函數(shù)的對(duì)稱性 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

§2.4函數(shù)的對(duì)稱性1.軸對(duì)稱性(1)函數(shù)y=f(x),若其圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱?曲線y=f(x)上任一點(diǎn)A關(guān)于直線x=a對(duì)稱的點(diǎn)B一定在曲線y=f(x)上。?f(2a-x)=f(x)?f(a+x)=f(a-x)?f(2a+x)=f(-x).x=aAB思考：A,B關(guān)于直線x=a對(duì)稱，其橫縱坐標(biāo)分別有何關(guān)系？A,B橫坐標(biāo)之和為2a，縱坐標(biāo)相等。設(shè)A(x,f(x)),則B()2a-x,f(2a-x)一。函數(shù)的圖象自對(duì)稱性AB(a,b)思考：A,B關(guān)于點(diǎn)(a,b)中心對(duì)稱，其橫縱坐標(biāo)分別有何關(guān)系？2.中心對(duì)稱性(1)函數(shù)y=f(x),若其圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)中心對(duì)稱?曲線y=f(x)上任一點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱的點(diǎn)B一定在曲線y=f(x)上。?f(2a-x)+f(x)=2b?f(a+x)+f(a-x)=2b?f(2a+x)+f(-x)=2b.(2)函數(shù)y=f(x),若其圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱,則f(a+x)=-f(a-x)?f(2a+x)=-f(-x)?f(2a-x)=-f(x).一。函數(shù)的圖象自對(duì)稱性A,B橫坐標(biāo)之和為2a，縱坐標(biāo)之和為2b。點(diǎn)(a,b)為線段AB的中點(diǎn)設(shè)A(x,f(x)),則B()2a-x,f(2a-x)二。兩個(gè)函數(shù)的圖象之間的相互對(duì)稱性y=f(x)與y=f(-x)關(guān)于對(duì)稱；y=f(x)與y=-f(x)關(guān)于對(duì)稱；y=f(x)與y=-f(-x)關(guān)于

對(duì)稱；y軸x軸（0，0）二。兩個(gè)函數(shù)的圖象之間的相互對(duì)稱性(1)若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱?曲線y=f(x)上任一點(diǎn)A關(guān)于直線x=a對(duì)稱的點(diǎn)B一定在曲線y=g(x)上。?g(x)=f(2a-x)x=aAB2a-x,y求函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱的函數(shù)g(x)。解：設(shè)g(x)圖像上任一點(diǎn)為B(x,y),則其關(guān)于直線x=a對(duì)稱的點(diǎn)A()在f(x)圖像上,g(x)=f(2a-x)函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)的圖象關(guān)于對(duì)稱直線x=a函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)的圖象關(guān)于對(duì)稱函數(shù)y=f(x)與y=-f(2a-x)的圖象關(guān)于對(duì)稱直線x=a點(diǎn)(a,0)函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖象關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)(a,b)考點(diǎn)2函數(shù)的對(duì)稱性一。函數(shù)的圖象自對(duì)稱性函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱?f(2a-x)=f(x)函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)中心對(duì)稱?f(2a-x)+f(x)=2b二。兩個(gè)函數(shù)的圖象之間的相互對(duì)稱性

題型一軸對(duì)稱問題√(2)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋2)為偶函數(shù)，f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，則不等式f(－x2)>f(－1)的解集為________.(－1,1)跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2023·郴州檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函數(shù)，則f(－1)，f(1)，f(2)的大小關(guān)系是A.f(－1)<f(1)<f(2)B.f(1)<f(2)<f(－1)C.f(2)<f(－1)<f(1)D.f(－1)<f(2)<f(1)√(2)(2023·銀川模擬)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(4＋x)＝f(－x)，若函數(shù)y＝|x2－4x－5|與y＝f(x)圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為A.0 B.m C.2m D.4m√題型二中心對(duì)稱問題例2

(1)(多選)下列說法中，正確的是√√√√跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2023·揚(yáng)州模擬)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(x＋1)為奇函數(shù)，則使得不等式f(x2－x)<f(2－2x)成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍是A.(－1,2)B.(－∞，－1)∪(2，＋∞)C.(－2,1)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)√(2)(2023·唐山模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，則b等于A.－3 B.－1 C.1 D.3√

函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用

函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用題型三兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱例3

已知函數(shù)y＝f(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x＋2)與y＝f(4－x)的圖象A.關(guān)于直線x＝1對(duì)稱B.關(guān)于直線x＝3對(duì)稱C.關(guān)于直線y＝3對(duì)稱D.關(guān)于點(diǎn)(3,0)對(duì)稱√跟蹤訓(xùn)練3

下列函數(shù)與y＝ex的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的是A.y＝ex－1

B.y＝e1－xC.y＝e2－x

D.y＝lnx√與f(x)＝ex的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x.

對(duì)稱性與周期性的綜合應(yīng)用

對(duì)稱性與周期性的綜合應(yīng)用

對(duì)稱性與周期性的綜合應(yīng)用

對(duì)稱性與周期性的綜合應(yīng)用12345678910111213141516一、單項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)的圖象中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是A.y＝

B.y＝lg|x|C.y＝tanx

D.y＝x3√y＝lg|x|為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，但無對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤；y＝x3為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)成中心對(duì)稱，但無對(duì)稱軸，故D錯(cuò)誤.12345678910111213141516123456789101112131415162.(2024·聊城檢測(cè))函數(shù)y＝2－x與y＝－2x的圖象A.關(guān)于x軸對(duì)稱

B.關(guān)于y軸對(duì)稱C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

D.關(guān)于直線y＝x軸對(duì)稱√令f(x)＝2x，則－f(－x)＝－2－x，∵y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴y＝2－x與y＝－2x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.123456789101112131415163.(2023·襄陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝2x＋

(x∈R)，則f(x)的圖象A.關(guān)于直線x＝1對(duì)稱B.關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱C.關(guān)于直線x＝0對(duì)稱D.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱√1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516因?yàn)閒(x)在區(qū)間(a,2a－1)上單調(diào)遞減，123456789101112131415165.已知函數(shù)f(1－x)的圖象與函數(shù)f(2＋x)的圖象關(guān)于直線x＝m對(duì)稱，則m等于√12345678910111213141516設(shè)點(diǎn)P(x，y)在函數(shù)y＝f(1－x)的圖象上，點(diǎn)P關(guān)于直線x＝m的對(duì)稱點(diǎn)Q(x′，y′)，則y′＝f(1－2m＋x′)，即y＝f(1－2m＋x)與y＝f(1－x)關(guān)于直線x＝m對(duì)稱，123456789101112131415166.(2023·重慶模擬)已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，且函數(shù)y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，函數(shù)y＝f(x＋2)－1為奇函數(shù)，則√12345678910111213141516因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，函數(shù)y＝f(x＋2)－1為奇函數(shù)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，且f(2)＝1，所以f(0)＝f(2)＝1.12345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題7.設(shè)函數(shù)f(x)＝2x－1＋21－x，則下列說法錯(cuò)誤的是A.f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增B.f(x)為奇函數(shù)C.f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱D.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱√√√12345678910111213141516∵f(x)＝2x－1＋21－x，∴f(2－x)＝2(2－x)－1＋21－(2－x)＝21－x＋2x－1＝f(x)，即f(x)＝f(2－x)，即f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，故C正確，A，D錯(cuò)誤；∵f(－1)≠－f(1)，∴f(x)不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤.123456789101112131415168.(2023·恩施模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)，f(x＋1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1,0)對(duì)稱，恒有f(x－1)＝f(3－x)，且f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是A.直線x＝1是f(x)的圖象的對(duì)稱軸B.周期T＝2C.函數(shù)f(x)在[4,5]上單調(diào)遞增D.f(5)＝0√√12345678910111213141516因?yàn)閒(x－1)＝f(3－x)，所以直線x＝1是f(x)的圖象的對(duì)稱軸，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)閒(x＋1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1,0)對(duì)稱，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，又因?yàn)閒(x)的對(duì)稱軸為x＝1，所以f(x)的周期T＝4，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；直線x＝1是f(x)的對(duì)稱軸，且函數(shù)f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，12345678910111213141516又f(x)的周期T＝4，所以函數(shù)f(x)在[4,5]上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)閒(x)的周期T＝4，f(4)＝f(0)＝0，則f(5)>f(4)＝0，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.12345678910111213141516三、填空題9.(2023·蘇州模擬)寫出一個(gè)同時(shí)滿足條件：①f(x＋2)＝f(x)，②f(1－x)＝f(1＋x)的非常數(shù)函數(shù)，f(x)＝___________________________________________________________________.因?yàn)閒(x＋2)＝f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)，所以函數(shù)的周期T＝2，函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝1，故可取函數(shù)f(x)＝cosπx.1234567891011121314151610.已知函數(shù)f(x)＝2|x－a|的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，則a＝________.因?yàn)楹瘮?shù)y＝2|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，將函數(shù)y＝2|x|的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)y＝2|x－2|的圖象，所以函數(shù)y＝2|x－2|的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，故a＝2.21234567891011121314151611.(2024·玉溪統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，y＝f(x＋3)是偶函數(shù)，當(dāng)x≥3時(shí)，f(x)＝log2x，則不等式f(2x＋2)>f(x－1)的解集為_______________.12345678910111213141516∵y＝f(x＋3)是偶函數(shù)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝3對(duì)稱.∵當(dāng)x≥3時(shí)，f(x)＝log2x，∴f(x)在[3，＋∞)上單調(diào)遞增，∴|2x＋2－3|>|x－1－3|，即|2x－1|>|x－4|，∴(2x－1)2>(x－4)2，即3x2＋4x－15>0，12345678910111213141516n12345678910111213141516∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，則f(2－x)＋f(x)＝0，∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，1234567891011121314151612345678910111213141516四、解答題13.(2023·邢臺(tái)檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x.(1)判斷并證明函數(shù)f(x)的對(duì)稱性；f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱.證明：由|x－2|>0，得x≠2，所以f(x)的定義域?yàn)?－∞，2)∪(2，＋∞).因?yàn)閒(2－x)＝log2|x|＋(2－x)2－4(2－x)＝log2|x|＋x2－4，f(2＋x)＝log2|x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝log2|x|＋x2－4，所以f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱.12345678910111213141516(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.設(shè)y1＝log2|x－2|，y2＝x2－4x，當(dāng)x>2時(shí)，y1＝log2|x－2|＝log2(x－2)單調(diào)遞增，y2＝x2－4x也單調(diào)遞增，故f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x在(2，＋∞)上單調(diào)遞增.又f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，2).1234567891011121314151614.函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a，b)成中心對(duì)稱的充要條件是函數(shù)y＝f(x＋a)－b為奇函數(shù).(1)若f(x)＝x3－3x2，求此函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；12345678910111213141516設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－3x2的圖象的對(duì)稱中心為點(diǎn)P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b，則g(x)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)，故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.所以函數(shù)f(x)＝x3－3x2的圖象的對(duì)稱中心為(1，－2).12345678910111213141516(2)類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱的充要條件是函數(shù)y＝f(x)為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論.推論：函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a成軸對(duì)稱的充要條件是函數(shù)y＝f(x＋a)為偶函數(shù).1234567891011121314151615.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x＋2)，f(x－2)都為奇函數(shù)，則下面結(jié)論成立的是A.f(x)為奇函數(shù)

B.f(x)為偶函數(shù)C.f(x)＝f(x＋4) D.f(x＋6)為奇函數(shù)√12345678910111213141516因?yàn)閒(x＋2)，f(x－2)都為奇函數(shù)，即f(x)關(guān)于(－2,0)和(2,0)對(duì)稱，所以f(－x)＋f(4＋x)＝0，f(－x)＋f(－4＋x)＝0，所以f(－4＋x)＝f(4＋x)，所以f(x)＝f(8＋x)，因?yàn)閒(