矩陣分析 課件 第6章 矩陣函數

第6章矩陣函數6.1矩陣的微分與積分1函數矩陣的微分與積分A(t)關于純變量t的積分為定義6.1

以變量的函數為元素的矩陣稱為函數矩陣，其中都是變量的函數。若每個在上連續(xù)、可微、可積，在上是連續(xù)、可微、可積的。當可微時，規(guī)定其導數為或

則稱例6.1求下述函數矩陣對變量t的導數解：例6.2

設，求解：（A(t)可以純量函數，也可以為函數矩陣）定理6.1求導法則定理6.2

設與是區(qū)間，A與B是適當階數的常數矩陣，則積分法則上適當階數的可積矩陣，2數量函數對矩陣變量的導數定義6.2設是階變量矩陣，設為mn元可微的數量函數，定義函數f(X)關于變量矩陣X的導數為梯度變量矩陣為m維向量，則函數f（X）關于X的導數，即為f對X的梯度，即例6.3

設矩陣解

所以例6.4

設矩陣解

所以又所以都為n維向量，例6.5

因為解

所以3矩陣值函數對矩陣變量的導數定義6.3設

是階變量矩陣，設為的矩陣函數，定義函數F(X)關于變量矩陣X的導數為其中例6.6

設求解

例6.7解

因為所以為n維列向量，例6.8解

本節(jié)小結010203函數矩陣的微分與積分數量函數對矩陣變量的導數矩陣值函數對矩陣變量的導數P125

：1;2;3;4預習：6.2節(jié)本節(jié)作業(yè)第6章矩陣函數6.2矩陣序列的極限1矩陣序列的極限設是向量空間中的無窮序列，記為的(i,j)元記為定義6.4

設為矩陣序列，若極限均存在，則稱矩陣序列{}收斂于矩陣A，記為否則，稱為發(fā)散序列例的極限為例向量序列所以定理6.3（任一種矩陣范數）先取證明范數所以的充分必要條件是又由范數的等價性知故的充分必要條件是推論證明矩陣序列的性質

2收斂矩陣

定理6.4定義6.5收斂矩陣證明（必要性）已知為收斂矩陣，則由譜半徑的性質，有即有故（充分性）已知則存在正數，使得，根據定理5.12，存在矩陣范數，使得從而由得，故推論例6.9判斷下列矩陣是否為收斂矩陣（1）可求得（2）因為，所以A是收斂矩陣。，所以A是收斂矩陣。本節(jié)小結0102矩陣序列的極限收斂矩陣P125

：5-6預習：6.3節(jié)本節(jié)作業(yè)第6章矩陣函數6.3矩陣級數與冪級數1矩陣級數定義6.6例6.10

已知的斂散性。研究矩陣級數解

因為所以定義6.7就是絕對收斂的級數。定理6.5定理6.62矩陣冪級數的矩陣級數稱為矩陣冪級數。定義6.8定理6.7推論例6.11

討論下列級數的收斂性解

令可求得A的特征值為于是的收斂半徑為6故冪級數絕對收斂定理6.8例6.12

已知，判斷矩陣冪級數的斂散性。若收斂，試求其和。解

可求得所以，收斂。且例6.13

判斷斂散性解

記則

而冪級數和都收斂所以矩陣原冪級數收斂本節(jié)小結0102矩陣級數冪級數P125

：7-9預習：6.4節(jié)本節(jié)作業(yè)第6章矩陣函數6.4矩陣函數1定義定義6.9設冪級數的收斂半徑為R，其和函數為f(z)，即定義方陣函數如果把矩陣函數的變元A換成At，其中t為參數，則相應得到含參數的矩陣函數。常見的方陣函數含參的方陣函數若，則（t為參數）2計算方法3.用Jordan標準形計算法1.利用H—C定理2.利用相似對角化4.待定系數法利用H—C定理

例6.14解由Cayley-Hamilton定理知從而故例6.15解所以即從而利用相似對角化條件：可對角化方法：

例6.16解所以對應的特征向量為從而對應的特征向量為故用Jordan標準形計算法例6.17

設求解特征矩陣的行列式因子是于是A的不變因子為故A的Jordan標準形為下面求P，使那么定理6.9

設是A的n個特征值，則矩陣函數的特征值為待定系數法由下列條件確定為的代數重數利用特征（最?。┒囗検?H—C定理Step1Step2Step3思想：例6.18解設解得則由故由解得故例6.19設可依次求得解得解設例6.20計算設可依次求得解可求得最小多項式3性質（1）（2）定理6.10證（2）提示：定理6.11若則推論定理6.12定理6.13提示：定理6.14本節(jié)小結0102矩陣函數的定義與常見的矩陣函數矩陣函數的計算方法02矩陣函數的性質P125

：10-13預習：6.5節(jié)本節(jié)作業(yè)第6章矩陣函數6.5

矩陣函數在微分方程組中的應