高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末重點(diǎn)突破(人教A版必修第一冊(cè))21利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)和求值(原卷版+解析)

?？碱}型21利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)和求值誘導(dǎo)公式一誘導(dǎo)公式二誘導(dǎo)公式三誘導(dǎo)公式四誘導(dǎo)公式五誘導(dǎo)公式六誘導(dǎo)公式七誘導(dǎo)公式八1.誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了．②化簡(jiǎn)：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．2.常見(jiàn)的互余關(guān)系有與，與，與等；探究一：誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，若，則（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：根據(jù)終邊關(guān)于y軸對(duì)稱可得關(guān)系，再利用誘導(dǎo)公式，即可得答案；【變式練習(xí)】1．函數(shù)，的圖象與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．設(shè)，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．探究二：誘導(dǎo)公式二、三、四的應(yīng)用若，，則（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：根據(jù)誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的值在各象限的符號(hào)，再利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可求解.【變式練習(xí)】1．若為任意角，則滿足的一個(gè)的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．如圖，一質(zhì)點(diǎn)在半徑為1的圓O上以點(diǎn)為起點(diǎn)，按順時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，角速度為，5s時(shí)到達(dá)點(diǎn)，則（

）A．-1 B． C． D．探究三：誘導(dǎo)公式五、六的應(yīng)用已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得，再結(jié)合誘導(dǎo)公式，得到，即可求解.【變式練習(xí)】1．設(shè)α為銳角，若cos＝－，則sin的值為（

）A．－ B． C．－ D．2．已知銳角終邊上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．探究四：利用誘導(dǎo)公式證明三角恒等式若角的終邊落在直線上，則_____．思路分析：思路分析：化簡(jiǎn)得到，考慮角為第一或第三象限角兩種情況，計(jì)算得到答案.【變式練習(xí)】1．若cosα＝，且α是第四象限角，則cos(α＋)＝________．2．若是銳角三角形的內(nèi)角，則點(diǎn)在第_____________象限.探究五：利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值化簡(jiǎn)：＝________.思路分析：思路分析：由誘導(dǎo)公式可得，整體代入原式結(jié)合三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得出答案.【變式練習(xí)】1．若，，則___________.2．______．一、單選題1．（

）A． B． C． D．2．（

）A． B． C． D．13．按從小到大排列的順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．4．（

）A． B． C． D．5．若，則函數(shù)的最大值與最小值之和為（

）A． B． C． D．6．已知為第三象限角，，則等于（

）A． B． C． D．7．（

）A．3 B．4 C． D．8．已知角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列各式化簡(jiǎn)中，正確的是（

）A． B．C． D．10．下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是（

）A． B．y=x-3C． D．11．已知，，則可能等于（

）A． B． C． D．12．在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)（cos，sin），，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．線段與的長(zhǎng)均為1 B．線段的長(zhǎng)為1C．若點(diǎn)，關(guān)于y軸對(duì)稱，則 D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，關(guān)于x軸對(duì)稱三、填空題13．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)在單位圓上按逆時(shí)針?lè)较蜃鲃蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，每12分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一周.若點(diǎn)的初始位置坐標(biāo)為，則運(yùn)動(dòng)到3分鐘時(shí)，動(dòng)點(diǎn)所處位置的坐標(biāo)是____________.14．已知，則___________.15．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，將角的終邊繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則___________.16．計(jì)算__________．四、解答題17．（1）已知，求的值.（2）求的值.18．(1)化簡(jiǎn)：；(2)已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求，的值；19．已知．(1)求的值；(2)若為第四象限角，求的值．20．已知，(1)求，；(2)求.21．已知，為第二象限角.(1)若，求的值；(2)若，求的值.22．(1)請(qǐng)化簡(jiǎn)：．(2)已知,,求.?？碱}型21利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)和求值誘導(dǎo)公式一誘導(dǎo)公式二誘導(dǎo)公式三誘導(dǎo)公式四誘導(dǎo)公式五誘導(dǎo)公式六誘導(dǎo)公式七誘導(dǎo)公式八1.誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了．②化簡(jiǎn)：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．2.常見(jiàn)的互余關(guān)系有與，與，與等；探究一：誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，若，則（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：根據(jù)終邊關(guān)于y軸對(duì)稱可得關(guān)系，再利用誘導(dǎo)公式，即可得答案；答案：B【詳解】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，∴，∵，∴故選：B.【變式練習(xí)】1．函數(shù)，的圖象與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C【詳解】的圖象與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即方程在區(qū)間上的解的個(gè)數(shù)，由在區(qū)間上的解為或，可得方程在區(qū)間上的解的個(gè)數(shù)為2，故選C.2．設(shè)，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．答案：B【詳解】解：因?yàn)?，，則，因?yàn)?，即，所以，故選：B探究二：誘導(dǎo)公式二、三、四的應(yīng)用若，，則（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：根據(jù)誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的值在各象限的符號(hào)，再利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可求解.答案：A【詳解】由，得，又，所以，所以.故選：A.【變式練習(xí)】1．若為任意角，則滿足的一個(gè)的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以滿足條件的一個(gè)的值為2.故選：B2．如圖，一質(zhì)點(diǎn)在半徑為1的圓O上以點(diǎn)為起點(diǎn)，按順時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，角速度為，5s時(shí)到達(dá)點(diǎn)，則（

）A．-1 B． C． D．答案：C【詳解】設(shè)單位圓與軸正半軸的交點(diǎn)為，則，所以，，故.故選：C探究三：誘導(dǎo)公式五、六的應(yīng)用已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得，再結(jié)合誘導(dǎo)公式，得到，即可求解.答案：A【詳解】由題意，角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，又由.故選：A.【變式練習(xí)】1．設(shè)α為銳角，若cos＝－，則sin的值為（

）A．－ B． C．－ D．答案：D【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：D.2．已知銳角終邊上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．答案：A【詳解】，又，為銳角，∴

，故選：A.探究四：利用誘導(dǎo)公式證明三角恒等式若角的終邊落在直線上，則_____．思路分析：思路分析：化簡(jiǎn)得到，考慮角為第一或第三象限角兩種情況，計(jì)算得到答案.答案：或【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊落在直線上，所以角為第一或第三象限角，，當(dāng)角為第一象限角時(shí)，，；當(dāng)角為第三象限角時(shí)，，．故答案為：或.【變式練習(xí)】1．若cosα＝，且α是第四象限角，則cos(α＋)＝________．答案：【詳解】由題意得sinα＝－＝－，所以cos(α＋)＝－sinα＝．故答案為：2．若是銳角三角形的內(nèi)角，則點(diǎn)在第_____________象限.答案：二【詳解】由題得,因?yàn)殇J角三角形,故,故,即.又,同理.即.故點(diǎn)在第二象限.故答案為：二探究五：利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值化簡(jiǎn)：＝________.思路分析：思路分析：由誘導(dǎo)公式可得，整體代入原式結(jié)合三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得出答案.答案：【詳解】原式=故答案為：【變式練習(xí)】1．若，，則___________.答案：-1【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，即?當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所?當(dāng)時(shí)，即，所以，所以，則.因?yàn)?，所以，所以，故不符合題意，應(yīng)舍去，綜合以上，故答案為：-12．______．答案：【詳解】由題意，原式=.故答案為：.一、單選題1．（

）A． B． C． D．答案：D【詳解】.故選：D.2．（

）A． B． C． D．1答案：B【詳解】.故選：B3．按從小到大排列的順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．答案：B【詳解】，因?yàn)?，在上為增函?shù)，所以，所以，故選：B4．（

）A． B． C． D．答案：B【詳解】；故選：B．5．若，則函數(shù)的最大值與最小值之和為（

）A． B． C． D．答案：C【詳解】，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；.故選：C.6．已知為第三象限角，，則等于（

）A． B． C． D．答案：D【詳解】由，則，又為第三象限角，所以，則，，目標(biāo)式可化為.故選：D7．（

）A．3 B．4 C． D．答案：B【詳解】＝．故選：B．8．已知角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．答案：D【詳解】角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(sin.故選：D.二、多選題9．下列各式化簡(jiǎn)中，正確的是（

）A． B．C． D．答案：ACD【詳解】A：，正確；B：，錯(cuò)誤；C：，正確；D：，故，而，所以，正確.故選：ACD10．下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是（

）A． B．y=x-3C． D．答案：BCD【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，，其定義域?yàn)閇0，+∞），不是奇函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B，設(shè)，其定義域?yàn)?，有，是奇函?shù)，符合題意；對(duì)于C，，是奇函數(shù)，符合題意；對(duì)于D，設(shè)，有，解可得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?，函?shù)是奇函數(shù)，符合題意.故選：BCD11．已知，，則可能等于（

）A． B． C． D．答案：BD【詳解】解：因?yàn)?，所以由得，所以，因?yàn)樗钥赡艿扔诨蚬蔬x：BD12．在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)（cos，sin），，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．線段與的長(zhǎng)均為1 B．線段的長(zhǎng)為1C．若點(diǎn)，關(guān)于y軸對(duì)稱，則 D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，關(guān)于x軸對(duì)稱答案：ACD【詳解】，同理可求，A正確；由題意得：，由勾股定理得：，B錯(cuò)誤；若點(diǎn)，關(guān)于y軸對(duì)稱，則，，則，，解得：，C正確；當(dāng)時(shí)，，即，即，關(guān)于x軸對(duì)稱，D正確.故選：ACD三、填空題13．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)在單位圓上按逆時(shí)針?lè)较蜃鲃蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，每12分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一周.若點(diǎn)的初始位置坐標(biāo)為，則運(yùn)動(dòng)到3分鐘時(shí)，動(dòng)點(diǎn)所處位置的坐標(biāo)是____________.答案：【詳解】解：由題意可得圖：每12分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一周，則運(yùn)動(dòng)到3分鐘時(shí)，轉(zhuǎn)過(guò)的角為；點(diǎn)的初始位置坐標(biāo)為，若角的始邊為軸的非負(fù)半軸，此時(shí)角終邊所在直線為，則運(yùn)動(dòng)到3分鐘時(shí)，形成的角度為，所以動(dòng)點(diǎn)所處位置的坐標(biāo)是．故答案為：．14．已知，則___________.答案：【詳解】因?yàn)椋?故答案為：.15．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，將角的終邊繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則___________.答案：【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，則，又因?yàn)榻堑慕K邊繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，故，所以，故.故答案為：.16．計(jì)算__________．答案：【詳解】.故答案為：四、解答題17．（1）已知，求的值.（2）求的值.答案：（1）2；（2）【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以；?）.18．(1)化簡(jiǎn)：；(2)已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求，的值；答案：(1)(2)，.【詳解】（1）.（2）因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，.19．已知．(1)求的值；(2)若為第四象限角，求的值．答案：(1)；(2)【詳解】（1）由題意得，.（2）由，得，代入，得，因?yàn)闉榈谒南?/p>