專題4.2 指數(shù)函數(shù)-新高一《數(shù)學(xué)》初升高銜接考點(diǎn)必殺50題(人教A版2019)解析版_第1頁(yè)
專題4.2 指數(shù)函數(shù)-新高一《數(shù)學(xué)》初升高銜接考點(diǎn)必殺50題(人教A版2019)解析版_第2頁(yè)
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第第頁(yè)專題4.2指數(shù)函數(shù)一、單選題1.下列函數(shù)中,在其定義域上是增函數(shù)的是(

)A. B.C. D.【答案】C【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷,可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),函數(shù)在定義域上為減函數(shù),A不滿足條件;對(duì)于B選項(xiàng),函數(shù)在定義域上不單調(diào),B不滿足條件;對(duì)于C選項(xiàng),函數(shù)在定義域上為增函數(shù),C滿足條件;對(duì)于D選項(xiàng),函數(shù)在定義域上不單調(diào),D不滿足條件.故選:C.2.函數(shù)(a>0,且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)()A.(0,-3) B.(0,-2)C.(1,-3) D.(1,-2)【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象所過(guò)定點(diǎn)的性質(zhì)求解.【詳解】令x-1=0,則x=1,此時(shí),y=a0-3=-2,∴圖象過(guò)定點(diǎn)(1,-2).故選:D.3.下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是(

)A. B.C. D.【答案】A【分析】先求出函數(shù)的定義域,再求出表達(dá)式,即可判斷.【詳解】對(duì)于A項(xiàng),函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,,所以是偶函數(shù),故A項(xiàng)正確;對(duì)于B項(xiàng),函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,,所以不是偶函數(shù),故B項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于C項(xiàng),函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,,所以不是偶函數(shù),故C項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于D項(xiàng),函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,,所以是奇函數(shù),不是偶函數(shù),故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:A.4.已知,,,則a,b,c的大小關(guān)系是(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,比較指數(shù)冪的大小,【詳解】,,在R上為增函數(shù),且,.在R上為增函數(shù),且,..故選:A.5.已知是定義在上的增函數(shù),,則a,b,c的大小關(guān)系是(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】利用冪函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷的大小關(guān)系,結(jié)合是定義在上的增函數(shù),即可判斷出答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為R上單調(diào)增函數(shù),故,而,由于是定義在上的增函數(shù),故,即.故選:A.6.函數(shù)(且)的圖象如圖所示,其中為常數(shù).下列結(jié)論正確的是(

)A. B.C. D.【答案】A【分析】由函數(shù)單調(diào)性和在軸截距可判斷出的范圍.【詳解】函數(shù)圖象單調(diào)遞增

又函數(shù)在軸截距在之間

故選:【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的圖象判斷參數(shù)范圍的問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性和截距來(lái)得到參數(shù)所滿足的不等關(guān)系.7.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù),用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設(shè),用表示不超過(guò)的最大整數(shù),則稱為高斯函數(shù),也稱取整函數(shù),如:,,已知,則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

)A. B. C. D.【答案】C【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求得的值域,然后再根據(jù)新定義求的值域.【詳解】,顯然,,所以的值域是,當(dāng)時(shí),,時(shí),,當(dāng)時(shí),所以所求值域是.故選:C.8.函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

)A. B. C. D.【答案】A【分析】令t=2x﹣x2,利用配方法求其值域,再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求原函數(shù)的值域;【詳解】∵t=2x﹣x2=﹣(x﹣1)2+11,為減函數(shù),∴∴函數(shù)的值域?yàn)?;故選A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用及復(fù)合函數(shù)的值域問(wèn)題,是中檔題.9.設(shè)f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=,則當(dāng)x<0時(shí),f(x)=A. B.C. D.【答案】D【分析】先把x<0,轉(zhuǎn)化為-x>0,代入可得,結(jié)合奇偶性可得.【詳解】是奇函數(shù),時(shí),.當(dāng)時(shí),,,得.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性和解析式,滲透了數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取代換法,利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想解題.10.函數(shù)的部分圖象大致為(

)A. B.C. D.【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、特殊點(diǎn)的函數(shù)值確定正確答案.【詳解】的定義域?yàn)椋?,所以是奇函?shù),由此排除CD選項(xiàng).,排除A選項(xiàng).故選:B11.設(shè),,那么是(

)A.奇函數(shù)且在上是增函數(shù) B.偶函數(shù)且在上是減函數(shù)C.奇函數(shù)且在上是減函數(shù) D.偶函數(shù)且在上是增函數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判斷奇偶性,再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷在上的單調(diào)性即可.【詳解】,,,故為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,是增函數(shù),故選:D.12.若函數(shù)在R上是單調(diào)增函數(shù),則a的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性列不等式組,即可求解.【詳解】要使函數(shù)在上是增函數(shù),只需,解得,即a的取值范圍是.故選:C.13.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為(

)A. B. C. D.13【答案】B【分析】先令,得,再根據(jù)范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),即可得解.【詳解】解:令,,則原函數(shù)等價(jià)于,,又二次函數(shù)的對(duì)稱軸為,故最小值是,即的最小值為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值的求法,屬于基礎(chǔ)題.14.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增,若實(shí)數(shù)a滿足,則a的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增,得到f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,然后根據(jù),得到求解.【詳解】因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,因?yàn)?,所以,所以,解得,所以a的取值范圍是,故選:C15.已知函數(shù)(其中且),若當(dāng)時(shí),恒有,則a的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,運(yùn)用分類討論的思想求解參數(shù)的取值范圍得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,此時(shí)的值域?yàn)椋粷M足條件;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,此時(shí)的值域?yàn)?,因?yàn)闀r(shí),滿足;當(dāng)時(shí),時(shí),滿足;當(dāng)時(shí),在上的增函數(shù),的值域?yàn)?,由,得,解得:綜上,所求的取值范圍是.選項(xiàng)D正確,選項(xiàng)ABC錯(cuò)誤.故選:D.16.已知,,若對(duì),,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)單調(diào)性求出和的最小值,由題可得即可解出.【詳解】因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞增,所以,因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞減,所以,對(duì),使得等價(jià)于,得,所以.故選:B.17.已知,,,則(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞減知,根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增知,得到答案.【詳解】根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞減知:;根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增知:,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小,意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.18.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

)A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程的根的問(wèn)題,轉(zhuǎn)化成兩個(gè)新函數(shù)的公共點(diǎn)問(wèn)題.【詳解】令,得,顯然不是該方程的根,故,在同一直角坐標(biāo)系中分別作出的圖象如下所示,觀察可知,它們有2個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn),故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,關(guān)鍵在于對(duì)方程進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化成兩個(gè)易于作圖的函數(shù),討論函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.19.,,的大小關(guān)系是A. B. C. D.【答案】D【分析】將、、均化為的指數(shù)冪,然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】,,,且指數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù),則,因此,.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪的大小比較,考查指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵就是將三個(gè)數(shù)化為同一底數(shù)的指數(shù)冪,考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于中等題.20.已知函數(shù),滿足對(duì)任意x1≠x2,都有0成立,則a的取值范圍是()A.a(chǎn)∈(0,1) B.a(chǎn)∈[,1) C.a(chǎn)∈(0,] D.a(chǎn)∈[,2)【答案】C【分析】根據(jù)條件知在R上單調(diào)遞減,從而得出,求a的范圍即可.【詳解】∵滿足對(duì)任意x1≠x2,都有0成立,∴在R上是減函數(shù),∴,解得,∴a的取值范圍是.故選:C.二、多選題21.下列說(shuō)法正確的是(

)A.若函數(shù)的定義域?yàn)?,則函數(shù)的定義域?yàn)锽.圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱C.的最大值為D.冪函數(shù)在上為減函數(shù),則的值為1【答案】BD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、對(duì)稱性、最值、單調(diào)性等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析,從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng),函數(shù)的定義域?yàn)?,所以?duì)于函數(shù),有,即的定義域是,A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng),,所以圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱,B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng),,所以,即的最小值為,C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng),是冪函數(shù),所以,解得或,當(dāng)時(shí),,在上遞減,當(dāng)時(shí),,在上遞增,所以D選項(xiàng)正確.故選:BD22.關(guān)于函數(shù),.下列說(shuō)法正確的有(

)A.的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱B.在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減C.的值域?yàn)镈.不等式的解集為【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù),逐一對(duì)其進(jìn)行奇偶性,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析,即可判斷選項(xiàng)A,B,C均正確,而選項(xiàng)D也可由單調(diào)性轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次不等式求解,解集應(yīng)為,則D錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),,則該函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于軸對(duì)稱,故選項(xiàng)A說(shuō)法正確;令,在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,又在單調(diào)遞增,則由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,故選項(xiàng)B說(shuō)法正確;由可得,即的值域?yàn)?,故選項(xiàng)C說(shuō)法也正確;由不等式即,則,故的不等式解集為,選項(xiàng)D說(shuō)法錯(cuò)誤.故選:ABC.23.已知符號(hào)函數(shù),下列說(shuō)法正確的是(

)A.為奇函數(shù) B.,C.的值域?yàn)?D.,【答案】ABD【分析】,畫出函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象對(duì)稱性判定;,對(duì)任意的,,即可判斷B;,求出的函數(shù)解析式,畫出圖象,即可得值域?yàn)?,,求出,即可判斷;【詳解】解:,畫出函?shù),的圖象,根據(jù)圖象對(duì)稱性判定函數(shù)是奇函數(shù),故正確;,對(duì)任意的,,可得,故正確;,函數(shù),畫出圖象,即可得函數(shù)值域不為,故C錯(cuò),,即可得,故D正確.故選:.24.在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)與的圖象可能是(

)A. B.C. D.【答案】AC【解析】按照、討論,結(jié)合二次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】若,則函數(shù)是R上的增函數(shù),函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為,故A可能,B不可能;若,則函數(shù)是R上的減函數(shù),,函數(shù)的圖象與軸的負(fù)半軸相交,對(duì)稱軸為,故C可能,D不可能.故選:AC.25.已知,則(

)A. B. C. D.【答案】CD【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷,結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷D.【詳解】命題意圖本題考查不等式的性質(zhì).∵,∴,∴,A錯(cuò)誤;,B錯(cuò)誤;,C正確,,D正確.故選:CD.26.下列函數(shù)中,最小值為2的有(

)A. B. C. D.y=3x+2【答案】BC【分析】分別根據(jù)對(duì)勾函數(shù),二次函數(shù),指數(shù)函數(shù)的最值進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:根據(jù),在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增,在(﹣1,0)遞減,在(﹣∞,﹣1)遞增,可得y≥2或y≤﹣2,所以選項(xiàng)A不滿足最小值為2;對(duì)于選項(xiàng)B:,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得最小值,所以選項(xiàng)B滿足最小值為2;對(duì)于選項(xiàng)C:,即時(shí)取得最小值,所以選項(xiàng)C滿足最小值為2;對(duì)于選項(xiàng)D:y=3x+2>2,所以選項(xiàng)D不滿足最小值為2;故選:BC27.下列命題,其中正確的命題是(

)A.函數(shù)的定義域?yàn)?,則函數(shù)的定義域是B.函數(shù)上,在上是減函數(shù)C.若函數(shù)(,且),滿足,則的單調(diào)遞減區(qū)間是D.函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,則的取值范圍是【答案】ACD【分析】對(duì)A,由可求出定義域;對(duì)B,根據(jù)單調(diào)區(qū)間必須連續(xù)可判斷;對(duì)C,先求出,再求出的單調(diào)遞增區(qū)間即可;對(duì)D,滿足在內(nèi)單調(diào)遞增即可.【詳解】對(duì)A,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?,則對(duì)于,由,解得且,即的定義域?yàn)?,故A正確;對(duì)B,分別在上是減函數(shù),故B錯(cuò)誤;對(duì)C,,解得(舍負(fù)),,因?yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間為,所以的單調(diào)遞減區(qū)間是,故C正確;對(duì)D,的對(duì)稱軸為,開(kāi)口向下,要使在內(nèi)單調(diào)遞增,則,解得,故D正確.故選:ACD.28.(多選)已知函數(shù),則(

)A.函數(shù)的定義域?yàn)镽 B.函數(shù)的值域?yàn)镃.函數(shù)在上單調(diào)遞增 D.函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】ABD【分析】由函數(shù)的表達(dá)式可得函數(shù)的定義域可判斷A;令,則,,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的值域,可判斷B;根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可得函數(shù)的單調(diào)性可判斷C、D.【詳解】令,則.對(duì)于A,的定義域與的定義域相同,為R,故A正確;對(duì)于B,,的值域?yàn)?,所以函?shù)的值域?yàn)?,故B正確;對(duì)于C、D,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,且,在定義域上單調(diào)遞減,所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則,得函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以C不正確,D正確.故選:ABD.29.若函數(shù)對(duì),同時(shí)滿足:(1)當(dāng)時(shí)有;(2)當(dāng)時(shí)有,則稱為函數(shù),下列函數(shù)中是函數(shù)的有(

)A. B. C. D.【答案】BC【解析】由題意可得滿足是上的奇函數(shù),且為增函數(shù),由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,結(jié)合指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性,分別判斷的函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,可得所求結(jié)論.【詳解】由(1)當(dāng)時(shí)有,即為,則為上的奇函數(shù);由(2)當(dāng)時(shí)有,即為,,可得為上的增函數(shù),則函數(shù)為上的奇函數(shù),且為增函數(shù).對(duì)A:,定義域?yàn)?,,可得為偶函?shù),故A不是函數(shù);對(duì)B:,定義域?yàn)?,,即為奇函?shù),又在上的增函數(shù),所以為上的增函數(shù),故B是函數(shù);對(duì):,定義域?yàn)椋?即為奇函數(shù),又為上的增函數(shù),故C是函數(shù);對(duì)D:,定義域?yàn)椋?dāng)時(shí),,可得為奇函數(shù),又在,上單調(diào)遞增,但在上不為增函數(shù),比如,故不是函數(shù).故選:BC【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的新定義,主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷,考查推理能力,屬于中等題.30.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù),他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家,用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設(shè),用表示不超過(guò)x的最大整數(shù),則稱為高斯函數(shù),也稱取整函數(shù),例如:,,已知,則函數(shù)的函數(shù)值可能為(

)A. B. C. D.【答案】ABC【分析】利用定義可知函數(shù)為奇函數(shù),根據(jù)解析式可得,分三種情況討論可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,所以,即,因?yàn)?,因?yàn)?,,所以,所以,所以即?dāng)時(shí),,所以,,此時(shí),當(dāng)時(shí),,所以,,此時(shí),當(dāng)時(shí),,此時(shí),,此時(shí),所以函數(shù)的值域?yàn)?故選:ABC三、填空題31.設(shè)且,函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)______.【答案】【分析】令指數(shù)為0即可求得函數(shù)圖象所過(guò)的定點(diǎn).【詳解】由題意,令,則函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0).故答案為:(1,0).32.設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且對(duì)任意恒有,已知當(dāng),,則下列命題:①是函數(shù)的周期;②函數(shù)在上遞減,在上遞增;③函數(shù)的最大值是,最小值時(shí)是;④當(dāng),.其中,正確的命題的序號(hào)是__________.【答案】①②④【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性和指數(shù)型函數(shù)的值域依次判斷命題即可.【詳解】∵對(duì)任意的恒有,∴則的周期為,故①正確;∵函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,∴函數(shù)在上是增函數(shù),函數(shù)在上是減函數(shù),所以在上遞減,在上是增函數(shù),故②正確;∴函數(shù)的最大值是,最小值為,故③不正確;設(shè),則,,故④正確.故答案為:①②④.33.設(shè)的最大值為16,則__________.【答案】【詳解】試題分析:因?yàn)樗?,是減函數(shù).又的最大值為16,所以取到最小值-4時(shí),中的為16,即,.考點(diǎn):本題主要考查正弦函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì),復(fù)合函數(shù)的最值,指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).點(diǎn)評(píng):小綜合題,本題綜合考查正弦函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì),復(fù)合函數(shù)的最值以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).34.滿足不等式中的取值范圍為_(kāi)____________.【答案】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】因?yàn)榍覇握{(diào)遞增,所以,即,則x的取值范圍是[3,+).故答案為:.35.在,,三個(gè)數(shù)中,則最大的數(shù)為_(kāi)_____.【答案】【解析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】解:,,,,,,最大,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用.36.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列性質(zhì)①②③的函數(shù)解析式:______.①定義域?yàn)?;②值域?yàn)椋虎凼瞧婧瘮?shù).【答案】(答案不唯一)【分析】根據(jù)函數(shù)的三個(gè)性質(zhì),寫出符合條件的函數(shù)即可.【詳解】如,定義域?yàn)?,又,因?yàn)?,所以,,又,故是奇函?shù).故答案為:(答案不唯一)37.函數(shù)(且)的圖象必經(jīng)過(guò)定點(diǎn),則________________.【答案】【分析】利用,求出的值,即可求解.【詳解】令過(guò),.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.38.模型是常用數(shù)學(xué)模型之一,可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)(的單位:天)的模型:,其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)時(shí),標(biāo)志著已初步遏制疫情,則約為_(kāi)_______.()(答案填整數(shù))【答案】【分析】解方程可得結(jié)果.【詳解】由可得,可得.故答案為:.39.已知函數(shù)的值域?yàn)?,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【分析】由題意可得,計(jì)算不等式組即可求得結(jié)果.【詳解】∵函數(shù)的值域?yàn)?,又?dāng)時(shí),,∴,解得.故答案為:.40.函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn),若點(diǎn)在直線上,則的最小值為_(kāi)________.【答案】【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得,再根據(jù)基本不等式“”的用法,即可求出結(jié)果.【詳解】∵函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn),則,∴,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取等號(hào).故答案為:.四、解答題41.設(shè)的定義域?yàn)?,且是奇函?shù),當(dāng)時(shí),(1)求當(dāng)時(shí),的解析式;(2)解不等式.【答案】(1),;(2).【詳解】試題分析:(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義,對(duì)于定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù),總有,且,由題,已知當(dāng)時(shí),,那么當(dāng)時(shí),,則,根據(jù),所以,因此當(dāng)時(shí),函數(shù)的解析式為;(2)由題意及第(1)問(wèn)可知,函數(shù)在上的解析式為,所以不等式轉(zhuǎn)化為或,不等式組的解集分別為或,所以不等式的解集為.試題解析:(1)是奇函數(shù),所以當(dāng)時(shí),,,又當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),(2)當(dāng)時(shí),∴,∴,∴,即.當(dāng)時(shí),,∴,∴∴,∴所以解集是考點(diǎn):1.奇函數(shù)的性質(zhì);2.分段函數(shù)解不等式.42.已知函數(shù).(1)判斷在內(nèi)的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;(2)是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)為奇函數(shù)?若存在,求出a的值;若不存在,說(shuō)明理由.【答案】(1)在內(nèi)為增函數(shù),證明見(jiàn)解析(2)【解析】(1)在內(nèi)任取兩個(gè)變量x1,x2,并設(shè),作差,差式變形成分式,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷正負(fù),進(jìn)而得函數(shù)的單調(diào)性;(2)因?yàn)槎x域?yàn)镽,所以,解方程求得.利用奇函數(shù)定義證明.【詳解】(1)在內(nèi)為增函數(shù).證明:設(shè)任意x1,x2∈,且,則=.∵是R上的增函數(shù),且,∴,∴即,∴函數(shù)為上的增函數(shù);(2)由函數(shù)定義域?yàn)镽知,若函數(shù)為奇函數(shù),則,∴a=1.當(dāng)a=1時(shí),.∴,此時(shí)為奇函數(shù),滿足題意,∴a=1.43.已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求,的值;(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1),;(2).【解析】(1)由題意可得,求得,再由(1),求得,檢驗(yàn)可得所求值;(2)運(yùn)用參數(shù)分離和換元法、結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,以及反比例函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)的值域,結(jié)合恒成立思想,可得所求范圍.【詳解】(1)由題意可得,解得,再由(1),得,解得,當(dāng),時(shí),的定義域?yàn)?,由,可得為奇函?shù),所以,;(2)由,得,因?yàn)?,所以,所以.令,則,此時(shí)不等式可化為,記,因?yàn)楫?dāng)時(shí),和均為減函數(shù),所以為減函數(shù),故,因?yàn)楹愠闪?,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性,以及不等式恒成立問(wèn)題解法,屬于中檔題.對(duì)于求不等式恒成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題,在可能的情況下把參數(shù)分離出來(lái),使不等式一端是含有參數(shù)的不等式,另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù),這樣就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù),另一端是參數(shù)的不等式,便于問(wèn)題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬(wàn)能的,如果分離參數(shù)后,得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜,性質(zhì)很難研究,就不要使用分離參數(shù)法.44.設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù),是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),且.(1)求與的解析式;(2)若在上的最小值為,求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得出關(guān)于、的方程組,即可解得這兩個(gè)函數(shù)的解析式;(2)設(shè),可得,設(shè),分、兩種情況討論,分析函數(shù)在上的單調(diào)性,結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】(1)解:為偶函數(shù),,又為奇函數(shù),,,①,即,②由得:,可得.(2)解:,所以,,令,因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù),故在上單調(diào)遞增,則,設(shè),,對(duì)稱軸,①當(dāng)時(shí),函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),則,解得:或(舍);②當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,,解得:,不符合題意.綜上:.45.已知函數(shù).(1)利用單調(diào)性定義證明:在上是增函數(shù);(2)解不等式【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)利用定義法即可證明;(2)今,則,因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù),所以,解不等式即可得出答案.【詳解】(1)證明:任取,,因?yàn)?,所以,,故,所以,即在上是增函?shù);(2)今,則,因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù),所以,解得:,即,解得,故不等式得解集是.46.已知.(1)判斷函數(shù)的奇偶性并證明;(2)證明是定義域內(nèi)的增函數(shù);(3)解不等式.【答案】(1)奇函數(shù),證明詳見(jiàn)解析;(2)增函數(shù),證明詳見(jiàn)解析;(3).【詳解】試題分析:(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,,驗(yàn)證的值,,所以即,因此函數(shù)為奇函數(shù);(2)首先可以將函數(shù)化簡(jiǎn),即,根據(jù)定義證明函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù),設(shè)是R上任意兩個(gè)不等的實(shí)數(shù),且,則,,由于函數(shù)在R上為增函數(shù),所以當(dāng)時(shí),,則,,所以,則函數(shù)在R上為增函數(shù);(3)由第(1)、(2)問(wèn)可知函數(shù)為奇函數(shù)且為增函數(shù),所以轉(zhuǎn)化為,即,所以轉(zhuǎn)化為,所以,,則.試題解析:(1)∵的定義域?yàn)镽,且,∴是奇函數(shù).(2)設(shè)且,則∵為增函數(shù),∴當(dāng)時(shí),,又∵,∴,即∴在定義域上為增函數(shù).(3)不等式可化為由(1)知是奇函數(shù)∴由(2)知在定義域上為增函數(shù)∴解得考點(diǎn):1.函數(shù)的奇偶性;2.函數(shù)的單調(diào)性;3.解不等式.47.已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求b的值,判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明;(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)a恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1),在上單調(diào)遞增,證明見(jiàn)解析;(2).【分析】(1)由求出b值并驗(yàn)證;再用單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法推理作答.(2)利用(1)的結(jié)論去掉法則“f”,再分離參數(shù),換元借助二次函數(shù)性質(zhì)求最值作答.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽,因?yàn)槠婧瘮?shù),則有,解得,而當(dāng)時(shí),,即是奇函數(shù),因此,,在上單調(diào)遞增,,,,因,即有,,則,即,所以在上單調(diào)遞增.(2)由(1)知是R上的奇函數(shù),且在上單調(diào)遞增,則為R上的增函數(shù),由得:,即,令,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”,即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,而函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,則,所以m的取值范圍是.48.已知函數(shù).(1)求的值;(2)求函數(shù)的值域;(3)若,且對(duì)任意的、,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1);(2);(3).【分析】(1)代值計(jì)算即可得解;(2)利用指數(shù)函數(shù)的值域以及不等式的性質(zhì)可求得函數(shù)的值域;(3)令,,分、、三種情況討論,分析函數(shù)在上的單調(diào)性,根據(jù)題意可得出關(guān)于的不等式,綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)解:.(2)解:.,則,則,所以,,函數(shù)的值域?yàn)?(3)解:,令,則,,函

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