高中數(shù)學(xué)-圓與方程

圓與方程

1圓的方程

1.知識?能力聚焦

1.點與圓的位置關(guān)系

點與圓的位置關(guān)系有點在圓心、圓上、圓外三種。

其判斷方法是：由兩點間的距離公式求出該點到圓心的距離，再與圓的半徑比較大小

或利用點與圓的方程來判定。

設(shè)點-%)到圓C：(無-a)?+(y-加2=，的圓心C的距離為d,則

d=|MC|=4+(%—加2,

將所給點."與圓心。的距離跟半徑作比較：

若|CM|=r,則"點在圓。上；

若則"點在圓。外；

若|CM|Y-，則"點在圓。內(nèi)。

利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來判定：

點M(m,A)在圓C上=?！ㄒ?。)2+(〃-。)2=r2；

點M(m,n)在圓。外o(/“-a)?+(n-b)2>r2；

點M(m,n)在圓。內(nèi)。(m—a)2+(n-b)2Yr2。

2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

出4-1-1如圖4T-1所示，設(shè)圓心是。Q,6)半徑是r。

設(shè)M(x,y)是圓上任意一點，根據(jù)定義，點，"到圓心C的距離等于八點"到圓

心。的距離等于ro

有兩點的距離公式，點"的坐標(biāo)適合的條件可表示為

yl(x-a)2+(y-b)2.

把上式兩邊平方，得

(x-a)2+(y-b)2=r2.(*)

即圓的方程為：(x-a)2+(y-b)2=r2.

［注意］(1)稱(*)式為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

(2)如果圓心在坐標(biāo)原點，這時a=0,b=0。圓的方程就是/+

(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-與2=/=/o圓心為eg,力,半徑是「它顯示了圓的

集合特點。

3.幾何特殊位置的圓的方程

條件方程形式

圓心在原點

x2+y2=r2(r^O)

(x-a)2+(y-b)2=cr+b2

過原點

("+”0)

圓心在X軸上

(x-a)2+y2=產(chǎn)(rw0)

圓心在y軸上x2+(y-0)2=產(chǎn)(廠工0)

圓心在X軸上且過原點(x-a)2+y2=a2(a0)

圓心在軸上且過原點

yx2+(y-b)2=b?(b豐0)

與X軸相切(x-a)2+(j-Z7)2=b2

與y軸相切22

(x-a)+(y-/?)2=a

(x-a)2+(y-8>=a2

與兩坐標(biāo)軸相切

刎=6/0)

4.圓的一般方程

(1)二元二次方程4？+3盯+02+m+石伊+6=0表示圓的充要條件為：

①人二。。。；②5=0;③。2+爐-44/A0.而條件①與②皆為二元二次方程表示圓

的必要條件。因為若二元二次方程僅滿足條件①與條件②，那么上述二元二次方程可

轉(zhuǎn)化為

犬2+/+3+多+￡=0,配方可得(％+務(wù)『+('+盤『=土噴誣.

AAA

當(dāng)。2+爐一44尸=0時，它只表示一個點(一痣，一套)；

當(dāng)￡>2+E2—4A尸YO時，他不表示任何圖形；

（nF\\ID2+E2-4AF

當(dāng)。2+爐_4AFAO時，它才表示一個圓，其圓心為（一萬，一萬），半徑為綱.

（2）由方程++++=D^-4F

①當(dāng)。2+￡2_44=0時,方程表示一個點（一9,一號）；

②當(dāng)。2+屈—4EY0時，方程不表示任何圖形；

③當(dāng)斤+爐一4F”時，方程表示一個圓，其圓心為（一%—專），半徑為螞至，

此時，方程f+；/+6+尸=（）叫圓的一般方程。

【例一】已經(jīng)圓心C（3,4）,半徑r=5,求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點A（0,0）、B

（1,3）是在圓上、圓外、還是圓內(nèi)？

【例二】寫出下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（1）圓心在原點，半徑為8；

（2）圓心在（2,3）半徑為2；

（3）圓心在（2,-1）且過原點。

【例三】判斷下列方程是否表示圓。若是，化成標(biāo)準(zhǔn)方程。

(1)x2+y2+2x4-1=0

(2)x2+y1+lay-1=0

(3)x2+y2+20x+121=0

(4)工2+y2+2ax-0

2.方法?技巧平臺

5.確定圓的方程的方法

(1)確定遠(yuǎn)的方程的主要方法是待定系數(shù)法。如果選擇標(biāo)準(zhǔn)時。即列出a、b、r或

直接求出圓心(a、b)和半徑r的方程分組，求a、b、r或直接求圓心(a、b)和

半徑r,一般步驟為：

①根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)?+(y-加2=/：

②根據(jù)已知條件，建立關(guān)系與a、b、r的方程組；

③解方程組，并把它們帶入所設(shè)的方程中去。整理后就得到所求。

在求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，盡量利用圓的幾何性質(zhì)，可以大大的減少計算量。

一般地，圓心的三個重要幾何性質(zhì)為：

①圓心在過切點且與切線垂直的直線上；

②圓心在某一條弦的中垂線上；

③兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線。

(2)如果已經(jīng)條件中圓心的位置不能確定，則選擇圓的一般形式。圓的一般方程也

含有三個獨立的參數(shù)，因此，必須具備三個獨立的條件，才能確定圓的一般方程，其

方法仍采用待定系數(shù)法。設(shè)所求圓的方程為V+V+Ox+Ey+FuO,由三個條件得到

關(guān)于D、E、F的一個三元一次方程組，解方程組，確定D、E、F的值。

6.特殊條件的圓的方程的求解方法

對于一些特殊條件下圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程的形式如下：

標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程

圓心在原點

x2+y2=r2(r^0)x2+y2-r2=0(r70)

過原點

(x-a)2+(y-b)2=a2+b2x+y~+Dx+Ey=Q

圓心在x軸上

(x-a)2+y2=rx2+y2+Dx+E=Q

圓心在y軸上

x2+(y-b)2=rx2+y2+Ey+F=0

圓心在x軸上且過原點

(x-tz)2+y2=ax2+y2+Dx=O

圓心在y軸上且過原點

x2+(y-b)2=b2x2+y2+Ey=Q

與x軸相切

(x-a)2+(y-b)2=b2x2+y2+Dx+Ey+F=Q

(D2-4F=0)

與y軸相切

(x-a)2+(y-b)2=ax2+y2+Dx+Ey+F=Q

⑻一"二。)

因此，在用待定系數(shù)法求圓的方程時，應(yīng)盡量注意特殊位置圓的特點、規(guī)律性。

其次，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)動平面幾何知識，可使解法靈活簡便。若涉及與弦長有關(guān)的問題，運(yùn)

用弦長、弦心距、半徑之間的關(guān)系及韋達(dá)定理等可簡化過程。

7.與圓的弦長有關(guān)的問題

求圓的弦長有多種方法：一是直接求出直線與圓的交點坐標(biāo)，再利用兩點間的距

離公式得出；二是不求交點坐標(biāo)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出；三十利用

圓中半弦、弦心距及半徑構(gòu)成的直角三角形來求，對于圓中的弦長，一般利用第三種

方法比較簡潔。

下列例題的解法就是采用第三種解法。

［例］求圓心為C(2,-1),且截直線y=x-l所得弦的弦長為2&的圓的方程。

［解析］設(shè)圓的方程為(尤-2)2+“+1)2=/(>0)。

由題設(shè)知，圓心到直線y=x-l的距離為7=畜1=也。

又直線y=x-l被圓截得的弦長問2痣，

242=2-J產(chǎn)一屋,即2&=2.J/—2。

解得r=2.

所求圓的方程為。-2)2+(y+l>=4。

說明：在解決與弦長有關(guān)的問題中，首先考慮弦長/=2jS—,其中d是圓心到弦所在直線

的距離。

8.與圓的有關(guān)的軌跡問題

教材中求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程給我們提供了求平面上動點的軌跡方程的一般方

法，軌跡問題的求解時解析幾何的一個重要內(nèi)容，要認(rèn)真體會。

［例］已知一曲線是與兩個頂點0(0,0)、A(3,0)距離的比為的點L的軌跡，求出

2

曲線的方程。

?4-l-2

［解析］在給定的坐標(biāo)系中，設(shè)M(x,y)是曲線上的任意一點，點M在曲線上的條

H\MO\_1

°MA2'

由兩點的距離公式，上式用坐標(biāo)表示為

兩邊平方并化簡，得曲線方程f+>2+2%-3=0。

將方程配方，得(x+1)2+丁=4。

.??所求曲線是圓心為C(-1,0),半徑為2的圓(如圖4-1-2所示)。

【例四】求圓心在直線2x-y—3=0上，且過點(5,2)和(3,-2)的圓的方程。

【例五】一個等腰三角形底邊的高等于4,底邊兩段點的坐標(biāo)是B(-3,0)和C(3,0),

求它的外接圓的方程。

圖4_|-5用4-1-6

【例六】設(shè)圓滿足：（1）截y軸所得弦長為2；（2）被x軸分成兩段圓弧，其弧長的

比為3：1,在滿足（1）、（2）的所有圓中，求圓心到直線/:x-2y=0的距

離最小的圓的方程。

【例七】已知圓的方程為V+V-6》_6），+14=0求過點A（-3,-5）的直線交圓的

弦PQ的中點M的軌跡方程。

3.創(chuàng)新?思維拓展

9.利用圓的方程，解決實際問題

數(shù)學(xué)實際應(yīng)用題詩數(shù)學(xué)廣泛應(yīng)用性特點的體現(xiàn)，在多年來的高考中的得到了重視,

除了在選擇、填空中出現(xiàn)外，每年高考都有一個大題出現(xiàn)，應(yīng)引起重視。

54-1-3

［例］如圖4-1-3所示是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度A8=20米，拱

高0P=4米，在建造時每隔4米需要一支柱支撐，求支柱A2P2的長度（精確的到

米）。

［解析］建立如圖4-1-3所示坐標(biāo)系，設(shè)圓的方程為/+：/+6+6+尸=0.由于圓

心在y軸上，所以D=0,那么，方程即為x2+y2+@+p=o。

下面用待定系數(shù)法來確定E、F的值:

因為P、B都在圓上，所以它們的坐標(biāo)(0,4)、(10,0)都是這個圓的方程的解，于是有方程

[42+4E+F=0

組《解得F=-100,E=21.

[102+F=0

.?.這個圓的方程式f+y2+21y-100=0。

把點P2的橫坐標(biāo)x=-2帶入這個圓的方程，

得(-2)2+/+21y-100=0,>2+21y—96=0.

???P2的縱坐標(biāo)大于0，故應(yīng)取正值。

-21+52+4X96-.86(米)。

2

答：支柱A2P2的長度約為3.86米。

10.與圓有關(guān)的最值問題

有一類最值問題常常與圓的方程聯(lián)系在一起，求解時應(yīng)充分利用圓的有關(guān)幾何性質(zhì)。

[例]點P是圓C：(x-5)2+(y-5)2=，&A0)上的一個動點，它關(guān)于點A(9,0)的對稱點

位Q,。為原點，線段OP繞原先O依逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，所得線段為OR,當(dāng)r為常數(shù)時,

求IQRI的最小值與最大值。

【例八】已知實數(shù)x和y滿足方程：(x+l)2+y2=l_,試求(1)2(2)

4x

J(x-2)2+(y_3)2的最值

34-1-9

4.能力?題型設(shè)計

速效基礎(chǔ)演練

2

1.已知點(a+l,a-l)在圓/+y-x+y-4=0的外部，則a的取值范圍是()。

A.(—co,-\^)U+℃)B.(—co,2)U⑵

C.(—co,—\/2)U(V2,+℃)D.(—co,—2)U⑵+℃)

2.若方程/+必+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓，則a的取值范圍是（）□

A.aY-2或aB.-：Y<3Y0

C.—2YaY0D.-2YaY]

3.已知圓C的圓心在直線y=x上，且與x軸相切于點（1,0）,由此圓的方程為（）。

A.(x-I)2+(y-I)2=1B.(x+I)2+(y+I)?=1

C.%2+y2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1

4.經(jīng)過點P（5,1）,圓心為C（8,-3）的圓的方程是（）。

A.(x+8)2+(y+3)2=25B.(x-8)2+(y+3)2=25

C.(x-8)2+(y-3)2=25D.(x+8)2+(y-3)2=25

5.若點P(-1,6)在圓爐+y2=1上，則實數(shù)m=___________.

6.經(jīng)過原點，圓心在x軸的負(fù)半軸，半徑為2的圓的方程是.

7.若圓C的方程為/+2x+/+4y-4=0,則該圓的圓心坐標(biāo)為.

8.求經(jīng)過A（4,2）、B（-1,3）兩點，且在坐標(biāo)軸上的四個截距之和是2的圓的方程。

知識提升突破

2

1.若方程/+y-X+y+R=0表示一個圓，則R的取值范圍是（）。

A.（-00,2]B.（-oo,2）C.（一°°，夕D.（一004

2.方程/+y?+4wu-2y+5加=0表示一個圓，則R的取值范圍是（）。

A.—YWYIB.m>-lC.mD.WY—或〃

444

fYj-

3.若直線x—5y+3=0經(jīng)過圓/+丁—機(jī)*+2)，+——1=0的圓心，則m等于().

4

A.-16B.16C.0或16D.0或-16

4.若曲線f+V+Y+q一”2)＞一4=0關(guān)于直線y—x=0對稱的曲線仍是其本身，則實數(shù)a

為()。

B+農(nóng)1V2D」或也

C.一或-----

22222

5.一個動點在圓d+J/=1上移動時，它與定點(3,0)連線中點的軌跡方程是()。

A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1

31

C.(2x-3)2+4y2=lD.(x+-)2+y2

6.已知圓——4x—4+V=0的圓心是點p,則點p到直線x—y—1=0的距離是,

7.圓(x-a)2+(y-b)2=r2過原點的充要條件是。

8.以A(2.,2)、B(5,3)、C(3,-1)為頂點的三角形的外接圓的方程是

9.一圓過原點O和點P(1,3),圓心在直線y=x+2上，求此圓的方程。

10.求圓心在直線y=2x上且兩直線3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圓的方程。

11.已知方程/+;/一2?+3)_￥+2(1-4/方+16〃+9=0(/6R)表示的原形是圓。

(1)求t的取值范圍；

(2)求其中面積最大的圓的方程：

(3)若點P(3,4t2)恒在所給圓內(nèi)，求t的取值范圍。

12.在氣象臺A正西方向300千米處有一臺風(fēng)中心，它以每小時40千米的速度向東北方向移動，

距臺風(fēng)中心250千米以內(nèi)的地方都要受其影響。問：從現(xiàn)在起，大約多長時間后，氣象臺A所在

地將遭受臺風(fēng)影響？持續(xù)多長時間？

2直線、圓的位置關(guān)系

1.知識?能力聚焦

1.直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓的位置關(guān)系有相離(沒有公共點)、相切(只有一個公共點)、相切(有

兩個公共點)三種。研究直線與圓的位置關(guān)系的問題的途徑主要有兩個：一是圓心到

直線的距離與圓的半徑進(jìn)行大小的比較；二是考察直線與圓的方程組成的方程組的解

的個數(shù)，這又要用到一元二次方程的判別式。

(1)如果直線到圓心的距離為d,圓的半徑為r,那么：①若d>r,則直線與圓

相離；②若d=r,則直線與圓相切；③若dVr,則直線與圓相交。

(2)如果直線方程為y=kx+m,圓的方程為(x-。)?=/，將直線方程待入

圓的方程，消去y,得x的一元二次方程式&2+。*+/?=0,那么：

①當(dāng)AV0時，直線與圓沒有公共點；

②當(dāng)△=()時，直線與圓有且只有一個公共點；

③當(dāng)△>()時，直線與圓有兩個不同的公共點。

2.圓的位置關(guān)系

平面上兩圓的位置關(guān)系有五種，可以從兩圓的圓心距與兩圓半徑的數(shù)量關(guān)系來判

斷。

設(shè)。的半徑為4，。。2的半徑為弓，兩圓的圓心距為d.

當(dāng)一與|Vd</;+弓時，兩圓相交；

當(dāng)4+為=d時，兩圓外切；

當(dāng)4+7^Vd時，兩圓外離；

當(dāng)|4-4l=d時，兩圓內(nèi)切;

當(dāng)l4-Gl>d時，兩圓內(nèi)含。

兩口內(nèi)切兩國為今

S4-2-1

3.圓系方程

(1)以(a,b)為圓心的同心圓系方程是(x-af+(y-匕/=儲(人工0)；

(2)與圓/+;/+瓜+或+/?=0同心圓的圓系方程是/+,2+m+4+/1=0；

(3)過同一定點(a,b)的圓系方程是(x-“)2+(y-b)2+4(x-a)+4(y-b)=0；

(4)過直線Ax+6y+C=0與圓/+;/+瓜+4+尸=0的交點的圓系方程是

x2+y2+Dx+Ey+F+2(Ax+By+C)=0;

(5)過兩圓G：/+y?+Dtx+Ety+F}=0和C2：V+y?+D2x+E2y+F2=0的交點的圓

系方程是(x?+>~+Dj+E^y+6)+2(x~+y~+D-,x+E?y+K)=0(2H—1)°

(其中不含有圓。2：尤2+/+。2%+七2^+6=0,注意檢查G是否滿足題意，一方丟解。)

①當(dāng);i=—i時，/：(2-D2)x+(g-E2)y+6-g=。為兩圓公共弦所在直線方程。

②當(dāng)兩圓相切(內(nèi)切或外切)時，/為過兩圓光盤內(nèi)公共切點的直線方程。

4.圓的切線方程

(1)過圓x?+y2=產(chǎn)上一點pa。%)的切線方程是4^+%丫=產(chǎn)；

22

(2)過圓。一。尸+(y-b)=r上一點P(xoyo)的切線方程是

2

(%-a)(x-a)+(y0-b)(y-t>)=r；

(3)過圓/+V+瓜+&+尸=0(。2+石2―4/7?0)上一點P(x。%)的切線方程是

xQx+yoy+D*"。；*+七?+F=0o

圓的切線方程的求解思路有兩個：一是幾何法；二是代數(shù)法。

【例一】已知圓的方程是f+產(chǎn)=2,直線y=x+b,當(dāng)b為何值時,

(1)圓與直線有兩個公共點；

(2)圓與直線只有一個公共點；

(3)圓與直線沒有公共點。

【例二】已知圓％2+/+2》+2曠+1=0,丁+/一6尤+8y+9=0,求兩圓位置關(guān)系。

【例三】求過直線2x+y+4=0和圓/+>2+2工-4)，=0的交點，且滿足下列條件之一的圓

的方程：(1)過原點；(2)有最小面積。

【例四】已知4%，凹)是圓元2+；/=/上的一點，求證：與圓c相切與A點的直線/的方程

是%/+弘3=/。

國4-2-7

2.方法?技巧平臺

5.圓的弦長問題的求解

(1)直線和圓相交

設(shè)直線/的方程為奴+勿，+。=0,圓C的方程為。-入0)2+0-%)2=/，求弦長的方法

有以卜兩種：

①幾何法：由圓的性質(zhì)知，過圓心。作/的垂線，垂足C為線段AB的中點，如圖

4-2-2所示，在RL△0,CB中，|BCF=r2-d2,則弦長|AB|=2忸即

\AB\^2y/r2-d2o

…ax+by+c=0

②代數(shù)法：解方程組《，，，，消元后可得關(guān)于占+范，馬

(x-x0)+(y-y0)=廠

或X+%,弘,％的關(guān)系式,則|46|=，(1+%2)(玉+工2)2—4%電

4y嘰

(2)兩圓相交

22

設(shè)圓C,:x+y+Rx+E^+F,=0,圓C2：/+y?+D2x+E2y+F2=0?OC,與。C2的

相交弦所在的直線方程為/:(R—￡>2)x+(E「E2)y+(6-E)=0,則兩圓相交的弦長問題，

就轉(zhuǎn)化為直線與圓相交的弦長問題。

6.利用圓的幾何性質(zhì)求最值的問題

求圓上點到直線的最大、最小值，需過圓心向直線作垂線。

(1)如圖4-2-3①所示，當(dāng)直線/與圓C相交時，最小距離為0,最大距離為AD=r+d.其中r為

圓的半徑，d為圓心到直線的距離；

(2)如圖4-2-3②所示，當(dāng)直線/與圓C相切時，最小距離為0,最大距離為AD=2r；

(3)如圖4-2-3③所示，當(dāng)直線/與圓C相離時，最小距離為BD=d-r,最大距離為AD=d+r。

圖4-2-3

［例］已知圓C:f+y2+2x—4y+3=0,從圓C外一點P向圓引一條切線，切點為M,0為

坐標(biāo)原點，且有|PM|=|PO|,求|PM|的最小值。

7.圓的切線方程的求解方程

當(dāng)直線與圓相切時，要會求切線方程，并且要記住重要的結(jié)論。

(1)從圓/+y2+6+或+~=0外一點《(天,%)向圓引切線由兩條，切線長為

&+城+為+壩+4.兩切點的連續(xù)為切線弦.

(2)求圓的切線方程由如下求解方法：

①若已知切點(%,%)，將圓的方程中V、V換為/X、為y,將圓的方程x、y換成王|包、

生1瓦,可得切線。

2

②設(shè)出切線方程，利用切線與圓僅有一個交點，將直線方程代入圓的方程，從而△=(),可

求解。

③利用幾何特征：圓心到切線的距離等于圓的半徑可求解。

(3)如何求圓的切線方程呢？一般地，圓與切線方程為：

①圓乂2+丫2=/上一點P(x0,y0)處的切線方程為/:玉)尤+%曠=/。若P的圓外的

點，則過P點作圓的切線由兩條，即有兩個切點，那么切點弦方程也為公》+>(J=/。

②圓(元—。了+⑶一切2=,上任一點p(%,方)處的切線方程為

2

l:(x-a)(xtt-a)+(y-b)(ya-b)=r?

兩圓的公切線時，要先判斷兩圓的位置關(guān)系，以確定公切線的條數(shù)。從而防止漏解；其次，

應(yīng)注意公切線的幾何性質(zhì)，得出最佳解法。由兩圓外公切線外分圓心距乘兩圓半徑之比，故兩圓

公切線與連心線的交點可求，從而公切線可求。

說明：a.運(yùn)用點斜式求解直線方程時，需注意斜率k的存在性。

b.過一點求圓的切線，切線的條數(shù)與點和圓的位置關(guān)系密切相關(guān)。

當(dāng)點在圓內(nèi)時，無切線；

當(dāng)點在圓外時，有條切線：

當(dāng)點在圓上時，有且只有一條切線。

c.在圖中，幾何法較代數(shù)法求解簡潔。

8.直線與圓相交的問題的求解方法

直線與圓相交的問題常聯(lián)系直線與圓的方程，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程來討論，要注意靈活運(yùn)用

方程的有關(guān)理論。

［例］已知圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0相交于P、Q兩點，0為原點，且OPJLOQ,

求實數(shù)m的值。

9.圓的切線長的求法

過圓外一點P,可作圓的兩條切線，同時我們把P魚切點之間的線段稱為切線長，不難知道，

過圓外一點所作圓的兩條切線的長相等，切線長可由勾股定理來計算。

［例］已知圓P（x0,方）在圓/+3；2+6+4+/=0的外部，過P作圓的切線，切點

為M,求證|PM|=Jx；+城+以）+Ey0+Fo

［證明］

10.直線與圓的位置關(guān)系的參數(shù)討論

在討論直線與圓的位置關(guān)系時，我們還會遇到動直線或動圓（含有參數(shù)）的討論，要根據(jù)題

設(shè)條件靈活運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ā?/p>

［例］已知圓x?+y2-6mx-2（m-l）y+1Om2-2m-24=0（mSR）,

（1）求證：不論m為何值，圓心在同一直線/上；

（2）與/平行的直線中，哪些與圓相交、相切、相離；

（3）求證：任何一條平行于/且圓相交的直線被圓截得的弦長相等。

［解析］

【例五】直線/經(jīng)過點P(5,5)且和圓C：x?+y2=25相交，截得弦長為4右，求/的方程.

【例六】已知圓C(x-1>+(y-2)2=25,直線/：(2m+l)x+(m+1)y-7m-4=0(mGR)?

(1)證明：不論m取什么實數(shù)，直線/與圓恒交于兩點；

(2)求直線被圓C截得的弦長最小時的/的方程。

【例七】過點P(-2,0)向圓x?+y2=l引切線，求切線的方程。

圖4-2-9

【例八】已知直線/：y=2x-2,圓C：x2+y2+2x+4y+l=0,請判斷直線/與圓C的位置關(guān)系。

若相交，則求直線/被圓/所截得線段長。

【例九】已知圓心C是直線八：2x-3y+l=0和直線，2：4x+5y-9=0的交點，自圓外一點P（4,5）

向圓引切線，切線長為.，求圓的方程。

【例十】已知圓x?+y2=8,定點P（4,0）,問過P點的直線傾斜角在上什么范圍內(nèi)取值時,

這條直線與已知圓：（1）相切；（2）相交（3）相離，并寫出過P點的切線方程。

3.創(chuàng)新?思維拓展

11.數(shù)形結(jié)合是一種十分重要的解題思想方法，直線和圓的方程將數(shù)（方程）與形（直線或圓）

由機(jī)地結(jié)合起來。因此，常用直線與圓的圖形解決一些代數(shù)問題。

田4-2-5

［例］討論直線y=x+b與曲線y=44-x1的交點個數(shù)。

［解析］

12.圓的切線在其他分支的應(yīng)用

在圓與它的切線的應(yīng)用中。我們會經(jīng)常遇到兩類問題：一是光線的反射。這類問

題的求解，除正確運(yùn)用有關(guān)切線的性質(zhì)外，還要注意光的對稱反射性；另一類是利用

切線與圓的位置的特殊性來求有關(guān)代數(shù)問題的最值。

［例］若(x-1)2+(y+2)2=4,求S=2x+y的最大值和最小值。

［解析］

【例H1已知實數(shù)x、y滿足方程x2+y2-4x+l=0,

求：(1)T的最大值；

(2)y-x的最小值。

4.能力?題型設(shè)計

1.若直線x+y+m=O與圓x?+y2=2相切，則m的值為()0

A.0或aB.2C.V2D.±2

22

2.圓(x-a)+(y-b)2=c?和圓(x-b)+(y-a)2=c?相切，則()o

A.(a-b)2=c2B.(a-b)2=2c2C.(a+b)2=c2D.(a+b)2=2c2

3.已知圓C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直線/被圓C截得的弦長為2百時，a等于()。

A.V2B.2-V2C.A/2-1D.V2+1

4.圓x2+y2-2x-5=0和圓x2+y2+2x-4y-4=0的交點為A、B,