蘇科版八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三專題12.2二次根式的乘除【九大題型】(原卷版+解析)

專題12.2二次根式的乘除【九大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求字母的取值范圍】 1【題型2二次根式乘除的運算】 1【題型3二次根式的符號化簡】 2【題型4最簡二次根式的判斷】 3【題型5化為最簡二次根式】 3【題型6已知最簡二次根式求參數(shù)】 4【題型7分母有理化】 4【題型8比較二次根式的大小】 5【題型9分母有理化的應(yīng)用】 5【知識點1二次根式的乘除法則】①二次根式的乘法法則：a?②積的算術(shù)平方根：a?③二次根式的除法法則：ab④商的算術(shù)平方根：ab【題型1求字母的取值范圍】【例1】（2022春?趙縣校級月考）若要使等式xx?8=xx?8成立，則x的取值范圍是【變式1-1】（2022秋?犍為縣校級月考）已知(x?3)?(?x?2)=3?x?x+2，使等式成立的x的取值范圍是【變式1-2】（2022秋?南崗區(qū)期末）能使等式x?2x=x?2A．x＞0 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2【變式1-3】（2022?寶山區(qū)校級月考）已知實數(shù)x滿足2x2?x3=x?2?x，則【題型2二次根式乘除的運算】【例2】（2022?長寧區(qū)期中）計算：（1）5827?827?3（2）2112÷【變式2-1】（2022?長寧區(qū)期中）計算：223m÷1【變式2-2】（2022?青浦區(qū)校級月考）計算：35xy【變式2-3】（2022?浦東新區(qū)校級月考）化簡：2bab【題型3二次根式的符號化簡】【例3】（2022?安達市校級月考）已知xy＞0，將式子x?yx2A．y B．?y C．?y D．【變式3-1】（2022?自貢期中）把二次根式a?A．?1a B．1a C．?【變式3-2】（2022?張家港市校級期末）將（2﹣x）1x?2A．x?2 B．2?x C．﹣22?x D．?【變式3-3】（2022春?龍口市期中）把（a﹣b）?1a?b根號外的因式移到根號內(nèi)結(jié)果為【知識點2最簡二次根式】我們把滿足①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．這兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．【題型4最簡二次根式的判斷】【例4】（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）在25、aba、18x、x2?1、0.6【變式4-1】（2022春?曲靖期末）下列二次根式中屬于最簡二次根式的是（）A．48 B．14 C．a(chǎn)b D．【變式4-2】（2022秋?玉田縣期末）下列各式：①25②2n+1③2b4④0.1y是最簡二次根式的是【變式4-3】（2022春?建昌縣期末）在二次根式12、12、30、x+2，40x2，x【題型5化為最簡二次根式】【例5】（2022春?安陽期末）下列二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)與另外三個不同的是（）A．2 B．58 C．28 D．1【變式5-1】（2022春?番禺區(qū)期末）把下列二次根式化成最簡二次根式（1）3（2）32（3）4【變式5-2】（2022秋?合浦縣月考）把下列各式化成最簡二次根式：（1）275（2）?abc【變式5-3】（2022秋?安岳縣期末）x2?1xy?y化成最簡二次根式是【題型6已知最簡二次根式求參數(shù)】【例6】（2022春?浉河區(qū)校級期末）若二次根式5a+3是最簡二次根式，則最小的正整數(shù)a為．【變式6-1】（2022春?武江區(qū)校級期末）若a是最簡二次根式，則a的值可能是（）A．﹣4 B．32 C．2 【變式6-2】（2022秋?崇川區(qū)校級期末）若2m+n?2和33m?2n+2都是最簡二次根式，則m＝，n＝【變式6-3】（2022春?寧都縣期中）已知：最簡二次根式4a+b與a?b23的被開方數(shù)相同，則a+b＝【知識點3分母有理化】①分母有理化是指把分母中的根號化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式；②兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式．一個二次根式的有理化因式不止一個．【題型7分母有理化】【例7】（2022秋?曲陽縣期末）把3a12abA．4b B．2b C．12b【變式7-1】（2022?沂源縣校級開學(xué)）分母有理化：（1）132=；（2）112=；（3）【變式7-2】（2022春?海淀區(qū)校級期末）下列各式互為有理化因式的是（）A．a(chǎn)+b和a?b B．?a和aC．5?2和?5+2【變式7-3】（2022?寶山區(qū)校級月考）分母有理化：2【題型8比較二次根式的大小】【例8】（2022春?海淀區(qū)校級期末）設(shè)a=22?3，b=1a，則A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)＜b D．a(chǎn)＞﹣b【變式8-1】（2022春?金鄉(xiāng)縣期中）已知a=15?2，b＝2+5，則A．相等 B．互為相反數(shù) C．互為倒數(shù) D．互為有理化因式【變式8-2】（2022春?長興縣期中）二次根式25，25，A．25＜25＜25 B．【變式8-3】（2022秋?雨城區(qū)校級期中）利用作商法比較大小比較a+1a+2【題型9分母有理化的應(yīng)用】【例9】（2022春?大連月考）閱讀材料：黑白雙雄、縱橫江湖；雙劍合璧、天下無敵．這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個人合在一起，取長補短，威力無比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”．如：（2+3）（2?3）＝1，（5+2）（5?解決問題：（1）4+7的有理化因式可以是，232分母有理化得（2）計算：①11+②已知：x=3?13+1，y=3+13【變式9-1】（2022?潮南區(qū)模擬）“分母有理化”是根式運算的一種化簡方法，如：2+32?3=(2+3)(2+3)(2+3)(2?3)=7+43；除此之外，還可以用先平方再開方的方法化簡一些有特點的無理數(shù)，如要化簡4+7?4?7，可以先設(shè)x=4+7?4?7，再兩邊平方得A．3﹣22 B．3+22 C．42 D．3【變式9-2】（2022?普定縣模擬）閱讀以下材料：將分母中的根號化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一個適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式，使分母不含根號．例如：12（1）將12+1分母有理化可得（2）關(guān)于x的方程3x?12=【變式9-3】．（2022春?九龍坡區(qū)校級月考）材料一：有這樣一類題目：將a±2b化簡，如果你能找到兩個數(shù)m、n，使m2+n2＝a且mm=b，則將a±2b將變成m2+n2±2n，即變成（m±n）2開方，從而使得例如，5±26=3+2±26=（3）2+（2）2±22×3=（3±2）材料二：在進行二次根式的化簡時，我們有時會碰到如53，23，23+1這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：5323+1還可以用以下方法化簡：請根據(jù)材料解答下列問題：（1）3?22=；4+23=（2）化簡：23專題12.2二次根式的乘除【九大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求字母的取值范圍】 1【題型2二次根式乘除的運算】 2【題型3二次根式的符號化簡】 3【題型4最簡二次根式的判斷】 5【題型5化為最簡二次根式】 6【題型6已知最簡二次根式求參數(shù)】 7【題型7分母有理化】 8【題型8比較二次根式的大小】 10【題型9分母有理化的應(yīng)用】 11【知識點1二次根式的乘除法則】①二次根式的乘法法則：a?②積的算術(shù)平方根：a?③二次根式的除法法則：ab④商的算術(shù)平方根：ab【題型1求字母的取值范圍】【例1】（2022春?趙縣校級月考）若要使等式xx?8=xx?8成立，則x的取值范圍是【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)進而得出關(guān)于x的不等式組求出答案．【解答】解：∵等式xx?8∴x≥0x?8＞0則x的取值范圍是：x＞8．故答案為：x＞8．【變式1-1】（2022秋?犍為縣校級月考）已知(x?3)?(?x?2)=3?x?x+2，使等式成立的x的取值范圍是【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出關(guān)于x的不等式組，進而求出答案．【解答】解：∵(x?3)?(?x?2)=∴3?x≥0x+2≥0解得：﹣2≤x≤3．故答案為：﹣2≤x≤3．【變式1-2】（2022秋?南崗區(qū)期末）能使等式x?2x=x?2A．x＞0 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2【分析】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件進行解答即可．【解答】解：由題意得：x?2≥0x＞0解得：x≥2，故選：D．【變式1-3】（2022?寶山區(qū)校級月考）已知實數(shù)x滿足2x2?x3=x?2?x，則【分析】依據(jù)二次根式被開方數(shù)大于等于0和a2=a（【解答】解：∵原式=(2?x)x2=∴x≥0且2﹣x≥0．解得：0≤x≤2．故答案為：0≤x≤2．【題型2二次根式乘除的運算】【例2】（2022?長寧區(qū)期中）計算：（1）5827?827?3（2）2112÷【分析】（1）利用二次根式的乘法法則計算即可．（2）根據(jù)二次根式的混合運算法則計算即可．【解答】解：（1）原式＝5×8（2）原式＝2×1【變式2-1】（2022?長寧區(qū)期中）計算：223m÷1【分析】直接利用二次根式的乘除運算法則化簡求出答案．【解答】解：原式＝2×62＝128m＝82m．【變式2-2】（2022?青浦區(qū)校級月考）計算：35xy【分析】根據(jù)二次根式的乘除法運算法則進行計算．【解答】解：∵x＞0，xy3≥0，∴y≥0，∴原式=35xy3?（=?94x=?94xy?（?5=15【變式2-3】（2022?浦東新區(qū)校級月考）化簡：2bab【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡進而得出答案．【解答】解：∵由二次根式的性質(zhì)可得a＜0，b＜0，∴原式=2b?（﹣b）ab?（32a＝﹣3a2b÷3ab＝﹣3a2b×（?b＝a2b2×＝abab．【題型3二次根式的符號化簡】【例3】（2022?安達市校級月考）已知xy＞0，將式子x?yx2A．y B．?y C．?y D．【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0求出y＜0，再根據(jù)同號得正判斷出x＜0，【解答】解：∵?y∴y＜0，∵xy＞0，∴x＜0，∴x?y故選：D．【變式3-1】（2022?自貢期中）把二次根式a?A．?1a B．1a C．?【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)先判斷a的符號，然后再進行計算．【解答】解：由題意可知?1∴a＜0，∴a?1a3故選：D．【變式3-2】（2022?張家港市校級期末）將（2﹣x）1x?2A．x?2 B．2?x C．﹣22?x D．?【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出x﹣2的符號，進而化簡二次根式得出即可．【解答】解：由題意可得：x﹣2＞0，則原式=?(x?2故選：D．【變式3-3】（2022春?龍口市期中）把（a﹣b）?1a?b根號外的因式移到根號內(nèi)結(jié)果為?【分析】先根據(jù)二次根式成立的條件得到?1a?b＞0，則a﹣b＜0，所以原式變形為﹣（b﹣a）?1a?b，然后利用二次根式的性質(zhì)得到?【解答】解：∵?1∵a﹣b＜0，∴原式＝﹣（b﹣a）?1a?b=?故答案為?b?a【知識點2最簡二次根式】我們把滿足①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．這兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．【題型4最簡二次根式的判斷】【例4】（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）在25、aba、18x、x2?1、0.6中，最簡二次根式是ab【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【解答】解：aba、x故答案為：aba、x【變式4-1】（2022春?曲靖期末）下列二次根式中屬于最簡二次根式的是（）A．48 B．14 C．a(chǎn)b D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義：被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，被開方數(shù)中不含分母，即可解答．【解答】解：A、48=43，故AB、14是最簡二次根式，故B符合題意；C、ab=abD、4a+4=2a+1，故D故選：B．【變式4-2】（2022秋?玉田縣期末）下列各式：①25②2n+1③2b4④0.1y是最簡二次根式的是【分析】根據(jù)最簡二次根式的被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，可得答案．【解答】解：②2n+1③2b4故答案為：②③．【變式4-3】（2022春?建昌縣期末）在二次根式12、12、30、x+2，40x2，x【分析】結(jié)合選項根據(jù)最簡二次根式的概念求解即可．【解答】解：二次根式12、12、30、x+2，40x2，x2+y2故答案為：3【題型5化為最簡二次根式】【例5】（2022春?安陽期末）下列二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)與另外三個不同的是（）A．2 B．58 C．28 D．1【分析】先把B、C、D化成最簡二次根式，再找被開方數(shù)不同的項．【解答】解：∵2是最簡二次根式，58=102，28=27，∴化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的是A、B、D．故選：C．【變式5-1】（2022春?番禺區(qū)期末）把下列二次根式化成最簡二次根式（1）3（2）32（3）4【分析】（1）直接利用二次根式的除法運算法則性質(zhì)化簡得出答案；（2）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案；（3）直接利用二次根式的除法運算法則性質(zhì)化簡得出答案．【解答】解：（1）3100（2）32=42（3）4x【變式5-2】（2022秋?合浦縣月考）把下列各式化成最簡二次根式：（1）275（2）?abc【分析】本題需先將二次根式分母有理化，分子的被開方數(shù)中，能開方的也要移到根號外．【解答】解：（1）原式=27（2）當(dāng)b，c同為正數(shù)時，原式=?abc當(dāng)b，c同為負(fù)數(shù)時，原式=?abc2×（?當(dāng)c＝0時，原式＝0．【變式5-3】（2022秋?安岳縣期末）x2?1xy?y化成最簡二次根式是±【分析】對被開方數(shù)的分母進行因式分解，然后約分；最后將二次根式的被開方數(shù)的分母有理化，化簡求解．【解答】解：原式=(x?1)(x+1)①當(dāng)y＞0時，上式=②當(dāng)y＜0時，上式=?y(x+1)故答案是：±y(x+1)y【題型6已知最簡二次根式求參數(shù)】【例6】（2022春?浉河區(qū)校級期末）若二次根式5a+3是最簡二次根式，則最小的正整數(shù)a為2．【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【解答】解：若二次根式5a+3是最簡二次根式，則最小的正整數(shù)a為2，故答案為：2．【變式6-1】（2022春?武江區(qū)校級期末）若a是最簡二次根式，則a的值可能是（）A．﹣4 B．32 C．2 【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件判斷A選項；根據(jù)最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式判斷B，C，D選項．【解答】解：A選項，二次根式的被開方數(shù)不能是負(fù)數(shù)，故該選項不符合題意；B選項，32C選項，2是最簡二次根式，故該選項符合題意；D選項，8=22故選：C．【變式6-2】（2022秋?崇川區(qū)校級期末）若2m+n?2和33m?2n+2都是最簡二次根式，則m＝1，n＝【分析】利用最簡二次根式定義列出方程組，求出方程組的解即可得到m與n的值．【解答】解：∵若2m+n?2和3∴m+n?2=13m?2n+2=1解得：m＝1，n＝2，故答案為：1；2．【變式6-3】（2022春?寧都縣期中）已知：最簡二次根式4a+b與a?b23的被開方數(shù)相同，則a+b＝8【分析】已知兩個最簡二次根式的被開方數(shù)相同，因此它們是同類二次根式，即：它們的根指數(shù)和被開方數(shù)相同，列出方程組求解即可．【解答】解：由題意，得：a?b=24a+b=23解得：a=5∴a+b＝8．【知識點3分母有理化】①分母有理化是指把分母中的根號化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式；②兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式．一個二次根式的有理化因式不止一個．【題型7分母有理化】【例7】（2022秋?曲陽縣期末）把3a12abA．4b B．2b C．12b【分析】根據(jù)二次根式的乘除法運算法則進行計算即可．【解答】解：∵a＞0，ab＞0，即a＞0，b＞0；∴3a12ab故選：D．【變式7-1】（2022?沂源縣校級開學(xué)）分母有理化：（1）132=26；（2）112=36【分析】根據(jù)分母有理化的一般步驟計算即可．【解答】解：（1）13（2）112（3）102故答案為：26；36；【變式7-2】（2022春?海淀區(qū)校級期末）下列各式互為有理化因式的是（）A．a(chǎn)+b和a?b B．?a和aC．5?2和?5+2【分析】根據(jù)有理化因式定義：如果兩個含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，它們的積不含有二次根式，就說這兩個非零代數(shù)式互為有理化因式，結(jié)合各個選項中兩個代數(shù)式特征作出判斷即可．【解答】解：A.a+b?a?b=(a+b)(a?b)，因此a+b和a?b不是有理化因式，故選項B．?a?a=?a，所以?a和aC．（5?2）（?5+2）＝﹣（5?2）2D．（xa+yb）?（xa+yb）＝（xa+yb）2，因此xa+yb和xa+故選：B．【變式7-3】（2022?寶山區(qū)校級月考）分母有理化：2【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及運算法則即可求出答案．【解答】解：原式==(=10=(=3=10【題型8比較二次根式的大小】【例8】（2022春?海淀區(qū)校級期末）設(shè)a=22?3，b=1a，則A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)＜b D．a(chǎn)＞﹣b【分析】本題考查二次根式，先求出b的值，再與a比較得出結(jié)果．【解答】解：∵a＝22?∴b=1a=所以a＞b．故選：B．【變式8-1】（2022春?金鄉(xiāng)縣期中）已知a=15?2，b＝2+5，則A．相等 B．互為相反數(shù) C．互為倒數(shù) D．互為有理化因式【分析】求出a與b的值即可求出答案．【解答】解：∵a=15?2=5∴a＝b，故選：A．【變式8-2】（2022春?長興縣期中）二次根式25，25，A．25＜25＜25 B．【分析】本題可先將各式分母有理化，然后再比較它們的大?。窘獯稹拷猓簩⑷齻€二次根式化成同分母分?jǐn)?shù)比較：∵25=105，∴25故選：C．【變式8-3】（2022秋?雨城區(qū)校級期中）利用作商法比較大小比較a+1a+2【分析】根據(jù)作商比較法，看最后的比值與1的大小關(guān)系，從而可以解答本題．【解答】解：a+1∴a+1【題型9分母有理化的應(yīng)用】【例9】（2022春?大連月考）閱讀材料：黑白雙雄、縱橫江湖；雙劍合璧、天下無敵．這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個人合在一起，取長補短，威力無比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”．如：（2+3）（2?3）＝1，（5+2）（5?解決問題：（1）4+7的有理化因式可以是4?7，232分母有理化得（2）計算：①11+②已知：x=3?13+1，y=3+13【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①原式各項分母有理化，合并即可得到結(jié)果；②將x與y分母有理化后代入原式計算即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）4+7的有理化因式可以是4?7，23故答案為：4?7；（2）①原式=2?1+3②∵x=3?13+1=2?3∴x2+y2＝7﹣43+7+43【變式9-1】（2