高中不等式例題(超全超經(jīng)典)

不等式得性質(zhì):二.不等式大小比較得常用方法:1.作差:作差后通過分解因式、配方等手段判斷差得符號得出結(jié)果;2.作商(常用于分數(shù)指數(shù)冪得代數(shù)式);3.分析法;4.平方法;5.分子(或分母)有理化;6.利用函數(shù)得單調(diào)性;7.尋找中間量或放縮法;8.圖象法。其中比較法(作差、作商)就是最基本得方法。三.重要不等式1、(1)若,則(2)若,則(當且僅當時取“=”)2、(1)若,則(2)若,則(當且僅當時取“=”)(3)若,則(當且僅當時取“=”)3、若,則(當且僅當時取“=”);若,則(當且僅當時取“=”)若,則(當且僅當時取“=”)4、若,則(當且僅當時取“=”)注:(1)當兩個正數(shù)得積為定植時,可以求它們得與得最小值,當兩個正數(shù)得與為定植時,可以求它們得積得最小值,正所謂“積定與最小,與定積最大”.(2)求最值得條件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量得取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛得應(yīng)用.EQ\F(2ab,a+b)≤EQ\R(ab)≤EQ\F(a+b,2)≤EQ\R(EQ\F(a2+b2,2))應(yīng)用一:求最值例1:求下列函數(shù)得值域(1)y＝3x2＋eq\f(1,2x2)(2)y＝x＋eq\f(1,x)解題技巧:技巧一:湊項例1:已知,求函數(shù)得最大值。評注:本題需要調(diào)整項得符號,又要配湊項得系數(shù),使其積為定值。技巧二:湊系數(shù)例1、當時,求得最大值。技巧三:分離例3、求得值域。技巧四:換元解析二:本題瞧似無法運用基本不等式,可先換元,令t=x＋1,化簡原式在分離求最值。當,即t=時,(當t=2即x＝1時取“＝”號)。技巧五:注意:在應(yīng)用最值定理求最值時,若遇等號取不到得情況,應(yīng)結(jié)合函數(shù)得單調(diào)性。例:求函數(shù)得值域。解:令,則因,但解得不在區(qū)間,故等號不成立,考慮單調(diào)性。因為在區(qū)間單調(diào)遞增,所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù),故。所以,所求函數(shù)得值域為。2.已知,求函數(shù)得最大值、;3.,求函數(shù)得最大值、條件求最值1、若實數(shù)滿足,則得最小值就是、分析:“與”到“積”就是一個縮小得過程,而且定值,因此考慮利用均值定理求最小值,解:都就是正數(shù),≥當時等號成立,由及得即當時,得最小值就是6.變式:若,求得最小值、并求x,y得值技巧六:整體代換:多次連用最值定理求最值時,要注意取等號得條件得一致性,否則就會出錯。。2:已知,且,求得最小值。應(yīng)用二:利用基本不等式證明不等式1.已知為兩兩不相等得實數(shù),求證:1)正數(shù)a,b,c滿足a＋b＋c＝1,求證:(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

例6:已知a、b、c,且。求證:分析:不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個“2”連乘,又,可由此變形入手。解:a、b、c,。。同理,。上述三個不等式兩邊均為正,分別相乘,得。當且僅當時取等號。應(yīng)用三:基本不等式與恒成立問題例:已知且,求使不等式恒成立得實數(shù)得取值范圍。解:令,。,應(yīng)用四:均值定理在比較大小中得應(yīng)用:例:若,則得大小關(guān)系就是、分析:∵∴(∴R>Q四.不等式得解法、1、一元一次不等式得解法。2、一元二次不等式得解法3、簡單得一元高次不等式得解法:標根法:其步驟就是:(1)分解成若干個一次因式得積,并使每一個因式中最高次項得系數(shù)為正;(2)將每一個一次因式得根標在數(shù)軸上,從最大根得右上方依次通過每一點畫曲線;并注意奇穿過偶彈回;(3)根據(jù)曲線顯現(xiàn)得符號變化規(guī)律,寫出不等式得解集。如(1)解不等式。(答:或);(2)不等式得解集就是____(答:或);(3)設(shè)函數(shù)、得定義域都就是R,且得解集為,得解集為,則不等式得解集為______(答:);(4)要使?jié)M足關(guān)于得不等式(解集非空)得每一個得值至少滿足不等式中得一個,則實數(shù)得取值范圍就是______、(答:)4.分式不等式得解法:分式不等式得一般解題思路就是先移項使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式,并使每一個因式中最高次項得系數(shù)為正,最后用標根法求解。解分式不等式時,一般不能去分母,但分母恒為正或恒為負時可去分母。如(1)解不等式(答:);(2)關(guān)于得不等式得解集為,則關(guān)于得不等式得解集為____________(答:)、5、指數(shù)與對數(shù)不等式。6.絕對值不等式得解法:(1)含絕對值得不等式|x|＜a與|x|＞a得解集(2)|ax+b|≤c(c＞0)與|ax+b|≥c(c＞0)型不等式得解法①|(zhì)ax+b|≤c-c≤ax+b≤c;②|ax+b|≥cax+b≥c或ax+b≤-c、(3)|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)與|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式得解法方法一:利用絕對值不等式得幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合得思想;方法二:利用“零點分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論得思想;方法三:通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)得圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程得思想。方法四:兩邊平方。例1:解下列不等式:【解析】:(1)解法一(公式法)原不等式等價于x2-2x>x或x2-2x<-x解得x>3或x<0或0<x<1∴原不等式得解集為﹛x︱x<0或0<x<1或x>3﹜解法2(數(shù)形結(jié)合法)作出示意圖,易觀察原不等式得解集為﹛x︱x<0或0<x<1或x>3﹜第(1)題圖第(2)題圖【解析】:此題若直接求解分式不等式組,略顯復(fù)雜,且容易解答錯誤;若能結(jié)合反比例函數(shù)圖象,則解集為,結(jié)果一目了然。例2:解不等式:【解析】作出函數(shù)f(x)=|x|與函數(shù)g(x)=得圖象,易知解集為例3:?！窘夥?】令令,分別作出函數(shù)g(x)與h(x)得圖象,知原不等式得解集為【解法2】原不等式等價于令分別作出函數(shù)g(x)與h(x)得圖象,易求出g(x)與h(x)得圖象得交點坐標為所以不等式得解集為【解法3】由得幾何意義可設(shè)Ｆ1(－１,０),Ｆ２(１,０),Ｍ(x,y),若,可知Ｍ得軌跡就是以Ｆ1、Ｆ2為焦點得雙曲線得右支,其中右頂點為(,０),由雙曲線得圖象與｜x+1｜－｜x-1｜≥知x≥、

7.含參不等式得解法:求解得通法就是“定義域為前提,函數(shù)增減性為基礎(chǔ),分類討論就是關(guān)鍵.”注意解完之后要寫上:“綜上,原不等式得解集就是…”。注意:按參數(shù)討論,最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集;但若按未知數(shù)討論,最后應(yīng)求并集、如(1)若,則得取值范圍就是__________(答:或);(2)解不等式(答:時,;時,或;時,或)提醒:(1)解不等式就是求不等式得解集,最后務(wù)必有集合得形式表示;(2)不等式解集得端點值往往就是不等式對應(yīng)方程得根或不等式有意義范圍得端點值。如關(guān)于得不等式得解集為,則不等式得解集為__________(答:(－1,2))例2、(1)求函數(shù)得最大與最小值;(2)設(shè),函數(shù)、若,求得最大值例3、兩個施工隊分別被安排在公路沿線得兩個地點施工,這兩個地點分別位于公路路牌得第10km與第20km處、現(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊得共同臨時生活區(qū),每個施工隊每天在生活區(qū)與施工地點之間往返一次、要使兩個施工隊每天往返得路程之與最小,生活區(qū)應(yīng)該建于何處？

七.證明不等式得方法:比較法、分析法、綜合法與放縮法(比較法得步驟就是:作差(商)后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1得大小,然后作出結(jié)論。)、常用得放縮技巧有:如(1)已知,求證:;(2)已知,求證:;(3)已知,且,求證:;(4)若a、b、c就是不全相等得正數(shù),求證:;(5)已知,求證:;(6)若,求證:;(7)已知,求證:;(8)求證:。八.不等式得恒成立,能成立,恰成立等問題:不等式恒成立問題得常規(guī)處理方式？(常應(yīng)用函數(shù)方程思想與“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題,也可抓住所給不等式得結(jié)構(gòu)特征,利用數(shù)形結(jié)合法)1)、恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上如(1)設(shè)實數(shù)滿足,當時,得取值范圍就是______(答:);(2)不等式對一切實數(shù)恒成立,求實數(shù)得取值范圍_____(答:);(3)若不等式對滿足得所有都成立,則得取值范圍_____(答:(,));(4)若不等式對于任意正整數(shù)恒成立,則實數(shù)得取值范圍就是_____(答:);(5)若不等式對得所有實數(shù)都成立,求得取值范圍、=6\*GB2⑹若不等式恒成立,則實數(shù)a得取值范圍就是此題直接求解無從著手,結(jié)合函數(shù)易知,a只需滿足條件:0＜a＜1,且從而解得2)、能成立問題若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上;若在區(qū)間上存在實數(shù)使不