廣東省部分學(xué)校2024年高一下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題答案

2023—2024學(xué)年第二學(xué)期聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高一數(shù)學(xué)解析版注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，故的虛部?故選：A.2．某高中為增強(qiáng)學(xué)生的海洋國(guó)防意識(shí)，組織本校1000名學(xué)生參加了“逐夢(mèng)深藍(lán)，山河榮耀”的國(guó)防知識(shí)競(jìng)賽，從中隨機(jī)抽取200名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（單位：分），成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）①頻率分布直方圖中a的值為0.005②估計(jì)這200名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的第60百分位數(shù)為80③估計(jì)這200名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為78④估計(jì)總體中成績(jī)落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為150A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④【答案】B【詳解】由頻率分布直方圖可得：，解得，故①正確；前三個(gè)矩形的面積為，即第60百分位數(shù)為80，故②正確；估計(jì)這200名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為，故③錯(cuò)誤；總體中成績(jī)落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，故④正確；故選：B3．若向量，，則在上的投影向量的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，則，所以在上的投影向量.故選：B.4．的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，，則的面積為（

）A． B． C．或 D．【答案】C【詳解】由正弦定理得，即，解得，是三角形內(nèi)角，或當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，．故選：C．5．如圖正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】

如圖，過(guò)作下底面的投影，垂足為，上底面對(duì)角線長(zhǎng)，下底面對(duì)角線長(zhǎng)，則，可得正四棱臺(tái)的高，所以正四棱臺(tái)的體積.故選：D6．蘇州雙塔又稱羅漢院雙塔，位于江蘇省蘇州市鳳凰街定慧寺巷的雙塔院內(nèi)，二塔“外貌”幾乎完全一樣（高度相等，二塔根據(jù)位置稱為東塔和西塔）.某測(cè)繪小組為了測(cè)量蘇州雙塔的實(shí)際高度，選取了與塔底，（為東塔塔底，為西塔塔底）在同一水平面內(nèi)的測(cè)量基點(diǎn)，并測(cè)得米.在點(diǎn)測(cè)得東塔頂?shù)难鼋菫椋邳c(diǎn)測(cè)得西塔頂?shù)难鼋菫椋遥瑒t蘇州雙塔的高度為（

）A．30米 B．33米 C．36米 D．44米【答案】B【詳解】設(shè)蘇州雙塔的高度為h米，依題意可得米，米.因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ淼?，解?故選：B7．某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，隨意撥號(hào)（撥過(guò)的號(hào)碼后面不再重復(fù)撥），則撥號(hào)不超過(guò)三次而接通電話的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè){第i次撥號(hào)接通電話}，．撥號(hào)不超過(guò)3次而接通電話可表示為，所以撥號(hào)不超過(guò)3次而接通電話的概率為.故選：B.8．在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，且，則，由余弦定理可得，所以，即，由正弦定理可得，其中，則，所以，又，化簡(jiǎn)可得，且為銳角三角形，則，所以，即，解得或（舍），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則的最大值為.故選：B二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知復(fù)數(shù)，，則（

）A． B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限C． D．為純虛數(shù)【答案】ABC【詳解】,故A正確，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故B正確，，故，C正確，，不為純虛數(shù)，故D錯(cuò)誤，故選：ABC10．已知事件，且，，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則 B．若與互斥，則C．若與相互獨(dú)立，則 D．若與相互獨(dú)立，則【答案】BC【詳解】對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若與互斥，則，故B正確；對(duì)于C，若與相互獨(dú)立，則與相互獨(dú)立，所以，故C正確；對(duì)于D，若與相互獨(dú)立，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．存在點(diǎn)，使得平面B．二面角的余弦值為C．三棱錐的內(nèi)切球的體積為D．的周長(zhǎng)的最小值為【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)點(diǎn)是棱的中點(diǎn)時(shí)，平面，因?yàn)樵谡叫沃?，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以．在正方體中，平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，又，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)，連接，，，在中，，，所以，．在中，，，所以，，所以是二面角的平面角．在中，，，，由余弦定理得，即二面角的余弦值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為，，又，又，解得，所以三棱錐的內(nèi)切球的體積為，故C正確；對(duì)于D，將平面沿展開(kāi)到與平面共面，此時(shí)當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，所以，又，所以的周長(zhǎng)的最小值為，故D正確．故選：ACD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為．【答案】【詳解】由余弦定理，，代入，，，得，即，解得或（舍去），則的面積為.故答案為：.13．一只不透明的袋子中裝有形狀、大小都相同的5個(gè)小球，其中2個(gè)黃球、2個(gè)白球、1個(gè)紅球．先后從中無(wú)放回地取兩次小球，每次隨機(jī)取出2個(gè)小球，記下顏色計(jì)算得分，得分規(guī)則如下：“2個(gè)小球顏色相同”加1分，“2個(gè)小球顏色一黃一白”得0分，“2個(gè)小球中有紅球”減1分，則“兩次得分和為0分”的概率為．【答案】/【詳解】“兩次得分和為0分”可能的情況有第一次“2個(gè)小球顏色相同”，第二次“2個(gè)小球中有紅球”，或第一次“2個(gè)小球中有紅球”，第二次“2個(gè)小球顏色相同”，或兩次均為“2個(gè)小球顏色一黃一白”，第一次“2個(gè)小球顏色相同”，第二次“2個(gè)小球中有紅球”，記黃球?yàn)椋?個(gè)白球?yàn)椤?個(gè)紅球?yàn)?，利用枚舉法可知從中一次取2個(gè)小球?yàn)?，共?0種取法，而顏色相同的取法有兩種，故第一次取2個(gè)小球顏色相同的概率為，第二次取2個(gè)小球中有紅球的概率為，所以第一次“2個(gè)小球顏色相同”，第二次“2個(gè)小球中有紅球”的概率為．第一次“2個(gè)小球中有紅球”，第二次“2個(gè)小球顏色相同”，第一次取2個(gè)小球中有紅球的概率為，第二次2個(gè)小球顏色相同的概率為，所以第一次“2個(gè)小球中有紅球”，第二次“2個(gè)小球顏色相同”的概率為．兩次均為“2個(gè)小球顏色一黃一白”，第一次取2個(gè)小球，“2個(gè)小球顏色一黃一白”的概率為，第二次取2個(gè)小球，“2個(gè)小球顏色一黃一白”的概率為，所以兩次均為“2個(gè)小球顏色一黃一白”的概率為．所以兩次先后取2個(gè)小球，得分為零分的概率為.故答案為：.14．如圖，所有頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的面叫做擬柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側(cè)面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的高，現(xiàn)有一擬柱體，上下底面均為正六邊形，下底面邊長(zhǎng)為且上底面各頂點(diǎn)在下底面的射影點(diǎn)為下底面各邊的中點(diǎn)，高為，則該擬柱體的表面積為.

【答案】【詳解】如圖，上底面正六邊形的頂點(diǎn)在下底面上的射影分別為點(diǎn)，則，顯然，四邊形為矩形，點(diǎn)是下底面正六邊形邊的中點(diǎn)，則，，，底邊上的高為，則，因此，該擬柱體上底面面積為，下底面面積為，側(cè)面積為，所以該擬柱體的表面積為.故答案為：

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.（本小題13分）在五一假期中，某校組織全校學(xué)生開(kāi)展了社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，抽樣調(diào)查了其中的100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），并將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制成如圖的頻率分布直方圖.另外，根據(jù)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間從長(zhǎng)到短按的比例分別被評(píng)為優(yōu)秀、良好、合格.

(1)求的值并估計(jì)該學(xué)校學(xué)生在這個(gè)五一假期中參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）；(2)試估計(jì)至少參加多少小時(shí)的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，方可被評(píng)為優(yōu)秀.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.(3)根據(jù)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的成績(jī)，按分層抽樣的方式抽取5名學(xué)生.從這5名學(xué)生中，任選3人，求這3名學(xué)生成績(jī)各不相同的概率.【答案】(1)，20.32小時(shí)(2)21.73小時(shí)(3)【詳解】（1）由，解得，因?yàn)樾r(shí)，所以該學(xué)校學(xué)生假期中參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間的平均數(shù)約為20.32小時(shí).（2）時(shí)間從長(zhǎng)到短按的比例分別被評(píng)為優(yōu)秀、良好、合格，由題意知，即求60百分位數(shù)，又，，所以60百分位數(shù)位于18~22之間，設(shè)60百分位數(shù)為，則，解得小時(shí).故至少參加21.73小時(shí)的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，方可被評(píng)為優(yōu)秀.（3）易知，5名學(xué)生中，優(yōu)秀有人，設(shè)為，良好有人，設(shè)為，合格有人，設(shè)為.任選3人，總共有，10種情況，其中符合的有，共4種，故概率為.16.（本小題15分）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng)【答案】(1)(2)【詳解】（1）由又得其中化簡(jiǎn)得又得.即因?yàn)槭侨切蔚膬?nèi)角，所以.（2）由，得，由余弦定理，得，得，得，所以的周長(zhǎng)為．17.（本小題15分）如圖，在直角梯形中，，，，，，邊上一點(diǎn)滿足，現(xiàn)將沿折起到的位置，使得.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）平面圖形中，連接，因?yàn)椋?，所以，故，又，所以四邊形為平行四邊形，Rt中，由勾股定理得，且，因?yàn)?，，所以為等邊三角形，四邊形為菱形，為等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，則，連接，，又，故，即，又，平面，平面，平面，平面平面；（2）由（1）知，平面，平面，所以，作于，連接，因?yàn)椋?，平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面?在直角中，，，可得，，故二面角的余弦值為.18.（本小題17分）平面四邊形中，，，，．(1)求；(2)求四邊形周長(zhǎng)的取值范圍；(3)若為邊上一點(diǎn)，且滿足，，求的面積．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，在中由余弦定理；?）在中，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，則，即，所以，所以，即四邊形周長(zhǎng)的取值范圍為；（3）因?yàn)?，所以，又，所以，，又，所以，在中由余弦定理，即在中由余弦定理，即，又，所以，所以，又，所以，即，所以，所以，所以，所?.19.（本小題17分）為了增添學(xué)習(xí)生活的樂(lè)趣，甲、乙兩人決定進(jìn)行一場(chǎng)投籃比賽，每次投1個(gè)球．先由其中一人投籃，若投籃不中，則換另一人投籃；若投籃命中，則由他繼續(xù)投籃，當(dāng)且僅當(dāng)出現(xiàn)某人連續(xù)兩次投籃命中的情況，則比賽結(jié)束，且此人獲勝．經(jīng)過(guò)抽簽決定，甲先開(kāi)始投籃．已知甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，且兩人每次投籃的結(jié)果均互不干擾．(1)求甲、乙投籃總次數(shù)不超過(guò)4次時(shí)，乙獲勝的概率；(2)求比賽結(jié)束時(shí)，甲恰好投了2次籃的概率．【答案】(1)(2)【詳解】（1）若甲、乙投籃總次數(shù)為次，則乙不可能獲勝；若甲、乙投籃總次數(shù)為次且乙獲勝，則第一次甲未投中，乙投中第2、3次，所以；若甲、乙投籃總次數(shù)為次乙獲勝，則第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投