2024春新教材高中數(shù)學(xué)4.4.2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)新人教A版必修第一冊(cè)

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)一、教學(xué)目標(biāo)1.能借助描點(diǎn)法、計(jì)算工具畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探究并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)等性質(zhì)；2.利用反函數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生類比指數(shù)函數(shù)的圖象探究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，進(jìn)一步完善對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。3.體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)在具體的生活和數(shù)學(xué)情境中的作用，能利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)潔的應(yīng)用問題，感受數(shù)形結(jié)合、分類探討的數(shù)學(xué)思想和方法，滲透邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).二、教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)。2.難點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的探究和歸納，對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系。三、教學(xué)過程1.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)探究1.1創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思索【實(shí)際情境】在化學(xué)中，溶液酸堿度是通過pH計(jì)量的.pH的計(jì)算公式為pH=-lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升。例如，在我國(guó)規(guī)定純凈水ph值只要在之間即是合格產(chǎn)品。假如水的ph值過低則會(huì)有腐蝕作用，而ph值過高就會(huì)影響味覺，有肥皂味，因此飲用純凈水的ph值都是限制在之間。又如，人體的胃酸中氫離子的濃度大約為[H+]=2.5×10-2摩爾/升。問題1：（1）已知某品牌的純凈水中氫離子的濃度為[H+]=10-7摩爾/升，則它的pH是多少？它是合格產(chǎn)品嗎？人體的胃酸pH又是多少（可用計(jì)算器）？【預(yù)設(shè)的答案】7；是；1.60（2）請(qǐng)同學(xué)們猜想：隨著溶液中氫離子的濃度越大，溶液的酸性是越強(qiáng)還是越弱呢？想要知道溶液的酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間有什么樣的變更關(guān)系，須要探討什么呢？（提示：若記溶液酸堿度為y，氫離子濃度為x，寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式）【預(yù)設(shè)的答案】越強(qiáng)；變更關(guān)系為y=—lgx，則須要探討對(duì)數(shù)函數(shù)y=lgx的單調(diào)性.【設(shè)計(jì)意圖】將對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)與生活實(shí)際和學(xué)生的生活閱歷、化學(xué)學(xué)習(xí)閱歷結(jié)合起來，同時(shí)也復(fù)習(xí)對(duì)數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，從而自然地引入對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的探討問題。問題2：要探討一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，我們已經(jīng)有了哪些閱歷？【活動(dòng)預(yù)設(shè)】引導(dǎo)學(xué)生回顧冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的探討過程：確定要通過作出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象來探討其性質(zhì)的探討方法，同時(shí)要留意分類探討思想的應(yīng)用。1.2探究圖象，歸納性質(zhì)活動(dòng)1：作出函數(shù)的圖象【活動(dòng)預(yù)設(shè)】有的學(xué)生接受描點(diǎn)法，有的學(xué)生接受計(jì)算工具干脆作圖?！净顒?dòng)意圖】引導(dǎo)全體學(xué)生回顧描點(diǎn)法作圖的基本方法和步驟，也確定學(xué)生接受信息技術(shù)工具作圖探討?；顒?dòng)2：在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象。你有什么發(fā)覺？【活動(dòng)預(yù)設(shè)】有的學(xué)生接著接受描點(diǎn)法或計(jì)算工具作圖并視察兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱關(guān)系，有的學(xué)生先視察了與的關(guān)于x軸對(duì)稱的性質(zhì)再來作圖?！净顒?dòng)意圖】讓學(xué)習(xí)活動(dòng)的發(fā)生更符合學(xué)生自然的認(rèn)知規(guī)律。動(dòng)手和視察實(shí)力較強(qiáng)的學(xué)生可以先視察圖象獲得“函數(shù)與的關(guān)于x軸對(duì)稱”的結(jié)論，然后利用這個(gè)結(jié)論，通過思索體會(huì)到可以用已知函數(shù)圖象和對(duì)稱性來作新函數(shù)的圖象。邏輯思維實(shí)力較強(qiáng)的學(xué)生可以先將函數(shù)化簡(jiǎn)為，通過點(diǎn)的對(duì)稱性來推理獲得函數(shù)圖象的對(duì)稱性，再作圖。殊途同歸，目的是讓學(xué)生學(xué)習(xí)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題，通過邏輯推理獲得數(shù)學(xué)結(jié)論。這樣思索便于將對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象分為兩類來歸納，學(xué)生在指數(shù)函數(shù)中有過類似的探討，可以自然地理解?；顒?dòng)3：類似地，你還能作出哪些對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象？試著視察歸納它們的性質(zhì)?！净顒?dòng)預(yù)設(shè)】（1）學(xué)生小組合作大量舉例，變更對(duì)數(shù)函數(shù)中底數(shù)a的值（a＞0且不等于1），在此環(huán)節(jié)中，少部分小組會(huì)接著接受描點(diǎn)法（包括接受對(duì)稱性），較多小組會(huì)考慮接受計(jì)算工具來進(jìn)行視察。（2）視察歸納：視察作出的函數(shù)圖象，進(jìn)行文字語言的描述后再將圖象特征轉(zhuǎn)化為函數(shù)特征，完成表格。問題3：在同一坐標(biāo)系中視察這些圖象的位置、公共點(diǎn)和變更趨勢(shì)，它們有哪些共性？由此你能概括出對(duì)數(shù)函數(shù)的值域和性質(zhì)嗎？【預(yù)設(shè)的答案】【設(shè)計(jì)意圖】激勵(lì)學(xué)生分析不同作圖方式的效率，激勵(lì)學(xué)生接受計(jì)算工具作圖來視察圖象變更規(guī)律，而且這樣探究a的取值自然，所作函數(shù)的圖象也是自然產(chǎn)生的，利用信息技術(shù)能便捷地作出大量圖象，易于進(jìn)行歸納，體驗(yàn)將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的一般過程。小結(jié)：利用描點(diǎn)法、對(duì)稱關(guān)系的推理及信息技術(shù)工具，我們都可以作出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，從而歸納出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。老師講授：反函數(shù)的概念上一節(jié)課，在利用碳14同位素法推斷出恐龍蛋化石的年頭的例子中，我們可以將指數(shù)函數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式，這是一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)，且與對(duì)數(shù)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)。不難發(fā)覺，交換了x與y的位置后，和這兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域正好互換，稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)。練習(xí)：寫出y=log2x的反函數(shù)，說明理由.你能舉出更多的例子嗎？【設(shè)計(jì)意圖】用實(shí)例加深學(xué)生對(duì)反函數(shù)的理解，明確同底的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),為下面作圖探討性質(zhì)作鋪墊.活動(dòng)4：畫出兩組反函數(shù)的圖象，并視察找尋它們之間的對(duì)稱關(guān)系【設(shè)計(jì)意圖】用實(shí)例加深學(xué)生對(duì)反函數(shù)的理解，明確同底的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，且它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱。問題4：據(jù)此你能說說如何畫出y=lgx的圖象嗎？作的圖象呢？你對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)有什么補(bǔ)充和更進(jìn)一步的相識(shí)？【預(yù)設(shè)的答案】先作出的圖象，再將其關(guān)于直線y=x對(duì)稱翻折；先作出的圖象，再將其關(guān)于直線y=x對(duì)稱翻折。通過指對(duì)函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系，我們可以將指數(shù)函數(shù)中的結(jié)論一一類比到對(duì)數(shù)函數(shù)中來，如，當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí)，同底的指、對(duì)函數(shù)都單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)讛?shù)0<a<1時(shí)，同底的指、對(duì)函數(shù)都單調(diào)遞減?！驹O(shè)計(jì)意圖】利用同底指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之間的對(duì)稱關(guān)系作圖，加深學(xué)問之間的內(nèi)在聯(lián)系，加強(qiáng)利用邏輯推理的方法來獲得數(shù)學(xué)結(jié)論，是對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的進(jìn)一步理解與補(bǔ)充。2.例題解析,學(xué)以致用例1溶液酸堿度是通過pH計(jì)量的.隨著溶液中氫離子的濃度越大，溶液的酸性是越強(qiáng)還是越弱呢？對(duì)數(shù)函數(shù)y=-lgx(x＞0)的單調(diào)性如何？【預(yù)設(shè)的答案】y=lgx是底數(shù)大于1的對(duì)數(shù)函數(shù)，在定義域上單調(diào)遞增，因此隨著x（氫離子濃度）的增大，函數(shù)y=-lgx值減小，即溶液的pH值減小，酸性越強(qiáng)?！驹O(shè)計(jì)意圖】（1）回來實(shí)際情境，讓學(xué)生體會(huì)學(xué)以致用的快樂（2）用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來說明學(xué)生已經(jīng)有的化學(xué)學(xué)習(xí)閱歷，加強(qiáng)學(xué)科間的融合。例2比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大小:(1)lg3.4與lg8.5(2)log0.31.8與log0.32.7(3)log0.40.5與1(4)ln0.5與0(5)log45與log63(6)log0.20.5與log40.3(7)loga5與loga3【預(yù)設(shè)的答案】（1）＜;（2）＞;（3）＞;（4）＜;（5）＞;（6）＞;（7）分類探討：當(dāng)a>1時(shí)，loga5＞loga3；0<a<1時(shí)，loga5＜loga3【設(shè)計(jì)意圖】（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較同底對(duì)數(shù)的大小,加深對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的理解；當(dāng)?shù)讛?shù)用字母來表示時(shí)，留意分類探討思想的應(yīng)用；（2）對(duì)數(shù)與整數(shù)比大小或不同底對(duì)數(shù)比較大小，須要化為同底對(duì)數(shù)或者是借助中間量來比較大小，滲透了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的靈敏運(yùn)用。3.歸納小結(jié)，拓展探究思索：（1）對(duì)數(shù)函數(shù)有哪些性質(zhì)？結(jié)合圖象說明。（2）我們可以通過哪些方式來探究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)？（3）在探究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)的過程中，我們應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)思想與方法？你還想探究關(guān)于對(duì)數(shù)函數(shù)的哪些問題？【設(shè)計(jì)意圖】（1）梳理本節(jié)課對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)的認(rèn)知；（2）進(jìn)行探究過程的反思和數(shù)學(xué)思想方法、核心素養(yǎng)的滲透，激