2025高考備考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第5講　解三角形應(yīng)用舉例

第5講解三角形應(yīng)用舉例課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)能用余弦定理、正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例2021全國(guó)卷乙T9；2021全國(guó)卷甲T8本講知識(shí)單一，主要考查利用正、余弦定理求解距離、高度、角度問(wèn)題，對(duì)數(shù)學(xué)建模能力的要求較高，一般以選擇題形式出現(xiàn)，難度中等.在2025年高考的備考中要提升閱讀理解能力，要能夠從文字信息中提取出解三角形的模型.學(xué)生用書(shū)P129測(cè)量中的常用術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱(chēng)術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角在豎直平面內(nèi)的目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線①上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線②下方的叫做俯角.方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.方位角θ的范圍是0≤θ＜2π.方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北（南）偏東（西）α.北偏東α南偏西α坡角與坡度坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角.坡面的垂直高度h和水平寬度l的比叫坡度.設(shè)坡角為α，坡度為i，則i＝?l＝1.如圖所示，為測(cè)量一樹(shù)的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)（A，B與樹(shù)所在的直線在同一平面內(nèi)），從A，B兩點(diǎn)測(cè)得樹(shù)尖P的仰角分別為30°和45°，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為60m，則樹(shù)的高度為（A）A.（30＋303）m B.（30＋153）mC.（15＋303）m D.（15＋33）m解析解法一在△ABP中，由正弦定理可得60sin（45°－30°）＝PBsin30°，則PB＝60×1設(shè)樹(shù)的高度為hm，則h＝PBsin45°＝30＋303.解法二設(shè)樹(shù)的高度為hm，則AB＝?tan30°－?tan45°＝60，解得h2.[易錯(cuò)題]兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的（B）A.北偏東10° B.北偏西10° C.南偏東10° D.南偏西10°解析燈塔A，B的相對(duì)位置如圖所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，則α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°，故選B.3.[教材改編]已知A船在燈塔C的北偏東85°方向且A到C的距離為2km，B船在燈塔C的西偏北25°方向且B到C的距離為3km，則A，B兩船的距離為（A）A.13km B.15km C.23km D.32km解析畫(huà)出圖形如圖所示，由題意可得∠ACB＝（90°－25°）＋85°＝150°，又AC＝2，BC＝3，在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos150°＝13，所以AB＝13，即A，B兩船的距離為13km.學(xué)生用書(shū)P130命題點(diǎn)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例角度1距離問(wèn)題例1[2023合肥市二檢]如圖，某地需要經(jīng)過(guò)一座山兩側(cè)的D，E兩點(diǎn)修建一條穿山隧道.工程人員先選取直線DE上的三點(diǎn)A，B，C，在隧道DE正上方的山頂P處測(cè)得A處的俯角為15°，B處的俯角為45°，C處的俯角為30°，且測(cè)得AB＝1.4km，BD＝0.2km，CE＝0.5km，則擬修建的隧道DE的長(zhǎng)為0.7km.解析由題意知，∠PAB＝15°，∠PBC＝45°，∠PCB＝30°，所以∠APB＝∠PBC－∠PAB＝30°，∠BPC＝180°－∠PBC－∠PCB＝105°，在△PAB中，由正弦定理得ABsin∠APB＝PBsin∠PAB，則1.4sin30°＝在△PBC中，由正弦定理得PBsin∠PCB＝BCsin∠BPC，則PBsin30°＝BCsin105°，所以BC＝PBsin30°×sin105°＝2PB×sin105°＝5.6sin15°·sin105°＝5.6sin15°cos15°＝2.8sin30°＝1.4（km），所以DE＝BC－BD－EC＝1.4即擬修建的隧道DE的長(zhǎng)為0.7km.角度2高度問(wèn)題例2[2021全國(guó)卷甲]2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'滿(mǎn)足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°.由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15°，BB'與CC'的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45°，則A，C兩點(diǎn)到水平面A'B'C'的高度差A(yù)A'－CC'約為（3≈1.732）（B）A.346 B.373 C.446 D.473解析如圖所示，根據(jù)題意過(guò)C作CE∥C'B'，交BB'于E，過(guò)B作BD∥A'B'，交AA'于D，則BE＝100，C'B'＝CE＝100ta在△A'C'B'中，∠C'A'B'＝75°，則BD＝A'B'＝C'B'×sin45°sin75°.又在B點(diǎn)處測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45°，所以AD＝BD＝C'B'×sin45°sin75°，所以高度差A(yù)A'－CC'＝AD＋BE＝C'B'×sin45°sin75°＋100＝100tan15°×sin45°sin75°＋100＝100sin45°sin15°＋角度3角度問(wèn)題例3如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援，則cosθ＝2114.解析在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝207.由正弦定理，得sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝21由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，故cos∠ACB＝277，從而cosθ＝cos（∠ACB＋30°）＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝277×32－21方法技巧1.解三角形實(shí)際問(wèn)題的一般求解步驟（1）分析.理解題意，分析已知與未知，畫(huà)出示意圖.（2）建模.根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與所求量盡量集中在相關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解三角形的模型.（3）求解.利用正、余弦定理解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解.（4）檢驗(yàn).檢驗(yàn)上述所求出的解是否具有實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解.2.對(duì)于立體測(cè)量問(wèn)題，通常要轉(zhuǎn)化為兩類(lèi)平面問(wèn)題，一類(lèi)是豎直放置的平面，通常要解直角三角形；另一類(lèi)是水平放置的平面，通常要解斜三角形.訓(xùn)練（1）如圖，為測(cè)量某塔的高度CD，在點(diǎn)A測(cè)得塔底在北偏東60°方向的點(diǎn)D處，塔頂C的仰角為30°.在點(diǎn)A的正東方向且距離D點(diǎn)50m的B點(diǎn)測(cè)得塔底在北偏西45°方向，則塔的高度CD約為（參考數(shù)據(jù)：6≈2.4）（C）A.30m B.35m C.40m D.45m解析由題意知，BD＝50m，∠DAB＝∠DAC＝30°，∠DBA＝45°，在△ABD中，由正弦定理得ADsin45°＝50sin30°，則AD＝502m，所以tan∠DAC＝CDAD＝CD502＝340（m），故塔的高度CD約為40m.故選C.（2）[多選]一艘輪船航行到A處時(shí)看燈塔B在A的北偏東75°方向，距離為126海里，燈塔C在A的北偏西30°方向，距離為123海里，該輪船由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時(shí)再看燈塔B在其南偏東60°方向，則下列結(jié)論正確的有（ABD）A.AD＝24海里 B.CD＝12海里C.∠CDA＝60°或∠CDA＝120°D.∠CDA＝60°解析如圖，由題意得∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，∠ADB＝60°，AB＝126海里，AC＝123海里，在△ABD中，易得B＝45°，由正弦定理得ADsin45°＝ABsin60°，則AD＝126×2232＝24（海里），故A正確.在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos30°，得CD2＝（123）2＋242－2×123×24×32＝144，所以CD＝12海里，故B正確.在△ACD中，由正弦定理得CDsin30°＝ACsin∠CDA，得sin∠CDA＝12×12312＝32，故∠CDA＝60°或∠CDA＝120°，因?yàn)锳D1.[角度1]如圖，曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，曲柄CB繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，通過(guò)連桿AB的傳遞，使活塞做直線往復(fù)運(yùn)動(dòng).當(dāng)曲柄在CB0位置時(shí)，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點(diǎn)A在A0處.設(shè)連桿AB長(zhǎng)200mm，曲柄CB長(zhǎng)70mm，則曲柄自CB0按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)53.2°時(shí)，活塞移動(dòng)的距離（即連桿的端點(diǎn)A移動(dòng)的距離A0A）約為36mm.（結(jié)果保留整數(shù)，取sin53.2°＝45解析解法一在△ABC中，AB＝200mm，BC＝70mm，∠ACB＝53.2°，sin∠ACB＝45.由正弦定理得sin∠BAC＝BCsin∠ACBAB＝725，由題意知∠BAC，∠ACB均為銳角，所以cos∠BAC＝1－（725）2＝2425，cos∠ACB＝1－（45）2＝35，所以sin∠ABC＝sin（∠ACB＋∠BAC）＝45×2425＋35×725＝117125，所以AC＝ABsin∠ABCsin∠ACB＝200×117125×54＝234（mm），故A53.2°時(shí)，活塞移動(dòng)的距離約為36mm.解法二因?yàn)椤螦CB＝53.2°，sin∠ACB＝45，且∠ACB為銳角，所以cos∠ACB＝1－sin2∠ACB＝35.在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BCcos∠ACB，解得AC＝234mm（負(fù)值舍去），故A0A＝（A0B0＋B0C）－AC＝（200＋70）－234＝36（2.[角度2]如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從點(diǎn)A測(cè)得點(diǎn)M的仰角∠MAN＝60°，點(diǎn)C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從點(diǎn)C測(cè)得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，則山高M(jìn)N＝150m.解析在△ABC中，因?yàn)椤螧AC＝45°，∠ABC＝90°，BC＝100，所以AC＝100sin45°＝1002.在△AMC中，因?yàn)椤螹AC＝75°，∠MCA＝60°，所以∠AMC＝45°，由正弦定理可得AMsin60°＝1002sin45°，解得AM＝1003.在Rt△AMN中，MN＝AM·sin∠MAN＝1003×sin60°＝150.學(xué)生用書(shū)·練習(xí)幫P3251.[2024黑龍江省實(shí)驗(yàn)中學(xué)開(kāi)學(xué)考試]中國(guó)古代四大名樓之一鸛雀樓，位于山西省運(yùn)城市永濟(jì)市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩(shī)人王之渙的詩(shī)作《登鸛雀樓》而聞名遐邇.如圖，某同學(xué)為測(cè)量鸛雀樓的高度MN，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為37m，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部A，鸛雀樓頂部M的仰角分別為30°和45°，在A處測(cè)得鸛雀樓頂部M的仰角為15°，則鸛雀樓的高度MN約為（B） A.64m B.74m C.52m D.91m解析在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝37，∠ACB＝30°，所以AC＝2AB＝74，在Rt△MNC中，NC⊥MN，∠MCN＝45°，所以MN＝MC·sin45°＝22MC.由題意，∠MAC＝15°＋30°＝45°，∠MCA＝180°－45°－30°＝105°，故∠AMC＝180°－105°－45°＝30°.在△ACM中，由正弦定理MCsin∠MAC＝ACsin∠AMC，得MCsin45°＝74sin30°，故MC＝74sin45°sin30°＝742，所以2.[設(shè)問(wèn)創(chuàng)新/多選/2024江蘇南通階段檢測(cè)]重慶的解放碑是重慶的地標(biāo)性建筑，吸引了眾多游客打卡拍照.某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)解放碑的高度進(jìn)行測(cè)量，并繪制出測(cè)量方案示意圖，如圖所示，A為解放碑的頂端，B為基座（B在A的正下方），在步行街（與B在同一水平面內(nèi)）上選取C，D兩點(diǎn)，測(cè)得CD的長(zhǎng)為100m.小組成員利用測(cè)角儀已測(cè)得∠ACB＝π6，則根據(jù)下列各組中的測(cè)量數(shù)據(jù)，能計(jì)算出解放碑高度AB的是（ABD）A.∠BCD，∠BDC B.∠ACD，∠ADCC.∠BCD，∠ACD D.∠BCD，∠ADC解析對(duì)于A，根據(jù)CD，∠BCD，∠BDC，可解三角形求得CB，從而在Rt△ABC中求得AB，所以A符合題意.對(duì)于B，根據(jù)CD，∠ACD，∠ADC，可解三角形求得AC，從而在Rt△ABC中求得AB，所以B符合題意.對(duì)于C，根據(jù)CD，∠ACB，∠BCD，∠ACD四個(gè)條件，無(wú)法通過(guò)解三角形求得AB，所以C不符合題意.對(duì)于D，第一步，∠ACB已知，在Rt△ABC中，用AB表示出BC，AC；第二步，在△BCD中，根據(jù)余弦定理用AB表示出BD，在△ACD中，根據(jù)正弦定理用AB表示出AD；第三步，在Rt△ABD中，利用勾股定理列方程，即可求得AB.所以D符合題意.3.[2023皖豫名校聯(lián)考]如圖，一艘巡邏船由南向北行駛，在A處測(cè)得某山的底部C在北偏東15°方向上，勻速向北航行20min到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得該山的底部C在北偏東60°方向上，測(cè)得山頂P（P在C正上方）的仰角為60°，已知山的高度為23km.則巡邏船的航行速度為6（3＋1）km/h.解析由題意知，在△BCP中，PC＝23km，∠PBC＝60°，故tan∠PBC＝PCBC＝3，得BC＝2km.在△ABC中，∠BCA＝60°－15°＝45°，則BCsin∠BAC＝ABsin∠BCA，即2sin15°＝ABsin45°，而sin15°＝sin（45°－30°）＝6－24，所以AB＝2×46－2＝2（3＋1）（km）.4.[2023鄭州一中期中]如圖所示，遙感衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)某海域上有三個(gè)小島，小島B位于小島A北偏東75°的60海里處，在小島B北偏東15°方向上，相距（303－30）海里處有一個(gè)小島C.（1）求小島A與小島C之間的距離；（2）如果有游客想直接從小島A出發(fā)到小島C，求游船航行的方向.解析（1）在△ABC中，AB＝60，BC＝303－30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，根據(jù)余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝602＋（303－30）2－2×60×（303－30）×cos120°＝5400，得AC＝306，∴小島A與小島C之間的距離是306海里.（2）根據(jù)正弦定理得，ACsin∠ABC∴306sin120°＝60sin∠ACB，得sin又∵0°＜∠ACB＜60°，∴∠ACB＝45°，∴∠CAB＝180°－120°－45°＝15°.由75°－15°＝60°得，游船應(yīng)該沿北偏東60°的方向航行.5.[2023貴州診斷]鏡面反射法是測(cè)量建筑物高度的重要方法，在如圖所示的模型中，已知人眼距離地面高度h＝1.5m，某建筑物高h(yuǎn)1＝4.5m，將鏡子（平面鏡）置于平地上，人后退至從鏡中能夠看到建筑物頂部的位置，測(cè)量人與鏡子間的距離a1＝1.2m，將鏡子后移am，重復(fù)前面的操作，測(cè)量人與鏡子間的距離a2＝3.2m，則a＝（A）A.6 B.5 C.4 D.3解析如圖，設(shè)建筑物最高點(diǎn)為A，建筑物底部為O，第一次觀察時(shí)鏡面位置為B，第一次觀察時(shí)人眼睛位置為C，第二次觀察時(shí)鏡面位置為D，設(shè)O到B之間的距離為a0m，由光線反射性質(zhì)得∠ABO＝∠CBD，所以tan∠ABO＝tan∠CBD，即?1a0＝?a1①，同理可得?由①②可得a0＋aa0＝a2a1，解得a0＝a1·aa6.[背景創(chuàng)新]1471年，德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒向諾德?tīng)柦淌谔岢鲆粋€(gè)問(wèn)題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(zhǎng)（即視角最大，視角是指由物體兩端引出的兩條光線在眼球內(nèi)交叉而成的角）？這個(gè)問(wèn)題被稱(chēng)為米勒問(wèn)題，諾德?tīng)柦淌诮o出解答，以懸桿的延長(zhǎng)線和水平地面的交點(diǎn)為圓心，懸桿兩端點(diǎn)到地面的距離的積的算術(shù)平方根為半徑在地面上作圓，則圓上的點(diǎn)對(duì)懸桿視角最大.米勒問(wèn)題在實(shí)際生活中應(yīng)用十分廣泛.某人觀察一座山頂上的鐵塔，塔高90m，山高160m，此人站在對(duì)塔“最大視角”（忽略人身高）的水平地面位置觀察此塔，則此時(shí)“最大視角”的正弦值為（B）A.12 B.941 C.1625 解析如圖，由諾德?tīng)柦淌趯?duì)米勒問(wèn)題的解答，設(shè)此時(shí)的視角為θ，易知塔底距離地面的高度為BC＝160m，塔頂離地面的高度為AC＝90＋160＝250（m），則人距塔的距離CD＝AC·BC＝200m，由∠C＝90°得BD＝BC2＋CDAD＝AC2＋CD2＝5041（m），則在△ABD中cosθ＝AD2＋BD2－A7.[2024青島市檢測(cè)]海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被譽(yù)為“地球給人類(lèi)保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”.若要測(cè)量如圖所示某藍(lán)洞口邊緣A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD＝8海里，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為85海里.解析如圖所示，在△ACD中，∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝135°＋15°＝150°，∠DCA＝15°，則∠DAC＝180°－150°－15°＝15°，即△ACD為等腰三角