接OP，當(dāng)P不為橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線PA，PB分別與圓O切于點(diǎn)A，B，∠OPA＝α，∵存在M，N使得∠MPN＝120°，∴∠APB≥120°，即α≥60°，又α<90°，∴sinα≥sin60°，連接OA，則sinα＝eq\f(|OA|,|OP|)＝eq\f(b,|OP|)≥eq\f(\r(3),2)，∴|OP|≤eq\f(2b,\r(3)).又P是C上任意一點(diǎn)，則|OP|max≤eq\f(2b,\r(3))，又|OP|max＝a，∴a≤eq\f(2b,\r(3))，則由a2＝b2＋c2，得e2≤eq\f(1,4)，又0<e<1，∴e∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).題型二圓錐曲線中二級結(jié)論的應(yīng)用命題點(diǎn)1橢圓、雙曲線中二級結(jié)論的應(yīng)用例2(1)(2022·咸寧模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，其離心率e＝eq\f(1,2)，點(diǎn)P為該橢圓上一點(diǎn)，且滿足∠F1PF2＝eq\f(π,3)，已知△F1PF2的內(nèi)切圓半徑為r＝eq\r(3)，則該橢圓的長軸長為()A．2B．4C．6D．12答案D解析由e＝eq\f(1,2)，得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即a＝2c.①在△F1PF2中，根據(jù)橢圓的定義及焦點(diǎn)三角形的面積公式，得＝b2tan

eq\f(∠F1PF2,2)＝eq\f(1,2)r(2a＋2c)，即eq\f(\r(3),3)b2＝eq\r(3)(a＋c)，②由a2＝b2＋c2，③聯(lián)立①②③，得c＝3，a＝6，b＝3eq\r(3)，所以該橢圓的長軸長為2a＝2×6＝12.(2)(2022·石家莊模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，過原點(diǎn)O的直線交C于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在右支上)，雙曲線右支上一點(diǎn)P(異于點(diǎn)B)滿足eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，直線PA交x軸于點(diǎn)D，若∠ADO＝∠AOD，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(2)B．2C.eq\r(3)D．3答案A解析如圖，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，∴BA⊥BP，令kAB＝k，∵∠ADO＝∠AOD，∴kAP＝－kAB＝－k，又BA⊥BP，∴kPB＝－eq\f(1,k)，依題意，kPB·kPA＝eq\f(b2,a2)，∴－eq\f(1,k)·(－k)＝eq\f(b2,a2)，∴eq\f(b2,a2)＝1，即e＝eq\r(2).思維升華焦點(diǎn)三角形的面積公式：P為橢圓(或雙曲線)上異于長軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，且∠F1PF2＝θ，則橢圓中＝b2·tan

eq\f(θ,2)，雙曲線中＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).周角定理：已知A，B為橢圓(或雙曲線)上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓(或雙曲線)上異于A，B的任一點(diǎn)，則橢圓中kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2)，雙曲線中kPA·kPB＝eq\f(b2,a2).跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\f(3,2) D.eq\f(\r(6),2)答案D解析設(shè)雙曲線C2的方程為eq\f(x2,a\o\al(2,2))－eq\f(y2,b\o\al(2,2))＝1，則有aeq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,2)＝ceq\o\al(2,2)＝ceq\o\al(2,1)＝4－1＝3.又四邊形AF1BF2為矩形，所以△AF1F2的面積為beq\o\al(2,1)tan45°＝eq\f(b\o\al(2,2),tan45°)，即beq\o\al(2,2)＝beq\o\al(2,1)＝1.所以aeq\o\al(2,2)＝ceq\o\al(2,2)－beq\o\al(2,2)＝3－1＝2.故雙曲線的離心率e＝eq\f(c2,a2)＝eq\r(\f(3,2))＝eq\f(\r(6),2).(2)設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上、下頂點(diǎn)分別為A，B，直線AF2與該橢圓交于A，M兩點(diǎn)，若∠F1AF2＝90°，則直線BM的斜率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．－1D．－eq\f(1,2)答案B解析∵∠F1AF2＝90°，∴△F1AF2為等腰直角三角形，∴b＝c，∴a2＝2b2＝2c2，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，且∠AF2O＝45°，∴kMA＝－1，又kMA·kMB＝－eq\f(b2,a2)＝－eq\f(1,2)，∴kMB＝eq\f(1,2).命題點(diǎn)2拋物線中二級結(jié)論的應(yīng)用例3(1)(2022·“四省八?！甭?lián)考)已知拋物線y2＝4x過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則2|AF|＋|BF|的最小值為()A．2B．2eq\r(6)＋3C．4D．3＋2eq\r(2)答案D解析因?yàn)閜＝2，所以eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)＝1，所以2|AF|＋|BF|＝(2|AF|＋|BF|)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,|AF|)＋\f(1,|BF|)))＝3＋eq\f(2|AF|,|BF|)＋eq\f(|BF|,|AF|)≥3＋2eq\r(\f(2|AF|,|BF|)·\f(|BF|,|AF|))＝3＋2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)|BF|＝eq\r(2)|AF|時(shí)，等號(hào)成立，因此2|AF|＋|BF|的最小值為3＋2eq\r(2).(2)(2023·長沙模擬)已知拋物線C：y2＝16x，傾斜角為eq\f(π,6)的直線l過焦點(diǎn)F交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△ABO的面積為________．答案64解析方法一(常規(guī)解法)依題意，拋物線C：y2＝16x的焦點(diǎn)為F(4,0)，直線l的方程為x＝eq\r(3)y＋4.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)y＋4，,y2＝16x，))消去x，整理得y2－16eq\r(3)y－64＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝16eq\r(3)，y1y2＝－64.S△OAB＝eq\f(1,2)|y1－y2|·|OF|＝2eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝2eq\r(16\r(3)2－4×－64)＝64.方法二(活用結(jié)論)依題意，拋物線y2＝16x，p＝8.又l的傾斜角α＝eq\f(π,6).所以S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)＝eq\f(82,2sin\f(π,6))＝64.思維升華與拋物線的焦點(diǎn)弦有關(guān)的二級結(jié)論：若傾斜角為αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠0，\f(π,2)))的直線l經(jīng)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)兩點(diǎn)，則①焦半徑|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)＝eq\f(p,1＋cosα)，②焦點(diǎn)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)，③S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，④x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2，⑤eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)，⑥以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，以FA為直徑的圓與y軸相切．跟蹤訓(xùn)練3已知A，B是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線與拋物線的交點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，S△OAB＝eq\f(\r(2),3)|AB|，則|AB|的值為()A.eq\f(9,2)B.eq\f(2,9)C．4D．2答案A解析如圖，不妨令直線AB的傾斜角為α，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，∴F為AB的三等分點(diǎn)，令|BF|＝t，則|AF|＝2t，由eq\f(1,|BF|)＋eq\f(1,|AF|)＝eq\f(2,p)，得eq\f(1,t)＋eq\f(1,2t)＝eq\f(2,p)?t＝eq\f(3,4)p，∴|AB|＝3t＝eq\f(9,4)p，又|AB|＝eq\f(2p,sin2α)，∴eq\f(2p,sin2α)＝eq\f(9,4)p?sinα＝eq\f(2\r(2),3)，又S△OAB＝eq\f(\r(2),3)|AB|，∴eq\f(p2,2sinα)＝eq\f(\r(2),3)|AB|，即eq\f(p2,\f(4\r(2),3))＝eq\f(\r(2),3)·eq\f(9,4)p?p＝2，∴|AB|＝eq\f(9,2).題型三圓錐曲線與其他知識(shí)的綜合例4油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某市文化宮于春分時(shí)節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié)．活動(dòng)中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個(gè)半徑為1的圓，圓心到傘柄底端的距離為1，陽光照射油紙傘在地面上形成了一個(gè)橢圓形的影子(春分時(shí)，該市的陽光照射方向與地面的夾角為60°)，若傘柄底端正好位于該橢圓的左焦點(diǎn)位置，則①該橢圓的離心率為eq\f(\r(3)－1,2)；②該橢圓的離心率為2－eq\r(3)；③該橢圓的焦距為eq\f(3\r(2)－\r(6),3)；④該橢圓的焦距為2eq\r(3)－1.其中正確的結(jié)論是________．(填序號(hào))答案②③解析sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，如圖，A，B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)1是橢圓的左焦點(diǎn)，BC是圓的直徑，D為圓的圓心．因?yàn)閨BD|＝|DF1|＝1，DF1⊥BC，所以|BF1|＝eq\r(2)，設(shè)橢圓的長軸長為2a，焦距為2c，則a＋c＝eq\r(2).因?yàn)椤螦＝60°，∠B＝45°，|BC|＝2，|AB|＝2a，由正弦定理得eq\f(2,sin60°)＝eq\f(2a,sin60°＋45°)，解得a＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),6)，所以c＝eq\r(2)－a＝eq\f(3\r(2)－\r(6),6)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(3\r(2)－\r(6),3\r(2)＋\r(6))＝2－eq\r(3)，2c＝eq\f(3\r(2)－\r(6),3).思維升華高考對圓錐曲線的考查，經(jīng)常出現(xiàn)一些與其他知識(shí)交匯的題目，如與平面向量交匯、與三角函數(shù)交匯、與不等式交匯、與導(dǎo)數(shù)交匯等等，這些問題的實(shí)質(zhì)是圓錐曲線問題，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用性．跟蹤訓(xùn)練4(2022·福州質(zhì)檢)如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐·金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，巧奪天工，是唐代金銀細(xì)作的典范．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支與直線x＝0，y＝4，y＝－2圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為eq\f(10\r(3),3)，下底外直徑為eq\f(2\r(39),3)，雙曲線C與坐標(biāo)軸交于D，E兩點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是()A．雙曲線C的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1B．雙曲線eq\f(y2,3)－x2＝1與雙曲線C共漸近線C．存在一點(diǎn)，使過該點(diǎn)的任意直線與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)D．存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使它與D，E兩點(diǎn)的連線的斜率之積為3答案C解析依題意可知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),3)，4))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(39),3)，－2))，對于A，將M，N的坐標(biāo)分別代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(25,3a2)－\f(16,b2)＝1，,\f(13,3a2)－\f(4,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝3，,b2＝9，))所以雙曲線C的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1，其漸近線為y＝±eq\r(3)x，故A正確；對于B，由eq\f(y2,3)－x2＝1，可知其漸近線為y＝±eq\r(3)x，故B正確；對于C，由雙曲線的性質(zhì)可知，漸近線與雙曲線沒有交點(diǎn)，與漸近線平行的直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，故不存在點(diǎn)，使過該點(diǎn)的任意直線與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)雙曲線上一點(diǎn)P(x0，y0)，y0≠0，則eq\f(x\o\al(2,0),3)－eq\f(y\o\al(2,0),9)＝1，即yeq\o\al(2,0)＝3xeq\o\al(2,0)－9，由題可知D(－eq\r(3)，0)，E(eq\r(3)，0)，則kPD＝eq\f(y0,x0＋\r(3))，kPE＝eq\f(y0,x0－\r(3))，kPD·kPE＝eq\f(y0,x0＋\r(3))·eq\f(y0,x0－\r(3))＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－3)＝3，即存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使它與D，E兩點(diǎn)的連線的斜率之積為3，故D正確．課時(shí)精練1．已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是()A．(0,1) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))答案C解析∵eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，∴點(diǎn)M的軌跡是以F1F2為直徑的圓，其半徑r＝c，依題意，該圓總在橢圓內(nèi)部，∴c<b，即c2<b2＝a2－c2，即eq\f(c2,a2)<eq\f(1,2)，即e∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).2．(2022·保定模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l：y＝kx(k≠0)與C交于M，N兩點(diǎn)，且四邊形MF1NF2的面積為8a2.若點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)F2的對稱點(diǎn)為M′，且|M′N|＝|MN|，則C的離心率是()A.eq\r(3)B.eq\r(5)C．3D．5答案B解析如圖，由對稱性知MN與F1F2互相平分，∴四邊形MF2NF1為平行四邊形，∵F2為MM′的中點(diǎn)，且|MN|＝|M′N|，∴NF2⊥MF2，∴MF2NF1為矩形，∴＝4a2，又＝eq\f(b2,tan\f(π,4))＝4a2，即b2＝4a2，∴c2－a2＝4a2，即c2＝5a2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).3．已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個(gè)焦點(diǎn)為F(－2,0)，過F的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N(－3，－1)，則C的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\r(3)答案B解析由F，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)得直線l的斜率k＝1.∵雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)為(－2,0)，∴c＝2.設(shè)雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則a2＋b2＝4.∵kAB＝kNF＝1，且kON＝eq\f(1,3)，∴kAB·kON＝eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3)，即a2＝3b2，易得a2＝3，b2＝1，c2＝4，∴雙曲線C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(3),3).4．已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線l1，l2，直線l1與C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C相交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|＋|DE|的最小值為()A．16B．14C．12D．10答案A解析如圖，設(shè)直線l1的傾斜角為θ，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則直線l2的傾斜角為eq\f(π,2)＋θ，由拋物線的焦點(diǎn)弦弦長公式知|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)＝eq\f(4,sin2θ)，|DE|＝eq\f(2p,sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ)))＝eq\f(4,cos2θ)，∴|AB|＋|DE|＝eq\f(4,sin2θ)＋eq\f(4,cos2θ)＝eq\f(4,sin2θcos2θ)＝eq\f(16,sin22θ)≥16，當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ＝1，即θ＝eq\f(π,4)時(shí)，等號(hào)成立，即|AB|＋|DE|的最小值為16.5．(2022·白山模擬)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以O(shè)F1為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)M(異于坐標(biāo)原點(diǎn)O)，若線段MF1交雙曲線于點(diǎn)P，且MF2∥OP，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\r(6)答案A解析不妨設(shè)漸近線的方程為y＝－eq\f(b,a)x，因?yàn)镕1(－c,0)，所以直線MF1的方程為y＝eq\f(a,b)(x＋c)，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(b,a)x，,y＝\f(a,b)x＋c，))可得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,c)，\f(ab,c)))，又MF2∥OP，O為F1F2的中點(diǎn)，所以P為MF1的中點(diǎn)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－c＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,c))),2)，\f(ab,2c)))，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2＋c2,2c)，\f(ab,2c)))，又點(diǎn)P在雙曲線上，所以eq\f(a2＋c22,4a2c2)－eq\f(a2,4c2)＝1，又eq\f(c,a)>0，則解得eq\f(c,a)＝eq\r(2)，所以該雙曲線的離心率為eq\r(2).6．已知雙曲線C：x2－eq\f(y2,4)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，若∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則下列命題不正確的是()A．若θ＝60°，則S＝4eq\r(3)B．若S＝4，則|PF2|＝2eq\r(3)C．若△PF1F2為銳角三角形，則S∈(4,4eq\r(5))D．若△PF1F2的重心為G，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G的軌跡方程為9x2－eq\f(9y2,4)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,3)))答案B解析由x2－eq\f(y2,4)＝1，得a2＝1，b2＝4，則a＝1，b＝2，c＝eq\r(5)，焦點(diǎn)△PF1F2的面積公式S＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))＝eq\f(4,tan\f(θ,2))，將θ＝60°代入可知S＝4eq\r(3)，故A正確；當(dāng)S＝4時(shí)，θ＝90°，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|＝2，,|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，))可得|PF2|＝2，故B不正確；當(dāng)∠F1PF2＝90°時(shí)，S＝4，當(dāng)∠PF2F1＝90°時(shí)，S＝4eq\r(5)，因?yàn)椤鱌F1F2為銳角三角形，所以S∈(4,4eq\r(5))，故C正確；設(shè)G(x，y)，P(x0，y0)(x0>1)，則xeq\o\al(2,0)－eq\f(y\o\al(2,0),4)＝1(x0>1)，由題設(shè)知F1(－eq\r(5)，0)，F(xiàn)2(eq\r(5)，0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3x，,y0＝3y，))所以點(diǎn)G的軌跡方程為9x2－eq\f(9y2,4)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a