滬教版六年級數學下冊期中期末滿分沖刺專題09線段與角的畫法(難點)(原卷版+解析)

專題09線段與角的畫法（難點）一、單選題1．如圖，點A，B在直線l上，下列說法錯誤的是（

）A．線段和線段是同一條線段B．直線和直線是同一條直線C．圖中以點A為端點的射線有兩條D．射線和射線是同一條射線2．若，，，則（

）A． B． C． D．3．點C是線段的三等分點，點D是線段的中點．若線段，則線段的長為（

）A． B． C．或 D．或4．小王在學習“線段與角”章節(jié)有關知識時，有如下說法：（1）若，則的余角的度數為；（2）兩點之間直線最短；（3）一個銳角的余角比這個角的補角小90°；（4）互補的兩個角一個是銳角一個是鈍角．你認為小王以上說法正確的個數為（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．已知點M是線段AB上一點，若，點N是直線AB上的一動點，且，則的（

）A． B． C．1或 D．或26．如圖線段，點在射線上從點開始，以每秒的速度沿著射線的方向勻速運動，則時，運動時間為（

）A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒7．平面內有五個點，過每兩個點作一條直線，可以作幾條直線（

）A．1條、4條、8條或10條 B．1條、5條、9條或10條C．1條、5條、6條、8條或10條 D．1條或10條8．如果和互補，且，則下列式子中：①；②；③；④，可以表示的余角的有（

）A．①② B．①④ C．①③④ D．①②④9．如圖，在同一平面內，，，點為反向延長線上一點（圖中所有角均指小于的角）．下列結論：①；②；③；④．其中正確結論的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．如圖，若∠AOB=x°，OC是∠AOB的平分線，是∠AOC的平分線，是的平分線，是的平分線，則與大小關系是（

）A．= B．＜ C．＞ D．無法確定二、填空題11．計算：____________；____________°；當時鐘指向時間為時，鐘表上的時針與分針的夾角為____________度．12．兩根木條，用疊合法比較他們的長短時，發(fā)現長的比短的長2cm，此時兩根木條中點之間的距離是______cm（木條的粗細忽略不計）.13．如圖，將三個相同的三角尺角的頂點重合放置，如果，，那么的度數是_____．14．如圖，C、D是線段上兩點，M、N分別是線段的中點，下列結論：①若，則；②，則；③；④．其中正確的結論是_____．15．如圖，和都是直角．固定不動，將繞點O旋轉，在旋轉過程中，下列結論正確的有______．①如果，那么②是定值③若變小，則變大④16．如圖，C為直線上一點，為直角，平分，平分，平分，各學習小組經過討論后得到以下結論：①與互余；②；③與互補；④．請寫出正確結論的序號_____．17．已知：，過點O作射線，平分，如果，且關于x的方程有無數多個解，那么___________．18．有一無彈性細線，拉直時測得細線長為，現進行如下操作：1．在細線上任取一點；2．將細線折疊，使點與點重合，記折點為點；3．將細線折疊，使點與點重合，記折點為點．（1）如圖，的長為___________；（2）繼續(xù)進行折疊，使點與點重合，并把點和與其重疊的點處的細線剪開，使細線分成長為，，的三段，當，則細線未剪開時的長為___________．三、解答題19．如圖，已知，，，四點，請按要求作圖，并解答．(1)畫直線；(2)畫射線；(3)連接與射線交于點；(4)若點是線段的中點，，，求MP的長．20．已知∠α、∠β，用尺規(guī)畫出∠AOB=∠α+2∠β．（不寫作法，標明字母）21．已知點B在線段上，點D在線段上．(1)如圖1，若，D為線段的中點，求線段的長度；(2)如圖2，若，E為線段的中點，，求線段的長度．22．已知線段a、b（如圖），用直尺和圓規(guī)在方框內按以下步驟作圖：（保留作圖痕跡，不要求寫出作法和結論）①畫射線OP；②在射線OP上順次截取OA＝a，AB＝a；③在線段OB上截取BC＝b；④作出線段OC的中點D．(1)根據以上作圖可知線段OC＝；（用含有a、b的式子表示）(2)如果OD＝2厘米，CD＝2AC，那么線段BC＝厘米．23．如圖，以點為O端點按順時針方向依次作射線、、、、．并且使是的平分線，是的平分線．(1)若，，求的度數；(2)若，，求的度數；(3)當時，求的度數（用含n的式子表示）．24．已知點О為直線上一點，將直角三角板的直角頂點放在點O上，并在內部作射線．(1)如圖l，三角板的一邊與射線重合．①的余角是___________，補角是___________；②若，則的度數為___________；(2)如圖2，將三角板放置到如圖位置，使恰好平分，且，求的度數；(3)若仍將三角板按照如圖2的方式放置，僅滿足平分，試猜想與之間的數量關系為___________．25．圖①是由一副三角尺拼成的圖案．(1)圖①中，的度數為___________度；(2)將圖①中的三角尺繞點B旋轉（）度能否使？若能，請寫出當時，的度數；若不能，說明理由（圖②③供參考）．26．如圖1所示是某款手表實物圖，其示意圖如圖2所示，已知表盤是以O為圓心，以厘米為半徑的圓，為圓的直徑，其中時針為線段，分針為線段，且點A、B、O、C、D都在同一條直線上．(1)若點B，C是線段的三等分點，求表長．(2)若手表顯示是9點30分．①求此時時針與分針的夾角的大??；②此時，作射線，使，求的大??；(3)自9點30分起，至10點30分止，在這一小時期間，時針和分針在不停地旋轉．若射線是的平分線，它也隨之運動，則經過多少分鐘后，恰好能使？27．將一副三角板如圖1放置（，，，），在、（、）內作射線、，且，，將三角板繞著點順時針旋轉．(1)如圖1，當點、A、在一條直線上時，______；(2)如圖2，若旋轉角為（），的度數是否會發(fā)生改變？若不變，求其值；若變化，說明理由．(3)如圖3，當三角板旋轉到內部時，求的值．28．綜合與實踐【問題發(fā)現】在數學探究課上，王老師帶領同學們結束角平分線的探究后，安排同學打自主探究角的三等分線．小明進行了如下探究，如圖①，若射線，是的三等分線，則稱更靠近邊的射線是射線的“友好線”，靠近邊的射線是射線的“友好線”．(1)如圖②，，射線是射線的友好線，求的度數．(2)【問題探究】如圖③，，射線與射線重合并繞點O以每秒的速度逆時針方向旋轉，與射線重合時停止．問旋轉幾秒后，是的“友好線”．(3)【問題拓展】如圖④，，射線，分別與射線，重合，射線繞點O以每秒的速度逆時針方向旋轉，同時射線繞點O以每秒的速度順時針方向旋轉，是否存在某一刻恰好是的“友好線”，若存在，求出時間t秒；若不存在，請說明理由．29．已知點O為直線AB上一點．(1)如圖1，過點O作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝3：2，求∠AOC與∠BOC的度數；(2)如圖2，射線OC為∠AOB內部任意一條射線，射線OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的角平分線，寫出∠DOE＝°，此時圖中互余的角有對，互補的角有對．(3)如圖3，在第（2）小題情況下，保持∠DOE的度數不變，但改變其他條件，并使得射線OC是∠BOD的角平分線，此時∠AOD與∠COE滿足怎樣的數量關系？并說明理由．30．如圖，P是定長線段AB上一點，C、D兩點分別從P、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向左運動（C在線段AP上，D在線段BP上）（1）若C、D運動到任一時刻時，總有PD＝2AC，請說明P點在線段AB上的位置：（2）在（1）的條件下，Q是直線AB上一點，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．（3）在（1）的條件下，若C、D運動5秒后，恰好有，此時C點停止運動，D點繼續(xù)運動（D點在線段PB上），M、N分別是CD、PD的中點，下列結論：①PM﹣PN的值不變；②的值不變，可以說明，只有一個結論是正確的，請你找出正確的結論并求值．31．【閱讀理解】如圖1，一套三角板如圖拼在一起，我們將三角板COD繞點O以每秒15°的速度順時針旋轉180°．【解決問題】（1）在旋轉過程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之間有怎樣的數量關系？（2）當運動時間為9秒時，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由．（3）運動過程中，如圖2，形成的三個角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，當其中一個角的度數是另一個角的兩倍時，則稱射線OC是∠AOB的“優(yōu)線”．①第（2）問中旋轉后的射線OC是“優(yōu)線”嗎？為什么？②在整個旋轉過程中，若旋轉時間記為t秒，當射線OC是“優(yōu)線”時，請直接寫出所有滿足條件的t值．32．定義：若，且，則我們稱是的差余角．例如：若，則的差余角，(1)如圖1，點O在直線AB上，射線OE是∠BOC的角平分線，若∠COE是∠AOC的差余角，求∠BOE的度數；(2)如圖2，點O在直線AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC與∠BOE有什么數量關系；(3)已知，點O在直線AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE與OC在直線AB的同側，請你探究是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．專題09線段與角的畫法（難點）一、單選題1．如圖，點A，B在直線l上，下列說法錯誤的是（

）A．線段和線段是同一條線段B．直線和直線是同一條直線C．圖中以點A為端點的射線有兩條D．射線和射線是同一條射線【答案】D【分析】根據線段、射線、直線的特點判斷即可．【解析】線段和線段是同一條線段，故A正確；直線和直線是同一條直線，故B正確；圖中以點A為端點的射線有兩條，故C正確；射線和射線不是同一條射線，故D錯誤；故選D．【點睛】本題考查了線段、射線、直線的特點，熟練掌握各自的特點是解題的關鍵．2．若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先∠1、∠2已經是度、分、秒的形式，故將∠3化為度、分、秒的形式；再根據三個角的度數進行大小比較，即可得到結論．【解析】∵，，=25°，∴．故選A．【點睛】本題主要考查了角的大小比較，熟練掌握同一角的單位比較角的大小并靈活運用是解決本題的關鍵．3．點C是線段的三等分點，點D是線段的中點．若線段，則線段的長為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】根據題意分兩種情況作圖，由線段之間的關系即可求解．【解析】∵點C是線段的三等分點，如圖所示，當時，∴∵點D是線段的中點∴∴；如圖所示，當時，∴∵點D是線段的中點∴∴；綜上所述，線段的長為或．故選：D．【點睛】此題主要考查線段之間的關系，解題的關鍵是熟知線段的和差關系．4．小王在學習“線段與角”章節(jié)有關知識時，有如下說法：（1）若，則的余角的度數為；（2）兩點之間直線最短；（3）一個銳角的余角比這個角的補角小90°；（4）互補的兩個角一個是銳角一個是鈍角．你認為小王以上說法正確的個數為（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】利用余角的計算方法可判斷說法（1）；利用線段公理可判斷說法（2）；利用余角和補角的定義計算后可判斷說法（3）；利用互補的定義可以判斷說法（4）．【解析】（1），故正確；（2）兩點之間線段最短，故錯誤；（3）設這個銳角為α度，則且余角為度，其補角為度，故余角比銳角小90°，故正確；（4）互補的兩個角也可能都是直角，故錯誤．故選：B．【點睛】本題考查了線段與角的有關知識，理解掌握已經學過的基礎知識是解題的關鍵．5．已知點M是線段AB上一點，若，點N是直線AB上的一動點，且，則的（

）A． B． C．1或 D．或2【答案】C【分析】根據N在線段AB上和線段AB外分情況討論，再結合線段關系即可解題．【解析】當N在射線BA上時，，不合題意當N在射線AB上時，，此時當N在線段AB上時，由圖可知∴，∴∵∴∴∴故選：C．【點睛】本題考查線段和差計算，解題的關鍵是畫出圖形根據圖像找到線段直接的和差關系．6．如圖線段，點在射線上從點開始，以每秒的速度沿著射線的方向勻速運動，則時，運動時間為（

）A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒【答案】C【分析】根據題意可知，當PB=AB時，點P可以位于點B兩側，則通過分類討論問題可解．【解析】解：由已知當PB=AB時，PB=，設點P運動時間為t秒，則AP=2t當點P在B點左側時2t+=8解得t=，當點P在B點左側時2t-=8解得t=所以t=或t=．故選：C．【點睛】本題考查了一元一次方程以及分類討論的數學思想，解答時注意根據已知的線段數量關系構造方程．7．平面內有五個點，過每兩個點作一條直線，可以作幾條直線（

）A．1條、4條、8條或10條 B．1條、5條、9條或10條C．1條、5條、6條、8條或10條 D．1條或10條【答案】C【分析】根據5,4在一條直線上,3點都不在一條直線上,五點都不在一條直線上,分別畫出圖形,即可求得畫的直線的條數.【解析】解:如下圖，分以下四種情況：①當五點在同一直線上，如圖：故可以畫1條不同的直線；②當有四個點在同一直線上，故可以畫5不同的直線；③當有兩個三點在同一直線上，故可以畫6條不同的直線；④當有三個點在同一直線上，故可以畫8不同的直線；⑤當五個點都不在同一直線上時，因此當n=5時，一共可以畫×5×4=10條直線．故可以作1條、5條、6條，8條或10條直線．故選C．【點睛】本題主要考查了平面上直線的確定方法，由于沒有明確平面上五點的位置關系，所以是否全面的類討論是解答本題的關鍵.8．如果和互補，且，則下列式子中：①；②；③；④，可以表示的余角的有（

）A．①② B．①④ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】根據與互補，得出，，求出的余角是，表示的余角，即可判斷①；，即可判斷②；，即可判斷③；求出，即可判斷④．【解析】解：與互補，，，表示的余角，①正確；，②正確，③錯誤；，④正確．故選：D．【點睛】本題考查了對余角和補角的理解和運用，注意：與互補，得出，；的余角是是解題的關鍵．9．如圖，在同一平面內，，，點為反向延長線上一點（圖中所有角均指小于的角）．下列結論：①；②；③；④．其中正確結論的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由∠AOB=∠COD=90°，根據等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD，結合即可判斷①正確；由∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，結合即可判斷②正確；由∠BOC-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而不能判斷∠AOD=∠AOC，即可判斷③不正確；由E、O、F三點共線得∠BOE+∠BOF=180°，而∠COE=∠BOE，從而可判斷④正確．【解析】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD，而∠AOF=∠DOF，∴180°-∠AOC-∠AOF=180°-∠BOD-∠DOF，即∠COE=∠BOE，所以①正確；∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB=180°，所以②正確；∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而，所以③不正確；∵E、O、F三點共線，∴∠BOE+∠BOF=180°，∵∠COE=∠BOE，∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正確．所以，正確的結論有3個．故選：C．【點睛】題考查了余角和補角、角度的計算、余角的性質以及角平分線的定義等知識，準確識圖是解題的關鍵．10．如圖，若∠AOB=x°，OC是∠AOB的平分線，是∠AOC的平分線，是的平分線，是的平分線，則與大小關系是（

）A．= B．＜ C．＞ D．無法確定【答案】C【分析】根據角平分線的性質可得，，，進而可得，即有，據此即可作答．【解析】∵OC平分∠AOB，，∴，∵OC1平分∠AOC，∴，∵OC2平分，∴，依次類推可知：，∴可知，∴，∴，∵根據題意可知，∴，即有：，故選：C．【點睛】本題主要考查了圖形規(guī)律的探索，依據角平分線的性質推導出是解答本題的關鍵．二、填空題11．計算：____________；____________°；當時鐘指向時間為時，鐘表上的時針與分針的夾角為____________度．【答案】【分析】①利用角度的四則運算即可得到答案；②根據、進行換算，即可得到答案；③根據時針一小時轉，一分鐘轉，分針一分鐘轉，分別計算時針、分針與0點的夾角，計算角度差即可得到答案．【解析】解：①，故答案為：；②，，，，故答案為：；③當時鐘指向時間為時，時針走過小時，分鐘走過分鐘，時針與0點的夾角為，分針與0點的夾角為，鐘表上的時針與分針的夾角為，故答案為：．【點睛】本題考查了角度的四則運算，角的單位換算，鐘面角，解題關鍵是掌握角度的加法法則：進行角度的加法運算時，同單位相加，即度與度相加、分與分相加、秒與秒相加，秒夠60進1分，分夠60進1度；同時也要掌握時針一小時轉，一分鐘轉，分針一分鐘轉．12．兩根木條，用疊合法比較他們的長短時，發(fā)現長的比短的長2cm，此時兩根木條中點之間的距離是______cm（木條的粗細忽略不計）.【答案】1【分析】根據點D是的中點，點E是的中點，得，整理得，即可得答案．【解析】解：如下圖，點D是的中點，點E是的中點，，點D是的中點，點E是的中點，，，故答案為：1．【點睛】本題考查了線段的中點及線段的和差，熟練掌握線段的中點及線段的和差的計算方法是解題的關鍵．13．如圖，將三個相同的三角尺角的頂點重合放置，如果，，那么的度數是_____．【答案】/12度【分析】根據，得到，即可求解．【解析】解：如圖，，，，，故答案為：【點睛】本題考查了角度的計算，解題的關鍵是熟練掌握角的和差定義，靈活運用知識點解決問題．14．如圖，C、D是線段上兩點，M、N分別是線段的中點，下列結論：①若，則；②，則；③；④．其中正確的結論是_____．【答案】①②③【分析】由可得得出，由中點的意義得出，進一步得出，從而可判斷①正確；由可得，由中點的意義可得結論，從而判斷②正確；由由中點的意義可得代入可判斷③正確；由得，代入可得故可判斷④錯誤．【解析】解：如圖∵，∴∴，∴，∴，∴，即，故①正確；∵，∴，∵M、N分別是線段的中點，∴，∴，故②正確；∵M、N分別是線段的中點，∴∵，∴，故③正確；∵，∴，∵，∴，故④錯誤，故答案為：①②③．【點睛】本題考查了兩點間的距離，能夠利用中點的性質求解一些線段之間的關系是解題的關鍵．15．如圖，和都是直角．固定不動，將繞點O旋轉，在旋轉過程中，下列結論正確的有______．①如果，那么②是定值③若變小，則變大④【答案】①②③④【分析】由題意得到，，進行整理即可分別進行判斷．【解析】解：，，，，，即，即，當，則，故①正確；，，故②正確；，若變小，則變大，故③正確；，，，故④正確；綜上所述，故答案為：①②③④．【點睛】本題考查了角的有關計算；解題的關鍵是結合圖形對角進行正確拆分、組合．16．如圖，C為直線上一點，為直角，平分，平分，平分，各學習小組經過討論后得到以下結論：①與互余；②；③與互補；④．請寫出正確結論的序號_____．【答案】①③④【分析】①由平分，平分可得，進而可得與互余；②平分，結合①可求；先證，進而可證與互補；④由，可判斷④正確．【解析】解：∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，即與互余，故①正確；∵平分，∠，∵，∴，故②錯誤；∵，∴∴，∴，∵，∴與互補，故③正確；∵，，∴，故④正確．故答案為：①③④．【點睛】本題考查余角和補角，角平分線的定義，角的和差，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．17．已知：，過點O作射線，平分，如果，且關于x的方程有無數多個解，那么___________．【答案】或/或【分析】先通過方程有無數多個解解出的值，然后分類討論C點的位置直接求解即可．【解析】關于x的方程有無數多個解，則，解得1.當C在內部時，如圖平分，設，則，，，解得2.當C在外部時，如圖平分，設，則，，，解得綜上所述：或．故答案為：或．【點睛】此題考查一元一次方程解的情況，以及角的計算，解題關鍵是無數組解的情況是未知數的系數和常數項分別為0，解題技巧是射線需要分類討論不同的位置．18．有一無彈性細線，拉直時測得細線長為，現進行如下操作：1．在細線上任取一點；2．將細線折疊，使點與點重合，記折點為點；3．將細線折疊，使點與點重合，記折點為點．（1）如圖，的長為___________；（2）繼續(xù)進行折疊，使點與點重合，并把點和與其重疊的點處的細線剪開，使細線分成長為，，的三段，當，則細線未剪開時的長為___________．【答案】42或6【分析】（1）根據點與是線段的中點即可得到答案；（2）根據條件得到，分兩種情況：當時，當時以及當時討論即可．【解析】解：（1）點為的中點，點為的中點，，，；（2），細線剪開后分成，，三段，，當時，，，，，，，；當時，，，，，，，．故答案為：；或．【點睛】本題主要考查線段中點的計算，根據條件得出線段之間的關系式是解題的關鍵．三、解答題19．如圖，已知，，，四點，請按要求作圖，并解答．(1)畫直線；(2)畫射線；(3)連接與射線交于點；(4)若點是線段的中點，，，求MP的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)2【分析】（1）（2）（3）根據直線，射線，線段的定義畫出圖形即可；（4）求出，根據進行計算求解．【解析】（1）如圖，直線即為所求，（2）如圖，射線即為所求，（3）如圖，線段，點即為所求，（4）∵，，∴，∵點是線段的中點，∴，∴．【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，直線，線段，射線的定義等知識，解題的關鍵是掌握直線，射線，線段的定義，屬于中考常考題型．20．已知∠α、∠β，用尺規(guī)畫出∠AOB=∠α+2∠β．（不寫作法，標明字母）【答案】見解析【分析】根據用尺規(guī)作圖作角等于已知角作圖即可．【解析】解：分別以∠α、∠β的頂點為圓心，任意長度為半徑作弧，分別交∠α、∠β的邊于P、Q、M、N；作射線OB，以O為圓心，以相同長度為半徑作一個優(yōu)弧，交射線OB于點C，以C為圓心，PQ的長度為半徑作弧，交優(yōu)弧于點D，作射線OD，再以D為圓心，MN的長為半徑作弧，交優(yōu)?。ā螪OB外部）于點E，作射線OE，然后以E為圓心，MN的長為半徑作弧，交優(yōu)?。ā螮OB外部）于點A，作射線OA，如圖所示：∠AOB=∠α+2∠β，∠AOB即為所求．【點睛】此題考查的是用尺規(guī)作圖作角等于已知角，掌握用尺規(guī)作圖作角等于已知角是解決此題的關鍵．21．已知點B在線段上，點D在線段上．(1)如圖1，若，D為線段的中點，求線段的長度；(2)如圖2，若，E為線段的中點，，求線段的長度．【答案】(1)線段的長度為；(2)線段的長度為．【分析】（1）由線段的中點，線段的和差求出線段的長度為；（2）由線段的中點，線段的和差倍分求出的長度為．【解析】（1）解：如圖1所示：∵，∴，又∵D為線段的中點，∴，∴；（2）解：如圖2所示，設，∵，∴，∴，∴，∵E為線段的中點，∴，∴，又∵，∴，解得：，∴．【點睛】本題綜合考查了線段的中點，線段的和差倍分等相關知識點，重點掌握直線上兩點之間的距離公式計算方法．22．已知線段a、b（如圖），用直尺和圓規(guī)在方框內按以下步驟作圖：（保留作圖痕跡，不要求寫出作法和結論）①畫射線OP；②在射線OP上順次截取OA＝a，AB＝a；③在線段OB上截取BC＝b；④作出線段OC的中點D．(1)根據以上作圖可知線段OC＝；（用含有a、b的式子表示）(2)如果OD＝2厘米，CD＝2AC，那么線段BC＝厘米．【答案】(1)作圖見解答，(2)6【分析】利用基本作圖畫出對應的幾何圖形，（1）根據線段的和差得到；（2）先利用點為的中點得到厘米，則厘米，然后利用進行計算．【解析】（1）解：如圖，；故答案為：；（2）解：點為的中點，厘米，，厘米，（厘米）；故答案為：6．【點睛】本題考查了作圖復雜作圖，兩點間的距離，解題的關鍵是掌握復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．23．如圖，以點為O端點按順時針方向依次作射線、、、、．并且使是的平分線，是的平分線．(1)若，，求的度數；(2)若，，求的度數；(3)當時，求的度數（用含n的式子表示）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據角平分線的定義求出，，即可求出結果；（2）根據角平分線的定義得出，，設，則，根據列出方程，解方程得出，再根據角度之間的關系即可得出答案；（3）設，，根據圖形得出，，根據列出等式，得出即可得出答案．【解析】（1）解：∵是的平分線，∴，∵是的平分線，∴，∴；（2）解：∵平分，平分，∴，，設，，∴，∴，解得：，即，∴．（3）解：設，，依題意可知，，；由得：，，∴．【點睛】本題主要考查了角平分線的有關計算，解題的關鍵是熟練掌握角平分線的定義，數形結合．24．已知點О為直線上一點，將直角三角板的直角頂點放在點O上，并在內部作射線．(1)如圖l，三角板的一邊與射線重合．①的余角是___________，補角是___________；②若，則的度數為___________；(2)如圖2，將三角板放置到如圖位置，使恰好平分，且，求的度數；(3)若仍將三角板按照如圖2的方式放置，僅滿足平分，試猜想與之間的數量關系為___________．【答案】(1)①，；②(2)(3)【分析】（1）①根據余角和補角的定義進行解答即可；②根據和即可得出答案；（2）設，則，根據恰好平分，得出，根據列出方程，解方程，得出x的值，求出，即可得出答案；（3）設，，則，根據平分，得出，根據，得出，即可得出答案．【解析】（1）解：①∵，，∴的余角是，補角是；故答案為：，；②∵，∴，∵，∴，故答案為：；（2）解：設，則，∴，∵恰好平分，∴，∴，解得：，∴，∴；（3）解：設，，則，∵平分，∴，∴，∵，∴，整理得：，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了余角和補角的定義，角平分線的定義，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握角平分線的定義．25．圖①是由一副三角尺拼成的圖案．(1)圖①中，的度數為___________度；(2)將圖①中的三角尺繞點B旋轉（）度能否使？若能，請寫出當時，的度數；若不能，說明理由（圖②③供參考）．【答案】(1)(2)能，120°或80°【分析】（1）直接根據三角板中角度的特點進行求解即可；（2）分三種情況：當逆時針旋轉（），當逆時針旋轉（），當順時針旋轉度，根據角度之間的關系建立方程求解即可．【解析】（1）解：由題意得，，∴，故答案為：；（2）解：第一種情況：逆時針旋轉（），∵，∴，解得，∴．第二種情況：逆時針旋轉（），∵，∴，解得，∴．第三種情況：順時針旋轉，∵，∴，解得．∵，∴不合題意，舍去．綜上，當時，的度數為120°或80°．【點睛】本題主要考查了三角板中角度的計算，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．26．如圖1所示是某款手表實物圖，其示意圖如圖2所示，已知表盤是以O為圓心，以厘米為半徑的圓，為圓的直徑，其中時針為線段，分針為線段，且點A、B、O、C、D都在同一條直線上．(1)若點B，C是線段的三等分點，求表長．(2)若手表顯示是9點30分．①求此時時針與分針的夾角的大??；②此時，作射線，使，求的大小；(3)自9點30分起，至10點30分止，在這一小時期間，時針和分針在不停地旋轉．若射線是的平分線，它也隨之運動，則經過多少分鐘后，恰好能使？【答案】(1)（厘米）(2)①105°；②75°或135°(3)經過或30分鐘后，恰好能使【分析】（1）由線段的三等分點的含義可得答案；（2）①由時針每分鐘走，結合鐘面上每格的角度為，從而可得答案；②射線有兩種可能需分類討論：如圖，當射線在的內部時，；當射線在的外部時，再結合角的和差關系可得答案；（3）分兩種情況討論：所以當分針未追上時針前，如圖，當分針追上時針后，如圖，再建立方程解題即可．【解析】（1）解：∵點B，C是線段的三等分點，∴，∴此時表長（厘米）．（2）①∵時針每分鐘走，分針每分鐘走，而鐘面上每格的角度為，∴．②要使，射線有兩種可能需分類討論：如圖，當射線在的內部時，；當射線在的外部時，．（3）∵射線是的平分線，且，∴．設自9點30分起經過t分鐘，則，∵9點30分時時針與分針所成的夾角為105°，所以當分針未追上時針前，如圖，∴，解得；當分針追上時針后，如圖，∴，解得綜上，經過或30分鐘后，恰好能使．【點睛】本題考查的是線段的和差關系，線段的三等分點的含義，鐘面角的含義，角的旋轉定義的理解，一元一次方程的應用，理解題意，建立方程解題是關鍵．27．將一副三角板如圖1放置（，，，），在、（、）內作射線、，且，，將三角板繞著點順時針旋轉．(1)如圖1，當點、A、在一條直線上時，______；(2)如圖2，若旋轉角為（），的度數是否會發(fā)生改變？若不變，求其值；若變化，說明理由．(3)如圖3，當三角板旋轉到內部時，求的值．【答案】(1)(2)的度數不發(fā)生改變，且；(3)【分析】（1）先根據點、A、在一條直線上，，求出，根據，求出，即可得出答案；（2）根據旋轉得出，，根據，，得出，，根據得出結果即可；（3）根據，，結合，，得出，，求出，根據求出結果即可．【解析】（1）解：∵點、A、在一條直線上，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴；故答案為：；（2）解：的度數不發(fā)生改變，且；∵旋轉角為，∴，，∵，，∴，，∴；（3）解：當三角板旋轉到內部時，，，∵，，∴，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了幾何圖形中的角度計算，解題的關鍵是數形結合，搞清楚度數間的數量關系．28．綜合與實踐【問題發(fā)現】在數學探究課上，王老師帶領同學們結束角平分線的探究后，安排同學打自主探究角的三等分線．小明進行了如下探究，如圖①，若射線，是的三等分線，則稱更靠近邊的射線是射線的“友好線”，靠近邊的射線是射線的“友好線”．(1)如圖②，，射線是射線的友好線，求的度數．(2)【問題探究】如圖③，，射線與射線重合并繞點O以每秒的速度逆時針方向旋轉，與射線重合時停止．問旋轉幾秒后，是的“友好線”．(3)【問題拓展】如圖④，，射線，分別與射線，重合，射線繞點O以每秒的速度逆時針方向旋轉，同時射線繞點O以每秒的速度順時針方向旋轉，是否存在某一刻恰好是的“友好線”，若存在，求出時間t秒；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)旋轉20秒后，是的“友好線”(3)存在；當或時，恰好是的“友好線”【分析】（1）根據“友好線”定義求出的度數即可；（2）根據“友好線”定義求出的度數，然后再求出的度數，根據旋轉速度求出旋轉時間，即可得出答案；（3）分兩種情況討論，當在右側時，當在左側時，分別畫出圖形，列出關于t的方程，解方程即可得出答案．【解析】（1）解：∵，∴當射線是射線的“友好線”時，．（2）解：∵，∴當是的“友好線”時，，∴，∴旋轉時間為（秒），即旋轉20秒后，是的“友好線”．（3）解：存在；當或時，恰好是的“友好線”．當在右側時，如圖所示：此時，，∵恰好是的“友好線”，∴，∴，解得：；當在右側時，如圖所示：此時，，∵恰好是的“友好線”，∴，∴，解得：；綜上分析可知，當或時，恰好是的“友好線”．【點睛】本題主要考查了幾何圖形中的角度計算，解題的關鍵是理解題目中“友好線”的定義，數形結合，注意分類討論．29．已知點O為直線AB上一點．(1)如圖1，過點O作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝3：2，求∠AOC與∠BOC的度數；(2)如圖2，射線OC為∠AOB內部任意一條射線，射線OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的角平分線，寫出∠DOE＝°，此時圖中互余的角有對，互補的角有對．(3)如圖3，在第（2）小題情況下，保持∠DOE的度數不變，但改變其他條件，并使得射線OC是∠BOD的角平分線，此時∠AOD與∠COE滿足怎樣的數量關系？并說明理由．【答案】(1)∠AOC＝180°，∠BOC＝72°．(2)90，4，5．(3)∠AOD＝2∠COE．理由見解析．【分析】（1）設∠AOC＝3x，則∠BOC＝2x.然后根據平角180°列方程求得x，進而完成解答；（2）先根據角平分線的定義可得∠COD＝∠AOC、∠COE＝∠BOC，然后再結合∠DOE＝∠COD+∠COE即可求得90°；然后根據余角、補角的定義即可確定余角和補角的對數；（3）根據射線OC是∠BOD的角平分線可得∠BOC＝90°﹣∠AOD，然后再根據∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°即可解答．【解析】（1）解：設∠AOC＝3x，則∠BOC＝2x，根據題意得：3x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠AOC＝180°，∠BOC＝72°．（2）解：∵射線OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的角平分線，∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝×180°＝90°；∵∠COD+∠COE＝90°，∠AOD+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，∠COD+∠BOE＝90°，∴互余的角有4對；∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠BOE+∠AOE＝180°，∠COE+∠AOE＝180°，∠AOC+∠BOC＝180°，∴互補的角有5對．故答案為：90，4，5．（3）解：∠AOD＝2∠COE．理由如下：∵射線OC是∠BOD的角平分線，∴∠BOC＝∠BOD＝（180°﹣∠AOD）＝90°﹣∠AOD，∵∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°，∴∠AOD+（90°﹣∠COE）+（90°﹣∠AOD）＝180°，∴∠AOD＝2∠COE．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義、平角的定義、補角、余角的定義，靈活運用相關定義成為解答本題的關鍵．30．如圖，P是定長線段AB上一點，C、D兩點分別從P、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向左運動（C在線段AP上，D在線段BP上）（1）若C、D運動到任一時刻時，總有PD＝2AC，請說明P點在線段AB上的位置：（2）在（1）的條件下，Q是直線AB上一點，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．（3）在（1）的條件下，若C、D運動5秒后，恰好有，此時C點停止運動，D點繼續(xù)運動（D點在線段PB上），M、N分別是CD、PD的中點，下列結論：①PM﹣PN的值不變；②的值不變，可以說明，只有一個結論是正確的，請你找出正確的結論并求值．【答案】（1）點P在線段AB上的處；（2）；（3）②的值不變.【分析】（1）根據C、D的運動速度知BD=2PC，再由已知條件PD=2AC求得PB=2AP，所以點P在線段AB上的處；（2）由題設畫出圖示，根據AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，從而求得PQ與AB的關系；（3）當點C停止運動時，有CD＝AB，從而求得CM與AB的數量關系；然后求得以AB表示的PM與PN的值，所以MN＝PN?PM＝AB．【解析】解：（1）由題意：BD=2PC∵PD=2AC，∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.∴點P在線段AB上的處；（2）如圖：∵AQ-BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ，∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴PQ=AB，∴（3）②的值不變.理由：如圖，當點C停止運動時，有CD=AB，∴CM=AB，∴PM=CM-CP=AB-5，∵PD=AB-10，∴PN=AB-10）=AB-5，∴MN=PN-PM=AB，當點C停止運動，D點繼續(xù)運動時，MN的值不變，所以.【點睛】本題考查了比較線段的長短．利用中點性質轉化線段之間的倍分關系是解題的關鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數量關系也是十分關鍵的一點．31．【閱讀理解】如圖1，一套三角板如圖拼在一起，我們將三角板COD繞點O以每秒15°的速度順時針旋轉180°．【解決問題】（1）在旋轉過程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之間有怎樣的數量關系？（2）當運動時間為9秒時，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由．（3）運動過程中，如圖2，形成的三個角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，當其中一個角的度數是另一個角的兩倍時，則稱射線OC是∠AOB的“優(yōu)線”．①第（2）問中旋轉后的射線OC是“優(yōu)線”嗎？為什么？②在整個旋轉過程中，若旋轉時間記為t秒，當射線OC是“優(yōu)線”時，請