高中數(shù)學-正余弦定理解三角形教學設計學情分析教材分析課后反思

教學設計

一、教學設計

三角形中的幾何計算問題主要包括長度、角、面積等，常用的方

法就是構造三角形，把所求的問題轉(zhuǎn)化到三角形中，然后選擇正弦定

理、余弦定理加以解決，有的問題與三角函數(shù)聯(lián)系比較密切，要熟練

運用有關三角函數(shù)公式。

設計意圖：幫助學生明確本節(jié)課內(nèi)容的地位。

二、學習目標與核心素養(yǎng)

課程目標：

1、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解三角形及一些有關

測

量距離的實際問題，了解常用的測量相關術語；

2、開放性題目的探究，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，并體會數(shù)學的應用

價值；同時培養(yǎng)學生運用圖形、數(shù)學符號表達題意和應用轉(zhuǎn)化思

想解決數(shù)學問題的能力.

數(shù)學學科素養(yǎng)：

1.數(shù)學抽象：方位角、方向角等概念；

2.邏輯推理：分清已知條件與所求，逐步求解問題的答案；

3.數(shù)學運算：解三角形；

重點：利用正余弦定理解三角形、開放性題目的探究

難點：根據(jù)題意建立數(shù)學模型，畫出示意圖，抽象出一個或幾個三角

形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解。

師生活動：學生看PPT,了解本即可的學習目標、核心素養(yǎng)、學習重

難點，教師播放PPT,強調(diào)重難點。

設計意圖：讓學習有的放矢。

三、知識梳理（復習導入，課前完成）

△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c

ab

1、正弦定理:=2R

sinAsinBsinC

變形：a=2RsinA,___________________________

a

sinA

~2R

2、余弦定理：

a2=,b2=

c2-__________________________

變形：cosA=,cosB=,cosC=

作用：1、_________________________________________

2、_________________________________________

3、三角形面積公式：______________________________________

師生活動：課前案部分，由學生課前完成,教師批改發(fā)現(xiàn)存在的問題，

上課統(tǒng)一講解強調(diào)。

問題1、正弦定理的內(nèi)容（一起回答）

問題2、正弦定理的變形及作用（提問個別同學）

問題3、余弦定理的內(nèi)容及其變形（提問個別同學）

問題4、正余弦定理的作用（小組討論，強大進行）

設計意圖：查漏補缺，為本節(jié)復習課做準備。

四、典題精練

2

例1、已知銳角A43C的內(nèi)角的所對邊分別為a,b,c,其中

c=2百，2sin(2C-§=6.若。=2及，求角A；

師生活動：課前案部分，由學生課前完成，教師批改發(fā)現(xiàn)普遍存在的

問題，將有問題的典型作業(yè)拍照制作到PPT中，課上同學們集體糾錯,

統(tǒng)一講解，學生認真改錯整理。

問題5、展示的作業(yè)中有哪些問題？

問題6、針對出現(xiàn)的問題，如何糾正？

設計意圖：本題是解三角形中的典型題目，也涉及到一個典型的知識

點：在三角形中，一個正弦值對應兩個互補的角。課前完成，給學生

試誤的機會，并且讓學生深刻的認識到出錯原因和答題要求。

當堂檢測1、已知A4BC的內(nèi)角ARC的所對邊分別為a,6,c,其中

€=273,2sin(2C-()=6.若”=2也，求sinA

師生活動：課前案部分，由學生課前完成，教師批改發(fā)現(xiàn)普遍存在的

問題，課上統(tǒng)一講解。

問題7、為什么兩道題目答案相同？(發(fā)現(xiàn)關鍵詞“銳角三角形”)

問題8、如何避免錯誤的出現(xiàn)？(認真讀題，找出關鍵詞)

設計意圖：強調(diào)審題的重要性，關注“銳角三角形”的限制，對角進

行取舍。

總結：1、本例題所用知識點：

2、可解三角形的類型及方法

師生活動：課前案部分，由學生課前完成，教師批改發(fā)現(xiàn)普遍存在的

問題，結合上課講解提問。學生積極回答，認真改錯。小組討論：可

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解三角形的類型，教師板書并引導總結課解三角形的特點：已知條件

中，至少有一條邊。

例2、AABC中，a、b、。分別是角A、B、C的對邊，且滿足

（2b-Gc）cosA=6acosC,現(xiàn)在給出三個個條件：①。=2；②8=（；③

c=回.試從中選出兩個條件，使其能夠確定AABC,并以此為依據(jù)求

AABC的面積.（選出一種可行的方案解答，若選出多個方案分別解

答，則按第一個解答記分）

問題9、本題考查了哪些知識點？

問題10、本題給出的三個條件，可以任意選擇嗎？

問題11、選擇條件的原則是什么呢？

師生活動：教師提出問題引導學生思考，逐步發(fā)現(xiàn)問題解決問題，學

生積極發(fā)言，挖掘已知條件，結合做學知識、運用正確的方法，各抒

己見，要選擇關于“邊”的條件解決問題。

問題12、有沒有同學敢于現(xiàn)場展示解題過程？

設計意圖：培養(yǎng)學生的自信心

問題13、我們計時，假設還有兩分鐘，高考結束，你能否做到不后

悔？

設計意圖：有代入感，同時讓學生有緊迫感。

師生活動：教師借助多媒體，設置鬧鐘進行倒計時，更有儀式感。學

生在理清思路后，快速書寫，形成“平日如考試”的意識。

師生活動：學生板書后講評，同學們就板書規(guī)范及講解情況進行評價,

教師對學生的積極參與和大膽挑戰(zhàn)，給予真心的鼓勵，同時要做適當

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的評價和補充。

總結：

師生互動：學生獨立思考，總結方法和使用的知識點。

設計意圖：培養(yǎng)學生總結反思的習慣。

五、課后作業(yè)

必做題：(課本54頁21題)如圖，為了測量兩山頂M,N間的距離，

飛機沿水平方向在A,B兩點進行測量，A,B,M,N在同一個鉛垂平

dg_____

面內(nèi)。請設計一個測量方案，包括：

(1)指出要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并標示在圖中)；

(2)用文字和公式寫出計算此N間的距離的步驟。

設計意圖：教師強調(diào)課本的重要性，學生體會課本題目的出題方向及

難

易程度。同時一，達到回扣課本的目的。

選做題：五月的風是坐落在青島〃五四廣場〃的標志性雕塑，作者是

黃震，高達？？米，直徑27米，重達500余噸，為我國目前最大

的鋼質(zhì)城市雕塑。該雕塑取材于鋼板，并輔以火紅色的外層噴涂,

其造型采用螺旋向上的鋼板結構組合，以熟練的手法、簡潔的線條

和厚重的質(zhì)感，表現(xiàn)出騰空而起的“勁風〃形象，給人以〃力〃的震撼。

問題14、如果是你，可以出怎樣的題目？如何求解？

5

設計意圖：分層教學，讓學生們既能吃的好又能吃得飽。同時滲透城

市文化，還能學以致用，并且開放性的題目，不會讓學生的思維受

限。這個環(huán)節(jié)，恰和本節(jié)重難點相吻合，又有開篇相呼應。

學情分析

私立學校的高中生，基礎略有不同，因此即便是復習課，更需要

夯實基礎題，強調(diào)典型題個性更強；高中階段屬于青年期初期階段，

其心理處于半幼稚、半成熟的狀態(tài)，具有明顯的獨特性和過渡性。

高中生的學習目的性強，思維的獨立性強、自覺性高。因此，復

習課中涉及開放型題目的探究，有利于激發(fā)學生自身思維意識的發(fā)展,

對學生更有挑戰(zhàn)性，并且學生更愿意去嘗試。

同時、特別注重考慮高中生的心理發(fā)展特征，發(fā)揮其主動作用，

引導他們朝著積極、向上、健康的方向發(fā)展。因此在教學中，要善于

發(fā)現(xiàn)學生的閃光點，恰當、真誠給予鼓勵。課堂上涉及到的開放型題

目，正好與2020年的高考題相吻合，從而更加堅定了學生積極備考

的決心。

效果分析

1.教學目標：是否明確而恰當？

目標明確，且能夠達到；自然滲透核心素養(yǎng)，重難點得以突破。

2.核心知識：教師是如何呈現(xiàn)給學生的？

課前案一--課堂案--課后案，循序漸進、層次分明，這樣學生的復

習效果更好。

2.內(nèi)在聯(lián)系：是否注意建立知識橫向或縱向聯(lián)系，與生活聯(lián)系？

6

能理論練習實際，體現(xiàn)數(shù)學文化與城市文化的完美融合。

4.學科特點：是否體現(xiàn)了學科特點與本質(zhì)？

選擇符合學生具體情況,滿足教學目標的例題與練習、靈活把握課堂

教學節(jié)奏。

5.詳略得當：是否做到了易懂的少講或不講、易混的細講并辨析？

能做到詳略得當，將隱形化為顯性的詳細介紹，重點突出。

6.教學資源：是否合理使用教材和校內(nèi)外教學資源？

雖然是復習課，但是卻沒有脫離課本，充分利用課本的習題，還利用

校內(nèi)教學資源，模擬高考現(xiàn)場。

7.學法指導：是否注重學習方法的指導和培養(yǎng)？讓學生在解題中理

解運用方法。

課堂上，“教為主導，學為主體”得到的很好的體現(xiàn)，教師高質(zhì)量的

引導，啟發(fā)了學生高效率的思考，培養(yǎng)了學生數(shù)學抽象、直觀想象、

邏輯推理等核心素養(yǎng)。

8.是否寓德育于教學內(nèi)容之中

讓學生參與合作，注重交流和團隊的精神。

教學改進建議：

教學過程中，可以進一步創(chuàng)造情境，讓學生更積極的參與到教學過程

中，這樣教學效果就會更好。平日要注意培養(yǎng)學生自信的回答問題,

大膽的表達自己的想法和思路。

教材分析

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正余弦定理，是人教A版(2019)必修第二冊第六章第四節(jié)第

二部分的內(nèi)容，是在學習了三角函數(shù)、和差倍角公式之后，在平面向

量這一章，以應用的形式出現(xiàn)的內(nèi)容。當我們利用單位圓來研究三角

函數(shù)的幾何意義時，表示三角函數(shù)就是平面向量。利用向量的有關知

識可以導出部分誘導公式。由于用向量解決問題時常常是從三角形入

手的，這使它在三角里解決有關三角形的問題發(fā)揮了重要作用，一個

最有力的證據(jù)就是教材中所提供的余弦定理的證明：只要在根據(jù)向量

三角形得出的關系式的兩邊平方就可利用向量的運算性質(zhì)得出要證

的結論，

正余弦定理是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，尤其是解三角形更是高考

必考知識點，可見，本節(jié)課的學習在高中數(shù)學中具有舉足輕重的地位。

復習課中進一步鞏固正余弦定理的內(nèi)容及作用，通過復習，讓學生學

會解三角形的一般解法思路，更重要的是能夠靈活地處理開放型題目,

與高考接軌。

測評練習

一、教材分析

三角形中的幾何計算問題主要包括長度、角、面積等，常用的方法就

是構造三角形，把所求的問題轉(zhuǎn)化到三角形中，然后選擇正弦定理、

余弦定理加以解決，有的問題與三角函數(shù)聯(lián)系比較密切，要熟練運用

有關三角函數(shù)公式.

二、學習目標與核心素養(yǎng)

課程目標：1、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解三角形

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及一些有關測量距離的實際問題，了解常用的測量相關

術語;

2、開放性題目的探究，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，并體會數(shù)

學的應用價值；同時培養(yǎng)學生運用圖形、數(shù)學符號表達題

意和應用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學問題的能力.

數(shù)學學科素養(yǎng)：1.數(shù)學抽象：方位角、方向角等概念；

2.邏輯推理：分清已知條件與所求，逐步求解問題的

答案；

3.數(shù)學運算：解三角形；

重點：利用正余弦定理解三角形、開放性題目的探究

難點：根據(jù)題意建立數(shù)學模型，畫出示意圖，抽象出一個或幾個三角

形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解。

三、知識梳理

△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c

1、正弦定理：號=昌=芻=2尺

sinAsinBsinC

變形：a=27?sinA,___________________________

sinA=—,

2R

『一h2-

2、余弦定理二一----------------------'°"----------------------

c2=__________________________

變形:cosA=,cosB=,cosC=

作用：1、_________________________________________

2、_________________________________________

3、三角形面積公式:

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四、典題精練

例1、已知銳角A43C的內(nèi)角A,B,C的所對邊分別為”*,c,其中

c=2g,2sin(2C-y)=V3.若”=2正，求角A；

當堂檢測1、已知AABC的內(nèi)角A,B,C的所對邊分別為a,b,c,其中

c=26,2sin(2C-至=6.若a=20,求sinA

總結：1、本例題所用知識點:

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2、可解三角形的類型及方法:

例2、A4BC中，a、b、，分別是角A、B、C的對邊，且滿足

（lb-73c）cosA=y/iacosC,現(xiàn)在給出三個個條件：①a=2；②8=?；③

c=⑨.試從中選出兩個條件，使其能夠確定A4BC,并以此為依據(jù)據(jù)

求A4BC的面積.（選出一種可行的方案解答，若選出多個方案分別

解答，則按第一個解答記分）

總結:

五、課后作業(yè)

必做題：

（課本54頁21題）如圖，為了測量兩山頂M,N間的距離，飛機

AB

沿水平方向在A,B兩點進行測量,A,B,M,N在同=1潞垂平面內(nèi)。

%?

請設計一個測量方案，包括：

11

（1）指出要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并標示在圖中）；

（2）用文字和公式寫出計算此N間的距離的步驟。

選做題：

五月的風是坐落在青島〃五四廣場〃的標志性雕塑，作者是黃震，直徑

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米，重達500余噸，為我國目前最大的鋼質(zhì)城市雕塑。該雕塑取材于

鋼板，并輔以火

紅色的外層噴涂，其造型采用螺旋向上的鋼板結構組合，以洗練的手

法、簡潔的線條

和厚重的質(zhì)感，表現(xiàn)出騰空而起的〃勁風〃形象，給人以〃力”的震撼。

已知該雕塑底部無法到達，請利用所學知識，設計一個測量該雕塑高

度的方案。

課后反思

在2020年度的“一師一優(yōu)課，一課一名師”活動中，我積極參

與曬課。學校分配給我的課題是高一數(shù)學《正余弦函數(shù)解三角形》。

經(jīng)過精心準備，終于錄課成功?；叵脒@些天來，一次次地挑燈夜戰(zhàn)，真

的是付出了很大的心血與汗水。有人說:一次賽課就是一段生命的歷

程,這句話我深有體會。

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一、曬前準備：

1、思想高度重視：因為這樣的活動對我來講是第一次,所以從思想上

非常重視，積極地參與其中，不斷地給自己施壓，嘗試著去突破自己。

2、認真研讀教材:拿到課題后，我認真研讀教材，看了一遍又一遍，努

力把教材弄準吃透。最后結合課程標準,擬定了本課教學目標與重難

點。

3、查閱相關資料:為了設計好本課,幫助學生很好地理解本課,達到預

期教學目標，我查閱了許多相關的資料，準備了很多的教學素材。

4、設計教學流程:教學環(huán)節(jié)是否完整、緊湊，教學流程是否科學、順

暢，學生的活動是否得體，重難點是否突此時間安排是否合理，我

認真地進行了推敲、斟酌，最終確定了本課的教學設計。

5、制作教學課件：因為課件制作技術我比較熟練，所以這一環(huán)節(jié)做的

得心應手，從圖片到字體，從動畫到聲音，每一次都有新點子。

教學過程中的優(yōu)點：

1、展示了良好的教師基本素養(yǎng)：因為是一名專業(yè)的數(shù)學老師，多年來-

一直致力于畢業(yè)班工作，有著良好的專業(yè)素養(yǎng)和豐富的教學經(jīng)驗。因此,

無論是本節(jié)課的教學設計，還是本節(jié)課的講解,受到了本校老師的一

致好評。

2、教學設計亮點多：本節(jié)課的成功之處就在于教學環(huán)節(jié)緊湊、合理