滬教版六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期中期末滿分沖刺專題09線段與角的畫法(難點(diǎn))(原卷版+解析)

專題09線段與角的畫法（難點(diǎn)）一、單選題1．如圖，點(diǎn)A，B在直線l上，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．線段和線段是同一條線段B．直線和直線是同一條直線C．圖中以點(diǎn)A為端點(diǎn)的射線有兩條D．射線和射線是同一條射線2．若，，，則（

）A． B． C． D．3．點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)，點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)．若線段，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．或4．小王在學(xué)習(xí)“線段與角”章節(jié)有關(guān)知識(shí)時(shí)，有如下說法：（1）若，則的余角的度數(shù)為；（2）兩點(diǎn)之間直線最短；（3）一個(gè)銳角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角小90°；（4）互補(bǔ)的兩個(gè)角一個(gè)是銳角一個(gè)是鈍角．你認(rèn)為小王以上說法正確的個(gè)數(shù)為（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．已知點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，若，點(diǎn)N是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，且，則的（

）A． B． C．1或 D．或26．如圖線段，點(diǎn)在射線上從點(diǎn)開始，以每秒的速度沿著射線的方向勻速運(yùn)動(dòng)，則時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（

）A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒7．平面內(nèi)有五個(gè)點(diǎn)，過每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)作一條直線，可以作幾條直線（

）A．1條、4條、8條或10條 B．1條、5條、9條或10條C．1條、5條、6條、8條或10條 D．1條或10條8．如果和互補(bǔ)，且，則下列式子中：①；②；③；④，可以表示的余角的有（

）A．①② B．①④ C．①③④ D．①②④9．如圖，在同一平面內(nèi)，，，點(diǎn)為反向延長(zhǎng)線上一點(diǎn)（圖中所有角均指小于的角）．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．如圖，若∠AOB=x°，OC是∠AOB的平分線，是∠AOC的平分線，是的平分線，是的平分線，則與大小關(guān)系是（

）A．= B．＜ C．＞ D．無法確定二、填空題11．計(jì)算：____________；____________°；當(dāng)時(shí)鐘指向時(shí)間為時(shí)，鐘表上的時(shí)針與分針的夾角為____________度．12．兩根木條，用疊合法比較他們的長(zhǎng)短時(shí)，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)的比短的長(zhǎng)2cm，此時(shí)兩根木條中點(diǎn)之間的距離是______cm（木條的粗細(xì)忽略不計(jì)）.13．如圖，將三個(gè)相同的三角尺角的頂點(diǎn)重合放置，如果，，那么的度數(shù)是_____．14．如圖，C、D是線段上兩點(diǎn)，M、N分別是線段的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若，則；②，則；③；④．其中正確的結(jié)論是_____．15．如圖，和都是直角．固定不動(dòng)，將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，下列結(jié)論正確的有______．①如果，那么②是定值③若變小，則變大④16．如圖，C為直線上一點(diǎn)，為直角，平分，平分，平分，各學(xué)習(xí)小組經(jīng)過討論后得到以下結(jié)論：①與互余；②；③與互補(bǔ)；④．請(qǐng)寫出正確結(jié)論的序號(hào)_____．17．已知：，過點(diǎn)O作射線，平分，如果，且關(guān)于x的方程有無數(shù)多個(gè)解，那么___________．18．有一無彈性細(xì)線，拉直時(shí)測(cè)得細(xì)線長(zhǎng)為，現(xiàn)進(jìn)行如下操作：1．在細(xì)線上任取一點(diǎn)；2．將細(xì)線折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，記折點(diǎn)為點(diǎn)；3．將細(xì)線折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，記折點(diǎn)為點(diǎn)．（1）如圖，的長(zhǎng)為___________；（2）繼續(xù)進(jìn)行折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，并把點(diǎn)和與其重疊的點(diǎn)處的細(xì)線剪開，使細(xì)線分成長(zhǎng)為，，的三段，當(dāng)，則細(xì)線未剪開時(shí)的長(zhǎng)為___________．三、解答題19．如圖，已知，，，四點(diǎn)，請(qǐng)按要求作圖，并解答．(1)畫直線；(2)畫射線；(3)連接與射線交于點(diǎn)；(4)若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，求MP的長(zhǎng)．20．已知∠α、∠β，用尺規(guī)畫出∠AOB=∠α+2∠β．（不寫作法，標(biāo)明字母）21．已知點(diǎn)B在線段上，點(diǎn)D在線段上．(1)如圖1，若，D為線段的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度；(2)如圖2，若，E為線段的中點(diǎn)，，求線段的長(zhǎng)度．22．已知線段a、b（如圖），用直尺和圓規(guī)在方框內(nèi)按以下步驟作圖：（保留作圖痕跡，不要求寫出作法和結(jié)論）①畫射線OP；②在射線OP上順次截取OA＝a，AB＝a；③在線段OB上截取BC＝b；④作出線段OC的中點(diǎn)D．(1)根據(jù)以上作圖可知線段OC＝；（用含有a、b的式子表示）(2)如果OD＝2厘米，CD＝2AC，那么線段BC＝厘米．23．如圖，以點(diǎn)為O端點(diǎn)按順時(shí)針方向依次作射線、、、、．并且使是的平分線，是的平分線．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，求的度數(shù)；(3)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)（用含n的式子表示）．24．已知點(diǎn)О為直線上一點(diǎn)，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O上，并在內(nèi)部作射線．(1)如圖l，三角板的一邊與射線重合．①的余角是___________，補(bǔ)角是___________；②若，則的度數(shù)為___________；(2)如圖2，將三角板放置到如圖位置，使恰好平分，且，求的度數(shù)；(3)若仍將三角板按照如圖2的方式放置，僅滿足平分，試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系為___________．25．圖①是由一副三角尺拼成的圖案．(1)圖①中，的度數(shù)為___________度；(2)將圖①中的三角尺繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)（）度能否使？若能，請(qǐng)寫出當(dāng)時(shí)，的度數(shù)；若不能，說明理由（圖②③供參考）．26．如圖1所示是某款手表實(shí)物圖，其示意圖如圖2所示，已知表盤是以O(shè)為圓心，以厘米為半徑的圓，為圓的直徑，其中時(shí)針為線段，分針為線段，且點(diǎn)A、B、O、C、D都在同一條直線上．(1)若點(diǎn)B，C是線段的三等分點(diǎn)，求表長(zhǎng)．(2)若手表顯示是9點(diǎn)30分．①求此時(shí)時(shí)針與分針的夾角的大小；②此時(shí)，作射線，使，求的大小；(3)自9點(diǎn)30分起，至10點(diǎn)30分止，在這一小時(shí)期間，時(shí)針和分針在不停地旋轉(zhuǎn)．若射線是的平分線，它也隨之運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過多少分鐘后，恰好能使？27．將一副三角板如圖1放置（，，，），在、（、）內(nèi)作射線、，且，，將三角板繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)、A、在一條直線上時(shí)，______；(2)如圖2，若旋轉(zhuǎn)角為（），的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，求其值；若變化，說明理由．(3)如圖3，當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到內(nèi)部時(shí)，求的值．28．綜合與實(shí)踐【問題發(fā)現(xiàn)】在數(shù)學(xué)探究課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們結(jié)束角平分線的探究后，安排同學(xué)打自主探究角的三等分線．小明進(jìn)行了如下探究，如圖①，若射線，是的三等分線，則稱更靠近邊的射線是射線的“友好線”，靠近邊的射線是射線的“友好線”．(1)如圖②，，射線是射線的友好線，求的度數(shù)．(2)【問題探究】如圖③，，射線與射線重合并繞點(diǎn)O以每秒的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，與射線重合時(shí)停止．問旋轉(zhuǎn)幾秒后，是的“友好線”．(3)【問題拓展】如圖④，，射線，分別與射線，重合，射線繞點(diǎn)O以每秒的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，是否存在某一刻恰好是的“友好線”，若存在，求出時(shí)間t秒；若不存在，請(qǐng)說明理由．29．已知點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)．(1)如圖1，過點(diǎn)O作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝3：2，求∠AOC與∠BOC的度數(shù)；(2)如圖2，射線OC為∠AOB內(nèi)部任意一條射線，射線OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的角平分線，寫出∠DOE＝°，此時(shí)圖中互余的角有對(duì)，互補(bǔ)的角有對(duì)．(3)如圖3，在第（2）小題情況下，保持∠DOE的度數(shù)不變，但改變其他條件，并使得射線OC是∠BOD的角平分線，此時(shí)∠AOD與∠COE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．30．如圖，P是定長(zhǎng)線段AB上一點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從P、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向左運(yùn)動(dòng)（C在線段AP上，D在線段BP上）（1）若C、D運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有PD＝2AC，請(qǐng)說明P點(diǎn)在線段AB上的位置：（2）在（1）的條件下，Q是直線AB上一點(diǎn)，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．（3）在（1）的條件下，若C、D運(yùn)動(dòng)5秒后，恰好有，此時(shí)C點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，D點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)（D點(diǎn)在線段PB上），M、N分別是CD、PD的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①PM﹣PN的值不變；②的值不變，可以說明，只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你找出正確的結(jié)論并求值．31．【閱讀理解】如圖1，一套三角板如圖拼在一起，我們將三角板COD繞點(diǎn)O以每秒15°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°．【解決問題】（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為9秒時(shí)，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由．（3）運(yùn)動(dòng)過程中，如圖2，形成的三個(gè)角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，當(dāng)其中一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的兩倍時(shí)，則稱射線OC是∠AOB的“優(yōu)線”．①第（2）問中旋轉(zhuǎn)后的射線OC是“優(yōu)線”嗎？為什么？②在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，若旋轉(zhuǎn)時(shí)間記為t秒，當(dāng)射線OC是“優(yōu)線”時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的t值．32．定義：若，且，則我們稱是的差余角．例如：若，則的差余角，(1)如圖1，點(diǎn)O在直線AB上，射線OE是∠BOC的角平分線，若∠COE是∠AOC的差余角，求∠BOE的度數(shù)；(2)如圖2，點(diǎn)O在直線AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC與∠BOE有什么數(shù)量關(guān)系；(3)已知，點(diǎn)O在直線AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE與OC在直線AB的同側(cè)，請(qǐng)你探究是否為定值？若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由．專題09線段與角的畫法（難點(diǎn)）一、單選題1．如圖，點(diǎn)A，B在直線l上，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．線段和線段是同一條線段B．直線和直線是同一條直線C．圖中以點(diǎn)A為端點(diǎn)的射線有兩條D．射線和射線是同一條射線【答案】D【分析】根據(jù)線段、射線、直線的特點(diǎn)判斷即可．【解析】線段和線段是同一條線段，故A正確；直線和直線是同一條直線，故B正確；圖中以點(diǎn)A為端點(diǎn)的射線有兩條，故C正確；射線和射線不是同一條射線，故D錯(cuò)誤；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了線段、射線、直線的特點(diǎn)，熟練掌握各自的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先∠1、∠2已經(jīng)是度、分、秒的形式，故將∠3化為度、分、秒的形式；再根據(jù)三個(gè)角的度數(shù)進(jìn)行大小比較，即可得到結(jié)論．【解析】∵，，=25°，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的大小比較，熟練掌握同一角的單位比較角的大小并靈活運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵．3．點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)，點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)．若線段，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)題意分兩種情況作圖，由線段之間的關(guān)系即可求解．【解析】∵點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)時(shí)，∴∵點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)∴∴；如圖所示，當(dāng)時(shí)，∴∵點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)∴∴；綜上所述，線段的長(zhǎng)為或．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查線段之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知線段的和差關(guān)系．4．小王在學(xué)習(xí)“線段與角”章節(jié)有關(guān)知識(shí)時(shí)，有如下說法：（1）若，則的余角的度數(shù)為；（2）兩點(diǎn)之間直線最短；（3）一個(gè)銳角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角小90°；（4）互補(bǔ)的兩個(gè)角一個(gè)是銳角一個(gè)是鈍角．你認(rèn)為小王以上說法正確的個(gè)數(shù)為（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】利用余角的計(jì)算方法可判斷說法（1）；利用線段公理可判斷說法（2）；利用余角和補(bǔ)角的定義計(jì)算后可判斷說法（3）；利用互補(bǔ)的定義可以判斷說法（4）．【解析】（1），故正確；（2）兩點(diǎn)之間線段最短，故錯(cuò)誤；（3）設(shè)這個(gè)銳角為α度，則且余角為度，其補(bǔ)角為度，故余角比銳角小90°，故正確；（4）互補(bǔ)的兩個(gè)角也可能都是直角，故錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了線段與角的有關(guān)知識(shí)，理解掌握已經(jīng)學(xué)過的基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．已知點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，若，點(diǎn)N是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，且，則的（

）A． B． C．1或 D．或2【答案】C【分析】根據(jù)N在線段AB上和線段AB外分情況討論，再結(jié)合線段關(guān)系即可解題．【解析】當(dāng)N在射線BA上時(shí)，，不合題意當(dāng)N在射線AB上時(shí)，，此時(shí)當(dāng)N在線段AB上時(shí)，由圖可知∴，∴∵∴∴∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查線段和差計(jì)算，解題的關(guān)鍵是畫出圖形根據(jù)圖像找到線段直接的和差關(guān)系．6．如圖線段，點(diǎn)在射線上從點(diǎn)開始，以每秒的速度沿著射線的方向勻速運(yùn)動(dòng)，則時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（

）A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，當(dāng)PB=AB時(shí)，點(diǎn)P可以位于點(diǎn)B兩側(cè)，則通過分類討論問題可解．【解析】解：由已知當(dāng)PB=AB時(shí)，PB=，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP=2t當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)2t+=8解得t=，當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)2t-=8解得t=所以t=或t=．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，解答時(shí)注意根據(jù)已知的線段數(shù)量關(guān)系構(gòu)造方程．7．平面內(nèi)有五個(gè)點(diǎn)，過每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)作一條直線，可以作幾條直線（

）A．1條、4條、8條或10條 B．1條、5條、9條或10條C．1條、5條、6條、8條或10條 D．1條或10條【答案】C【分析】根據(jù)5,4在一條直線上,3點(diǎn)都不在一條直線上,五點(diǎn)都不在一條直線上,分別畫出圖形,即可求得畫的直線的條數(shù).【解析】解:如下圖，分以下四種情況：①當(dāng)五點(diǎn)在同一直線上，如圖：故可以畫1條不同的直線；②當(dāng)有四個(gè)點(diǎn)在同一直線上，故可以畫5不同的直線；③當(dāng)有兩個(gè)三點(diǎn)在同一直線上，故可以畫6條不同的直線；④當(dāng)有三個(gè)點(diǎn)在同一直線上，故可以畫8不同的直線；⑤當(dāng)五個(gè)點(diǎn)都不在同一直線上時(shí)，因此當(dāng)n=5時(shí)，一共可以畫×5×4=10條直線．故可以作1條、5條、6條，8條或10條直線．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面上直線的確定方法，由于沒有明確平面上五點(diǎn)的位置關(guān)系，所以是否全面的類討論是解答本題的關(guān)鍵.8．如果和互補(bǔ)，且，則下列式子中：①；②；③；④，可以表示的余角的有（

）A．①② B．①④ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】根據(jù)與互補(bǔ)，得出，，求出的余角是，表示的余角，即可判斷①；，即可判斷②；，即可判斷③；求出，即可判斷④．【解析】解：與互補(bǔ)，，，表示的余角，①正確；，②正確，③錯(cuò)誤；，④正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)余角和補(bǔ)角的理解和運(yùn)用，注意：與互補(bǔ)，得出，；的余角是是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在同一平面內(nèi)，，，點(diǎn)為反向延長(zhǎng)線上一點(diǎn)（圖中所有角均指小于的角）．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由∠AOB=∠COD=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD，結(jié)合即可判斷①正確；由∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，結(jié)合即可判斷②正確；由∠BOC-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而不能判斷∠AOD=∠AOC，即可判斷③不正確；由E、O、F三點(diǎn)共線得∠BOE+∠BOF=180°，而∠COE=∠BOE，從而可判斷④正確．【解析】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD，而∠AOF=∠DOF，∴180°-∠AOC-∠AOF=180°-∠BOD-∠DOF，即∠COE=∠BOE，所以①正確；∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB=180°，所以②正確；∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而，所以③不正確；∵E、O、F三點(diǎn)共線，∴∠BOE+∠BOF=180°，∵∠COE=∠BOE，∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正確．所以，正確的結(jié)論有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】題考查了余角和補(bǔ)角、角度的計(jì)算、余角的性質(zhì)以及角平分線的定義等知識(shí)，準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．10．如圖，若∠AOB=x°，OC是∠AOB的平分線，是∠AOC的平分線，是的平分線，是的平分線，則與大小關(guān)系是（

）A．= B．＜ C．＞ D．無法確定【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，，進(jìn)而可得，即有，據(jù)此即可作答．【解析】∵OC平分∠AOB，，∴，∵OC1平分∠AOC，∴，∵OC2平分，∴，依次類推可知：，∴可知，∴，∴，∵根據(jù)題意可知，∴，即有：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形規(guī)律的探索，依據(jù)角平分線的性質(zhì)推導(dǎo)出是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題11．計(jì)算：____________；____________°；當(dāng)時(shí)鐘指向時(shí)間為時(shí)，鐘表上的時(shí)針與分針的夾角為____________度．【答案】【分析】①利用角度的四則運(yùn)算即可得到答案；②根據(jù)、進(jìn)行換算，即可得到答案；③根據(jù)時(shí)針一小時(shí)轉(zhuǎn)，一分鐘轉(zhuǎn)，分針一分鐘轉(zhuǎn)，分別計(jì)算時(shí)針、分針與0點(diǎn)的夾角，計(jì)算角度差即可得到答案．【解析】解：①，故答案為：；②，，，，故答案為：；③當(dāng)時(shí)鐘指向時(shí)間為時(shí)，時(shí)針走過小時(shí)，分鐘走過分鐘，時(shí)針與0點(diǎn)的夾角為，分針與0點(diǎn)的夾角為，鐘表上的時(shí)針與分針的夾角為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的四則運(yùn)算，角的單位換算，鐘面角，解題關(guān)鍵是掌握角度的加法法則：進(jìn)行角度的加法運(yùn)算時(shí)，同單位相加，即度與度相加、分與分相加、秒與秒相加，秒夠60進(jìn)1分，分夠60進(jìn)1度；同時(shí)也要掌握時(shí)針一小時(shí)轉(zhuǎn)，一分鐘轉(zhuǎn)，分針一分鐘轉(zhuǎn)．12．兩根木條，用疊合法比較他們的長(zhǎng)短時(shí)，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)的比短的長(zhǎng)2cm，此時(shí)兩根木條中點(diǎn)之間的距離是______cm（木條的粗細(xì)忽略不計(jì)）.【答案】1【分析】根據(jù)點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，得，整理得，即可得答案．【解析】解：如下圖，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的中點(diǎn)及線段的和差，熟練掌握線段的中點(diǎn)及線段的和差的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．13．如圖，將三個(gè)相同的三角尺角的頂點(diǎn)重合放置，如果，，那么的度數(shù)是_____．【答案】/12度【分析】根據(jù)，得到，即可求解．【解析】解：如圖，，，，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角的和差定義，靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)解決問題．14．如圖，C、D是線段上兩點(diǎn)，M、N分別是線段的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若，則；②，則；③；④．其中正確的結(jié)論是_____．【答案】①②③【分析】由可得得出，由中點(diǎn)的意義得出，進(jìn)一步得出，從而可判斷①正確；由可得，由中點(diǎn)的意義可得結(jié)論，從而判斷②正確；由由中點(diǎn)的意義可得代入可判斷③正確；由得，代入可得故可判斷④錯(cuò)誤．【解析】解：如圖∵，∴∴，∴，∴，∴，即，故①正確；∵，∴，∵M(jìn)、N分別是線段的中點(diǎn)，∴，∴，故②正確；∵M(jìn)、N分別是線段的中點(diǎn)，∴∵，∴，故③正確；∵，∴，∵，∴，故④錯(cuò)誤，故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，能夠利用中點(diǎn)的性質(zhì)求解一些線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．如圖，和都是直角．固定不動(dòng)，將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，下列結(jié)論正確的有______．①如果，那么②是定值③若變小，則變大④【答案】①②③④【分析】由題意得到，，進(jìn)行整理即可分別進(jìn)行判斷．【解析】解：，，，，，即，即，當(dāng)，則，故①正確；，，故②正確；，若變小，則變大，故③正確；，，，故④正確；綜上所述，故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了角的有關(guān)計(jì)算；解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形對(duì)角進(jìn)行正確拆分、組合．16．如圖，C為直線上一點(diǎn)，為直角，平分，平分，平分，各學(xué)習(xí)小組經(jīng)過討論后得到以下結(jié)論：①與互余；②；③與互補(bǔ)；④．請(qǐng)寫出正確結(jié)論的序號(hào)_____．【答案】①③④【分析】①由平分，平分可得，進(jìn)而可得與互余；②平分，結(jié)合①可求；先證，進(jìn)而可證與互補(bǔ)；④由，可判斷④正確．【解析】解：∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，即與互余，故①正確；∵平分，∠，∵，∴，故②錯(cuò)誤；∵，∴∴，∴，∵，∴與互補(bǔ)，故③正確；∵，，∴，故④正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查余角和補(bǔ)角，角平分線的定義，角的和差，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．17．已知：，過點(diǎn)O作射線，平分，如果，且關(guān)于x的方程有無數(shù)多個(gè)解，那么___________．【答案】或/或【分析】先通過方程有無數(shù)多個(gè)解解出的值，然后分類討論C點(diǎn)的位置直接求解即可．【解析】關(guān)于x的方程有無數(shù)多個(gè)解，則，解得1.當(dāng)C在內(nèi)部時(shí)，如圖平分，設(shè)，則，，，解得2.當(dāng)C在外部時(shí)，如圖平分，設(shè)，則，，，解得綜上所述：或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查一元一次方程解的情況，以及角的計(jì)算，解題關(guān)鍵是無數(shù)組解的情況是未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為0，解題技巧是射線需要分類討論不同的位置．18．有一無彈性細(xì)線，拉直時(shí)測(cè)得細(xì)線長(zhǎng)為，現(xiàn)進(jìn)行如下操作：1．在細(xì)線上任取一點(diǎn)；2．將細(xì)線折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，記折點(diǎn)為點(diǎn)；3．將細(xì)線折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，記折點(diǎn)為點(diǎn)．（1）如圖，的長(zhǎng)為___________；（2）繼續(xù)進(jìn)行折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，并把點(diǎn)和與其重疊的點(diǎn)處的細(xì)線剪開，使細(xì)線分成長(zhǎng)為，，的三段，當(dāng)，則細(xì)線未剪開時(shí)的長(zhǎng)為___________．【答案】42或6【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)與是線段的中點(diǎn)即可得到答案；（2）根據(jù)條件得到，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)以及當(dāng)時(shí)討論即可．【解析】解：（1）點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，；（2），細(xì)線剪開后分成，，三段，，當(dāng)時(shí)，，，，，，，；當(dāng)時(shí)，，，，，，，．故答案為：；或．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段中點(diǎn)的計(jì)算，根據(jù)條件得出線段之間的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．如圖，已知，，，四點(diǎn)，請(qǐng)按要求作圖，并解答．(1)畫直線；(2)畫射線；(3)連接與射線交于點(diǎn)；(4)若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，求MP的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)2【分析】（1）（2）（3）根據(jù)直線，射線，線段的定義畫出圖形即可；（4）求出，根據(jù)進(jìn)行計(jì)算求解．【解析】（1）如圖，直線即為所求，（2）如圖，射線即為所求，（3）如圖，線段，點(diǎn)即為所求，（4）∵，，∴，∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，直線，線段，射線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握直線，射線，線段的定義，屬于中考?？碱}型．20．已知∠α、∠β，用尺規(guī)畫出∠AOB=∠α+2∠β．（不寫作法，標(biāo)明字母）【答案】見解析【分析】根據(jù)用尺規(guī)作圖作角等于已知角作圖即可．【解析】解：分別以∠α、∠β的頂點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑作弧，分別交∠α、∠β的邊于P、Q、M、N；作射線OB，以O(shè)為圓心，以相同長(zhǎng)度為半徑作一個(gè)優(yōu)弧，交射線OB于點(diǎn)C，以C為圓心，PQ的長(zhǎng)度為半徑作弧，交優(yōu)弧于點(diǎn)D，作射線OD，再以D為圓心，MN的長(zhǎng)為半徑作弧，交優(yōu)?。ā螪OB外部）于點(diǎn)E，作射線OE，然后以E為圓心，MN的長(zhǎng)為半徑作弧，交優(yōu)?。ā螮OB外部）于點(diǎn)A，作射線OA，如圖所示：∠AOB=∠α+2∠β，∠AOB即為所求．【點(diǎn)睛】此題考查的是用尺規(guī)作圖作角等于已知角，掌握用尺規(guī)作圖作角等于已知角是解決此題的關(guān)鍵．21．已知點(diǎn)B在線段上，點(diǎn)D在線段上．(1)如圖1，若，D為線段的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度；(2)如圖2，若，E為線段的中點(diǎn)，，求線段的長(zhǎng)度．【答案】(1)線段的長(zhǎng)度為；(2)線段的長(zhǎng)度為．【分析】（1）由線段的中點(diǎn)，線段的和差求出線段的長(zhǎng)度為；（2）由線段的中點(diǎn)，線段的和差倍分求出的長(zhǎng)度為．【解析】（1）解：如圖1所示：∵，∴，又∵D為線段的中點(diǎn)，∴，∴；（2）解：如圖2所示，設(shè)，∵，∴，∴，∴，∵E為線段的中點(diǎn)，∴，∴，又∵，∴，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了線段的中點(diǎn)，線段的和差倍分等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)掌握直線上兩點(diǎn)之間的距離公式計(jì)算方法．22．已知線段a、b（如圖），用直尺和圓規(guī)在方框內(nèi)按以下步驟作圖：（保留作圖痕跡，不要求寫出作法和結(jié)論）①畫射線OP；②在射線OP上順次截取OA＝a，AB＝a；③在線段OB上截取BC＝b；④作出線段OC的中點(diǎn)D．(1)根據(jù)以上作圖可知線段OC＝；（用含有a、b的式子表示）(2)如果OD＝2厘米，CD＝2AC，那么線段BC＝厘米．【答案】(1)作圖見解答，(2)6【分析】利用基本作圖畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形，（1）根據(jù)線段的和差得到；（2）先利用點(diǎn)為的中點(diǎn)得到厘米，則厘米，然后利用進(jìn)行計(jì)算．【解析】（1）解：如圖，；故答案為：；（2）解：點(diǎn)為的中點(diǎn)，厘米，，厘米，（厘米）；故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖，兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是掌握復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．23．如圖，以點(diǎn)為O端點(diǎn)按順時(shí)針方向依次作射線、、、、．并且使是的平分線，是的平分線．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，求的度數(shù)；(3)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)（用含n的式子表示）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出，，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)角平分線的定義得出，，設(shè)，則，根據(jù)列出方程，解方程得出，再根據(jù)角度之間的關(guān)系即可得出答案；（3）設(shè)，，根據(jù)圖形得出，，根據(jù)列出等式，得出即可得出答案．【解析】（1）解：∵是的平分線，∴，∵是的平分線，∴，∴；（2）解：∵平分，平分，∴，，設(shè)，，∴，∴，解得：，即，∴．（3）解：設(shè)，，依題意可知，，；由得：，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的有關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合．24．已知點(diǎn)О為直線上一點(diǎn)，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O上，并在內(nèi)部作射線．(1)如圖l，三角板的一邊與射線重合．①的余角是___________，補(bǔ)角是___________；②若，則的度數(shù)為___________；(2)如圖2，將三角板放置到如圖位置，使恰好平分，且，求的度數(shù)；(3)若仍將三角板按照如圖2的方式放置，僅滿足平分，試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系為___________．【答案】(1)①，；②(2)(3)【分析】（1）①根據(jù)余角和補(bǔ)角的定義進(jìn)行解答即可；②根據(jù)和即可得出答案；（2）設(shè)，則，根據(jù)恰好平分，得出，根據(jù)列出方程，解方程，得出x的值，求出，即可得出答案；（3）設(shè)，，則，根據(jù)平分，得出，根據(jù)，得出，即可得出答案．【解析】（1）解：①∵，，∴的余角是，補(bǔ)角是；故答案為：，；②∵，∴，∵，∴，故答案為：；（2）解：設(shè)，則，∴，∵恰好平分，∴，∴，解得：，∴，∴；（3）解：設(shè)，，則，∵平分，∴，∴，∵，∴，整理得：，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余角和補(bǔ)角的定義，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握角平分線的定義．25．圖①是由一副三角尺拼成的圖案．(1)圖①中，的度數(shù)為___________度；(2)將圖①中的三角尺繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)（）度能否使？若能，請(qǐng)寫出當(dāng)時(shí)，的度數(shù)；若不能，說明理由（圖②③供參考）．【答案】(1)(2)能，120°或80°【分析】（1）直接根據(jù)三角板中角度的特點(diǎn)進(jìn)行求解即可；（2）分三種情況：當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，根據(jù)角度之間的關(guān)系建立方程求解即可．【解析】（1）解：由題意得，，∴，故答案為：；（2）解：第一種情況：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），∵，∴，解得，∴．第二種情況：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），∵，∴，解得，∴．第三種情況：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∵，∴，解得．∵，∴不合題意，舍去．綜上，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為120°或80°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角板中角度的計(jì)算，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．26．如圖1所示是某款手表實(shí)物圖，其示意圖如圖2所示，已知表盤是以O(shè)為圓心，以厘米為半徑的圓，為圓的直徑，其中時(shí)針為線段，分針為線段，且點(diǎn)A、B、O、C、D都在同一條直線上．(1)若點(diǎn)B，C是線段的三等分點(diǎn)，求表長(zhǎng)．(2)若手表顯示是9點(diǎn)30分．①求此時(shí)時(shí)針與分針的夾角的大??；②此時(shí)，作射線，使，求的大??；(3)自9點(diǎn)30分起，至10點(diǎn)30分止，在這一小時(shí)期間，時(shí)針和分針在不停地旋轉(zhuǎn)．若射線是的平分線，它也隨之運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過多少分鐘后，恰好能使？【答案】(1)（厘米）(2)①105°；②75°或135°(3)經(jīng)過或30分鐘后，恰好能使【分析】（1）由線段的三等分點(diǎn)的含義可得答案；（2）①由時(shí)針每分鐘走，結(jié)合鐘面上每格的角度為，從而可得答案；②射線有兩種可能需分類討論：如圖，當(dāng)射線在的內(nèi)部時(shí)，；當(dāng)射線在的外部時(shí)，再結(jié)合角的和差關(guān)系可得答案；（3）分兩種情況討論：所以當(dāng)分針未追上時(shí)針前，如圖，當(dāng)分針追上時(shí)針后，如圖，再建立方程解題即可．【解析】（1）解：∵點(diǎn)B，C是線段的三等分點(diǎn)，∴，∴此時(shí)表長(zhǎng)（厘米）．（2）①∵時(shí)針每分鐘走，分針每分鐘走，而鐘面上每格的角度為，∴．②要使，射線有兩種可能需分類討論：如圖，當(dāng)射線在的內(nèi)部時(shí)，；當(dāng)射線在的外部時(shí)，．（3）∵射線是的平分線，且，∴．設(shè)自9點(diǎn)30分起經(jīng)過t分鐘，則，∵9點(diǎn)30分時(shí)時(shí)針與分針?biāo)傻膴A角為105°，所以當(dāng)分針未追上時(shí)針前，如圖，∴，解得；當(dāng)分針追上時(shí)針后，如圖，∴，解得綜上，經(jīng)過或30分鐘后，恰好能使．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的和差關(guān)系，線段的三等分點(diǎn)的含義，鐘面角的含義，角的旋轉(zhuǎn)定義的理解，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，建立方程解題是關(guān)鍵．27．將一副三角板如圖1放置（，，，），在、（、）內(nèi)作射線、，且，，將三角板繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)、A、在一條直線上時(shí)，______；(2)如圖2，若旋轉(zhuǎn)角為（），的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，求其值；若變化，說明理由．(3)如圖3，當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到內(nèi)部時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)的度數(shù)不發(fā)生改變，且；(3)【分析】（1）先根據(jù)點(diǎn)、A、在一條直線上，，求出，根據(jù)，求出，即可得出答案；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出，，根據(jù)，，得出，，根據(jù)得出結(jié)果即可；（3）根據(jù)，，結(jié)合，，得出，，求出，根據(jù)求出結(jié)果即可．【解析】（1）解：∵點(diǎn)、A、在一條直線上，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴；故答案為：；（2）解：的度數(shù)不發(fā)生改變，且；∵旋轉(zhuǎn)角為，∴，，∵，，∴，，∴；（3）解：當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到內(nèi)部時(shí)，，，∵，，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何圖形中的角度計(jì)算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，搞清楚度數(shù)間的數(shù)量關(guān)系．28．綜合與實(shí)踐【問題發(fā)現(xiàn)】在數(shù)學(xué)探究課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們結(jié)束角平分線的探究后，安排同學(xué)打自主探究角的三等分線．小明進(jìn)行了如下探究，如圖①，若射線，是的三等分線，則稱更靠近邊的射線是射線的“友好線”，靠近邊的射線是射線的“友好線”．(1)如圖②，，射線是射線的友好線，求的度數(shù)．(2)【問題探究】如圖③，，射線與射線重合并繞點(diǎn)O以每秒的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，與射線重合時(shí)停止．問旋轉(zhuǎn)幾秒后，是的“友好線”．(3)【問題拓展】如圖④，，射線，分別與射線，重合，射線繞點(diǎn)O以每秒的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，是否存在某一刻恰好是的“友好線”，若存在，求出時(shí)間t秒；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)旋轉(zhuǎn)20秒后，是的“友好線”(3)存在；當(dāng)或時(shí)，恰好是的“友好線”【分析】（1）根據(jù)“友好線”定義求出的度數(shù)即可；（2）根據(jù)“友好線”定義求出的度數(shù)，然后再求出的度數(shù)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)速度求出旋轉(zhuǎn)時(shí)間，即可得出答案；（3）分兩種情況討論，當(dāng)在右側(cè)時(shí)，當(dāng)在左側(cè)時(shí)，分別畫出圖形，列出關(guān)于t的方程，解方程即可得出答案．【解析】（1）解：∵，∴當(dāng)射線是射線的“友好線”時(shí)，．（2）解：∵，∴當(dāng)是的“友好線”時(shí)，，∴，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為（秒），即旋轉(zhuǎn)20秒后，是的“友好線”．（3）解：存在；當(dāng)或時(shí)，恰好是的“友好線”．當(dāng)在右側(cè)時(shí)，如圖所示：此時(shí)，，∵恰好是的“友好線”，∴，∴，解得：；當(dāng)在右側(cè)時(shí)，如圖所示：此時(shí)，，∵恰好是的“友好線”，∴，∴，解得：；綜上分析可知，當(dāng)或時(shí)，恰好是的“友好線”．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何圖形中的角度計(jì)算，解題的關(guān)鍵是理解題目中“友好線”的定義，數(shù)形結(jié)合，注意分類討論．29．已知點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)．(1)如圖1，過點(diǎn)O作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝3：2，求∠AOC與∠BOC的度數(shù)；(2)如圖2，射線OC為∠AOB內(nèi)部任意一條射線，射線OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的角平分線，寫出∠DOE＝°，此時(shí)圖中互余的角有對(duì)，互補(bǔ)的角有對(duì)．(3)如圖3，在第（2）小題情況下，保持∠DOE的度數(shù)不變，但改變其他條件，并使得射線OC是∠BOD的角平分線，此時(shí)∠AOD與∠COE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【答案】(1)∠AOC＝180°，∠BOC＝72°．(2)90，4，5．(3)∠AOD＝2∠COE．理由見解析．【分析】（1）設(shè)∠AOC＝3x，則∠BOC＝2x.然后根據(jù)平角180°列方程求得x，進(jìn)而完成解答；（2）先根據(jù)角平分線的定義可得∠COD＝∠AOC、∠COE＝∠BOC，然后再結(jié)合∠DOE＝∠COD+∠COE即可求得90°；然后根據(jù)余角、補(bǔ)角的定義即可確定余角和補(bǔ)角的對(duì)數(shù)；（3）根據(jù)射線OC是∠BOD的角平分線可得∠BOC＝90°﹣∠AOD，然后再根據(jù)∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°即可解答．【解析】（1）解：設(shè)∠AOC＝3x，則∠BOC＝2x，根據(jù)題意得：3x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠AOC＝180°，∠BOC＝72°．（2）解：∵射線OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的角平分線，∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝×180°＝90°；∵∠COD+∠COE＝90°，∠AOD+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，∠COD+∠BOE＝90°，∴互余的角有4對(duì)；∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠BOE+∠AOE＝180°，∠COE+∠AOE＝180°，∠AOC+∠BOC＝180°，∴互補(bǔ)的角有5對(duì)．故答案為：90，4，5．（3）解：∠AOD＝2∠COE．理由如下：∵射線OC是∠BOD的角平分線，∴∠BOC＝∠BOD＝（180°﹣∠AOD）＝90°﹣∠AOD，∵∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°，∴∠AOD+（90°﹣∠COE）+（90°﹣∠AOD）＝180°，∴∠AOD＝2∠COE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義、平角的定義、補(bǔ)角、余角的定義，靈活運(yùn)用相關(guān)定義成為解答本題的關(guān)鍵．30．如圖，P是定長(zhǎng)線段AB上一點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從P、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向左運(yùn)動(dòng)（C在線段AP上，D在線段BP上）（1）若C、D運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有PD＝2AC，請(qǐng)說明P點(diǎn)在線段AB上的位置：（2）在（1）的條件下，Q是直線AB上一點(diǎn)，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．（3）在（1）的條件下，若C、D運(yùn)動(dòng)5秒后，恰好有，此時(shí)C點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，D點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)（D點(diǎn)在線段PB上），M、N分別是CD、PD的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①PM﹣PN的值不變；②的值不變，可以說明，只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你找出正確的結(jié)論并求值．【答案】（1）點(diǎn)P在線段AB上的處；（2）；（3）②的值不變.【分析】（1）根據(jù)C、D的運(yùn)動(dòng)速度知BD=2PC，再由已知條件PD=2AC求得PB=2AP，所以點(diǎn)P在線段AB上的處；（2）由題設(shè)畫出圖示，根據(jù)AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，從而求得PQ與AB的關(guān)系；（3）當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，有CD＝AB，從而求得CM與AB的數(shù)量關(guān)系；然后求得以AB表示的PM與PN的值，所以MN＝PN?PM＝AB．【解析】解：（1）由題意：BD=2PC∵PD=2AC，∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.∴點(diǎn)P在線段AB上的處；（2）如圖：∵AQ-BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ，∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴PQ=AB，∴（3）②的值不變.理由：如圖，當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，有CD=AB，∴CM=AB，∴PM=CM-CP=AB-5，∵PD=AB-10，∴PN=AB-10）=AB-5，∴MN=PN-PM=AB，當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，D點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN的值不變，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了比較線段的長(zhǎng)短．利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡(jiǎn)潔性．同時(shí)，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系也是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)．31．【閱讀理解】如圖1，一套三角板如圖拼在一起，我們將三角板COD繞點(diǎn)O以每秒15°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°．【解決問題】（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為9秒時(shí)，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由．（3）運(yùn)動(dòng)過程中，如圖2，形成的三個(gè)角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，當(dāng)其中一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的兩倍時(shí)，則稱射線OC是∠AOB的“優(yōu)線”．①第（2）問中旋轉(zhuǎn)后的射線OC是“優(yōu)線”嗎？為什么？②在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，若旋轉(zhuǎn)時(shí)間記為t秒，當(dāng)射線OC是“優(yōu)線”時(shí)，請(qǐng)