云南省曲靖市會澤縣第一中學(xué)2022年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在中，，，分別為角，，的對邊，若的面為，且，則（）A．1 B． C． D．2．已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a5＝16，a3a4＝﹣32，則S8＝（）A．﹣21 B．﹣24 C．85 D．﹣853．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為()A．或 B． C． D．或4．拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，使得是的中點(diǎn)，則直線的斜率為（）A． B． C．1 D．5．已知定義在上的函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．6．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ＝120°(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則k的值為()A． B． C．或－ D．和－7．如圖，在棱長為4的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱AB，BC，的中點(diǎn)，M為棱AD的中點(diǎn)，設(shè)P，Q為底面ABCD內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足平面EFG，，則的最小值為（）A． B． C． D．8．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．9．2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎（）疫情，并快速席卷我國其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有特異治療方法，防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人.在排查期間，一戶6口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對其家庭成員隨機(jī)地逐一進(jìn)行“核糖核酸”檢測，若出現(xiàn)陽性，則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測呈陽性的概率均為（）且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測了5個(gè)人才能確定為“感染高危戶”的概率為，當(dāng)時(shí)，最大，則（）A． B． C． D．10．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知F是雙曲線（k為常數(shù)）的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為（）A．2k B．4k C．4 D．212．定義在R上的函數(shù)，，若在區(qū)間上為增函數(shù)，且存在，使得.則下列不等式不一定成立的是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在三棱錐中，，三角形為等邊三角形，二面角的余弦值為，當(dāng)三棱錐的體積最大值為時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為______.14．函數(shù)的定義域是__________．15．經(jīng)過橢圓中心的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn).設(shè)直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.則的值是________________．16．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）己知，，.（1）求證：；（2）若，求證：.18．（12分）橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.19．（12分）已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)，）.（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，且恒成立，求滿足條件的的最小值（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對應(yīng)的自變量的值）.20．（12分）某商場舉行優(yōu)惠促銷活動(dòng)，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種.方案一：每滿100元減20元；方案二：滿100元可抽獎(jiǎng)一次.具體規(guī)則是從裝有2個(gè)紅球、2個(gè)白球的箱子隨機(jī)取出3個(gè)球（逐個(gè)有放回地抽?。媒Y(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區(qū)別）紅球個(gè)數(shù)3210實(shí)際付款7折8折9折原價(jià)（1）該商場某顧客購物金額超過100元，若該顧客選擇方案二，求該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客購物金額為180元，選擇哪種方案更劃算？21．（12分）某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率．22．（10分）某動(dòng)漫影視制作公司長期堅(jiān)持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動(dòng)漫題材，創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動(dòng)漫影視作品，獲得市場和廣大觀眾的一致好評，同時(shí)也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關(guān)于年份代號的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表（已知該公司的年利潤與年份代號線性相關(guān)）.年份年份代號年利潤（單位：億元）（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測該公司年（年份代號記為）的年利潤；（Ⅱ）當(dāng)統(tǒng)計(jì)表中某年年利潤的實(shí)際值大于由（Ⅰ）中線性回歸方程計(jì)算出該年利潤的估計(jì)值時(shí)，稱該年為級利潤年，否則稱為級利潤年.將（Ⅰ）中預(yù)測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實(shí)際值，現(xiàn)從年至年這年中隨機(jī)抽取年，求恰有年為級利潤年的概率.參考公式：，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理進(jìn)行化簡求出的值，然后利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由，得，∵，∴，即即，則，∵，∴，∴，即，則，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的應(yīng)用，結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理求出的值以及利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．2、D【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)求得a1q4＝16，a12q5＝﹣32，通過解該方程求得它們的值，求首項(xiàng)和公比，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解答即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a5＝16，a3a4＝﹣32，∴a1q4＝16，a12q5＝﹣32，∴q＝﹣2，則，則，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)等比數(shù)列建立條件關(guān)系求出公比是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】試題分析：因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以且，因此注意不要忽視虛部不為零這一隱含條件.考點(diǎn)：純虛數(shù)4、B【解析】

設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，由題意得出，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合可求得的值，由此可得出直線的斜率.【詳解】由題意可知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，由于點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立得，整理得，由韋達(dá)定理得，得，，解得，因此，直線的斜率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直線斜率的求解，考查直線與拋物線的綜合問題，涉及韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.5、D【解析】

先判斷函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性，可以判斷出函數(shù)是奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可以得到，比較三個(gè)數(shù)的大小，然后根據(jù)函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性，比較出三個(gè)數(shù)的大小.【詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在時(shí)，是增函數(shù).因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，所以有，因?yàn)?，函?shù)在時(shí)，是增函數(shù)，所以，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小問題，判斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.6、C【解析】

直線過定點(diǎn)，直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ=120°（其中O為原點(diǎn)），可以發(fā)現(xiàn)∠QOx的大小，求得結(jié)果．【詳解】如圖，直線過定點(diǎn)（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，?∠1=120°，∠2=60°，∴由對稱性可知k=±．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查過定點(diǎn)的直線系問題，以及直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．7、C【解析】

把截面畫完整，可得在上，由知在以為圓心1為半徑的四分之一圓上，利用對稱性可得的最小值．【詳解】如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，易證共面，即平面為截面，連接，由中位線定理可得，平面，平面，則平面，同理可得平面，由可得平面平面，又平面EFG，在平面上，∴．正方體中平面，從而有，∴，∴在以為圓心1為半徑的四分之一圓（圓在正方形內(nèi)的部分）上，顯然關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號，∴所求最小值為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查空間距離的最小值問題，解題時(shí)作出正方體的完整截面求出點(diǎn)軌跡是第一個(gè)難點(diǎn)，第二個(gè)難點(diǎn)是求出點(diǎn)軌跡，第三個(gè)難點(diǎn)是利用對稱性及圓的性質(zhì)求得最小值．8、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【詳解】解：復(fù)數(shù)i（2+i）＝2i﹣1對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2），故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】

根據(jù)題意分別求出事件A：檢測5個(gè)人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率和事件B：檢測6個(gè)人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率,即可得出的表達(dá)式,再根據(jù)基本不等式即可求出.【詳解】設(shè)事件A：檢測5個(gè)人確定為“感染高危戶”,事件B：檢測6個(gè)人確定為“感染高危戶”,∴,.即設(shè),則∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號,即.故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查概率的計(jì)算,涉及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式的應(yīng)用,互斥事件概率加法公式的應(yīng)用,以及基本不等式的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是對題意的理解和事件的分解,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)建模能力,屬于較難題.10、C【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行判斷即可．【詳解】∵a，b∈（1，+∞），∴a＞b?logab＜1，logab＜1?a＞b，∴a＞b是logab＜1的充分必要條件，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵．11、D【解析】

分析可得,再去絕對值化簡成標(biāo)準(zhǔn)形式,進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí),等式不是雙曲線的方程；當(dāng)時(shí),,可化為,可得虛半軸長,所以點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程與點(diǎn)到直線的距離.屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

根據(jù)題意判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而根據(jù)單調(diào)性對選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．【詳解】由條件可得函數(shù)關(guān)于直線對稱；在，上單調(diào)遞增，且在時(shí)使得；又，，所以選項(xiàng)成立；，比離對稱軸遠(yuǎn)，可得，選項(xiàng)成立；，，可知比離對稱軸遠(yuǎn)，選項(xiàng)成立；，符號不定，，無法比較大小，不一定成立．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)題意作出圖象,利用三垂線定理找出二面角的平面角,再設(shè)出的長,即可求出三棱錐的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值,從而得出各棱的長度,最后根據(jù)球的幾何性質(zhì),利用球心距,半徑,底面半徑之間的關(guān)系即可求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】如圖所示：過點(diǎn)作面,垂足為,過點(diǎn)作交于點(diǎn),連接.則為二面角的平面角的補(bǔ)角,即有.∵易證面,∴,而三角形為等邊三角形,∴為的中點(diǎn).設(shè),.∴.故三棱錐的體積為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,即.∴三點(diǎn)共線.設(shè)三棱錐的外接球的球心為,半徑為.過點(diǎn)作于,∴四邊形為矩形.則,,,在中,,解得.三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐的外接球的表面積的求法,涉及二面角的運(yùn)用,基本不等式的應(yīng)用,以及球的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的直觀想象能力,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.14、【解析】由，得，所以，所以原函數(shù)定義域?yàn)椋蚀鸢笧?15、【解析】

作出圖形，設(shè)點(diǎn)，則、，設(shè)點(diǎn)，利用點(diǎn)差法得出，利用斜率公式得出，進(jìn)而可得出，可得出，由此可求得的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則、，設(shè)點(diǎn)，則，兩式相減得，即，即，由斜率公式得，，，故，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中角的余弦值的求解，涉及了點(diǎn)差法與斜率公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.16、-2【解析】

根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算可求得，根據(jù)平行關(guān)系可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，解得：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵是能夠利用平行關(guān)系構(gòu)造出方程.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）采用分析法論證，要證，分式化整式為，再利用立方和公式轉(zhuǎn)化為，再作差提取公因式論證.（2）由基本不等式得，再用不等式的基本性質(zhì)論證.【詳解】（1）要證，即證，即證，即證，即證，即證，該式顯然成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故.（2）由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.將上面四式相加，可得，即.【點(diǎn)睛】本題考查證明不等式的方法、基本不等式，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題..18、（1）（2）最大值.【解析】

（1）根據(jù)通徑和即可求（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓，利用，用含的式子表示出，用換元，可得，最后用均值不等式求解.【詳解】解：（1）依題意有，，，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得.所以，.所以.令，則，所以，因，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號，即四邊形面積的最大值.【點(diǎn)睛】考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法，是難題.19、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可；（2）在上恒成立，只需，注意到；（3）在上有兩根，令，求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以且，，，求出的范圍即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以切線方程為，即.（2），.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，且恒成立，即，所以，即，又，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程在上有兩不等實(shí)根，即.令，則，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得且.又由，所以，且當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，是極值點(diǎn)，此時(shí)令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)楹愠闪?，所?若，取，則，所以.令，則，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即存在使得，不合題意.滿足條件的的最小值為-4.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)，不等式恒成立等知識，是一道難題.20、（1）（2）選擇方案二更為劃算【解析】

（1）計(jì)算顧客獲得7折優(yōu)惠的概率，獲得8折優(yōu)惠的概率，相加得到答案.（2）選擇方案二，記付款金額為元，則可取的值為126，144，162，180.，計(jì)算概率得到數(shù)學(xué)期望，比較大小得到答案.【詳解】（1）該顧客獲得7折優(yōu)惠的概率，該顧客獲得8折優(yōu)惠的概率，故該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率.（2）若選擇方案一，則付款金額為.若選擇方案二，記付款金額為元，則可取的值為126，144，162，180.，，則.因?yàn)?，所以選擇方案二更為劃算.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.21、（1）．（2）．【解析】

（1）由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，求出最高氣溫位于區(qū)間[20，25）和最高氣溫低于20的天數(shù)，由此能求出六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率．（2）當(dāng)溫度大于等于25℃時(shí)，需求量為500，求出Y＝900元；當(dāng)溫度在[20，25）℃時(shí)，需求量為300，求出Y＝300元；當(dāng)溫度低于20℃時(shí)，需求量為200，求出Y＝﹣100元，從而當(dāng)溫度大于等于20時(shí)，Y＞0，由此能估計(jì)估計(jì)Y大于零的概率．【詳解】解：（1）由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得到最高氣溫位于區(qū)間[20，25）和最高氣溫低于20的天數(shù)為2+16+36＝54，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶，如果最高氣