橢圓及其標準方程課件-2024-2025學年高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

第三章

圓錐曲線的方程3.1

橢圓3.1.1

橢圓及其標準方程學

習

目

標核

心

素

養(yǎng)1.理解橢圓的定義及橢圓的標準方程.(重點)1.通過橢圓標準方程及橢圓焦點三角形的有關(guān)問題的學2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標準方程.(重點)習，培養(yǎng)學生的數(shù)學運算素養(yǎng)

.3.理解橢圓標準方程的推導過程，并能運用標準方程解決相關(guān)問題.(難點

)2.借助軌跡方程的學習，培養(yǎng)學生的邏輯推理及直觀想

象的核心素養(yǎng).情境引入·助學助教2008年9月25日21時10分，“神舟七號”載人飛船順利升空，實現(xiàn)多人飛行和出艙活動，標志著我國航天事業(yè)又上了一個新臺

階.請問，“神舟七號”飛船的運行軌道是什么?下面請你固定兩個圖釘，拉一根無彈性的細繩，兩端系在圖釘上(如圖),用鉛筆抵住細繩并上下左右轉(zhuǎn)動，看鉛筆留的軌跡是否是橢

圓?一

新知初探一1.

橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個定點F?

,F?的距離的和等于常數(shù)(大于F?F?

I)

的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離

叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距.數(shù)，其他條件不變，點的軌跡是什么?(2)橢圓定義中將“大于|F?F?

l”改為“小于

F|?F?

I”的常數(shù)，其他條件不變，動點的軌跡是什么?[提示](1)點的軌跡是線段F?F?.(2)當距離之和小于|F?F?|時，動點的軌跡不存在.思考：(1)橢圓定義中將“大于|F?F?

l”改為“等于|F?F?

l”的常焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程焦點,

c的關(guān)系2.

橢圓的標準方程

初試身手一1.

思考辨析(正確的打“

√

”,錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到兩定點距離之和等于定長的點的軌跡為橢圓.()(2)已知橢圓的焦點是

F?

,F?

,P是橢圓上的一動點，如果延長F?P到

Q,使得|PQ|=|PF?|,

則動點Q的軌跡為圓.(

)(3)方

,b>0)

表示的曲線是橢圓.(

)[提示]

(1)×(2)

√

(3)×2

.

設(shè)P

是橢圓則|PF?|+|PF?|等于(

)A.4C.8D

[由橢圓方程知a2=25,B.5D.10則a=5,|PF?|+|PF?|=2a=10.]上的點，若F?,F?

是橢圓的兩個焦點，3.

橢圓的兩個焦點坐標分別為

F?(0,—8),F?(0,8),且橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為20,則此橢圓的標準方程為()A.C

[由條件知，焦點在y軸上，且a=10,c=8,所以b2=a2—c2=36,所以橢圓的標準方程范圍是

(-6,一2)U(3,十一)[由a2>a+6>0得a>3或-6<a

<

一2.]4

.

方

表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a

的取值【

例

1】求滿足下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩個焦點的坐標分別為F?(一4,0),F?(4,0),

并且橢圓上一點P與兩焦點的距離的和等于10;(2)焦點坐標分別為(0,-2),(0,2),經(jīng)過點(4,3

√2);(3)經(jīng)過兩點(2,一

√2),類

型

1

求橢圓的標準方程[解](1)因為橢圓的焦點在x

軸上，且c=4,2a=10,

所以a=5,b=√a2-c2=√25-

16=3,

所以橢圓的標準方程(2)因為橢圓的焦點在y

軸上，所以可設(shè)它的標準方程1(a>b>0).

法一：由橢圓的定義知2a=

√

(4-0)2+(3√2+2)2+

√

(4-0)2+(3

√2-2)2=12,解得a=6.又c=2,所以b=√a2-c2=4√2.所以橢圓的標準方程法二：因為所求橢圓過點(4,3

√2),所又c2=a2—b2=4,

可解得a2=36,b2=32.所以橢圓的標準方程>0).由已知條件得(3)法一：若焦點在x

軸上，設(shè)橢圓的標準方程所以所求橢圓的標準方程解若焦點在y軸上，設(shè)橢圓的標準方程由已知條件得

解

則a2<b2,

與a>b>0矛盾，舍去.綜上可知，所求橢圓的標準方程別將兩點的坐標(2,-

√2),

代入橢圓的一般方程，得法二：設(shè)橢圓的一般方程為分所以所求橢圓的標準方程解用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的一般步驟(1)定位置：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點是在x

軸上，還是在y

軸上，還是兩個坐標軸都有可能.(2)設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方

b>0)

或整式形式mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).●

規(guī)律方法(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件建立關(guān)于

a,b,c(或m,n)

的方程組.(4)得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，寫出標準形式即為所求.規(guī)律方法準方程.[解]

法一：因為所求橢圓與橢圓的焦點相同，所以其焦點在x軸上，且c2=25—9=16.設(shè)所求橢圓的標準方程[跟進訓練]1.

求與橢圓有相同焦點，且過點(3,

√

15)的橢圓的標因為c2=16,且c2=a2—b2,故a2—b2=16又點(3,

√

15)在所求橢圓上，所!由①②得a2=36,b2=20,所以所求橢圓的標準方程①.②.法二：由題意可設(shè)所求橢圓的標準方程又橢圓過點(3,

√

15),將x=3,y=√

15代入方程1,解得λ=11或λ=—21(舍去).故所求橢圓的標準方程

類

型2

橢圓中的焦點三角形

【例2】

(1)已知橢[

的左焦點是F?,右焦點是F?,點P

在橢圓上，如果線段PF?的中點在y

軸上，那么|PF?|:|PF?

I=(

)A.3:5B.3:4C.5:3D.4:3(2)已知橢中，點P

是橢圓上一點，F(xiàn)?,F?是橢圓的焦點，且∠PF?F,=120°,則△PF?F,

的面積為

[思路探究]

(1)借助PF?

的中點在y軸上，且O為

F?F?的中點，所以PF?⊥x

軸，再用定義和勾股定理解決.(2)利用橢圓的定義和余弦定理，建立關(guān)于|PF?

|,|PF?|的方程，通過解方程求解.(1)C(2)

[(1)依題意知，線段

PF?的中點在y

軸上，又原點為F?F?

的中點，易得y軸//PF?,所以PF?⊥x軸，則有|PF?2一PF?l2=4c2=16,又根據(jù)橢圓定義知|PF?|+|PF?|=8,所以|PF?|-|PF?=2,從而|PF?|=5,|PF?|=3,即|PF?|:|PF?|=5:3.F?F?|=2c=2.在△PF?F?中，由余弦定理得

|PF?2=

|PF?2+|F?F?2—

2|PF?|F?F?|cos

∠PF?F?,即|PF?2=|PF?2+4+2|PF?|.

①由橢圓定義得|PF?|+|PF?

|=2a=4.

②由①②聯(lián)立可得

可知a=2,b=

√3,所以c=

√a2-b2=1,從而(2)由橢圓定義在焦點三角形中的應用技巧(1)橢圓的定義具有雙向作用，即若|MF?|+|MF?|=2則

點M

的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點M到兩焦點的距離之和必為2a.(2)涉及焦點三角形面積時，可把|PF?|,|PF?|看作一個整體，運用PF?2+|PF?l2=(PF?|+|PF?|)2—2|PF?||PF?|及余弦定理求出|PF?||PF?|,而無需單獨求解.

●規(guī)

律

方

法[

母題探究]1.本例(2)中，把“∠PF?F?=120°”改為“∠PF?F?=90°”,求△F?PF?

的面積

.[解]由橢圓方

知a=2,c=1,由橢圓定義，得+PF?|=2a=4,且F?F?|=2,在△PF?F?

中，∠PF?F?=90°

..1從而(4—+4,則

因此·F?F?

l故所求△PF?F?

的面積為

2.本例(2)中方程改為且“∠PF?F?=120°”改為“∠F?PF?=120°”,若△PF?F?

的面積為

√

3,求b的值.[解]

由∠F?PF?=120°,△PF?F?

的面積為

√

3,可得的定義可得

a.再利用余弦定理可得.根據(jù)橢圓)=1.[探究問題]1.用定義法求橢圓的方程應注意什么?[提示]用定義法求橢圓的方程，首先要利用平面幾何知識將題目條件轉(zhuǎn)化為到兩定點的距離之和為定值，然后判斷橢圓的中心是否在原

點、對稱軸是否為坐標軸，最后由定義確定橢圓的基本量a,b,c.

類

型

3與橢圓有關(guān)的軌跡問題上動點坐標為P(x?,y?).(2)求關(guān)系式：用點

M

的坐標表示出點

P

的坐標，即得關(guān)系式2.利用代入法求軌跡方程的步驟是什么?[提示]

(1)設(shè)點：設(shè)所求軌跡上動點坐標為M(x,y),已知曲線(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程得到所求動點軌跡的方程，并把所得方程化簡即可.則線段OP中點Q的軌跡方程為

(2)如圖所示，圓C:(x+1)2+y2=25及點A(1,0),Q

為圓上一點，【例3】

(1)已知P

是橢圓上一動點，O

為坐標原點，AQ的垂直平分線交CQ于點M,求

點M的軌跡方程.[思路探究]

(1)點Q

為

OP

的中點

→

點Q

與點P

的坐標關(guān)系

→代入法求解.(2)由垂直平分線的性質(zhì)和橢圓的定義進行求解.[設(shè)Q(x,y),P(x?,yo),由點Q是線段OP

的中點所!知xo=2x,yo=2y,即(2)[解]由垂直平分線的性質(zhì)可知|MQ|=|MA|,∴|CM|+|MA|=|CM|+|MQ|=|CQ|,∴|CM|+|MA|=5.∴點M的軌跡為橢圓，其中2a=5,焦點為C(—1,0),A(1,0),,c=1

,∴所求點M的軌跡方程··重事規(guī)律方法

1.與橢圓有關(guān)的軌跡方程的求法常用方法有：直接法、定義法和代入法，本例(1)所用方法為代入法，例(2)所用方法為定義法.2.對定義法求軌跡方程的認識如果能確定動點運動的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可以利用這種已知曲線的定義直接寫出其方程，這種求軌跡方程的方法稱為定義法.定義法在我們后續(xù)要學習的圓錐曲線的問題中被廣泛使用，是一種重要的解題方法.規(guī)律方法

3.代入法(相關(guān)點法)若所求軌跡上的動點

P(x,y)與另一個已知曲線

C:F(x,y)=0上的動點Q(x?,y?)存在著某種聯(lián)系，可以把點Q

的坐標用點P

的

坐標表示出來，然后代入已知曲線C的方程

F(x,y)=0,

化簡即得所

求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做代入法(又稱相關(guān)點法).2.已

知x

軸上一定點A(1,0),Q為橢圓上任一點，求線

段AQ

中點M

的軌跡方程.[跟進訓練][解]設(shè)中點M的坐標為(x,y),點

Q的坐標為(xo,yo).利用中點坐標公式，故所求AQ的中點M的軌跡方程將xo=2x—1,yo=2y

代入上式，上，∴∵Q(xo,yo)在橢事必備素養(yǎng)一1.平面內(nèi)到兩定點

F?,F?

的距離之和為常數(shù)，即|MF?|+|MF?|=2a,

當2a>|F?F?|

時，軌跡是橢圓；當2a=|F?F?|

時，軌跡是一條線段F?F?;當2a<|F?F?|

時，軌跡不存在.2.由橢圓的標準方程可以確定焦點坐標，或求參數(shù)的值(或取值范圍).(1)求橢圓的焦點坐標時，若方程不為標準方程，應先將其化為標準方程，確定

a2,b2的值和焦點所在的坐標軸，再利用關(guān)系式

a2

=b2+c2求出c,

即可寫出焦點坐標.(2)已知方程求參數(shù)的值(或取值范圍)時，需注意：對于方

當

m>n>0時，方程表示焦點在x

軸上的橢圓；當n>m>0時，方程表示焦點在y

軸上的橢圓.特別地，當

n=m>0時，方程

表示圓心在原點的圓.若已知方程不是標準方程，需先進行轉(zhuǎn)化.3.橢圓上的點P與兩焦點F?

,F?構(gòu)成的三角形叫做焦點三角形，在焦點三角形中，令∠F?PF?=θ,如圖

.(1)當點P

與B?

或B?

重合時，∠F?PF?最大.(2)焦點△PF?F?

的周長為2(a+c).(3)|F?F?I2=|PF?2+|PF?P2-2|PF?|PF?|cos

θ.4

,且當P

與B?

或B?

重合時，面積最大.4.求與橢圓有關(guān)的軌跡方程的方法一般有：定義法、直接法和代入法(相關(guān)點法).1

.

橢

上一點P

到一個焦點的距離為2,則點