（舊知復(fù)習(xí)）第3講 分數(shù)乘除法運算及應(yīng)用（教師版）-2024年新六年級數(shù)學(xué)暑假銜接講義（北師大版）

2024年北師大數(shù)學(xué)五升六暑假銜接培優(yōu)精講練過關(guān)講義（知識梳理+易錯精講+真題拔高卷）第3講分數(shù)乘除法運算及應(yīng)用知識點01：分數(shù)乘法1.理解分數(shù)乘法的意義：分數(shù)乘法可以理解為求一個數(shù)的幾分之幾是多少，或者是幾個相同分數(shù)的和。這種理解方式有助于我們解決一些實際問題。2.計算方法的運用：分數(shù)乘整數(shù)：直接用分數(shù)的分子與整數(shù)相乘，分母保持不變。分數(shù)乘分數(shù)：分子相乘作為新的分子，分母相乘作為新的分母。分數(shù)乘小數(shù)：可以將分數(shù)轉(zhuǎn)換為小數(shù)，或?qū)⑿?shù)轉(zhuǎn)換為分數(shù)，然后進行乘法運算。這有助于我們處理混合數(shù)（整數(shù)和分數(shù)）的問題。分數(shù)的約分：在進行分數(shù)乘法運算時，能約分的要先約分，這有助于簡化計算過程，避免得到過于復(fù)雜的答案。知識點02：分數(shù)除法1.倒數(shù)的定義：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。倒數(shù)是兩個數(shù)之間的一種特殊關(guān)系，因此必須說一個數(shù)是另一個數(shù)的倒數(shù)，不能孤立地說某個數(shù)是倒數(shù)。2.求倒數(shù)的方法：將一個分數(shù)的分子和分母交換位置即可得到其倒數(shù)。如的倒數(shù)是。特殊數(shù)的倒數(shù)：1的倒數(shù)仍是1；0沒有倒數(shù)，因為在分數(shù)中，0不能做分母。3.分數(shù)除法的計算法則分數(shù)除法的計算法則基于除法是乘法的逆運算這一原理。具體來說，甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘以乙數(shù)的倒數(shù)。例如，÷＝×＝。在進行分數(shù)除法運算時，需要注意以下幾點：當(dāng)除數(shù)小于1時，商大于被除數(shù)；當(dāng)除數(shù)等于1時，商等于被除數(shù)；當(dāng)除數(shù)大于1時，商小于被除數(shù)。被除數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)時，如果能約分，要先進行約分。4.分數(shù)除法的意義分數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同，都是已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)求另一個因數(shù)。在解決實際問題時，分數(shù)除法可以幫助我們理解數(shù)量之間的比例關(guān)系。5.實際應(yīng)用分數(shù)除法在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用。例如，在分配任務(wù)、計算成本、比較數(shù)量等方面，我們經(jīng)常需要用到分數(shù)除法。知識點03：分數(shù)乘除混合運算1.加減：對于同分母的分數(shù)，加減時分母不變，只需對分子進行加減。對于異分母的分數(shù)，需要先找到兩個分數(shù)的最小公倍數(shù)進行通分，然后再按照同分母分數(shù)的加減法則進行計算。2.乘法：乘法時，分子乘分子作為結(jié)果的分子，分母乘分母作為結(jié)果的分母。同時，如果分子和分母有公因數(shù)，可以先進行約分，再計算。3.除法：除以一個分數(shù)等于乘以這個分數(shù)的倒數(shù)。也就是說，要將除數(shù)變?yōu)樗牡箶?shù)，然后進行乘法運算。4.運算順序在混合運算中，我們遵循“先乘除，后加減”的原則。也就是說，如果有乘法和除法運算，我們需要先完成它們，然后再進行加法和減法運算。如果存在括號，我們需要先計算括號內(nèi)的內(nèi)容。在括號中，也是先乘除后加減。對于同一級運算（如都是乘法或都是除法），我們按照從左到右的順序進行計算。5.簡便運算在混合運算中，如果滿足運算定律（如乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律等），我們可以利用這些定律進行簡便計算。例如，對于乘法分配律，我們知道a×(b+c)=a×b+a×c。這可以幫助我們簡化一些復(fù)雜的運算。6.實際問題解決使用分數(shù)乘除法混合運算可以解決許多實際問題，如“求比已知量多（或少）幾分之幾的量是多少”的問題。這類問題通常需要先找出多（或少）的具體量，然后用單位“1”的量加（或減）去多（或少）的部分，以求出最終答案。易錯點01：混淆分數(shù)與小數(shù):學(xué)生可能會將分數(shù)與小數(shù)混淆，導(dǎo)致計算錯誤。例如，他們可能會錯誤地將3/4誤認為是0.75或?qū)?/5誤認為是0.6。因此，在運算之前，需要確保學(xué)生正確地將分數(shù)轉(zhuǎn)換為小數(shù)（如果需要的話），或者保持分數(shù)形式不變。易錯點02：約分與通分概念不清約分是將一個分數(shù)的分子和分母同時除以它們的最大公約數(shù)，使分數(shù)變得更簡單。而通分是將兩個或多個分數(shù)的分母變成相同的數(shù)，以便于進行加減運算。學(xué)生可能會混淆這兩個概念，導(dǎo)致在約分或通分時出錯。易錯點03：運算順序錯誤分數(shù)乘除法的運算順序與整數(shù)相同，即先進行乘法和除法運算，再進行加法和減法運算。然而，學(xué)生可能會忽略這個順序，導(dǎo)致結(jié)果錯誤。特別是當(dāng)存在多個運算步驟時，他們需要格外注意運算的優(yōu)先級。易錯點04：乘法與除法的逆運算混淆在進行分數(shù)除法運算時，學(xué)生可能會忘記將除法轉(zhuǎn)換為乘法。具體來說，他們應(yīng)該將被除數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)。然而，學(xué)生可能會直接進行約分或忽略這一步驟，導(dǎo)致錯誤。易錯點05：整數(shù)與分數(shù)的乘法當(dāng)整數(shù)與分數(shù)相乘時，學(xué)生可能會忘記將整數(shù)視為一個分數(shù)（即分母為1的分數(shù)）。這可能會導(dǎo)致他們在計算過程中出錯。易錯點06：運算符號看錯學(xué)生可能會將乘法符號（×）誤認為是加法（+）或?qū)⒊ǚ枺ā拢┱`認為是減法（-）或加法（+）。這種錯誤會直接影響計算結(jié)果。易錯點07：結(jié)果化簡：在完成分數(shù)乘除法運算后，學(xué)生需要將結(jié)果化簡為最簡形式。然而，他們可能會忘記這一步或無法正確找出最大公約數(shù)進行約分。易錯點08：帶分數(shù)與假分數(shù)的轉(zhuǎn)換：在運算過程中，可能需要將帶分數(shù)轉(zhuǎn)換為假分數(shù)或?qū)⒓俜謹?shù)轉(zhuǎn)換為帶分數(shù)。然而，學(xué)生可能會忘記這一步驟或轉(zhuǎn)換錯誤。檢測時間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：51（較難）一、慎重選擇(共6題；共12分)1．（2分）（2024五下·武江期中）食堂有面粉540千克，大米的重量是面粉的，大米有（）千克。A．108 B．180 C．900 D．324【答案】D【規(guī)范解答】解：540×=324（千克）

故答案為：D。

【思路分析】以面粉的質(zhì)量為單位“1”，求大米的質(zhì)量就是求面粉質(zhì)量的是多少。用面粉的質(zhì)量乘即可求出大米的質(zhì)量。2．（2分）（2023五下·長順期末）已知A的倒數(shù)小于B的倒數(shù)，則A（）B。A．大于 B．小于 C．等于 D．不能確定【答案】A【規(guī)范解答】已知A的倒數(shù)小于B的倒數(shù)，則A大于B，例如A是3，B是2時，3的倒數(shù)是，2的倒數(shù)是，＜，則3＞2。

故答案為：A。

【思路分析】乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，據(jù)此舉例即可解答。3．（2分）（2023五下·武功期末）淘氣讀一本75頁的故事書，前3天讀了全書的。照這樣的速度，淘氣讀完這本書一共需要（）天。A．25 B．15 C．10 D．5【答案】B【規(guī)范解答】解：3÷=3×5=15（天）

故答案為：B。

【思路分析】已經(jīng)讀的天數(shù)÷已經(jīng)讀的對應(yīng)全書的分率=讀完全書需要的天數(shù)。4．（2分）（2024五下·期中）甲每小時行12千米，乙每小時行8千米。某日甲從東村到西村，乙同時從西村到東村，已知乙到東村時，甲已先到西村5小時，東西兩村的距離是（）千米。A．10 B．120 C．80 D．200【答案】B【規(guī)范解答】解：解：設(shè)兩村的距離是x千米，

+5=

-=5

x=5

x=5×24

x=120

故答案為：B。

【思路分析】等量關(guān)系：甲走的時間+5小時=乙走的時間，根據(jù)等量關(guān)系列方程，根據(jù)等式性質(zhì)解方程。5．（2分）（2023五下·金東期末）在計算÷2的結(jié)果時，下面四種計算方法，不合理的是（）。A． B．÷2=（×5）÷（2×5）C．÷2=（×）÷（2×） D．÷2=5÷4÷2【答案】D【規(guī)范解答】解：不合理的是÷2=5÷4÷2。

故答案為：D。

【思路分析】A項：÷2表示把單位“1”平均分成5份，涂色部分占4份，然后把平均分成2份，涂色部分占1份；

B、C項：應(yīng)用商不變的性質(zhì)計算；

D項：計算錯誤。6．（2分）（2024五下·龍崗期中）五(3)班人數(shù)占全?？?cè)藬?shù)的，其中五(3)班男生占全班人數(shù)的，則五(3)班男生占全?？?cè)藬?shù)的()。A． B． C． D．【答案】D【規(guī)范解答】解：×=。

故答案為：D。

【思路分析】求一個數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法計算，五(3)班男生占全?？?cè)藬?shù)的分率=五(3)班男生占全班人數(shù)的分率×五(3)班人數(shù)占全?？?cè)藬?shù)的分率。二、判斷正誤(共5題；共10分)7．（2分）（2024五下·邯鄲期中）a，b，c是三個不為零的數(shù)，且a＞b＞c，則a×＞a×。（）【答案】錯誤【規(guī)范解答】解：因為a＞b＞c，則＜，那么a×＜a×。

故答案為：錯誤。

【思路分析】同分子分數(shù)，分母小的分數(shù)大，因為a＞b＞c，則＜，又因為一個因數(shù)a相同，另一個因數(shù)大的積就大。8．（2分）（2024五下·武江期中）7千克的與1千克的相等。（）【答案】正確【規(guī)范解答】解：7千克的與1千克的相等。原題說法正確。

故答案為：正確。

【思路分析】7千克的與1千克的都是千克，所以它們是相等的。9．（2分）（2023五下·榕城）kg的食用油，每天用去，一共可以用4天。（）【答案】錯誤【規(guī)范解答】解：1÷=5（天）。

故答案為：錯誤。

【思路分析】可以用的天數(shù)=單位“1”÷平均每天用去的分率。10．（2分）（2021五下·大埔期末）一個數(shù)除以，商一定比這個數(shù)大。（）【答案】錯誤【規(guī)范解答】解：因為＜1，所以一個非0的數(shù)除以，商一定比這個數(shù)大。

故答案為：錯誤?！舅悸贩治觥恳粋€非0的數(shù)除以小于1的數(shù)，所得的商大于原來的數(shù)；反之，商小于原來的數(shù)。11．（2分）（2021五下·惠城月考）六（1）班男生有20人，占全班人數(shù)的，六（1）班有多少人？列試為20÷。（）【答案】正確【規(guī)范解答】解：20÷=35（人）。

故答案為：正確。【思路分析】六（1）班的總?cè)藬?shù)=男生人數(shù)÷男生占的分率。三、仔細想，認真填(共8題；共19分)12．（4分）（2024五下·龍崗期中）12個的和是；噸的是噸；米比米多米；最小的合數(shù)的倒數(shù)是?！敬鸢浮?0；；；【規(guī)范解答】解：第一題：12×=10；

第二題：×=（噸）；

第三題：-=（米）；

第四題：最小的合數(shù)的倒數(shù)是。

故答案為：10；；；。

【思路分析】第一題：根據(jù)分數(shù)乘整數(shù)的意義求出12個的和；

第二題：求一個數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法計算；

第三題：一只一個數(shù)比另一個數(shù)多多少，求另一個數(shù)用減法計算；

第四題：最小的合數(shù)是4，乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，根據(jù)倒數(shù)的意義判斷4的倒數(shù)。13．（2分）（2024五下·湛江期中）一個長方體的長是15dm，寬是5dm，高是長的，這個長方體的體積是dm，表面積是dm?！敬鸢浮?25；270【規(guī)范解答】解：高：15×=3（dm）；

體積：15×5×3=225（dm3）；

表面積：（15×5+15×3+5×3）×2

=（75+45+15）×2

=135×2

=270（dm2）

故答案為：225；270。

【思路分析】長方體表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2，長方體體積=長×寬×高，先求出高，然后分別求出體積和表面積即可。14．（2分）（2024五下·湛江期中）一桶食用油重6L，每天用去這桶油的，4天用去這桶油，用去了L。【答案】；2【規(guī)范解答】解：第一問：×4=；

第二問：6×=2（L）。

故答案為：；2。

【思路分析】第一問：用每天用去這桶油的分率乘4即可求出4天用去這桶油的幾分之幾；

第二問：用這桶油的總重量乘4天用去的分率即可求出4天用去的量。15．（2分）（2024五下·威縣期中）張叔叔承包了一片山地，他準備用這片山地的種農(nóng)作物，種果樹。如果農(nóng)作物的是玉米，玉米地占整塊地的，如果果樹的是棗樹，棗樹占整塊地的?！敬鸢浮浚???????【規(guī)范解答】解：×=

×=。

故答案為：；。

【思路分析】玉米地占整塊地的分率=農(nóng)作物占的分率×玉米占的分率，棗樹占整塊地的分率=果樹占的分率×棗樹占的分率。16．（2分）（2023五下·惠州期末）把米長的繩子平均剪成4段，每段長是米，每段是全長的?！敬鸢浮?；【規(guī)范解答】解：÷4=（米），1÷4=。

故答案為：；。

【思路分析】把繩子的長度看做單位1，單位1÷平均分的段數(shù)=每段繩子是這根繩子的幾分之幾；繩子的長度÷平均分的段數(shù)=每段繩子的長度。17．（3分）（2023五下·福田期末）在▲里填上“>”“<”或“=”【答案】＜；＞；＞【規(guī)范解答】解：因為＜1，所以×＜÷；

因為＞1，所以×＞；

因為＜1，所以＞×。

故答案為：＜；＞；＞。

【思路分析】一個數(shù)（0和負數(shù)除外）除以小于1的數(shù)，所得的商大于原來的數(shù)；反之，商小于原來的數(shù)；一個數(shù)（0和負數(shù)除外）乘小于1的數(shù)，所得的積小于原來的數(shù)，反之，積大于原來的數(shù)。18．（2分）（2023五下·桂平期末）一件工藝品按原價的售出是140元，這件工藝品原價是元，如果按原價的售出，售價是元?！敬鸢浮?60；144【規(guī)范解答】解：140÷=160（元）

160×=144（元）。

故答案為：160；144。

【思路分析】這件工藝品原價=現(xiàn)價÷折扣；售價=原價×。19．（2分）明明做8道應(yīng)用題用小時，平均每道題用小時？合分鐘？【答案】；6【規(guī)范解答】÷8=小時，60=6分鐘。【思路分析】把一個數(shù)平均分成幾份用除法，大單位化小單位乘以進率。四、計算能手(共1題；共8分)20．（8分）（2023五下·城固期末）直接寫出得數(shù)。1÷=45×=÷4=【答案】1÷=45×=36÷4=【思路分析】異分母分數(shù)相加減，先通分，然后按照同分母分數(shù)加減法進行計算；

分數(shù)乘整數(shù)，用分數(shù)的分子和整數(shù)相乘作分子，分母不變，能約分的先約分后計算，不能約分的直接計算；

分數(shù)乘分數(shù)，能約分的先約分，然后分子和分子相乘的結(jié)果做分子，分母和分母相乘的結(jié)果做分母；

除以分數(shù)，等于乘上這個分數(shù)的倒數(shù)，然后再按照分數(shù)乘以分數(shù)的方法計算；

除以整數(shù)，等于乘上這個整數(shù)的倒數(shù)，然后再按照分數(shù)乘以分數(shù)的方法計算。五、解決問題(共10題；共51分)21．（5分）（2024五下·徐聞期中）某班男生有30人，女同學(xué)的人數(shù)占男生人數(shù)的，全班有多少人？【答案】解：30+30×

=30+20

=50（人）

答：全班有50人?！舅悸贩治觥肯扔媚猩娜藬?shù)乘女同學(xué)的人數(shù)占男生人數(shù)的分數(shù)，求出女同學(xué)的人數(shù)，再用男生的人數(shù)加上女同學(xué)的人數(shù)，即可求出全班的人數(shù)。22．（5分）（2024五下·邯鄲期中）濟南到南京的鐵路長663千米。一列火車從濟南開往南京，已經(jīng)行了全程。（1）（2分）在圖上標出此時火車的大致位置。（2）（3分）此時火車行駛了多少千米？離南京還有多少千米？【答案】（1）解：

（2）解：663×＝442（千米）663-442＝221（千米）答：此時火車行駛了442千米，離南京還有221千米?！舅悸贩治觥浚?）此時火車的大致位置在從濟南開始到南京的處；

（2）此時火車行駛的路程=濟南到南京的鐵路長×，離南京還有的路程=濟南到南京的鐵路長-火車行駛的路程。23．（2分）（2024五下·坪山期中）魯班鎖起源于中國古建筑中首創(chuàng)的梆卯(凹凸)結(jié)構(gòu)。某創(chuàng)客社團最近舉辦了“傳承工匠精神，解密非遺風(fēng)采”的魯班鎖主題活動。在魯班鋇速解比賽中，小鳴用時分，小娟用時分，小洋用時84秒，請問誰最快?【答案】解：小鳴：=1分+分=60秒+45秒=105秒小娟：秒=88秒105秒>88秒>84秒答：小洋最快?！舅悸贩治觥?分=60秒，根據(jù)分數(shù)乘整數(shù)的計算方法把分都換算成秒，比較三人的用時，確定誰最快即可。用時最短的最快。24．（6分）（2024五下·威縣期中）2023年12月27日，隨著杭昌高鐵黃山至南昌段（黃昌鐵路）正式建成通車，杭昌高鐵全線貫通運營。已知本次建成通車的黃昌段鐵路全長288千米，杭昌高鐵全長560千米。（1）（3分）如果高鐵駛過黃昌段的鄱陽湖特大橋約占黃昌段鐵路的，那么這段鄱陽湖特大橋約長多少千米?（用小數(shù)表示）（2）（3分）如果張叔叔乘坐G4016次列車（從南昌東-杭州西）走了全程的時，李叔叔乘坐的G4015次列車（從杭州西-南昌東）走了全程的，此時這兩輛列車相距多少千米？【答案】（1）解：（千米）

答：這段鄱陽湖特大橋約長46.08千米。（2）解：560×（1--）

=560×

=378（千米）

答：此時這兩輛列車相距378千米?！舅悸贩治觥浚?）這段鄱陽湖特大橋大約的長度=本次建成通車的黃昌段鐵路全長×黃昌段鐵路占的分率；

（2）此時這兩輛列車相距的路程=杭昌高鐵的全長×（1--）。25．（5分）（2024五下·海門月考）媽媽的年齡比小玲的3倍多4歲。媽媽今年40歲，小玲今年多少歲?【答案】解：設(shè)小玲今年x歲。

3x+4=40

3x=40-4

3x=36

x=36÷3

x=12

答：小玲今年12歲?！舅悸贩治觥康攘筷P(guān)系：小玲的年齡×3倍+4歲=媽媽的年齡；根據(jù)等量關(guān)系列方程，根據(jù)等式性質(zhì)解方程。26．（5分）（2024五下·上思）每千克西瓜3.6元，買4千克蘋果比買6千克西瓜多花2.4元，每千克蘋果多少元？（列方程解決問題）【答案】解：設(shè)每千克蘋果x元。

4x-3.6×6=2.4

4x-21.6=2.4

4x=24

x=24÷4

x=6

答：每千克蘋果6元。【思路分析】設(shè)每千克蘋果x元。依據(jù)等量關(guān)系式：蘋果的單價×買蘋果的質(zhì)量-西瓜的單價×買西瓜的質(zhì)量=買蘋果比買西瓜多花的錢數(shù)，列方程，解方程。27．（5分）（2024五下·威縣月考）媽媽下班回家要走20分鐘，爸爸下班回家要走小時。如果爸爸和媽媽走路的速度相同，誰離單位近一些?【答案】解：20÷60=（小時）<

答：媽媽離單位近一些?！舅?/p>