專題02 實際問題與二元一次方程組14種常見題型解題技巧-新八年級《數(shù)學(xué)》暑假自學(xué)提升講義（人教版）解析版

第第頁專題02實際問題與二元一次方程組14種常見題型解題技巧題型一：二元一次方程組的錯解復(fù)原問題題型二：構(gòu)造二元一次方程組求解題型三：已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)題型四：方案問題題型五：行程問題題型六：工程問題題型七：數(shù)字問題題型八：年齡問題題型九：分配問題題型十：銷售、利潤問題題型十一：和差倍分問題題型十二：幾何問題題型十三：圖表信息題題型十四：古代問題一、方案問題解題技巧：往往有多種方案都是符合，注意在得出方案時，必須要符合實際（通常為正整數(shù)）在解決問題時，常常需合理安排．需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運用方程解答，得出最佳方案．要點詮釋：方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應(yīng)抓住重點,比較幾種方案得出最佳方案．二、行程問題解題技巧：行程問題中，最主要的等量關(guān)系式為：速度×?xí)r間=路程。相遇問題：甲的路程+乙的路程=總路程；追擊問題：快的路程－慢的路程=路程差流水問題：順流速度=船速+水速；逆流速度=船速－水速三、工程問題解題技巧：工程問題中的公式（等量關(guān)系式）有：工程量=工作效率×工作時間。工程問題，常是幾個工程隊共同完成，因此等量關(guān)系式為：總工程量=甲工程隊工程量+乙工程隊工程量。四、數(shù)字問題解題技巧：已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a．五、年齡問題解題技巧：年齡問題中，列寫等量關(guān)系式主要還是根據(jù)和差倍關(guān)系。年齡問題有一個特點需要注意：n年前（后），兩個人的年齡是同時減少（增加）n的。六、銷售、利潤問題解題技巧：利潤問題，常見的等量關(guān)系式有：利潤=售價－進價=進價×利潤率。七、和差倍分問題解題技巧：此類題型，需要弄清楚“倍數(shù)”“多”“少”等關(guān)系。設(shè)相互比較的兩個量分別為x、y，根據(jù)倍數(shù)關(guān)系列寫等量關(guān)系式和方程。增長量＝原有量×增長率

較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數(shù)×倍量.八、幾何問題解這類問題的基本關(guān)系是有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長、面積等計算公式；九、古代問題解這類題的一般程序為：問題情境—抽象出等量關(guān)系—列出二元一次方程組—解方程組—作答。通過對上述幾例的學(xué)習(xí)，我們不僅會用二元一次方程組解決實際問題，而且還對我國的古代數(shù)學(xué)有了進一步的了解，同時解決實際問題的意識和應(yīng)用能力得到了加強。題型歸納題型一：二元一次方程組的錯解復(fù)原問題【例1】．（23-24七年級下·重慶北碚·期末）涵涵和軒軒同解一個二元一次方程組，涵涵把方程①抄錯，求得解為，軒軒把方程②抄錯，求得的解為，求方程組的正確解．【答案】【分析】本題考查解二元一次方程組，掌握二元一次方程組的解法、加減消元法、代入消元法是正確解答的關(guān)鍵．由于涵涵把方程①抄錯，求得解滿足方程②，軒軒把方程②抄錯，求得的解滿足方程①，進而求出、的值，再將原方程組變?yōu)?，進而求出、的值得出正確的答案．【詳解】解：涵涵把方程①抄錯，求得解為，滿足方程②，即；又軒軒把方程②抄錯，求得的解為，滿足方程①，即；因此有，解得，所以原方程組可變?yōu)?，即，①②得，，解得，把代入①得，，解得，原方程組的正確的解為．【變式1-1】．（22-23七年級下·重慶萬州·期末）甲、乙兩人解同一個關(guān)于x，y的方程組，甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為，乙看錯了方程②中的b，得到方程組的解為．(1)求a與b的值；(2)求的值．【答案】(1)，(2)2【分析】（1）將代入方程組的第②個方程，將代入方程組的第①個方程，聯(lián)立即可求得a與b的值；（2）將a與b的值代入即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，將代入②可得：，解得：；將代入①得：，即．（2）解：，，，．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的解和代數(shù)式求值，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．【變式1-2】．（22-23七年級下·四川·期末）在解方程組時，由于粗心，甲看錯了方程中的，而得到的解為；乙看錯了方程中的，而得到的解為．(1)求的值；(2)求原方程組的正確解．【答案】(1)9(2)【分析】（1）將，代入，求出的值，將，代入，求出的值，代入代數(shù)式求解即可；（2）將的值代入方程組，解方程組即可．【詳解】（1）解：由題意，得：，∴，∴；（2）∵，∴方程組為：，，得：，解得：；把代入②，得：，解得：；∴方程組的解為：．【點睛】本題考查方程組錯解復(fù)原問題．解題的關(guān)鍵是掌握錯解滿足沒有看錯的方程．【變式1-3】．（23-24七年級下·山東日照·期中）在解方程組時，由于粗心，甲看錯了方程組中的，得解為；乙看錯了方程組中的b，得解為．(1)甲把a錯看成了什么？乙把b錯看成了什么？(2)求出原方程組的正確解．【答案】(1)甲把錯看成了1；乙把錯看成了1(2)【分析】此題考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組等知識．（1）分別將兩組解代入方程組，求出正確的與的值，以及錯誤與的值即可；（2）將正確的與的值代入方程組，確定出方程組，求出解即可．【詳解】（1）解：將，代入方程組得，解得：，將，代入方程組得，解得：，∴甲把錯看成了1；乙把錯看成了1；（2）解：根據(jù)（1）得正確的，，則方程組為，解得：．題型二：構(gòu)造二元一次方程組求解【例2】．在平面直角坐標系中，對于與原點不重合的兩個點和，關(guān)于的方程稱為點P的“映射方程”．若是方程的解，則稱點P“映射”了點Q，也可以說點Q被點P“映射”．例如，點的“映射方程”是，且是該方程的解，則點“映射”了點，也可以說點被點“映射”．(1)請寫出點的“映射方程”：；(2)若點同時被點和點“映射”，請求出．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題干定義，得；（2）由題干定義，可構(gòu)建方程組，求解方程組即得答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得；（2）解：由題意可列方程組：，解得．【點睛】本題考查對新定義的理解，二元一次方程組的應(yīng)用；根據(jù)新定義構(gòu)建方程組是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】．定義：在平面直角坐標系中，若點與的坐標滿足，（k為常數(shù)，），則稱點N是點M的“k系友好點”．例如，點是的“1系友好點”．(1)點的“2系友好點”的坐標是，若一個點的“系友好點”的坐標是，則這個點的坐標是；(2)已知點在第二象限，且滿足，點A是點的“系友好點”，求的值；(3)點在x軸正半軸上，“k系友好點”為點，若無論t為何值，的值恒為0，求k的值．【答案】(1)；(2)(3)k的值為1【分析】（1）根據(jù)新定義，設(shè)點的“2系友好點”的坐標是，根據(jù)題意可得，，即可得到點的“2系友好點”的坐標是；設(shè)點的“系友好點”的坐標是，根據(jù)新定義得到，解得，即可得到這個點的坐標是；（2）根據(jù)點A是點的“系友好點”得到，由得到，則，由點在第二象限得到，即可得到；（3）設(shè)點的坐標是，根據(jù)“k系友好點”為點得到，則點的坐標是，由點在x軸正半軸上得到，，分和兩種情況進行求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)點的“2系友好點”的坐標是，根據(jù)題意可得，，∴點的“2系友好點”的坐標是；設(shè)點的“系友好點”的坐標是，則，解得，∴這個點的坐標是；故答案為：；（2）∵點A是點的“系友好點”，∴，∵，∴，∴，∴或，∵點在第二象限，∴，∴；（3）設(shè)點的坐標是，∵點在x軸正半軸上，“k系友好點”為點，∴，∴點的坐標是，∵點在x軸正半軸上，∴，，當時，，對任意t都成立，∴，即，解得或（舍去），當時，，對任意t都成立，∴，此方程無解，綜上可知，即k的值為1．【點睛】此題考查了點的坐標，涉及新定義，二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解“k系友好點”的定義．【變式2-2】．對于一個三位正整數(shù)，如果滿足：它的百位數(shù)字、十位數(shù)字之和與個位數(shù)字的差等于7，那稱這個數(shù)為“七巧數(shù)”．例如：，∵，∴452是“七巧數(shù)”；，∵，∴724不是“七巧數(shù)”.(1)判斷766，285是否為“七巧數(shù)”？請說明理由．(2)若“七巧數(shù)”滿足：所有數(shù)位的數(shù)字之和是9的倍數(shù)，且它的百位數(shù)字大于十位數(shù)字，求的值．【答案】(1)766是“七巧數(shù)”，285不是“七巧數(shù)”，理由見解析；(2)m的值為801或711或621或531【分析】（1）根據(jù)定義判斷即可；（2）利用定義和已知列方程，分情況討論即可．【詳解】（1）∵，∴766是“七巧數(shù)”，285不是“七巧數(shù)”；（2）設(shè)“七巧數(shù)”m的百位、十位、個位上的數(shù)分別為a、b、c,根據(jù)題意得：，（n為正整數(shù)）且①＋②得：，∴當時，，，∴，或，或，或，，當，3，4……得不到符合題意的m，∴m的值為801或711或621或531．【點睛】本題考查了實數(shù)與整式的新定義，以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意掌握新定義，利用新定義解決問題．【變式2-3】．定義：以二元一次方程的解為坐標的點的全體叫做這個方程的圖象，這些點叫做該圖象的關(guān)聯(lián)點．(1)在①；②；③三點中，是方程圖象的關(guān)聯(lián)點有_______(填序號)；(2)已知兩點是方程圖象的關(guān)聯(lián)點，兩點是方程圖象的關(guān)聯(lián)點．若點在軸上，點在軸上，求四邊形的面積；(3)若三點是二元一次方程圖象的關(guān)聯(lián)點，探究與的大?。敬鸢浮?1)①③(2)(3)【分析】（1）將①；②；③三點，分別代入方程，利用圖象的關(guān)聯(lián)點定義即可解決問題；（2）根據(jù)圖象的關(guān)聯(lián)點定義，解方程組求出點，，三點坐標，進而可以利用割補法求四邊形的面積；（3）將，，三點分別代入二元一次方程即可求得與的大小關(guān)系．【詳解】（1）解：將①；②；③三點，分別代入方程，①，②，③，在①；②；③三點中，是方程圖象的關(guān)聯(lián)點有①③，故答案為：①③；（2）∵，兩點是方程圖象的關(guān)聯(lián)點，，兩點是方程圖象的關(guān)聯(lián)點，，解得，，點在軸上，當時，，，，點在軸上，當時，，，，，四邊形的面積；

（3），，三點是二元一次方程圖象的關(guān)聯(lián)點，將，代入得整理，得①，將代入得②，①②得，解得將代入得即解得，將代入得即解得，．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，二元一次方程組的解及其直線方程的圖象，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用圖象法解決問題．題型三：已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)【例3】．（22-23七年級下·河南新鄉(xiāng)·期末）延時課上，小紅和小明在討論老師出示的一道二元一次方程組的問題：已知關(guān)于x，y的方程組的解滿足為非負數(shù)．求m的取值范圍．

小紅：用含有m的式子分別表示x，y，再讓即可．小明：哈哈，直接①－②可以簡便地求出m的取值范圍．請結(jié)合他們的對話，解答下列問題：(1)按照小紅的方法，______，______；（用含m的代數(shù)式表示）(2)小明的方法體現(xiàn)了整體代入的思想，請按照小明的思路求出m的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)題意列方程求解即可；（2）利用整體代入的方法求解即可．【詳解】（1）解：∵為非負數(shù)．∴，①+②得，即，將代入②得，解得，故答案為：；；（2）解：①-②得，即，∴，∵，∴，解得．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解以及解二元一次方程組，掌握消元以及整體代入的思想方法是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-1】．（22-23七年級下·江蘇·單元測試）閱讀理解：在數(shù)學(xué)課上，王老師遇到下面問題：已知x，y滿足方程組，求的值？小芳：把方程組解出來，再求的值．小強：把兩個方程直接相加得方程兩邊同時除以4解得．王老師對兩位同學(xué)的講解進行點評：指出“小強”同學(xué)的思路體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“整體思想”的運用．請你參考小芳或小強同學(xué)的做法，解決下面的問題．(1)已知關(guān)于x、y的方程組的解滿足，求a的值．(2)運用“整體思想”解答：若方程組的解是，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用，可求出，結(jié)合，可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可求出的值；（2）將代入原方程組，可求出，再將其代入中，即可求出結(jié)論．【詳解】（1）解：得，，又，，解得：，的值為；（2）解：將代入原方程組得：，整理得：，．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解、整式的加減以及解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）利用整體思想，找出；（2）將方程組的解代入原方程組，找出．【變式3-2】．閱讀下列材料，解答下面的問題：我們知道方程有無數(shù)個解，但在實際問題中往往只需求出其正整數(shù)解．例：由，得：（、為正整數(shù)）．要使為正整數(shù)，則為正整數(shù)，可知：為3的倍數(shù)，從而，代入．所以的正整數(shù)解為．問題：（1）請你直接寫出方程的正整數(shù)解___________．（2）若為自然數(shù)，則求出滿足條件的正整數(shù)的值．（3）關(guān)于，的二元一次方程組的解是正整數(shù)，求整數(shù)的值．【答案】（1）；（2）4，5，6，9；（3）【分析】（1）根據(jù)二元一次方程的解的定義求出即可；（2）根據(jù)題意得出或3或2或1，求出即可；（3）先求出y的值，即可求出k的值．【詳解】解：（1）由方程得，（、為正整數(shù)）．要使為正整數(shù)，則為正整數(shù)，可知：為2的倍數(shù)，從而，代入．所以的正整數(shù)解為，故答案為：；（2）若為自然數(shù)，則的值為6，3，2，1，則滿足條件的正整數(shù)的值有9，5，6，4；（3），：，解得：，∵，是正整數(shù)，是整數(shù)，∴．．但時，不是正整數(shù)，故．【點睛】本題考查了二元一次方程的解，二元一次方程的解的應(yīng)用，能靈活運用知識點求出特殊解釋解此題的關(guān)鍵．【變式3-3】．（22-23七年級下·湖南長沙·期末）閱讀材料并回答下列問題：當m，n都是實數(shù)，且滿足，就稱點為“郡麓點”．例如：點，令，得，，所以不是“郡麓點”；點，令，得，所以是“郡麓點”．(1)請判斷點點，是否為“郡麓點”：______；(2)若以關(guān)于x，y的方程組的解為坐標的點是“郡麓點”，求的值；(3)若以關(guān)于x，y的方程組的解為坐標的點是“郡麓點”，求正整數(shù)a，b的值．【答案】(1)不是“郡麓點”，是“郡麓點”；(2)10(3)或或或．．【分析】（1）根據(jù)“郡麓點”的定義分別判斷即可；（2）先關(guān)于x，y的方程組的解，直接利用“郡麓點”的定義得出關(guān)于方程，解方程求出的值進而得出答案．（3）先關(guān)于x，y的方程組的解，直接利用“郡麓點”的定義得出關(guān)于、的二元一次方程求出正整數(shù)解即可．【詳解】（1）解：點，令，得，，不是“郡麓點”，點，令，得，，是“郡麓點”；故答案為：B．（2）解：方程組的解為，點，是“郡麓點”，，，，，解得的值為10．（3）解：方程組的解為，點是“郡麓點”，，，，，解得，a，b為正整數(shù)，或或或．【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，二元一次方程組的解、二元一次方程的正整數(shù)解求法，點的坐標知識，同時考查了閱讀理解能力及遷移運用能力．掌握二元一次方程的正整數(shù)解求法是解（3）的關(guān)鍵．題型四：方案問題【例4】（2022春?玄武區(qū)期末）某汽車租賃公司有、兩種型號的汽車．如果租賃型車5輛和型車7輛，一天共花費3900元：如果租賃型車8輛和型車14輛，一天共花費6800元．（1）求租賃、兩種型號的汽車各一輛，一天的花費一共需多少元？（2）某單位在該公司租車一天的花費為2500元，請直接寫出所有可能的租車方案．【分析】（1）根據(jù)題意，找出等量關(guān)系式，列方程組，題目中的等量關(guān)系為：①租賃型車5輛的費用租賃型車7輛的費用；②租賃型車8輛的費用租賃型車14輛的費用．（2）根據(jù)、兩種車輛每天的的租賃費用及每種車的租賃數(shù)量列二元一次方程，再根據(jù)實際意義確定方程的解．【解答】解：（1）租賃一輛種型號的汽車一天需要元，租賃一輛種型號的汽車一天需要元．由題意得：．解得：．．答：租賃、兩種型號的汽車各一輛，一天的花費共需700元．（2）設(shè)租賃型號汽車輛，型號汽車輛．由題意，得．．、均為正整數(shù)，，即，．解得．又是5的倍數(shù)，，5，10．把的值分別代入得，，3，1．租車方案為：租賃種型號的汽車5輛，種型號的汽車0輛；租賃種型號的汽車3輛，種型號的汽車5輛；租賃種型號的汽車1輛，種型號的汽車10輛．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用及不定方程的實際應(yīng)用，在根據(jù)不定方程確定其解時，要注意解要符合實際意義．【變式4-1】．（2022春?玄武區(qū)期末）某商家線上銷售甲、乙兩種紀念品．為了吸引顧客，該商家推出兩種促銷方案和，且每天只能選擇其中一種方案進行銷售．方案、分別對應(yīng)的甲、乙兩種紀念品的單件利潤（單位：元）如表：甲紀念品單件利潤乙紀念品單件利潤方案1220方案1816該商家每天限量銷售甲、乙兩種紀念品共100件，且當天全部售完．（1）某天采用方案銷售，當天銷售甲、乙兩種紀念品所獲得的利潤共1520元，求甲、乙兩種紀念品當天分別銷售多少件？（2）某天銷售甲、乙兩種紀念品，要使采用方案當天所獲得的利潤不低于采用方案當天所獲得的利潤，求甲種紀念品當天的銷量至少是多少件？（3）經(jīng)市場調(diào)研，甲種紀念品熱銷．為了提高乙種紀念品的銷量，要保證乙種紀念品每天的銷量不低于60件，且每天銷售甲、乙兩種紀念品所獲得的利潤不少于1760元，則甲種紀念品每天的銷量最多是30件．【分析】（1）按照題目中等量關(guān)系列方程組解答，題目中的等量關(guān)系為：①甲種紀念品銷售件數(shù)乙種紀念品的銷售件數(shù)，②甲種紀念品的銷售利潤乙種紀念品的銷售利潤．（2）根據(jù)不等關(guān)系列不等式解答，題目中的不等關(guān)系為：方案當天所獲利潤方案當天所獲利潤．（3）分別按照方案，方案兩種方案進行計算，根據(jù)題意列不等式組解答．【解答】解：（1）設(shè)甲、乙兩種紀念品當天的銷售量分別是件，件．由題意得：解得答：甲、乙兩種紀念品當天的銷售量分別是60件、40件．（2）設(shè)甲種紀念品當天的銷量是件，則乙種紀念品當天的銷量是件．由題意得，解得．答：甲種紀念品當天的銷量至少是40件．（3）設(shè)甲種紀念品每天銷量為件，則乙種紀念品每天的銷量是件，①按照方案銷售：由題意，得．解這個不等式組，得．甲種紀念品每天銷量最多30件．②按照方案銷售：由題意，得．解這個不等式組，得無解．綜上所述，符合要求的甲種紀念品每天的銷量最多是30件．故答案為：30．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式（組的應(yīng)用，弄清題意，找出（不等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】．（2023春?淮安區(qū)期末）開學(xué)初，衢州市某中學(xué)七（1）班學(xué)生去商場購買了品牌足球1個、品牌足球2個，共花費210元，七（2）班學(xué)生購買了品牌足球3個、品牌足球1個，共花費230元．（1）求購買一個種品牌、一個種品牌的足球各需多少元？（2）為響應(yīng)習(xí)總書記“足球進校園”的號召，學(xué)校使用專項經(jīng)費1000元全部購買、兩種品牌的足球供學(xué)生使用，那么學(xué)校有多少種購買足球的方案？請你設(shè)計出購買足球的方案．【分析】（1）設(shè)購買一個種品牌的足球需要元，一個種品牌的足球需要元，根據(jù)“購買品牌足球1個、品牌足球2個，共花費210元；購買品牌足球3個、品牌足球1個，共花費230元”，得出關(guān)于、的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買品牌足球個，購買品牌足球個，根據(jù)總價等于單價乘以數(shù)量，即可得出關(guān)于、的二元一次方程，再結(jié)合、均為非負整數(shù)，即可得出各購買方案．【解答】解：（1）設(shè)購買一個種品牌的足球需要元，一個種品牌的足球需要元，依題意得：，解得：．購買一個種品牌的足球需要50元，一個種品牌的足球需要80元．（2）設(shè)購買品牌足球個，購買品牌足球個，根據(jù)題意得：，，、均為非負整數(shù)，，，，學(xué)校有3種購買足球的方案，方案一：購買品牌足球20個、品牌足球0個；方案二：購買品牌足球12個、品牌足球5個；方案三：購買品牌足球4個、品牌足球10個．【點評】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．【變式4-3】．（2023春?海門市期末）某電腦公司有型、型、型三種型號的電腦，其中型每臺6000元，型每臺4000元、型每臺3000元．（1）甲中學(xué)現(xiàn)有資金210000元，計劃全部用于購進這家電腦公司的型和型電腦共45臺．這兩種型號的電腦各購進多少臺？（2）乙中學(xué)現(xiàn)有資金190000元，計劃全部用于購進這家電腦公司的三種型號電腦共60臺，請你設(shè)計出所有不同的購買方案，并說明理由．【分析】（1）先設(shè)購進型電腦臺，購進型電腦臺．，再依據(jù)等量關(guān)系“購進型電腦的臺數(shù)購進型電腦的臺數(shù)”，“購進型電腦的錢數(shù)購進型電腦的錢數(shù)”列出方程組求解即可；（2）先設(shè)購進型電腦臺，購進型電腦臺，購進型電腦臺，然后列出方程組，消去未知數(shù)得到，然后根據(jù)列出不等式組，由此解出的非負整數(shù)解即可得出購買方案．【解答】解：（1）設(shè)購進型電腦臺，購進型電腦臺．依題意得：，解得：，答：購進型電腦15臺，購進型電腦30臺．（2）有四種不同的購買方案，理由如下：設(shè)購進型電腦臺，購進型電腦臺，購進型電腦臺．依題意得：，由①得：③，將③代入②整理得：，，，，解得：，又非負為整數(shù)，，1，2，3，當時，，，當時，，，當時，，，當時，，，方案一：購進型電腦0臺，購進型電腦10臺，購進型電腦50臺．方案二：購進型電腦1臺，購進型電腦7臺，購進型電腦52臺．方案三：購進型電腦2臺，購進型電腦4臺，購進型電腦54臺．方案四：購進型電腦3臺，購進型電腦1臺，購進型電腦56臺．題型五：行程問題【例5】．（2023秋?法庫縣期末）甲、乙兩人從相距的兩地相向而行，如果甲比乙先走，那么他們在乙出發(fā)后相遇；如果乙比甲先走，那么他們在甲出發(fā)后相遇，甲、乙兩人的速度分別是多少？【分析】設(shè)甲的速度為，乙的速度為，根據(jù)“如果甲比乙先走，那么他們在乙出發(fā)后相遇；如果乙比甲先走，那么他們在甲出發(fā)后相遇”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出甲、乙兩人的速度．【解答】解：設(shè)甲的速度為，乙的速度為，依題意得：，解得：．答：甲的速度為，乙的速度為．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】．（2022春?江北區(qū)校級期末）已知，兩地相距120千米，甲、乙兩車分別從，兩地同時出發(fā)，相向而行，其終點分別為，兩地．兩車均先以千米每小時的速度行駛，再以千米每小時的速度行駛，且甲車以兩種速度行駛的路程相等，乙車以兩種速度行駛的時間相等．（1）若，且甲車行駛的總時間為小時，求和的值；（2）若，且乙車行駛的總時間為小時．①求和的值；②求兩車相遇時，離地多少千米．【分析】（1）由甲車以兩種速度行駛的路程相等且時間為小時及建立方程組求出其解即可；（2）①由乙車行駛的時間相等就可以得出兩次的時間分別為小時，由兩段路程之和等于120及建立方程組求出其解即可求出、的值，②當行駛前小時，甲乙兩車均以60千米每小時的速度行駛．兩車分別行駛48千米，即一共行駛了96千米．當行駛到1小時時，甲車以60千米每小時行駛，乙車以90千米每小時行駛．在這段時間甲車可以行駛12千米，乙車可以行駛18千米．共行駛，說明兩車相遇是在這個時間段．則相遇時，兩車以這樣的速度已經(jīng)行駛了：小時．1小時以后兩車均以90千米每小時行駛，直到行駛至目的地．由條件就可以求出結(jié)論．綜上所述，兩車相遇時，乙離地距離，即為甲行駛的距離．【解答】解：（1）由題意，得，解得：，答：的值為80千米時，的值為120千米時．（2）①由題意，得，解得：．，；②由題意，得相遇時甲行駛的時間為：小時；乙離地距離，即為甲行駛的距離為：千米答：兩車相遇時，離地57.6千米．【點評】本題考查了行程問題的數(shù)量關(guān)系的運用，列二元一次方程解實際問題的運用，解答時分別運用路程相等和時間相等建立方程組是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-2】．（2022春?海州區(qū)期末）某隧道長，現(xiàn)有一列火車從隧道通過，測得該火車從開始進隧道到完全出隧道共用了70秒，整列火車完全在隧道里的時間是50秒，求火車的速度和長度．【分析】設(shè)火車的車身長為米，速度是，根據(jù)行程問題的數(shù)量關(guān)系路程速度時間建立方程組求出其解即可．【解答】解：設(shè)火車的車身長為米，速度是，根據(jù)題意可得：，解得，答：火車的車身長為200米，速度是．【點評】本題考查了列二元一次方程組解實際問題的運用，關(guān)鍵是正確理解題意，掌握行程問題的數(shù)量關(guān)系路程速度時間．題型六：工程問題【例6】．（2023春?宛城區(qū)期末）下列是學(xué)習(xí)方程應(yīng)用時，老師板書和兩名同學(xué)所列的方程．古代問題：某人工作一年報酬是一件衣服和10枚銀幣，但他工作滿8個月后就不干了，結(jié)賬時，給他一件衣服和2枚銀幣，求這件衣服的價值是多少枚銀幣？每月報酬是多少枚銀幣？南南：陽陽：，根據(jù)以上信息，解答下列問題．（1）以上兩個方程（組中的意義是；（2）陽陽的方程所用等量關(guān)系是．．每月所得的報酬相等．8個月所得的報酬相等（3）從以上兩個方程（組中選一個，并直接回答老師提出的問題．【分析】（1）根據(jù)南南所列方程組及明明所列方程的等量關(guān)系，可得出的意義均為衣服的價值，進而可得出以上兩個方程（組中意義；（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合，即可得出結(jié)論；（3）分別選擇南南及陽陽的方法，解二元一次方程組或一元一次方程，即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）南南所列方程組中的意義為衣服的價值，陽陽所列方程中的意義為衣服的價值，以上兩個方程（組中意義為：衣服的價值．故答案為：衣服的價值；（2）的意義為衣服的價值，為8個月所得的報酬相等．故答案為：；（3）選擇南南的方法，解得：；選擇陽陽的方法，解得：，．答：這件衣服值14枚銀幣，每月報酬為2銀幣．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)所列方程組及方程，找出的意義；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，找出的含義；（3）通過解方程或方程組，找出這件衣服的價值和每月報酬．【變式6-1】．（2023春?襄汾縣期末）政府計劃為某村修建一條長為1000米的公路，由甲、乙兩個工程隊負責施工．已知若甲工程隊獨立施工5天后，乙工程隊再加入，兩工程隊聯(lián)合施工8天后，還剩30米的工程．甲工程隊工作2天比乙工程隊工作3天少施工20米．（1）求甲、乙兩工程隊每天各施工多少米？（2）現(xiàn)計劃由兩工程隊聯(lián)合施工完成該工程，兩工程隊聯(lián)合施工4天后，因甲隊有事，剩下的部分由乙工程隊獨立完成，若要在12天內(nèi)完成該項工程，則乙工程隊每天至少應(yīng)再多施工多少米？【分析】（1）設(shè)甲工程隊每天施工米，乙工程隊每天施工米，根據(jù)“甲工程隊獨立施工5天后，乙工程隊再加入，兩工程隊聯(lián)合施工8天后，還剩30米的工程；甲工程隊工作2天比乙工程隊工作3天少施工20米”，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)乙工程隊每天應(yīng)再多施工米，根據(jù)要在12天內(nèi)完成該項工程，可列出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)甲工程隊每天施工米，乙工程隊每天施工米，根據(jù)題意得：，解得：．答：甲工程隊每天施工50米，乙工程隊每天施工40米；（2）設(shè)乙工程隊每天應(yīng)再多施工米，根據(jù)題意得：，解得：，的最小值為40．答：乙工程隊每天至少應(yīng)再多施工40米．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【變式6-2】．（2023春?梁平區(qū)期末）某玩具廠接到一筆1500盒積木的訂單，需要在15天內(nèi)完成，已知該種積木每盒里都有4個正方體積木和4個半圓形積木．玩具廠現(xiàn)在有100名工人，每人每天能加工9個正方體積木或6個半圓形積木，但每人一天只能加工一種積木，玩具廠每天加工的正方體積木和半圓形積木數(shù)量正好全部配套（一樣多）．（1）玩具廠每天能生產(chǎn)多少盒積木？（2）為了能在規(guī)定期限內(nèi)完成訂單，玩具廠決定從其他車間調(diào)來名工人幫忙，新調(diào)來的工人由于工作不熟練，只會加工正方體積木，且每人每天只能加工6個，為了確保每天加工的兩種積木數(shù)量正好全部配套，重新對100名熟練工進行分工．若要在規(guī)定時間內(nèi)完成訂單，求的最小值．【分析】（1）每天安排名工人生產(chǎn)半圓形積木，根據(jù)生產(chǎn)的積木每人每天生產(chǎn)的數(shù)量人數(shù)，結(jié)合每盒產(chǎn)品有4個正方體積木和4個半圓形積木，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之可得出的值，即可求出結(jié)論；（2）可設(shè)原100名熟練工中負責生產(chǎn)正方體積木的人數(shù)為人，根據(jù)題意可列出相應(yīng)的方程，解方程即可．【解答】解：（1）設(shè)每天安排名工人生產(chǎn)正方體積木，則每天安排名工人生產(chǎn)半圓形積木，依題意得：，解得：，則玩具廠每天能生產(chǎn)的積木數(shù)為：（盒，答：玩具廠每天能生產(chǎn)90盒積木；（2）設(shè)原100名熟練工中負責生產(chǎn)正方體積木的人數(shù)為人，依題意得：，解得：，此時該廠每天生產(chǎn)個正方體積木，故此時該廠每天生產(chǎn)盒積木，由題意可得：，解得：，確保每天加工的兩種積木數(shù)量正好全部配套，必須為整數(shù)，故是5的倍數(shù)，不小于且是5的倍數(shù)的最小整數(shù)值為20，最小值為20．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程及二元一次方程組．【變式6-3】．（2023春?新邵縣期末）一家商店進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付給兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付給兩組費用共3480元，問：（1）甲、乙兩組單獨工作一天，商店應(yīng)各付多少元？（2）已知甲組單獨完成需要12天，乙組單獨完成需要24天，若裝修完后，商店每天可盈利200元，你認為如何安排施工有利于商店經(jīng)營？說說你的理由．（提示：三種施工方式：方式一甲單獨完成；方式二乙組單獨完成；方式三甲、乙兩個裝修組同時施工．【分析】（1）設(shè)甲組單獨工作一天需要元，乙組單獨工作一天商店需付元，根據(jù)兩組合作8天需付3520元，甲組單獨做6天，乙組單獨做12天，需付費用共3480元，據(jù)此列方程組求解；（2）本題可將每種施工方法的施工費加上施工期間商店損失的費用，然后將不同方案計算出的結(jié)果進行比較，損失最少的方案就是最有利商店的方案．【解答】解：（1）設(shè)甲組單獨工作一天需要元，乙組單獨工作一天商店需付元，由題意得，，解得：．答：甲組單獨工作一天需要300元，乙組單獨工作一天商店需付140元；（2）單獨請甲組，需費用元，少盈利元，相當于損失6000元；單獨請乙組，需費用元，少盈利元，相當于損失8160元；故單獨請甲組更有利于商店．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程組求解．題型七：數(shù)字問題【例7】．（22-23七年級下·江蘇宿遷·期末）若一個四位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和恰好是去掉個位與十位數(shù)字后得到的兩位數(shù)，則稱這個四位數(shù)為“勾股和數(shù)”．例如：，，是“勾股和數(shù)”；又如：，，，不是“勾股和數(shù)”．(1)判斷、是否是“勾股和數(shù)”，并說明理由；(2)請你寫出一個此題中沒有出現(xiàn)過的“勾股和數(shù)”；(3)一個“勾股和數(shù)”的千位數(shù)字為，百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，記，．當是整數(shù)，且時，求出所有滿足條件的．【答案】(1)不是“勾股和數(shù)”，是“勾股和數(shù)”；理由見解析(2)、、等（答案不唯一）(3)或【分析】（1）根據(jù)“勾股和數(shù)”的定義直接判斷即可；（2）根據(jù)定義寫出符合題意的“勾股和數(shù)”即可；（3）由題意可知，且，由是整數(shù)可得，再由的值即可得出的值．【詳解】（1）解：不是“勾股和數(shù)”，是“勾股和數(shù)”；理由：，，不是“勾股和數(shù)”；，是“勾股和數(shù)”；（2）如：、、，，，此題中沒有出現(xiàn)過的“勾股和數(shù)”有、、（答案不唯一）（3）為“勾股和數(shù)”，，，為整數(shù)，，，，，，，解得，此時，，解得，此時；綜上，的值為或．【點睛】本題以新定義為背景考查了數(shù)字規(guī)律的探索，二元一次方程組的應(yīng)用，仔細審題理解“勾股和數(shù)”的定義并運用是解答本題的關(guān)鍵．【變式7-1】．（2023春?安順期末）營養(yǎng)對促進中學(xué)生機體健康具有重要意義，現(xiàn)對一份學(xué)生快餐進行檢測，得到以下信息：①快餐總質(zhì)量為300克．②快餐的成分：碳水化合物、脂肪、蛋白質(zhì)、礦物質(zhì)．③蛋白質(zhì)和脂肪共占；礦物質(zhì)的含量是蛋白質(zhì)含量的；蛋白質(zhì)和碳水化合物含量共占．根據(jù)上述信息回答下列的問題：（1）這份快餐中蛋白質(zhì)和脂肪的質(zhì)量共克；（2）分別求出這份快餐中脂肪、礦物質(zhì)的質(zhì)量．（3）學(xué)生每餐膳食中主要營養(yǎng)成分“理想比”為：碳水化合物：脂肪：蛋白質(zhì)，同時三者含量為總質(zhì)量的．試判斷這份快餐中此三種成分所占百分比是否符合“理想比”？如果符合，直接寫出這份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白質(zhì)、礦物質(zhì)的質(zhì)量比；如果不符合，求出符合“理想比”的四種成分中脂肪、礦物質(zhì)的質(zhì)量（總質(zhì)量仍為300克）．【分析】（1）根據(jù)質(zhì)量總質(zhì)量百分比，這份快餐總質(zhì)量為，蛋白質(zhì)和脂肪共占，根據(jù)公式即可計算出這份快餐中蛋白質(zhì)和脂肪的質(zhì)量．（2）（方法一）根據(jù)礦物質(zhì)的含量是蛋白質(zhì)質(zhì)量，設(shè)出礦物質(zhì)的質(zhì)量和脂肪的質(zhì)量，表示出蛋白質(zhì)的質(zhì)量，然后根據(jù)題意，列出二元一次方程組，通過解方程求出值．（方法二）可以設(shè)出礦物質(zhì)的質(zhì)量、蛋白質(zhì)的質(zhì)量和脂肪的質(zhì)量3個未知數(shù)，根據(jù)題意，列出三元一次方程組，解方程求出值．（3）通過計算這份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白質(zhì)的質(zhì)量比，判斷是否符合理想比；根據(jù)碳水化合物、脂肪、蛋白質(zhì)的“理想比”，設(shè)出這份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白質(zhì)的質(zhì)量，然后根據(jù)這三種成分的總質(zhì)量占300克總質(zhì)量的列出方程，從而計算出三種成分的質(zhì)量．【解答】解：（1）這份快餐中蛋白質(zhì)和脂肪的質(zhì)量（克．故答案為：150．（2）（方法一）設(shè)礦物質(zhì)的質(zhì)量為克，脂肪的質(zhì)量為克，則蛋白質(zhì)的質(zhì)量為克，根據(jù)題意，得，解得．答：這份快餐中脂肪的質(zhì)量為60克，礦物質(zhì)的質(zhì)量為30克．（方法二）設(shè)礦物質(zhì)單元質(zhì)量為克，蛋白質(zhì)的質(zhì)量為克，脂肪的質(zhì)量為克，碳水化合物的質(zhì)量為克，根據(jù)題意，得，解得．答：這份快餐中脂肪的質(zhì)量為60克，礦物質(zhì)的質(zhì)量為30克．（3）這份快餐的碳水化合物、脂肪、蛋白質(zhì)的質(zhì)量分別為120克、60克、90克，這三種成分的質(zhì)量比為，不符合“理想比”．設(shè)符合“理想比”的碳水化合物的質(zhì)量為克，脂肪的質(zhì)量為克，蛋白質(zhì)的質(zhì)量為克．根據(jù)題意，得，解得，礦物質(zhì)的質(zhì)量：（克．答：符合“理想比”的四種成分中脂肪的質(zhì)量為15克，礦物質(zhì)的質(zhì)量為30克．【點評】本題考查列二元一次方程組解決實際問題，其中通過設(shè)未知數(shù)，找到等量關(guān)系，列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】．（2023春?懷柔區(qū)期末）列二元一次方程組解應(yīng)用題．某校初一年級舉行“書香潤心靈，閱讀促成長”活動．學(xué)校要求各班班長根據(jù)學(xué)生閱讀需求統(tǒng)計將要購買的書籍類型和書籍數(shù)量，如表是初一（1）班和初一（2）班統(tǒng)計后的購書情況．文學(xué)類（本人）科普類（本人）初一（1）班32初一（2）班41共計（本258102（1）請你根據(jù)表格信息，求初一（1）班和初一（2）班各有多少人？（2）若學(xué)校準備為初一（1）班和初一（2）班購買文學(xué)類書籍和科普類書籍共300本，且文學(xué)類書籍不少于科普類書籍的2倍，請問最多能購買多少本科普類書籍？【分析】（1）設(shè)初一（1）班有人，初一（2）班有人，根據(jù)表格數(shù)據(jù)列出方程組，求解即可；（2）設(shè)購買本科普類書籍，則購買本文學(xué)類書籍，由“文學(xué)類書籍不少于科普類書籍的2倍”可列出不等式，求解即可．【解答】解：（1）設(shè)初一（1）班有人，初一（2）班有人，由題意得：，解得：，初一（1）班有30人，初一（2）班有42人；（2）設(shè)購買本科普類書籍，則購買本文學(xué)類書籍，由題意得：，解得：，最多能購買100本科普類書籍．【點評】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找出等量關(guān)系和不等關(guān)系，列出方程組和不等式．題型八：年齡問題【例8】．（23-24七年級下·山西臨汾·期中）根據(jù)圖中的對話，請聰明的你算出小亮今年的年齡．

【答案】小亮今年的年齡為8歲【分析】本題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，理解題意，弄清數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．設(shè)小亮今年的年齡為x歲，爸爸今年的年齡為歲，根據(jù)題意列出方程并求解，即可求解．【詳解】解：設(shè)小亮今年的年齡為歲，爸爸今年的年齡為歲由題意可得：解得：答：小亮今年的年齡為8歲．【變式8-1】．（23-24七年級下·河南洛陽·期中）某學(xué)生想知道李老師的年齡，李老師說：“我像你這么大時，你才2歲，你長到我這么大時，我就35歲了．”請你算一算，今年李老師、該學(xué)生各多少歲．【答案】今年李老師24歲，該學(xué)生13歲【分析】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意設(shè)該學(xué)生今年x歲，李老師今年y歲，則根據(jù)該學(xué)生和李老師的年齡差不變，建立方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)該學(xué)生今年x歲，李老師今年y歲，則相據(jù)該學(xué)生和李老師的年齡差不變，可得解得答：今年李老師24歲，該學(xué)生13歲．【變式8-2】．（21-22七年級下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢復(fù)辦學(xué)40周年校慶日，我校初一年級數(shù)學(xué)興趣小組的小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個有趣的巧合；小明的爸爸和爺爺都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小40．已知小明今年13歲，妹妹今年4歲．(1)求今年小明的爸爸和爺爺?shù)哪挲g分別是多少歲？（要求用二元一次方程組解答）(2)假如小明的爸爸和爺爺都是15歲初中華業(yè)的，請問小明的爸爸和爺爺分別是哪一年畢業(yè)的云附學(xué)子？【答案】(1)爸爸36歲，爺爺76歲(2)爸爸是2001年華業(yè)，爺爺是1961年畢業(yè)的云附學(xué)子【分析】（1）設(shè)今年小明的爸爸x歲，爺爺y歲，根據(jù)“爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小40”列出二元一次方程組求解即可．（2）用現(xiàn)在年份減去年齡加15即可得到答案．【詳解】（1）設(shè)今年小明的爸爸x歲，爺爺y歲．．解得：答：今年小明的爸爸36歲，爺爺76歲；（2）（年）（年）小明的爸爸是2001年華業(yè)，爺爺是1961年畢業(yè)的云附學(xué)子．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，正確找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．題型九：分配問題【例9】（22-23七年級下·浙江杭州·期末）用如圖（1）中的長方形和正方形紙板做側(cè)面和底面，做成如圖（2）的橫式和豎式兩種無蓋紙盒．

(1)若倉庫里有張長方形紙板和張正方形紙板，若兩種紙板恰好用完，問兩種紙盒各做多少個？(2)若倉庫里有張長方形紙板和張正方形紙板，要使兩種紙板恰好用完，則應(yīng)滿足什么條件，請說明理由．【答案】(1)橫式紙盒做個，豎式紙盒做個(2)是的整數(shù)倍，理由見解析【分析】（1）設(shè)橫式紙盒做個，豎式紙盒做個，根據(jù)制作的兩種紙盒恰好用完張長方形紙板和張正方形紙板，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)橫式紙盒做個，豎式紙盒做個，根據(jù)制作的兩種紙盒恰好用完張長方形紙板和張正方形紙板，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，兩方程相加，可得出，結(jié)合，均為正整數(shù)，即可得出是的整數(shù)倍．【詳解】（1）解：設(shè)橫式紙盒做個，豎式紙盒做個，根據(jù)題意得：，解得：．答：橫式紙盒做個，豎式紙盒做個；（2）解：是的整數(shù)倍，理由如下：設(shè)橫式紙盒做個，豎式紙盒做個，根據(jù)題意得：，，又，均為正整數(shù)，是的整數(shù)倍．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及列代數(shù)式，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】．（23-24七年級下·山東淄博·期中）某旅館的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天元，兩人間每人每天元，一個人的旅游團到該旅館住宿，租住了若干客房，且每個客房正好住滿，一天共花去住宿費元，兩種客房各租住了多少間？【答案】三人間客房租了間，二人間客房租了間【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)三人間租住了間，兩人間租住了間，根據(jù)人的旅游團共花費元的住宿費，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，求解即可．【詳解】解：設(shè)三人間客房有間，二人間客房有間，根據(jù)題意，得：解得：，答：三人間客房租了間，二人間客房租了間．【變式9-2】．（23-24七年級下·浙江溫州·期中）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．有A、B兩種卡紙，可用來做小旗子，若1張A卡紙和1張B卡紙共能做小旗子8面，2張A卡紙和3張B卡紙共能做小旗子19面．(1)求A、B兩種卡紙．每張可分別做幾面小旗子．(2)由于藝術(shù)節(jié)場地布置的需要，某學(xué)校打算采購A、B兩種卡紙．A卡紙每張4元，B卡紙每張3元，正好趕上商場促銷活動：買一張A卡紙，就贈送一張B卡紙．學(xué)校計劃用這兩種卡紙共同做60面小旗子．①制作過程中，若A、B卡紙恰好充分利用，沒有余料剩余，則做這些小旗子需要兩種卡紙各多少張，并求出最低采購費用．②由于藝術(shù)節(jié)實際需要，現(xiàn)須用卡紙再做燈籠42個．已知一張A、B卡紙可分別做燈籠3個和2個．請你結(jié)合方案評價表直接在表格中寫出一種小旗子、小燈籠的制作數(shù)量方案（同一張卡紙只能做同一類手工，即不能既做小旗子又做小燈籠）．由A卡紙制作由B卡紙制作小旗子（面）小燈籠（個）小旗子（面）小燈籠（個）方案評價表方案等級采購費用制作中卡紙使用情況評分優(yōu)秀低于65元兩種卡紙均無余料剩余3分良好低于65元兩種卡紙均有余料剩余2分合格低于65元僅一種卡紙有余料剩余1分【答案】(1)A卡紙每張可做面小旗子，B卡紙每張可做面小旗子．(2)①購買A卡紙6張，B卡紙4張，費用最低為元．②填表見解析【分析】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)A卡紙每張可做面小旗子，B卡紙每張可做面小旗子，根據(jù)1張A卡紙和1張B卡紙共能做小旗子8面，2張A卡紙和3張B卡紙共能做小旗子19面，再建立方程組解題即可；（2）①設(shè)購買A卡紙張，B卡紙張，則贈送了B卡紙張，可得，整理得，再利用方程的正整數(shù)解進一步可得答案；②由買一張A卡紙，就贈送一張B卡紙．可得盡可能多買A卡紙，當購買A卡紙張，則贈送B卡紙張，此時費用為，設(shè)A卡紙張有張做小旗子，張做小燈籠，B卡紙張有張做小旗子，張做小燈籠，再建立方程組可得答案．【詳解】（1）解：設(shè)A卡紙每張可做面小旗子，B卡紙每張可做面小旗子，則，解得：，∴A卡紙每張可做面小旗子，B卡紙每張可做面小旗子．（2）①設(shè)購買A卡紙張，B卡紙張，則贈送了B卡紙張，則，∴，∴，∵，為正整數(shù)，∴或，∵A卡紙每張4元，B卡紙每張3元，當時，則費用為（元），當時，則費用為（元），∴購買A卡紙6張，B卡紙4張，費用最低為元．②∵買一張A卡紙，就贈送一張B卡紙．∴盡可能多買A卡紙，當購買A卡紙張，則贈送B卡紙張，此時費用為，設(shè)A卡紙張有張做小旗子，張做小燈籠，B卡紙張有張做小旗子，張做小燈籠，∴，解得：，∴A卡紙張有張做小旗子，張做小燈籠，B卡紙張有張做小旗子，張做小燈籠，制作分配方案如下：由A卡紙制作由B卡紙制作小旗子（面）小燈籠（個）小旗子（面）小燈籠（個）方案評價表方案等級采購費用制作中卡紙使用情況評分優(yōu)秀低于65元兩種卡紙均無余料剩余3分良好低于65元兩種卡紙均有余料剩余2分合格低于65元僅一種卡紙有余料剩余1分【變式9-3】．（21-22七年級下·河北承德·期末）某企業(yè)有，兩條加工相同原材料的生產(chǎn)線，在一天內(nèi)，生產(chǎn)線共加工噸原材料，加工時間為小時；在一天內(nèi)，生產(chǎn)線共加工噸原材料，加工時間為小時．(1)當時，兩條生產(chǎn)線的加工時間分別是多少小時？(2)第一天，該企業(yè)把5噸原材料分配到．兩條生產(chǎn)線，兩條生產(chǎn)線都在一天內(nèi)完成了加工，且加工時間相同，則分配到兩條生產(chǎn)線的的噸數(shù)是多少？(3)第二天開工前，該企業(yè)按第一天的分配結(jié)果分配了5噸原材料后，又給生產(chǎn)線分配了噸原材料，給生產(chǎn)線分配了噸原材料，若兩條生產(chǎn)線都能在一天內(nèi)加工完各自分配到的所有原材料，且加工時間相同，則和有怎樣的數(shù)量關(guān)系？若此時與的和為6噸，則和的值分別為多少噸？【答案】(1)兩條生產(chǎn)線的的加工時間分別為5小時和5小時(2)分配到生產(chǎn)線2噸，分配到生產(chǎn)線3噸(3)與的關(guān)系為，當噸時，為2噸，為4噸【分析】（1）把代入和，即可求解；（2）設(shè)分配到生產(chǎn)線噸，則分配到生產(chǎn)線噸，根據(jù)“把5噸原材料分配到．兩條生產(chǎn)線，兩條生產(chǎn)線都在一天內(nèi)完成了加工，且加工時間相同，”列出方程組，即可求解；（3）根據(jù)“加工時間相同，”可得，從而得到，再由，即可求解．【詳解】（1）解：當時，，；即兩條生產(chǎn)線的的加工時間分別為5小時和5小時．（2）解∶設(shè)分配到生產(chǎn)線噸，則分配到生產(chǎn)線噸，根據(jù)題意得：，解得，即分配到生產(chǎn)線2噸，則分配到生產(chǎn)線3噸；（3）解：根據(jù)題意得：，整理得：，∵，∴，，答：與的關(guān)系為，當噸時，為2噸，為4噸．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，求代數(shù)式的值，明確題意，準確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型十：銷售、利潤問題【例10】．（2022春?秦淮區(qū)期末）截至12月25日，全國累計報告接種新型冠狀病毒疫苗超過12億劑次．為了滿足市場需求，某公司計劃投入10個大、小兩種車間共同生產(chǎn)同一種新型冠狀病毒疫苗，已知1個大車間和2個小車間每周能生產(chǎn)疫苗共35萬劑，2個大車間和1個小車間每周能生產(chǎn)疫苗共40萬劑，每個大車間生產(chǎn)1萬劑疫苗的平均成本為90萬元，每個小車間生產(chǎn)1萬劑疫苗的平均成本為80萬元．（1）該公司每個大車間、小車間每周分別能生產(chǎn)疫苗多少萬劑？（2）若投入的10個車間每周生產(chǎn)的疫苗不少于135萬劑，請問一共有幾種投入方案，并求出每周生產(chǎn)疫苗的總成本最小值？【分析】（1）設(shè)該公司每個大車間每周能生產(chǎn)疫苗萬劑，每個小車間每周能生產(chǎn)疫苗萬劑，根據(jù)“1個大車間和2個小車間每周能生產(chǎn)疫苗共35萬劑，2個大車間和1個小車間每周能生產(chǎn)疫苗共40萬劑”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可求出該公司每個大車間、小車間每周生產(chǎn)疫苗的數(shù)量；（2）設(shè)投入個大車間，則投入小車間個，根據(jù)每周生產(chǎn)的疫苗不少于135萬劑，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍，結(jié)合，均為正整數(shù)，即可得出投入方案的個數(shù)，再求出各投入方案每周生產(chǎn)疫苗的總成本，比較后即可得出每周生產(chǎn)疫苗的總成本最小值為11850萬元．【解答】解：（1）設(shè)該公司每個大車間每周能生產(chǎn)疫苗萬劑，每個小車間每周能生產(chǎn)疫苗萬劑，依題意得：，解得：．答：該公司每個大車間每周能生產(chǎn)疫苗15萬劑，每個小車間每周能生產(chǎn)疫苗10萬劑．（2）設(shè)投入個大車間，則投入小車間個，依題意得：，解得：．又，均為正整數(shù)，可以為7，8，9，共有3種投入方案，方案1：投入7個大車間，3個小車間，每周生產(chǎn)疫苗的總成本（萬元）；方案2：投入8個大車間，2個小車間，每周生產(chǎn)疫苗的總成本（萬元）；方案3：投入9個大車間，1個小車間，每周生產(chǎn)疫苗的總成本（萬元）．，一共有3種投入方案，每周生產(chǎn)疫苗的總成本最小值為11850萬元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【變式10-1】．（2022春?吳江區(qū)期末）小星同學(xué)到文具店買文具．請你根據(jù)對話信息（小星：阿姨您好，我要買12支中性筆和20本筆記本，是不是一共112元？店員：不對呀，一共是144元．小星：啊哦，我明白了，您是對的！我剛才把中性筆和筆記本的單價弄反了．求中性筆和筆記本的單價分別是多少元？【分析】設(shè)中性筆的單價是元，筆記本的單價是元，利用總價單價數(shù)量，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)中性筆的單價是元，筆記本的單價是元，依題意得：，解得：．答：中性筆的單價是2元，筆記本的單價是6元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組．【變式10-2】．（2023春?靖江市期末）學(xué)校為舉行校慶活動，準備向某商家購買，兩種襯衫，已知購買2件種襯衫和3件種襯衫需要170元；購買4件種襯衫和1件種襯衫需要190元．（1）求，兩種襯衫的單價；（2）恰逢商家搞促銷，現(xiàn)有兩種優(yōu)惠活動，學(xué)校決定向該商家購買，兩種襯衫共100件，其中種襯衫件．活動一：“瘋狂打“種襯衫八折，種襯衫四折；活動二：“買一送一“購買一件種襯衫，贈送一件種襯衫．①若按活動一購買，共需付款多少元？若按活動二購買，共需付款多少元？（用的代數(shù)式表示）②若按活動二購買比按活動一購買更優(yōu)惠，求的所有可能值．【分析】（1）設(shè)種獎品的單價是元，種獎品的單價是元，根據(jù)“錢數(shù)種獎品單價數(shù)量種獎品單價數(shù)量”可列出關(guān)于、的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)活動方案列出代數(shù)式即可；②根據(jù)不等關(guān)系列出不等式，求解不等式即可．【解答】解：（1）設(shè)、兩種型號的文化衫每件的價格分別為元和元，由題意得，，解得，答：、兩種型號的文化衫每件的價格分別為40元和30元．（2）①若按活動一購買，共需付款金額為：元；若按活動二購買，共需付款金額為：元；答：若按活動一購買，共需付款元；若按活動二購買，共需付款元．②按活動二購買比按活動一購買更優(yōu)惠，，解得，又，且為整數(shù)，的所有可能值為46，47，48，49．【點評】本題考查二元一次方程組、一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程（方程組或不等式）．【變式10-3】．（2023春?宿遷期末）端午節(jié)期間，某商場打算購入，兩種粽子禮盒共100件，種粽子禮盒的進價為每件22元，種粽子禮盒的進價為每件15元．在銷售過程中，顧客甲買3件和1件共付款150元，顧客乙買1件和2件共付款100元．（1）請問，兩種粽子禮盒的售價各是多少？（2）若該商店計劃，兩種禮盒的進貨總投入不超過1755元，且全部銷售完后總利潤不低于1600元，則購進，兩種禮盒時，共有哪幾種進貨方案．【分析】（1）設(shè)種粽子禮盒的售價是元件，種粽子禮盒的售價是元件，根據(jù)“顧客甲買3件和1件共付款150元，顧客乙買1件和2件共付款100元”，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購進件種粽子禮盒，則購進件種粽子禮盒，根據(jù)“該商店計劃，兩種禮盒的進貨總投入不超過1755元，且全部銷售完后總利潤不低于1600元”，可列出關(guān)于的一元一次不等式組，解之可得出的取值范圍，再結(jié)合為正整數(shù)，即可得出各進貨方案．【解答】解：（1）設(shè)種粽子禮盒的售價是元件，種粽子禮盒的售價是元件，根據(jù)題意得：，解得：．答：種粽子禮盒的售價是40元件，種粽子禮盒的售價是30元件；（2）設(shè)購進件種粽子禮盒，則購進件種粽子禮盒，根據(jù)題意得：，解得：，又為正整數(shù)，可以為34，35，36，該商店共有3種進貨方案，方案1：購進34件種粽子禮盒，66件種粽子禮盒；方案2：購進35件種粽子禮盒，65件種粽子禮盒；方案3：購進36件種粽子禮盒，64件種粽子禮盒．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．題型十一：和差倍分問題【例11】．（22-23七年級下·江蘇南京·期末）某文印店用2660元購進一批白色復(fù)印紙和彩色復(fù)印紙，白色復(fù)印紙每箱80元，彩色復(fù)印紙每箱180元，購買白色復(fù)印紙的箱數(shù)比彩色復(fù)印紙的箱數(shù)的5倍少3箱．求購買的白色復(fù)印紙的箱數(shù)和彩色復(fù)印紙的箱數(shù)．（用二元一次方程組解決問題）【答案】購買的白色復(fù)印紙22箱，彩色復(fù)印紙5箱【分析】設(shè)購買的白色復(fù)印紙箱，彩色復(fù)印紙箱，根據(jù)總價是2660元、購買白色復(fù)印紙得箱數(shù)是彩色復(fù)印紙得箱數(shù)得5倍少3箱，列二元一次方程組，即可求解．【詳解】解：設(shè)購買的白色復(fù)印紙箱，彩色復(fù)印紙箱．由題意得：解得：答：購買的白色復(fù)印紙22箱，彩色復(fù)印紙5箱．【點睛】本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給數(shù)量關(guān)系正確列出方程組．【變式11-1】．（22-23七年級下·江蘇無錫·期末）某學(xué)校準備一次性購買若干個足球和籃球（每個足球的價格相同，每個籃球的價格相同）．若購買3個足球和2個籃球共需490元；購買2個足球和4個籃球共需660元．(1)購買一個足球、一個籃球各需多少元？(2)根據(jù)該學(xué)校的實際情況，需要一次性購買足球和籃球共62個，要求購買足球和籃球的總費用不超過6750元，則該學(xué)校最多可以購買多少個籃球？【答案】(1)購買一個足球80元，一個籃球125元(2)該學(xué)校最多可以購買39個籃球【分析】（1）設(shè)購買一個足球x元，一個籃球y元，根據(jù)購買3個足球和2個籃球共需490元；購買2個足球和4個籃球共需660元，列出方程組即可；（2）設(shè)該學(xué)校購買m個籃球，根據(jù)購買足球和籃球的總費用不超過6750元，列出不等式進行求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)購買一個足球x元，一個籃球y元．由題意得：，解得：，購買一個足球80元，一個籃球125元．（2）設(shè)該學(xué)校購買m個籃球．由題意得：解得：．是正整數(shù)，的最大值為39，即該學(xué)校最多可以購買39個籃球．【點睛】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是理解題意，找準等量關(guān)系，正確的列出方程組和不等式．【變式11-2】．（22-23七年級下·江蘇蘇州·期末）2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團體錦標賽于5月14日至5月21日在蘇州奧體中心舉行．決賽中，中國隊以戰(zhàn)勝韓國隊，完成三連冠壯舉，歷史上第13次登頂．5月15日該項賽事的小組賽票價如下：

(1)若購買場次的A類門票和B類門票共7張，總票價為1860元，A、B兩類門票各買了多少張？(2)若再次購買場次的A類門票和C類門票共10張，且總票價不超過2100元，最少購買C類門票多少張？(3)已知購買場次的B類門票和C類門票各若干張，共花費1620元，有哪些購買方案？【答案】(1)購買類3張，購買類4張(2)9張(3)有類9張，類0張或類5張，類9張或類1張，類18張三種方案【分析】（1）設(shè)購買類張，購買類張，根據(jù)，，解之即可；（2）設(shè)購買類張，則類有張，根據(jù)總價不超過2100元列出不等式，解答即可；（3）設(shè)類張，類張，列出等式，再根據(jù)門票為整數(shù)即可確定方案．【詳解】（1）解：設(shè)購買類張，購買類張，根據(jù)題意可得：，解得：．答：購買類3張，購買類4張．（2）設(shè)購買類張，則類有張，根據(jù)題意得：，解得：．答：最少購買9張類門票．（3）設(shè)類張，類張，根據(jù)題意可得：，，，，為非0整數(shù)，方案1，，，方案2，，，方案3，，．答：有類9張，類0張或類5張，類9張或類1張，類18張這三種方案．【點睛】本題考查一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意找出數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵，特別注意取值范圍．【變式11-3】（22-23七年級下·江蘇蘇州·期末）已知：用3輛型車和1輛型車載滿貨物一次可運貨13噸；用2輛型車和2輛型車載滿貨物一次可運貨14噸，某物流公司現(xiàn)有31噸貨物，現(xiàn)計劃用、型車載運貨物，一次運完，且恰好每輛車都載滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)1輛型車和1輛車型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸？(2)請你幫該物流公司設(shè)計租車方案；(3)若型車每輛需租金50元/次，型車每輛需租金60元/次．請選出最省錢車方案，并求出最少租車費．【答案】(1)1輛A型車裝滿貨物一次可運3噸，1輛B型車裝滿貨物一次可運4噸(2)有3種租車方案：方案一：A型車9輛，B型車1輛；方案二：A型車5輛，B型車4輛；方案三：A型車1輛，B型車7輛．(3)最省錢的租車方案是方案三：A型車1輛，B型車7輛，最少租車費為470元【分析】（1）根據(jù)“用3輛型車和1輛型車載滿貨物一次可運貨13噸；用2輛型車和2輛型車載滿貨物一次可運貨14噸”，列方程組求解即可；（2）設(shè)租A型車a輛，B型車b輛，則，解此二元一次方程，求出其整數(shù)解，得到三種租車方案；（3）根據(jù)（2）中所求方案，利用A型車每輛需租金50元/次，B型車每輛需租金60元/次，分別求出租車費用比較即可．【詳解】（1）解：設(shè)每輛A型車、B型車都裝滿貨物一次可以分別運貨x噸、y噸，依題意列方程組得：，解方程組，得：，答：1輛A型車裝滿貨物一次可運3噸，1輛B型車裝滿貨物一次可運4噸．（2）解：設(shè)租A型車a輛，B型車b輛，則，∵a、b都是正整數(shù)，∴或或答：有3種租車方案：方案一：A型車9輛，B型車1輛；方案二：A型車5輛，B型車4輛；方案三：A型車1輛，B型車7輛．（3）∵A型車每輛需租金50元/次，B型車每輛需租金60元/次，∴方案一需租金：（元）方案二需租金：（元）方案三需租金：（元）∵∴最省錢的租車方案是方案三：A型車1輛，B型車7輛，最少租車費為470元．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組和二元一次方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找出題中的數(shù)量關(guān)系，正確列出方程或方程組．題型十二：幾何問題【例12】．（22-23七年級下·遼寧大連·期末）如圖，6塊相同的長方形地磚拼成一個長方形，每塊地磚的長和寬分別是多少？

【答案】長方形地磚長為，寬為．【分析】設(shè)每塊長方形地磚的長為，寬為，根據(jù)圖形之間的邊長關(guān)系，列出方程組進行求解即可．【詳解】解：設(shè)每塊長方形地磚的長為，寬為，依題意，得，得：，答：長方形地磚長為，寬為．【點睛】本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是正確的識圖，理清邊長之間的和差關(guān)系，正確的列出方程組．【變式12-1】．（22-23七年級下·浙江湖州·期末）在紙盒制作的勞動實踐課上，對規(guī)格是的原材料板材進行裁剪得到A型長方形紙板和B型正方形紙板．為了避免材料浪費，每張原材料板材先裁得3張的紙板條，每張紙板條又恰好可以裁得3張A型長方形紙板或5張B型正方形紙板，如圖1所示．（單位：）

(1)每張原材料板材可以裁得A型紙板______張或裁得B型紙板______張；(2)現(xiàn)有260張原材料板材全部裁剪（每張原材料板材只能一種裁法）得到A型與B型紙板當側(cè)面和底面，做成如圖2所示的豎式有蓋長方體紙盒（1個長方體紙盒需要4個側(cè)面和2個底面，接縫忽略不計），問：怎樣裁剪才能使剪出的A，B型紙板恰好用完？能做多少個紙盒？【答案】(1)9；15(2)用200張原材料板材裁A型紙板，60張原材料板材裁型紙板，恰好能使做出的豎式有蓋長方體紙盒配套，能做出450個紙盒【分析】（1）根據(jù)題意進行解答即可；（2）設(shè)用張原材料板材裁A型紙板，張原材料板材裁型紙板，根據(jù)原材料板材共260張，每個長方體紙盒有4個側(cè)面，2個底面列出方程組，解方程組即可．【詳解】（1）解：每張原材料板材可以裁得A型紙板（張）或裁得B型紙板（張）．故答案為：9；15．（2）解：設(shè)用張原材料板材裁A型紙板，張原材料板材裁型紙板，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗：是方程組的解且符合題意∴能做紙盒數(shù)為：（個）答：用200張原材料板材裁A型紙板，60張原材料板材裁型紙板，恰好能使做出的豎式有蓋長方體紙盒配套，能做出450個紙盒．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程組，準確解方程組．【變式12-2】．（21-22七年級下·浙江溫州·期中）某工廠將一批紙板按甲，乙兩種方式進行加工，再用加工出來的長方形板塊和正方形板塊制作成如圖所示的底面為正方形的長方體有蓋禮盒.設(shè)x塊紙板按甲方式進行加工，y塊紙板按乙方式進行加工.(1)補全表格.x塊甲方式加工的紙板y塊乙方式加工的紙板板塊2x板塊(2)若現(xiàn)共有紙板14塊，要使禮盒制作完畢后的，板塊恰好用完，能做多少個禮盒？(3)若現(xiàn)有板塊4塊，紙板a塊，要使禮盒制作完畢后的，板塊恰好用完，則a的最小值為___________.(請直接寫出答案)【答案】(1)4y，6x(2)12(3)9【分析】（1）根據(jù)甲、乙兩種加工方式所裁剪的A版塊、B版塊的數(shù)量進行計算即可；（2）設(shè)未知數(shù)，列方程組求解即可；（3）利用二元一次方程組的正整數(shù)解進行解答即可．【詳解】（1）解：由甲、乙兩種加工方式所裁剪的A版塊、B版塊的數(shù)量可知，x塊紙板按甲方式進行加工，可得到A版塊2x塊，B版塊6y塊，y塊紙板按乙方式進行加工，可得A版塊6y塊，故答案為：6y，4y；（2）由題意可得，，解得：，即有4塊采用甲方式進行加工，10塊采用乙方式加工，使加工出的A，B板塊恰好用完，此時，禮盒的個數(shù)為6×4÷2=12（個）；（3）由題意得，，解得x=，∵x、a都是正整數(shù)，∴a的最小整數(shù)值為9，故答案為：9．【點睛】本題考查認識立體圖形，列代數(shù)式以及求代數(shù)式的值，理解“裁剪方式與A，B板塊恰好用完”之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【變式12-3】．（21-22七年級下·浙江杭州·期末）現(xiàn)要在長方形草坪中規(guī)劃出3塊大小，形狀一樣的小長方形（圖中陰影部分）區(qū)域種植鮮花．

(1)如圖，大長方形的相鄰兩邊長分別為60m和45m，求小長方形的相鄰兩邊長．(2)如圖，設(shè)大長方形的相鄰兩邊長分別為a和b，小長方形的相鄰兩邊長分別為和．①1個小長方形的周長與大長方形的周長的比值是否為定值？若是，請求出這個值；若不是，請說明理由．②若種植鮮花的面積是整塊草坪面積的，求x和y滿足的關(guān)系式（不含a，b）．【答案】(1)小長方形的相鄰兩邊長是，(2)①個小長方形的周長與大長方形的周長的比值是定值；②【分析】（1）根據(jù)大長方形的相鄰兩邊長分別為和，列出方程組并計算可求小長方形的相鄰兩邊長；（2）①分別求出1個小長方形的周長與大長方形的周長，再求出它們的比值即可求解；②根據(jù)長方形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)小長方形的相鄰兩邊長分別為和，依題意，可有，解得，故小長方形的相鄰兩邊長分別是10，25；（2）①∵1個小長方形的周長為，個大長方形的周長為，∴．故個小長方形的周長與大長方形的周長的比值是定值；依題意有：，整理，得．故和滿足的關(guān)系式為．【點睛】本題主要考查了列代數(shù)式與二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本知識，屬于中考?？碱}型．題型十三：圖表信息題【例13】．（20-21七年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）為了增強公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，某市出臺了居民用水“階梯價格”制度來引導(dǎo)市民節(jié)約用水，下表是用水價格的標準：階梯一戶居民每月用水量（單位：立方米）水費價格（單位：元/立方米）一檔不超過15立方米a二檔超過15立方米的部分b已知該市某戶居民今年4月份用水16立方米，繳納水費50元；5月份用水20立方米，繳納水費70元．（1）求出表格中a、b的值；（2）6月份是用水高峰期，該戶居民計劃6月份水費支出不超過85元，那么該戶居民6月份最多可用水多少立方米？【答案】（1）a=3，b=5；（2）該戶居民6月份最多可用水23立方米【分析】（1）該市居民用水基本價格為a元/米3，超過15米3部分的價格為b元/米3，根據(jù)4月份和5月份的繳費情況列出a和b的二元一次方程組，求出a和b的值即可；（2）設(shè)該戶居民6月份最多可用水x立方米，根據(jù)（1）中的分檔收費標準列出方程并解答．【詳解】解：（1）設(shè)該市居民用水基本價格為a元/米3，超過15米3部分的價格為b元/米3，根據(jù)題意，得，解得：．答：a的值是3，b的值是5．（2）設(shè)該戶居民6月份最多可用水x立方米，根據(jù)題意，得15×3+5（x-15）≤85．解得x≤23．答：該戶居民6月份最多可用水23立方米．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出a和b的二元一次方程組，此題難度不大．【變式13-1】．（20-21七年級下·江蘇常州·期末）某公園的門票價格如表所示：購票人數(shù)1～5051～80100以上票價（元/人）1085某校七年級甲、乙兩個班共100多人去該公園舉行游園活動，其中甲班有50多人，乙班不足50人．如果以班為單位分別買門票，兩個班一共應(yīng)付928元；如果兩個班聯(lián)合起來作為一個團體購票，一共只要520元．（1）甲、乙兩班分別有多少人？（2）游園過程中，學(xué)校組織全體學(xué)生坐船游玩“暢沁湖”．坐小船4人一艘，每艘小船價格20元；坐大船8人一艘，每艘大船價格50元，領(lǐng)隊只剩下620元．在保證每艘船都坐滿的情況下，請問至少需要租多少艘小船？【答案】（1）甲班有56人，乙班有48人；（2）至少需要租6艘小船【分析】（1）設(shè)甲班有x人，乙班有y人，利用總價=單價×數(shù)量，結(jié)合“如果以班為單位分別買門票，兩個班一共應(yīng)付928元；如果兩個班聯(lián)合起來作為一個團體購票，一共只要520元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)需要組m艘小船，則租（13-m）艘大船，利用總租金=每艘船的租金×租船數(shù)量，結(jié)合總租金不超過620元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)甲班有x人，乙班有y人，依題意得：，解得：，答：甲班有56人，乙班有48人．（2）設(shè)需要組m艘小船，則租=（13-m）艘大船，依題意得：20m+50（13-m）≤620，解得：m≥6．答：至少需要租6艘小船．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．題型十四：古代問題【例14】．（22-23七年級下·黑龍江齊齊哈爾·期末）我國明朝有一位著名數(shù)學(xué)家叫程大位，他的書中有一道名題，說的是：“100個和尚分92個饅頭，大和尚每人吃三個，小和尚3人吃一個，問大、小和尚各多少人？”(1)請你列方程組求出大、小和尚各多少人；(2)重新修建寺廟需要和尚們向工地運送10萬塊磚，若每籃子裝20塊磚，一個大和尚每次可擔兩籃子磚，兩個小和尚每次可抬一籃子磚，請問大小和尚們一起至少需要運送多少趟才能滿足工地需要？【答案】(1)有個大和尚，個