滬教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)滿分沖刺卷特訓(xùn)02相交線平行線壓軸題(原卷版+解析)

特訓(xùn)02相交線平行線壓軸題解答題1．（2022春·上?！て吣昙?jí)期中）（1）如圖所示，，且點(diǎn)在射線與之間，請(qǐng)說(shuō)明的理由．（2）現(xiàn)在如圖所示，仍有，但點(diǎn)在與的上方，①請(qǐng)嘗試探索，，三者的數(shù)量關(guān)系．②請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2022春·上海楊浦·七年級(jí)?？计谥校┮阎褐本€分別與直線，相交于點(diǎn)，，平分，，，分別為直線和線段上的點(diǎn)．(1)如圖，平分，若，求的度數(shù)．(2)如圖，平分交于點(diǎn)，于點(diǎn)，當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合）時(shí)，探究與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．3．（2022春·上海寶山·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知AB∥CD，點(diǎn)M為平面內(nèi)的一點(diǎn)，∠AMD＝90°．(1)當(dāng)點(diǎn)M在如圖1的位置時(shí)，求∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系（寫出說(shuō)理過(guò)程）；(2)當(dāng)點(diǎn)M在如圖2的位置時(shí)，則∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系是（直接寫出答案）；(3)在（2）條件下，如圖3，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB，垂足為E，∠EMA與∠EMD的角平分線分別交射線EB于點(diǎn)F、G，回答下列問(wèn)題（直接寫出答案）：圖中與∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．4．（2021春·上海閔行·七年級(jí)上海市民辦文綺中學(xué)?？计谥校┮阎?，點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，于B．(1)如圖，直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)D，求證：．(3)如圖，在（2）問(wèn)的條件下，點(diǎn)E，F(xiàn)在DM上，連接BE，BF，CF，BF那平分，BE平分，若，，求的度數(shù)．5．（2018春·上海松江·七年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）如圖，是直線，內(nèi)部一點(diǎn)，，連接，．探究猜想：①當(dāng)，，則___________；②猜想圖1中、、的關(guān)系：___________________________________（2）如圖，射線與平行四邊形的邊交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．圖2中分別是被射線隔開的2個(gè)區(qū)域（不含邊界），是位于以上兩個(gè)區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)，猜想，，的關(guān)系（不要求說(shuō)明理由），，的關(guān)系為：____________________________________________________．（3）如圖，，已知，，___________．（用含有、的代數(shù)式表示）6．（2021春·上?！て吣昙?jí)上海市南洋模范初級(jí)中學(xué)校考期中）（1）如圖1，已知直線，在直線上取兩點(diǎn)，為直線上的兩點(diǎn)，無(wú)論點(diǎn)移動(dòng)到任何位置都有：____________（填“>”、“<”或“=”）（2）如圖2，在一塊梯形田地上分別要種植大豆（空白部分）和芝麻（陰影部分），若想把種植大豆的兩塊地改為一塊地，且使分別種植兩種植物的面積不變，請(qǐng)問(wèn)應(yīng)該怎么改進(jìn)呢？寫出設(shè)計(jì)方案，并在圖中畫出相應(yīng)圖形并簡(jiǎn)述理由．（3）如圖3，王爺爺和李爺爺兩家田地形成了四邊形，中間有條分界小路（圖中折線），左邊區(qū)域?yàn)橥鯛敔數(shù)模疫厖^(qū)域?yàn)槔顮敔數(shù)摹，F(xiàn)在準(zhǔn)備把兩家田地之間的小路改為直路，請(qǐng)你用有關(guān)的幾何知識(shí)，按要求設(shè)計(jì)出修路方案，并在圖中畫出相應(yīng)的圖形，說(shuō)明方案設(shè)計(jì)理由。（不計(jì)分界小路與直路的占地面積）．

7．（2022春·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）問(wèn)題情境：如圖1，ABCD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過(guò)P作PEAB，通過(guò)平行線性質(zhì)來(lái)求∠APC．(1)按小明的思路，易求得∠APC的度數(shù)為______度；(2)問(wèn)題遷移：如圖2，ABCD，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，記∠PAB＝α，∠PCD＝β，當(dāng)點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)∠APC與α、β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O、B、D三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫出∠APC與α、β之間的數(shù)量關(guān)系．8．（2022春·上?！て吣昙?jí)期中）如圖，已知AM∥BN，∠A=60°，點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)（與A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM于C、D，（推理時(shí)不需要寫出每一步的理由）(1)求∠CBD的度數(shù)．(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，那么∠APB：∠ADB的度數(shù)比值是否隨之發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)比值；若變化，請(qǐng)找出變化規(guī)律．(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB=∠ABD時(shí)，求∠ABC的度數(shù)．9．（2021春·上海金山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知直線∥，直線與直線，分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，在直線上存在一點(diǎn)．(1)若點(diǎn)在點(diǎn)與點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)，那么∠PAC，∠APB，∠PBD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若點(diǎn)在兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系（請(qǐng)直接寫出答案）．10．（2021春·上?！て吣昙?jí)?？计谥校蓚€(gè)等邊三角形（每個(gè)內(nèi)角都等于60°）如圖1疊放在一起，現(xiàn)將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（旋轉(zhuǎn)角，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袉?wèn)題：(1)如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足時(shí)，請(qǐng)寫出∠BCD與∠ACE的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足時(shí)，請(qǐng)寫出∠BCE與∠ACD的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)DE//BC時(shí)請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．11．（2021秋·上?！て吣昙?jí)校考期末）如圖①，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使∠AOC=120°，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．(1)將圖①中的三角板OMN擺放成如圖②所示的位置，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，當(dāng)OM平分∠BOC時(shí)，求∠BON的度數(shù)；(2)在（1）的條件下，作線段NO的延長(zhǎng)線OP（如圖③所示），試說(shuō)明射線OP是∠AOC的平分線；(3)將圖①中的三角板OMN擺放成如圖④所示的位置，請(qǐng)?zhí)骄俊螻OC與∠AOM之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．12．（2022春·上?！て吣昙?jí)期中）請(qǐng)回答下列各題．(1)探究：如圖1，AB∥CD∥EF，試說(shuō)明∠BCF＝∠B＋∠F．(2)應(yīng)用：如圖2，AB∥CD，點(diǎn)F在AB、CD之間，F(xiàn)E與AB交于點(diǎn)M，F(xiàn)G與CD交于點(diǎn)N．若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，則∠DNG的大小是多少？(3)拓展：如圖3，直線CD在直線AB、EF之間，且AB∥CD∥EF，點(diǎn)G、H分別在直線AB、EF上，點(diǎn)Q是直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不在直線GH上，連結(jié)QG、QH．若∠GQH＝70°，則∠AGQ＋∠EHQ＝______度（請(qǐng)直接寫出答案）．13．（2022春·上?！て吣昙?jí)期中）已知，點(diǎn)為平面內(nèi)的一點(diǎn)，．(1)當(dāng)點(diǎn)在如圖①的位置時(shí)，求與的數(shù)量關(guān)系．解：．（根據(jù)如圖填射線的畫法）因?yàn)?，所以（）．所以（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）；（請(qǐng)繼續(xù)完成接下去的說(shuō)理過(guò)程）(2)當(dāng)點(diǎn)在如圖②的位置時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是（直接寫出答案）；(3)在（2）的條件下，如圖③，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，與的平分線分別交射線于點(diǎn)、，回答下列問(wèn)題（直接寫出答案）：圖中與相等的角是，度．14．（2021春·上海·七年級(jí)期中）（1）探究：如圖1，ABCDEF，試說(shuō)明．（2）應(yīng)用：如圖2，ABCD，點(diǎn)在、之間，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若，，則的大小是多少？（3）拓展：如圖3，直線在直線、之間，且ABCDEF，點(diǎn)、分別在直線、上，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不在直線上，連接、．若，則度（請(qǐng)直接寫出答案）．15．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知，點(diǎn)M、N分別為上的點(diǎn)，在之間存在一點(diǎn)P滿足．(1)如圖1，若，求的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表達(dá)）．(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)H，點(diǎn)E、F在上，連接，若平分，平分，求與的數(shù)量關(guān)系．(3)在（2）的條件下，若，求的度數(shù)．16．（2022秋·四川宜賓·七年級(jí)統(tǒng)考期末）幾何模型在解題中有著重要作用，例如美味的“豬蹄模型”．(1)導(dǎo)入：如圖①，已知，如果，，那么；(2)發(fā)現(xiàn)：如圖②，已知，請(qǐng)判斷與，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)運(yùn)用：(i)如圖③，已知，，點(diǎn)、分別在、上，，如果，那么；如圖④，已知，點(diǎn)、分別在、上，、分別平分和．如果，那么；如圖⑤，已知，點(diǎn)、分別在、上，、分別平分和，且．如果，那么．(用含的代數(shù)式表示)17．（2023秋·湖北荊門·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，已知，，點(diǎn)在上，點(diǎn)，在上，點(diǎn)在，之間，連接，，，．(1)求證：；(2)如圖2，平分交于，，平分，，①若，時(shí)，求的度數(shù)；②如圖3，平分，，交于點(diǎn)，若，求的值．18．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：直線EF分別交直線AB，CD于點(diǎn)G，H，且，(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)M，N分別在射線GE，HF上，點(diǎn)P，Q分別在射線CA，HC上，連接MP，NQ，且，分別延長(zhǎng)MP，NQ交于點(diǎn)K，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接KH，KH平分，且HE平分，若，求的度數(shù)．19．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）(1)探究：如圖，，點(diǎn)、分別在直線、上，連接、，當(dāng)點(diǎn)在直線的左側(cè)時(shí)，試說(shuō)明；(2)變式：如圖，將點(diǎn)移動(dòng)到直線的右側(cè)，其他條件不變，試探究、、之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)(問(wèn)題遷移)如圖，，點(diǎn)在的上方，問(wèn)、、之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)(聯(lián)想拓展)如圖所示，在的條件下，已知，的平分線和的平分線交于點(diǎn)，用含有的式子表示的度數(shù)．20．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖1，已知，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖2，平分，平分，分別交直線于點(diǎn)，連接，若，，求的度數(shù)．21．（2022秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，，、分別為直線、上的點(diǎn)，為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，連接、．(1)如圖（1），請(qǐng)直接寫出、與之間的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖（2），過(guò)點(diǎn)作、交直線上的點(diǎn)、，點(diǎn)在上，過(guò)作，求證：．(3)如圖（3），在（2）的條件下，若，，求的度數(shù)．22．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）已知，，點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上．(1)如圖1中，、、的數(shù)量關(guān)系為：______．（不需要證明）如圖2中，、、的數(shù)量關(guān)系為：______．（不需要證明）(2)如圖3中，平分，平分，且，求的度數(shù)．(3)如圖4中，，，，（k是常數(shù)），且，則的大小是否發(fā)生變化，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不變化，直接寫出的度數(shù)______．23．（2020春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）如圖1，已知，，，則求的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）的條件下，平分，平分，則的度數(shù)為；（3）如圖2，已知，平分，平分．當(dāng)點(diǎn)、在直線同側(cè)時(shí)，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：；（4）如圖3，已知，平分，平分．當(dāng)點(diǎn)、在直線異側(cè)時(shí)，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：．24．（2022春·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)校考期中）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起（其中，，，）．(1)若，則________；(2)如圖1，________；若點(diǎn)E在的上方，設(shè)，則________（用含β的式子表示）；(3)當(dāng)且點(diǎn)E在直線的上方時(shí)，將三角尺固定不動(dòng)，改變?nèi)浅叩奈恢茫冀K保持兩個(gè)三角尺的頂點(diǎn)C重合．①當(dāng)（如圖2）時(shí)，直接寫出________﹔②當(dāng)時(shí)，直接寫出________；(4)在（3）的條件下，當(dāng)且點(diǎn)E在直線的上方，（3）中的兩種情況除外，這兩塊三角板是否還存在一組邊互相平行，若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)所有可能的角度數(shù)值為________，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知直線，直線分別與、交于點(diǎn)、，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且．(1)如圖所示，當(dāng)時(shí)，①求的度數(shù)；②在直線上取一點(diǎn)，使得，求的度數(shù)．(2)如圖所示，在射線上任取一點(diǎn)，連接，的角平分線和的角平分線交于點(diǎn)，請(qǐng)寫出、、間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．26．（2022秋·重慶沙坪壩·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，直線，于點(diǎn)，連接且分別交直線于點(diǎn)．(1)如圖①，若和的角平分線、交于點(diǎn)，請(qǐng)求的度數(shù)；(2)如圖②，若的角平分線分別和直線及的角平分線的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)和點(diǎn)，試說(shuō)明：；(3)如圖③，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，連結(jié)，的角平分線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的角平分線于點(diǎn)，若記為，請(qǐng)直接用含的代數(shù)式來(lái)表示．特訓(xùn)02相交線平行線壓軸題一、解答題1．（2022春·上海·七年級(jí)期中）（1）如圖所示，，且點(diǎn)在射線與之間，請(qǐng)說(shuō)明的理由．（2）現(xiàn)在如圖所示，仍有，但點(diǎn)在與的上方，①請(qǐng)嘗試探索，，三者的數(shù)量關(guān)系．②請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）①∠1+∠2-∠E=180°；②見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A=∠AEF和∠FEC=∠C，再相加即可；（2）①、②過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AEF+∠1=180°和∠FEC=∠2，從而可得三者之間的關(guān)系．【解析】解：（1）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠A=∠AEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC=∠C，∵∠AEC=∠AEF+∠FEC，∴∠AEC=∠A+∠C；（2）①∠1+∠2-∠E=180°，②過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠AEF+∠1=180°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC=∠2，即∠CEA+∠AEF=∠2，∴∠AEF=∠2-∠CEA，∴∠2-∠CEA+∠1=180°，即∠1+∠2-∠AEC=180°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，作輔助線并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·上海楊浦·七年級(jí)?？计谥校┮阎褐本€分別與直線，相交于點(diǎn)，，平分，，，分別為直線和線段上的點(diǎn)．(1)如圖，平分，若，求的度數(shù)．(2)如圖，平分交于點(diǎn)，于點(diǎn)，當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合）時(shí)，探究與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)或，證明見(jiàn)解析【分析】（1）首先作，根據(jù)平行線的性質(zhì)，推得；然后根據(jù)，推得，據(jù)此求出的度數(shù)即可．（2）①首先判斷出，然后根據(jù)，可得，推得，再根據(jù)，推得即可．②首先判斷出，然后根據(jù)，可得，推得，再根據(jù)，推得即可．【解析】（1）解：如圖，作，，，，，，，，平分，平分，，，，，，，，．（2）解：①如圖，，，理由如下：平分，平分，，，，，，，，．②如圖，，，理由如下：平分，平分，，，，，，，，．綜上，可得當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合）時(shí)，或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①定理：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同位角相等．②定理：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．③定理：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．3．（2022春·上海寶山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知AB∥CD，點(diǎn)M為平面內(nèi)的一點(diǎn)，∠AMD＝90°．(1)當(dāng)點(diǎn)M在如圖1的位置時(shí)，求∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系（寫出說(shuō)理過(guò)程）；(2)當(dāng)點(diǎn)M在如圖2的位置時(shí)，則∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系是（直接寫出答案）；(3)在（2）條件下，如圖3，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB，垂足為E，∠EMA與∠EMD的角平分線分別交射線EB于點(diǎn)F、G，回答下列問(wèn)題（直接寫出答案）：圖中與∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．【答案】(1)∠MAB+∠D＝90°；見(jiàn)解析(2)∠MAB﹣∠D＝90°(3)∠MAB＝∠EMD；45【分析】（1）在題干的基礎(chǔ)上，通過(guò)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）仿照（1）的解題思路，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，由平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）利用（2）中的結(jié)論，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得結(jié)論．【解析】（1）解：如圖①，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD（如果一條直線和兩條平行線中的一條平行，那么它和另一條也平行）．∴∠D＝∠NMD．∵M(jìn)N∥AB，∴∠MAB+∠NMA＝180°．∴∠MAB+∠AMD+∠DMN＝180°．∵∠AMD＝90°，∴∠MAB+∠DMN＝90°．∴∠MAB+∠D＝90°；（2）解：如圖②，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，∵M(jìn)N∥AB，∴∠MAB+∠AMN＝180°．∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD．∴∠D＝∠NMD．∵∠AMD＝90°，∴∠AMN＝90°﹣∠NMD．∴∠AMN＝90°﹣∠D．∴90°﹣∠D+∠MAB＝180°．∴∠MAB﹣∠D＝90°．即∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系是：∠MAB﹣∠D＝90°．故答案為：∠MAB﹣∠D＝90°．（3）解：如圖③，∵M(jìn)E⊥AB，∴∠E＝90°．∴∠MAE+∠AME＝90°∵∠MAB+∠MAE＝180°，∴∠MAB﹣∠AME＝90°．即∠MAB＝90°+∠AME．∵∠AMD＝90°，∴∠MAB＝∠AMD+∠AME＝∠EMD．∵M(jìn)F平分∠EMA，∴∠FME＝∠FMA＝∠EMA．∵M(jìn)G平分∠EMD，∴∠EMG＝∠GMD＝∠EMD．∵∠FMG＝∠EMG﹣∠EMF，∴∠FMG＝∠EMD﹣∠EMA＝（∠EMD﹣∠EMA）．∵∠EMD﹣∠EMA＝90°，∴∠FMG＝45°．故答案為：∠MAB＝∠EMD；45．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB是解題的關(guān)鍵．4．（2021春·上海閔行·七年級(jí)上海市民辦文綺中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，于B．(1)如圖，直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)D，求證：．(3)如圖，在（2）問(wèn)的條件下，點(diǎn)E，F(xiàn)在DM上，連接BE，BF，CF，BF那平分，BE平分，若，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)證明即可；（2）過(guò)點(diǎn)B作，根據(jù)同角的余角相等得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，即可得到；（3）過(guò)點(diǎn)B作，根據(jù)角平分線的定義得出，設(shè)，，可得，再根據(jù)，得到，解方程得到，繼而得出，．【解析】（1）如圖1，∵，∴，∵，∴，∴，，故答案為：；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，．（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)B作，∵BF平分，BE平分，∴，，由（2）知，∴，設(shè)，，則，，，，∴∵，，∴，中，由得，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)與應(yīng)用、角平分線的性質(zhì)、方程思想等知識(shí)，學(xué)會(huì)添加輔助線，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．5．（2018春·上海松江·七年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）如圖，是直線，內(nèi)部一點(diǎn)，，連接，．探究猜想：①當(dāng)，，則___________；②猜想圖1中、、的關(guān)系：___________________________________（2）如圖，射線與平行四邊形的邊交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．圖2中分別是被射線隔開的2個(gè)區(qū)域（不含邊界），是位于以上兩個(gè)區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)，猜想，，的關(guān)系（不要求說(shuō)明理由），，的關(guān)系為：____________________________________________________．（3）如圖，，已知，，___________．（用含有、的代數(shù)式表示）【答案】（1）①；②；（2）當(dāng)點(diǎn)在區(qū)域時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在區(qū)域時(shí)，；（3）【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)E作，則,得出，即可得出結(jié)果；②由①即可得出結(jié)果；（2）①當(dāng)P位于區(qū)域內(nèi)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN平行AB，由平行四邊形的性質(zhì)得出,則，得出，，再由,，即可得出結(jié)果；②當(dāng)P位于區(qū)域內(nèi)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN平行AB，由平行四邊形的性質(zhì)得出，則，得出,,即可得出結(jié)果；（3）過(guò)點(diǎn)F作,由（1）得，,即，即可得出結(jié)果．【解析】解：（1）①過(guò)點(diǎn)E作，如圖1所示：②由①得：（2）①當(dāng)P位于區(qū)域內(nèi)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN平行AB,如圖2①所示：四邊形ABCD是平行四邊形則，,②當(dāng)P位于區(qū)域內(nèi)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN平行AB,如圖2②所示：四邊形ABCD是平行四邊形則,故答案為：當(dāng)點(diǎn)在區(qū)域時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在區(qū)域時(shí)，；（3）過(guò)點(diǎn)F作，如圖3所示：由（1）得，即【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)定理、平行線的性質(zhì)定理，作出合適的輔助線及掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．6．（2021春·上?！て吣昙?jí)上海市南洋模范初級(jí)中學(xué)?？计谥校?）如圖1，已知直線，在直線上取兩點(diǎn)，為直線上的兩點(diǎn)，無(wú)論點(diǎn)移動(dòng)到任何位置都有：____________（填“>”、“<”或“=”）（2）如圖2，在一塊梯形田地上分別要種植大豆（空白部分）和芝麻（陰影部分），若想把種植大豆的兩塊地改為一塊地，且使分別種植兩種植物的面積不變，請(qǐng)問(wèn)應(yīng)該怎么改進(jìn)呢？寫出設(shè)計(jì)方案，并在圖中畫出相應(yīng)圖形并簡(jiǎn)述理由．（3）如圖3，王爺爺和李爺爺兩家田地形成了四邊形，中間有條分界小路（圖中折線），左邊區(qū)域?yàn)橥鯛敔數(shù)?，右邊區(qū)域?yàn)槔顮敔數(shù)摹，F(xiàn)在準(zhǔn)備把兩家田地之間的小路改為直路，請(qǐng)你用有關(guān)的幾何知識(shí)，按要求設(shè)計(jì)出修路方案，并在圖中畫出相應(yīng)的圖形，說(shuō)明方案設(shè)計(jì)理由。（不計(jì)分界小路與直路的占地面積）．

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平行線間的距離處處相等，所以無(wú)論點(diǎn)在m上移動(dòng)到何位置，總有與同底等高，因此它們的面積相等；（2）利用同底等高的三角形的面積相等即可求得設(shè)計(jì)方案；（3）連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，連結(jié)或，則或即為所修直路．【解析】（1）∵與有共同的邊AB，又∵，∴與的高相等，即與同底等高，∴=，故答案為：=；（2）方法一：連結(jié)，將的區(qū)域用于種植大豆，的區(qū)域用于種植芝麻，理由如下：在梯形ABCD中,，則與同底等高，∴，∴，即，又由可知與同底等高，∴，∴該設(shè)計(jì)方案把種植大豆的兩塊地改為一塊地，且使分別種植兩種植物的面積不變；方法二連結(jié)，將的區(qū)域用于種植大豆，的區(qū)域用于種植芝麻，理由如下：在梯形ABCD中,，則與同底等高，∴，∴，即，又由可知與同底等高，∴，∴該設(shè)計(jì)方案把種植大豆的兩塊地改為一塊地，且使分別種植兩種植物的面積不變；（3）方法一連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作的平行線：連結(jié)，即為所修直路．將四邊形的區(qū)域分給王爺爺，四邊形的區(qū)域分給李爺爺，理由如下：∵，則與同底等高，∴，則，即，又由可知與同底等高，∴，∴滿足修路方案；方法二：連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作的平行線：連結(jié)，即為所修直路．將四邊形的區(qū)域分給王爺爺，四邊形的區(qū)域分給李爺爺，理由如下：∵，則與同底等高，∴，則，即，又由可知與同底等高，∴，∴滿足修路方案．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩條平行線間的距離處處相等．只要兩個(gè)三角形是同底等高的，則兩個(gè)三角形的面積一定相等．解題的關(guān)鍵還要根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)一步進(jìn)行變形．7．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）問(wèn)題情境：如圖1，ABCD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過(guò)P作PEAB，通過(guò)平行線性質(zhì)來(lái)求∠APC．(1)按小明的思路，易求得∠APC的度數(shù)為______度；(2)問(wèn)題遷移：如圖2，ABCD，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，記∠PAB＝α，∠PCD＝β，當(dāng)點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)∠APC與α、β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O、B、D三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫出∠APC與α、β之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)110(2)∠APC=α+β，理由見(jiàn)解析(3)當(dāng)P在BD延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPA=α-β；當(dāng)P在DB延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPA=β-α【分析】（1）過(guò)P作PEAB，通過(guò)平行線性質(zhì)求∠APC即可；（2）過(guò)P作PEAB交AC于E，推出ABPEDC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）分兩種情況：P在BD延長(zhǎng)線上；P在DB延長(zhǎng)線上，分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【解析】（1）解：過(guò)點(diǎn)P作PEAB，∵ABCD，∴PEABCD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．故答案為：110．（2）解：∠APC=α+β，理由：如圖2，過(guò)P作PEAB交AC于E，∵ABCD，∴ABPECD，∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；（3）解分兩種情況：當(dāng)P在BD延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)P作PE∥AB交AC于E，如圖所示，∵ABCD，∴ABPECD，∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠CPA=∠APE-∠CPE=α-β，即∠CPA=α-β；當(dāng)P在DB延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)P作PEAB交AC于E，如圖所示，∵ABCD，∴ABPECD，∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠CPA=∠CPE-∠CPA=β-α，即∠CPA=β-α．綜上，當(dāng)P在BD延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPA=α-β；當(dāng)P在DB延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPA=β-α．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道比較典型的題目，解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．8．（2022春·上?！て吣昙?jí)期中）如圖，已知AM∥BN，∠A=60°，點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)（與A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM于C、D，（推理時(shí)不需要寫出每一步的理由）(1)求∠CBD的度數(shù)．(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，那么∠APB：∠ADB的度數(shù)比值是否隨之發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)比值；若變化，請(qǐng)找出變化規(guī)律．(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB=∠ABD時(shí)，求∠ABC的度數(shù)．【答案】(1)60°(2)不變，∠APB：∠ADB＝2：1(3)∠ABC＝30°【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可求得∠ABN，再根據(jù)角平分線的定義和整體思想可求得∠CBD；（2）由平行線的性質(zhì)可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，再由角平分線的定義可求得結(jié)論；（3）由平行線的性質(zhì)可得到∠ACB＝∠CBN＝60°+∠DBN，結(jié)合條件可得到∠DBN＝∠ABC，且∠ABC+∠DBN＝60°，可求得∠ABC的度數(shù)．(1)∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABP+∠PBN＝120°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°；(2)不變，∠APB：∠ADB＝2：1．∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB：∠ADB＝2：1；(3)∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，當(dāng)∠ACB＝∠ABD時(shí)，則有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，∴∠ABC＝∠DBN，由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，∴∠ABC+∠DBN＝60°，∴∠ABC＝30°．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，①同位角相等?兩直線平行，②內(nèi)錯(cuò)角相等?兩直線平行，③同旁內(nèi)角相等?兩直線平行④a∥b，b∥c?a∥c．9．（2021春·上海金山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知直線∥，直線與直線，分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，在直線上存在一點(diǎn)．(1)若點(diǎn)在點(diǎn)與點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)，那么∠PAC，∠APB，∠PBD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若點(diǎn)在兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系（請(qǐng)直接寫出答案）．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析；(2)，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）過(guò)作，則，利用平行線的性質(zhì)可得，，兩式相加即可得．（2）由平行線的性質(zhì)可得，又因?yàn)?，，所以，即．?）解：，理由如下：過(guò)作，∵a∥b，，，，，即．（2）解：，理由如下：∵a∥b，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的相關(guān)性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵．10．（2021春·上?！て吣昙?jí)?？计谥校蓚€(gè)等邊三角形（每個(gè)內(nèi)角都等于60°）如圖1疊放在一起，現(xiàn)將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（旋轉(zhuǎn)角，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袉?wèn)題：(1)如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足時(shí)，請(qǐng)寫出∠BCD與∠ACE的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足時(shí)，請(qǐng)寫出∠BCE與∠ACD的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)DE//BC時(shí)請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．【答案】(1)∠BCD=∠ACE，理由見(jiàn)解析；(2)∠BCE-∠ACD=120°，理由見(jiàn)解析；(3)旋轉(zhuǎn)角為60°或240°．【分析】（1）結(jié)合圖形，根據(jù)等邊三角形及各角之間的數(shù)量關(guān)系即可得出結(jié)果；（2）結(jié)合圖形利用各角之間的數(shù)量關(guān)系即可得出結(jié)果；（3）由平行線的性質(zhì)進(jìn)行分類討論即可得出結(jié)果．（1）解：∠BCD=∠ACE，理由如下：∵∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，∠ACE+∠ACD=∠DCE=60°，∴∠BCD=∠ACE；（2）∠BCE-∠ACD=120°，理由如下：∵∠BCE=∠BCA+∠ACD+∠DCE，∴∠BCE-∠ACD=∠BCA+∠DCE=120°；（3）∵DE∥BC，∴①∠BCD=∠D=60°，邊CD與邊AC重合，旋轉(zhuǎn)角α=60°；∴②∠BCD+∠D=180°，旋轉(zhuǎn)角α=180°+60°=240°，∴當(dāng)DE∥BC時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為60°或240°．【點(diǎn)睛】題目主要考查角度之間的計(jì)算、平行線的性質(zhì)等，理解題意，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11．（2021秋·上?！て吣昙?jí)?？计谀┤鐖D①，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使∠AOC=120°，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．(1)將圖①中的三角板OMN擺放成如圖②所示的位置，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，當(dāng)OM平分∠BOC時(shí)，求∠BON的度數(shù)；(2)在（1）的條件下，作線段NO的延長(zhǎng)線OP（如圖③所示），試說(shuō)明射線OP是∠AOC的平分線；(3)將圖①中的三角板OMN擺放成如圖④所示的位置，請(qǐng)?zhí)骄俊螻OC與∠AOM之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)60°(2)見(jiàn)解析(3)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由求出的度數(shù)，取出的值，根據(jù)計(jì)算求解即可；（2）對(duì)頂角相等可知，由求的值，進(jìn)而結(jié)論得證；（3）由題意知，，則，整理可得的關(guān)系．【解析】（1）解：∵，∴，又∵OM平分∠BOC，∴，又∵，∴，∴∠BON的值為60°．（2）解：∵，∴，∴，∴射線OP是∠AOC的平分線．（3）解：．理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線，與三角板有關(guān)的計(jì)算，對(duì)頂角等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于找出角度的數(shù)量關(guān)系．12．（2022春·上?！て吣昙?jí)期中）請(qǐng)回答下列各題．(1)探究：如圖1，AB∥CD∥EF，試說(shuō)明∠BCF＝∠B＋∠F．(2)應(yīng)用：如圖2，AB∥CD，點(diǎn)F在AB、CD之間，F(xiàn)E與AB交于點(diǎn)M，F(xiàn)G與CD交于點(diǎn)N．若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，則∠DNG的大小是多少？(3)拓展：如圖3，直線CD在直線AB、EF之間，且AB∥CD∥EF，點(diǎn)G、H分別在直線AB、EF上，點(diǎn)Q是直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不在直線GH上，連結(jié)QG、QH．若∠GQH＝70°，則∠AGQ＋∠EHQ＝______度（請(qǐng)直接寫出答案）．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)60°(3)70或290【分析】（1）由可得，∠B=∠BCD，∠F=∠DCF，從而可以證明結(jié)論成立；（2）由∠MFN=∠AMF+∠CNF，則可得∠CNF的度數(shù)為60°，由對(duì)頂角相等可得；（3）分兩種情況討論，即∠AGQ是鈍角與∠AGQ是銳角時(shí)．（1）證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD．（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等），同理可證，∠F＝∠DCF．∵∠BCF＝∠BCD＋∠DCF，∴∠BCF＝∠B＋∠F．（等量代換）（2）解：由探究可知：∠MFN＝∠AMF＋∠CNF，∠MFN＝115°，，∴∠CNF＝∠DNG＝115°－55°＝60°．故答案為：60°．（3）如圖3中，當(dāng)點(diǎn)Q在直線GH的右側(cè)時(shí)，∵AB∥CD∥EF，∴∠AGQ+∠GQC=180°，∠CQH+∠EHQ=180°，即∠AGQ+∠GQH+∠EHQ=180°，∴∠AGQ＋∠EHQ＝360°－70°＝290°，當(dāng)點(diǎn)Q在直線GH的左側(cè)時(shí)，由（1）的結(jié)論可得：．故答案為：70或290．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定，熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．（2022春·上?！て吣昙?jí)期中）已知，點(diǎn)為平面內(nèi)的一點(diǎn)，．(1)當(dāng)點(diǎn)在如圖①的位置時(shí)，求與的數(shù)量關(guān)系．解：．（根據(jù)如圖填射線的畫法）因?yàn)?，所以（）．所以（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）；（請(qǐng)繼續(xù)完成接下去的說(shuō)理過(guò)程）(2)當(dāng)點(diǎn)在如圖②的位置時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是（直接寫出答案）；(3)在（2）的條件下，如圖③，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，與的平分線分別交射線于點(diǎn)、，回答下列問(wèn)題（直接寫出答案）：圖中與相等的角是，度．【答案】(1)過(guò)點(diǎn)作；；；；如果一條直線和兩條平行線中的一條平行，那么它和另一條也平行；見(jiàn)解析(2)(3)，45【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得，，再根據(jù)角的和差、等量代換即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)作，先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得，，再根據(jù)、角的和差即可得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)作，先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得，從而可得，再結(jié)合（2）的結(jié)論可得，然后根據(jù)角平分線的定義可得，最后根據(jù)即可得出答案(1)解：如圖①，過(guò)點(diǎn)作，，（如果一條直線和兩條平行線中的一條平行，那么它和另一條也平行）．．，．．，．．(2)解：如圖②，過(guò)點(diǎn)作，．，．．，．．．故答案為：．(3)解：如圖③，過(guò)點(diǎn)作，，，．，，．．，由（2）已得：，；平分，．平分，．，故答案為：，45．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造平行線是解題關(guān)鍵．14．（2021春·上?！て吣昙?jí)期中）（1）探究：如圖1，ABCDEF，試說(shuō)明．（2）應(yīng)用：如圖2，ABCD，點(diǎn)在、之間，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若，，則的大小是多少？（3）拓展：如圖3，直線在直線、之間，且ABCDEF，點(diǎn)、分別在直線、上，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不在直線上，連接、．若，則度（請(qǐng)直接寫出答案）．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）60°；（3）70或290【分析】（1）由可得，，，則；（2）利用（1）中的結(jié)論可知，，則可得的度數(shù)為，由對(duì)頂角相等可得；（3）結(jié)合（1）中的結(jié)論可得，注意需要討論是鈍角或是銳角時(shí)兩種情況．【解析】解：（1）如圖1，，，，，．（2）由（1）中探究可知，，，且，，；（3）如圖，當(dāng)為鈍角時(shí)，由（1）中結(jié)論可知，，；當(dāng)為銳角時(shí)，如圖，由（1）中結(jié)論可知，，即，綜上，或．故答案為：70或290．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定，難度適中，觀察圖形，推出角之間的和差關(guān)系是解題關(guān)鍵．15．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知，點(diǎn)M、N分別為上的點(diǎn)，在之間存在一點(diǎn)P滿足．(1)如圖1，若，求的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表達(dá)）．(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)H，點(diǎn)E、F在上，連接，若平分，平分，求與的數(shù)量關(guān)系．(3)在（2）的條件下，若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作，先證明則得到再由即可得到答案；（2）根據(jù)角平分線的定義得到再根據(jù)即可推出結(jié)論；（3）設(shè)由角平分線的定義得到由得到則即可得到再由得到進(jìn)一步推出，再由得到證明得到解得則【解析】（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作，∵（2）解：平分平分（3）解：設(shè)平分，解得【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟知平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·四川宜賓·七年級(jí)統(tǒng)考期末）幾何模型在解題中有著重要作用，例如美味的“豬蹄模型”．(1)導(dǎo)入：如圖①，已知，如果，，那么；(2)發(fā)現(xiàn)：如圖②，已知，請(qǐng)判斷與，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)運(yùn)用：(i)如圖③，已知，，點(diǎn)、分別在、上，，如果，那么；如圖④，已知，點(diǎn)、分別在、上，、分別平分和．如果，那么；如圖⑤，已知，點(diǎn)、分別在、上，、分別平分和，且．如果，那么．(用含的代數(shù)式表示)【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析(3)(i)；(ii)；(iii)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而根據(jù)，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)（1）的方法即可求解；（3）（）由（2）可得，，得出，根據(jù)，即可求解；（）由“豬蹄模型”，可得，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，繼而根據(jù)，即可求解；（）如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，根據(jù)，即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：如圖1，∵∴∵，，∴∴故答案為：．（2）,如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，；（3）解：（）由（2）可得，，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．（）解：如圖所示，∵由“豬蹄模型”，可得，；∵、分別平分和∴∴∴，∴,故答案為：．（）解：如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，∵、分別平分和，∴，∵∴，∵∴，∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定求角度，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2023秋·湖北荊門·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，已知，，點(diǎn)在上，點(diǎn)，在上，點(diǎn)在，之間，連接，，，．(1)求證：；(2)如圖2，平分交于，，平分，，①若，時(shí)，求的度數(shù)；②如圖3，平分，，交于點(diǎn)，若，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)①；②．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，結(jié)合題意即可得出，從而證明；（2）①如圖，過(guò)點(diǎn)H作，即得出．由，可設(shè)，則．再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義即可得出方程，解出x，從而可求出答案；②如圖，過(guò)點(diǎn)M作．由題意可設(shè)，則．再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義即可得出方程組，解出，最后作比求值即可．【解析】（1）證明：∵，∴．∵，∴，∴；（2）①解：如圖，過(guò)點(diǎn)H作．∴．由題意可知：，故可設(shè)，則．∵，∴，，．∵平分，平分，∴，，∴，．由（1）可知，∴，∴，解得：．∴，．∵，∴，∴；②解：如圖，過(guò)點(diǎn)M作．由題意可設(shè)，則．∵，平分∴，．∵，∴．∵平分，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴，，∴．∵，∴．∴，即．由（1）可知，∴，∴．即，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)．正確的作出輔助線并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．18．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：直線EF分別交直線AB，CD于點(diǎn)G，H，且，(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)M，N分別在射線GE，HF上，點(diǎn)P，Q分別在射線CA，HC上，連接MP，NQ，且，分別延長(zhǎng)MP，NQ交于點(diǎn)K，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接KH，KH平分，且HE平分，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解(3)【分析】（1）利用，再利用等量代換，即可解決；（2）過(guò)作，因?yàn)?，所以，則，，代入即可解決．（3）過(guò)作，過(guò)作，可以得到，設(shè)，利用平行線的性質(zhì)，用表示出角，即可解決．【解析】（1），，，，（2）過(guò)作，如圖，，，，，，（3）如圖，過(guò)作，過(guò)作，，，平分∴可設(shè)，∵平分,【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是過(guò)拐點(diǎn)作平行線，利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行導(dǎo)角．19．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）(1)探究：如圖，，點(diǎn)、分別在直線、上，連接、，當(dāng)點(diǎn)在直線的左側(cè)時(shí)，試說(shuō)明；(2)變式：如圖，將點(diǎn)移動(dòng)到直線的右側(cè)，其他條件不變，試探究、、之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)(問(wèn)題遷移)如圖，，點(diǎn)在的上方，問(wèn)、、之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)(聯(lián)想拓展)如圖所示，在的條件下，已知，的平分線和的平分線交于點(diǎn)，用含有的式子表示的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)∠，理由見(jiàn)解析；(3)，理由見(jiàn)解析；(4)α【分析】（1）如圖所示：過(guò)點(diǎn)作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，即可得出；（2）過(guò)點(diǎn)作，，根據(jù)（1）的方法得出，繼而得出；（3）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，即可得出；（4）過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，則，得出，，根據(jù)，，根據(jù)角平分線的定義得出，，根據(jù)，即可求解．【解析】解：（1）如圖所示：過(guò)點(diǎn)作，，，，，，；（2），理由如下：如圖所示：過(guò)點(diǎn)作，，，，，，，；（3），理由如下：如圖所示：過(guò)點(diǎn)作，，，，，，；（4）如圖所示：過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，，，，，，的平分線和的平分線交于點(diǎn)，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．20．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖1，已知，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖2，平分，平分，分別交直線于點(diǎn)，連接，若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)．【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得角相等，再利用余角的性質(zhì)即可到結(jié)論；(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，鄰角互補(bǔ)，余角的性質(zhì)即可求得的度數(shù)．【解析】（1）證明：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，如圖：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，如圖，設(shè)，∵∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了余角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，鄰角互補(bǔ)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握余角的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，，、分別為直線、上的點(diǎn)，為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，連接、．(1)如圖（1），請(qǐng)直接寫出、與之間的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖（2），過(guò)點(diǎn)作、交直線上的點(diǎn)、，點(diǎn)在上，過(guò)作，求證：．(3)如圖（3），在（2）的條件下，若，，求的度數(shù)．【答案】(1);(2)見(jiàn)解析；(3)．【分析】（1）如圖，過(guò)E作，根據(jù)平行公理得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，，對(duì)角進(jìn)行加減運(yùn)算即可求；（2）根據(jù)垂直和周角的概念可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，根據(jù)鄰補(bǔ)角得，然后等量代換即可求得結(jié)果；（3）結(jié)合已知求得由（1）可知，，結(jié)合已知和鄰補(bǔ)角得，由（2）的結(jié)論得求出，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和求出依據(jù)，利用平行線的性質(zhì)即可求解．【解析】（1）如圖，過(guò)E作，，，，，，即；（2）證明：、，，，，，，，；（3），由（1）可知，，，，，，由（2）可知，，解得：，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，垂直和鄰補(bǔ)角的概念；解題的關(guān)鍵是依據(jù)平行線的性質(zhì)找到角之間的數(shù)量關(guān)系．22．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）已知，，點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上．(1)如圖1中，、、的數(shù)量關(guān)系為：______．（不需要證明）如圖2中，、、的數(shù)量關(guān)系為：______．（不需要證明）(2)如圖3中，平分，平分，且，求的度數(shù)．(3)如圖4中，，，，（k是常數(shù)），且，則的大小是否發(fā)生變化，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不變化，直接寫出的度數(shù)______．【答案】(1)；(2)；(3)的大小沒(méi)發(fā)生變化，．【分析】（1）過(guò)E作，易得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；過(guò)F作，易得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及角平分線的定義可得，可求解，進(jìn)而可求解；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推知，進(jìn)而可求解．【解析】（1）解：過(guò)E作，如圖1，∴，∵，∴，∴，∴，即；如圖2，過(guò)F作，∴，∵，∴，∴，∴，即：．故答案為：；；（2）解：由（1）得；．∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴，即，解得，∴；（3）解：的大小沒(méi)發(fā)生變化，．由（1）知：，∵，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)及角平分線的定義，作平行線的輔助線是解題的關(guān)鍵．23．（2020春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）如圖1，已知，，，則求的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）的條件下，平分，平分，則的度數(shù)為