云南省彝良縣民族中2022年數學高三上期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

2022-2023學年高三上數學期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，若對任意，關于x的不等式（e為自然對數的底數）至少有2個正整數解，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知函數，，且，則（）A．3 B．3或7 C．5 D．5或83．已知復數在復平面內對應的點的坐標為，則下列結論正確的是（）A． B．復數的共軛復數是C． D．4．設是虛數單位，若復數，則（）A． B． C． D．5．設數列是等差數列，，.則這個數列的前7項和等于（）A．12 B．21 C．24 D．366．設雙曲線（，）的一條漸近線與拋物線有且只有一個公共點，且橢圓的焦距為2，則雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．7．已知命題：“關于的方程有實根”，若為真命題的充分不必要條件為，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．8．造紙術、印刷術、指南針、火藥被稱為中國古代四大發(fā)明，此說法最早由英國漢學家艾約瑟提出并為后來許多中國的歷史學家所繼承，普遍認為這四種發(fā)明對中國古代的政治，經濟，文化的發(fā)展產生了巨大的推動作用.某小學三年級共有學生500名，隨機抽查100名學生并提問中國古代四大發(fā)明，能說出兩種發(fā)明的有45人，能說出3種及其以上發(fā)明的有32人，據此估計該校三級的500名學生中，對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有（）A．69人 B．84人 C．108人 D．115人9．設為等差數列的前項和，若，，則的最小值為（）A． B． C． D．10．設，分別為雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點作圓的切線與雙曲線的左支交于點P，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．11．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”．如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦至少有2個陽爻的概率是（）A． B． C． D．12．偶函數關于點對稱，當時，，求（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復數z是純虛數，則實數a＝_____，|z|＝_____．14．已知數列滿足：點在直線上，若使、、構成等比數列，則______15．已知，是互相垂直的單位向量，若與λ的夾角為60°，則實數λ的值是__．16．如圖，養(yǎng)殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線、圍成一個三角形養(yǎng)殖區(qū).為了便于管理，在線段之間有一觀察站點，到直線，的距離分別為8百米、1百米，則觀察點到點、距離之和的最小值為______________百米.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，，，為的中點，是上的點.（1）若平面，證明：平面.（2）求二面角的余弦值.18．（12分）在中，角所對的邊分別是，且.（1）求；（2）若，求.19．（12分）已知首項為2的數列滿足.（1）證明：數列是等差數列．（2）令，求數列的前項和.20．（12分）在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數，）.在以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標中，曲線：.（1）當時，求與的交點的極坐標；（2）直線與曲線交于，兩點，線段中點為，求的值.21．（12分）已知數列{an}滿足條件，且an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，n∈N*．（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn＝，Sn為數列{bn}的前n項和，求證：Sn．22．（10分）已知.（1）求不等式的解集；（2）記的最小值為，且正實數滿足.證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

構造函數（），求導可得在上單調遞增,則,問題轉化為,即至少有2個正整數解,構造函數,,通過導數研究單調性,由可知，要使得至少有2個正整數解,只需即可,代入可求得結果.【詳解】構造函數（），則（），所以在上單調遞增，所以，故問題轉化為至少存在兩個正整數x，使得成立，設，，則，當時，單調遞增；當時，單調遞增.，整理得.故選:B.【點睛】本題考查導數在判斷函數單調性中的應用,考查不等式成立問題中求解參數問題,考查學生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.2、B【解析】

根據函數的對稱軸以及函數值，可得結果.【詳解】函數，若，則的圖象關于對稱，又，所以或，所以的值是7或3.故選：B.【點睛】本題考查的是三角函數的概念及性質和函數的對稱性問題，屬基礎題3、D【解析】

首先求得，然后根據復數乘法運算、共軛復數、復數的模、復數除法運算對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】由題意知復數，則，所以A選項不正確；復數的共軛復數是，所以B選項不正確；，所以C選項不正確；，所以D選項正確.故選：D【點睛】本小題考查復數的幾何意義，共軛復數，復數的模，復數的乘法和除法運算等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，數形結合思想.4、A【解析】

結合復數的除法運算和模長公式求解即可【詳解】∵復數，∴，，則，故選：A.【點睛】本題考查復數的除法、模長、平方運算，屬于基礎題5、B【解析】

根據等差數列的性質可得，由等差數列求和公式可得結果.【詳解】因為數列是等差數列，，所以，即，又，所以，，故故選：B【點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式，性質，等差數列的和，屬于中檔題.6、B【解析】

設雙曲線的漸近線方程為，與拋物線方程聯立，利用，求出的值，得到的值，求出關系，進而判斷大小，結合橢圓的焦距為2，即可求出結論.【詳解】設雙曲線的漸近線方程為，代入拋物線方程得，依題意，，橢圓的焦距，，雙曲線的標準方程為.故選:B.【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的標準方程、雙曲線的簡單幾何性質，要注意雙曲線焦點位置，屬于中檔題.7、B【解析】命題p：，為，又為真命題的充分不必要條件為，故8、D【解析】

先求得名學生中，只能說出一種或一種也說不出的人數，由此利用比例，求得名學生中對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的人數.【詳解】在這100名學生中，只能說出一種或一種也說不出的有人，設對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有人，則，解得人.故選：D【點睛】本小題主要考查利用樣本估計總體，屬于基礎題.9、C【解析】

根據已知條件求得等差數列的通項公式，判斷出最小時的值，由此求得的最小值.【詳解】依題意，解得，所以.由解得，所以前項和中，前項的和最小，且.故選：C【點睛】本小題主要考查等差數列通項公式和前項和公式的基本量計算，考查等差數列前項和最值的求法，屬于基礎題.10、C【解析】

設過點作圓的切線的切點為，根據切線的性質可得，且，再由和雙曲線的定義可得，得出為中點，則有，得到，即可求解.【詳解】設過點作圓的切線的切點為，，所以是中點，，，.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線的性質、雙曲線定義、圓的切線性質，意在考查直觀想象、邏輯推理和數學計算能力，屬于中檔題.11、C【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對立事件,即該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻的概率,再根據兩對立事件的概率和為1求解即可.【詳解】設“該重卦至少有2個陽爻”為事件.所有“重卦”共有種；“該重卦至少有2個陽爻”的對立事件是“該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻”,其中,沒有陽爻（即6個全部是陰爻）的情況有1種,只有1個陽爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個陽爻的概率是.故選：C【點睛】本題主要考查了對立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎題.12、D【解析】

推導出函數是以為周期的周期函數，由此可得出，代值計算即可.【詳解】由于偶函數的圖象關于點對稱，則，，，則，所以，函數是以為周期的周期函數，由于當時，，則.故選：D.【點睛】本題考查利用函數的對稱性和奇偶性求函數值，推導出函數的周期性是解答的關鍵，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、11【解析】

根據復數運算法則計算復數z，根據復數的概念和模長公式計算得解.【詳解】復數z，∵復數z是純虛數，∴，解得a＝1，∴z＝i，∴|z|＝1，故答案為：1，1．【點睛】此題考查復數的概念和模長計算，根據復數是純虛數建立方程求解，計算模長，關鍵在于熟練掌握復數的運算法則.14、13【解析】

根據點在直線上可求得，由等比中項的定義可構造方程求得結果.【詳解】在上，，成等比數列，，即，解得：.故答案為：.【點睛】本題考查根據三項成等比數列求解參數值的問題，涉及到等比中項的應用，屬于基礎題.15、【解析】

根據平面向量的數量積運算與單位向量的定義，列出方程解方程即可求出λ的值．【詳解】解：由題意，設（1，0），（0，1），則（，﹣1），λ（1，λ）；又夾角為60°，∴（）?（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．【點睛】本題考查了單位向量和平面向量數量積的運算問題，是中檔題．16、【解析】

建系，將直線用方程表示出來，再用參數表示出線段的長度，最后利用導數來求函數最小值.【詳解】以為原點，所在直線分別作為軸，建立平面直角坐標系，則.設直線，即，則，所以，所以，，則，則，當時，，則單調遞減，當時，，則單調遞增，所以當時，最短，此時.故答案為：【點睛】本題考查導數的實際應用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）因為，利用線面平行的判定定理可證出平面，利用點線面的位置關系，得出和，由于底面，利用線面垂直的性質，得出，且，最后結合線面垂直的判定定理得出平面，即可證出平面.（2）由（1）可知，，兩兩垂直，建立空間直角坐標系，標出點坐標，運用空間向量坐標運算求出所需向量，分別求出平面和平面的法向量，最后利用空間二面角公式，即可求出的余弦值.【詳解】（1）證明：因為，平面，平面，所以平面，因為平面，平面，所以可設平面平面，又因為平面，所以.因為平面，平面，所以，從而得.因為底面，所以.因為，所以.因為，所以平面.綜上，平面.（2）解：由（1）可得，，兩兩垂直，以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，所以，則，，，，所以，，，.設是平面的法向量，由取取，得.設是平面的法向量，由得取，得，所以，即的余弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定和空間二面角的計算，還運用線面平行的性質、線面垂直的判定定理、點線面的位置關系、空間向量的坐標運算等，同時考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力.18、（1）（2）【解析】

（1）根據正弦定理到，得到答案.（2）計算，再利用余弦定理計算得到答案.【詳解】（1）由，可得,因為，所以，所以.（2），又因為，所以.因為，所以，即.【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理，意在考查學生的計算能力.19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）由原式可得,等式兩端同時除以,可得到,即可證明結論;（2）由（1）可求得的表達式,進而可求得的表達式,然后求出的前項和即可.【詳解】（1）證明:因為,所以,所以,從而,因為,所以,故數列是首項為1,公差為1的等差數列.（2）由（1）可知,則,因為,所以,則.【點睛】本題考查了等差數列的證明,考查了等差數列及等比數列的前項和公式的應用,考查了學生的計算求解能力,屬于中檔題.20、（1），；（2）【解析】

（1）依題意可知，直線的極坐標方程為（），再對分三種情況考慮；（2）利用直線參數方程參數的幾何意義，求弦長即可得到答案.【詳解】（1）依題意可知，直線的極坐標方程為（），當時，聯立解得交點，當時，經檢驗滿足兩方程，（易漏解之處忽略的情況）當時，無交點；綜上，曲線與直線的點極坐標為，，（2）把直線的參數方程代入曲線，得，可知，，所以.【點睛】本題考查直線與曲線交點的極坐標、利用參數方程參數的幾何意義求弦長，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.21、（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析【解析】

（Ⅰ）由an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，對分奇偶討論，即可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，用錯位相減法求出，運用分析法證明即可.【詳解】（Ⅰ），當為奇數時，，又由，得，當為偶數時，，又由a2＝3，得，；（Ⅱ）由（1）得，則①②①-②可得：，，若證明Sn，則需要證明，又，即證明，即證，又顯然成立，故Sn得證.【點睛】本題主要考查了由遞推公式求通項公式，錯位相減法求前項和，分析法證明不等式，考查了分類討論的思想，考查了學生的運算求解與邏輯推理能力.22、（1）或；（2）見解析【解析】

（1）根據，