《控制工程基礎》第二章數(shù)學模型

一、系統(tǒng)的微分方程二、非線性微分方程的線性化三、拉氏變換四、傳遞函數(shù)五、系統(tǒng)傳統(tǒng)函數(shù)方框圖及簡化六、控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)推導舉例第二章

控制系統(tǒng)的數(shù)學模型七、數(shù)學模型的MATLAB實現(xiàn)本章要掌握下列內(nèi)容：第二章控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型建立基本環(huán)節(jié)（質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)、R-L-C電路網(wǎng)絡）的數(shù)學模型及模型的線性化重要的分析工具：拉氏變換及反變換經(jīng)典控制理論的數(shù)學基礎：傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的圖形表示：方框圖建立實際機電系統(tǒng)的傳遞函數(shù)及方框圖系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB實現(xiàn)

經(jīng)典控制理論：以傳遞函數(shù)為基礎?，F(xiàn)代控制理論：以狀態(tài)空間方程為基礎。而以物理定律及實驗規(guī)律為依據(jù)的微分方程又是最基本的數(shù)學模型，是列寫傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程的基礎。數(shù)學模型

數(shù)學模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關系的數(shù)學表達式，它揭示了系統(tǒng)結構及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關系。

一、基本環(huán)節(jié)的數(shù)學模型

建立數(shù)學模型的方法

解析法

實驗法依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學規(guī)律列寫出相應的數(shù)學關系式，建立模型。人為地對系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用適當?shù)臄?shù)學模型進行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識。數(shù)學模型應能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時應對模型的簡潔性和精確性進行折衷考慮。

舉例

解析法

實驗法機械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡化為質(zhì)量、彈簧和阻尼三個要素：

質(zhì)量mfm(t)參考點x

(t)v

(t)質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)

彈簧kfk(t)fk(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)

阻尼DfD(t)fD(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)

機械平移系統(tǒng)mmfi(t)kDxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fk(t)機械平移系統(tǒng)及其力學模型fD(t)靜止（平衡）工作點作為零點，以消除重力的影響式中，m、D、k通常均為常數(shù)，故機械平移系統(tǒng)可以由二階常系數(shù)微分方程描述。顯然，微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結構參數(shù)，而階次等于系統(tǒng)中獨立儲能元件（慣性質(zhì)量、彈簧）的數(shù)量。

彈簧－阻尼系統(tǒng)xo(t)0fi(t)kD彈簧-阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)運動方程為一階常系數(shù)微分方程。

電路系統(tǒng)

電阻電路系統(tǒng)三個基本元件：電阻、電容和電感。Ri(t)u(t)

電容Ci(t)u(t)

電感Li(t)u(t)R-L-C無源電路網(wǎng)絡LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C無源電路網(wǎng)絡一般R、L、C均為常數(shù)，上式為二階常系數(shù)微分方程。

若L=0，則系統(tǒng)簡化為：

由機械動力學模型或電學模型列寫數(shù)學模型的一般步驟

分析系統(tǒng)工作原理和信號傳遞變換的過程，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量；

從輸入端開始，按照信號傳遞變換過程，依據(jù)各變量遵循的物理學定律，依次列寫出各元件、部件的動態(tài)微分方程，做適當簡化、線性化；

消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關系的微分方程；

標準化：右端輸入，左端輸出，導數(shù)降冪排列上述由機械動力學模型或電學模型直接列寫微分方程（數(shù)學模型），只要掌握元件和系統(tǒng)所遵循的物理規(guī)律，列寫出系統(tǒng)微分方程的難度并不大。

然而，對于實際的工程系統(tǒng)而言，動力學模型或電學模型必須要經(jīng)過對實際系統(tǒng)的抽象和簡化獲得，這種抽象和簡化直接決定了所列寫微分方程的工程適用程度，需要較為扎實的理論基礎和一定的工程經(jīng)驗才能進行，對研究者的要求較高。說明

建立數(shù)學模型的一般步驟系統(tǒng)（實物）簡化的動力學模型或電學模型列寫數(shù)學模型

需要掌握！說明根據(jù)工程經(jīng)驗和數(shù)學方法的抽象、簡化。（現(xiàn)階段暫不需掌握?。├哼M給傳動裝置示意圖及等效力學模型機械系統(tǒng)和電路系統(tǒng)的抽象與簡化機電控制系統(tǒng)的受控對象是機械系統(tǒng)。在機械系統(tǒng)中，有些構件具有較大的慣性和剛度，有些構件則慣性較小、柔度較大。在集中參數(shù)法中，我們將前一類構件的彈性忽略將其視為質(zhì)量塊，而把后一類構件的慣性忽略而視為無質(zhì)量的彈簧。這樣受控對象的機械系統(tǒng)可抽象為質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)。

同理，電路系統(tǒng)也要根據(jù)元件特性進行抽象簡化。機械系統(tǒng)和電路系統(tǒng)的抽象與簡化

電動機直流電動機工作原理直流電動機直流電動機電路與動力學模型

電動機牛頓第二定律電磁感應定律基爾霍夫定律磁場對載流線圈作用的定律為電樞控制式直流電動機的控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型。當電樞電感較小時，通常可忽略不計，系統(tǒng)微分方程可簡化為

有源電路網(wǎng)絡+

CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a即：

單輸入、單輸出微分方程的一般形式

式中，a1，a2，…，an和b0，b1，…，bm為由系統(tǒng)結構參數(shù)決定的實常數(shù)，m≤n。

線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時間t的函數(shù)，則為線性時變系統(tǒng)；

線性系統(tǒng)線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：

可加性：

齊次性：或：二、數(shù)學模型的線性化用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理。

非線性系統(tǒng)為分析方便，通常在合理的條件下，將非線性系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng)處理。

實際的系統(tǒng)通常都是非線性的，線性只在一定的工作范圍內(nèi)成立。

線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系統(tǒng)工作范圍，將非線性微分方程近似為線性微分方程進行處理。

非線性系統(tǒng)數(shù)學模型的線性化

泰勒級數(shù)展開法

函數(shù)y=f(x)在其平衡點（x0,y0）附近的泰勒級數(shù)展開式為：

略去含有高于一次的增量

x=x-x0的項，則：或：y-y0=

y=K

x，

其中：上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。y0=f(x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程；由于反饋系統(tǒng)不允許出現(xiàn)大的偏差，因此，這種線性化方法對于閉環(huán)控制系統(tǒng)具有實際意義。在點附近泰勒展開

實例：單擺運動線性化解：根據(jù)牛頓第二定律：將非線性項

單輸入、單輸出微分方程的一般形式

式中，a1，a2，…，an和b0，b1，…，bm為由系統(tǒng)結構參數(shù)決定的實常數(shù)，m≤n。

三、拉氏變換和拉氏反變換原函數(shù)（微分方程的解）像函數(shù)微分方程像函數(shù)的代數(shù)方程數(shù)學反變換數(shù)學變換解代數(shù)方程數(shù)學變換法求解線性微分方程的思路Pierre-SimonLaplace皮埃爾-西蒙·拉普拉斯侯爵（Pierre-SimonmarquisdeLaplace，1749年3月23日－1827年3月5日），法國著名的天文學家和數(shù)學家，天體力學的集大成者。1749年生于法國西北部卡爾瓦多斯的博蒙昂諾日，1816年被選為法蘭西學院院士，1817年任該院院長。1812年發(fā)表了重要的《概率分析理論》一書，在該書中總結了當時整個概率論的研究，論述了概率在選舉審判調(diào)查、氣象等方面的應用，導入”拉普拉斯變換“等。在拿破侖皇帝時期和路易十八時期兩度獲頒爵位。拉普拉斯曾任拿破侖的老師，所以和拿破侖結下不解之緣。1827年3月5日卒于巴黎。設函數(shù)f(t)(t

0)在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，且存在一正實常數(shù)

，使得：則函數(shù)f(t)的拉氏變換存在，并定義為：式中：s=

+j

（

，

均為實數(shù)）為復變數(shù)；

拉氏變換稱為拉普拉斯積分；F(s)稱為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換或像函數(shù)，它是一個復變函數(shù)；f(t)稱為F(s)的原函數(shù)；L為拉氏變換的符號。Laplace（拉普拉斯）變換建立了時域和復頻域間的聯(lián)系,是描述和分析連續(xù)、線性、時不變系統(tǒng)的重要工具！(2)拉氏變換是將給定的函數(shù)通過廣義積分轉換成一個新的函數(shù)，是一種積分變換，一般地在科學技術中遇到的函數(shù)，它的拉氏變換總是存在的，故以后不再對其存在性進行討論。假定t<0時，f(t)=0;說明：(1)定義中，只要求在

上f(t)有定義，為了方便,

簡單函數(shù)的拉氏變換單位階躍函數(shù)1(t)10tf(t)單位階躍函數(shù)指數(shù)函數(shù)（a為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)0tf(t)1正弦及余弦函數(shù)正弦及余弦函數(shù)10tf(t)f(t)=sin

tf(t)=cos

t-1由歐拉公式，有：

從而同理

冪函數(shù)函數(shù)的拉氏變換及反變換通?？梢杂衫献儞Q表直接或通過一定的轉換得到。

拉氏變換性質(zhì)疊加原理

齊次性：L[af(t)]=aL[f(t)]，a為常數(shù)；

疊加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]a，b為常數(shù)；顯然，拉氏變換為線性變換。微分定理式中，f'(0)，f''(0)，……為函數(shù)f(t)的各階導數(shù)在t=0時的值。當f(t)及其各階導數(shù)在t=0時刻的值均為零時（零初始條件）：

積分定理當初始條件為零時:同樣當初始條件為零時:

衰減定理例：

延時定理設當t<0時，f(t)=0，則對任意

0，有：函數(shù)

f(t-

)0tf(t)

f(t)f(t-

)

初值定理

終值定理若sF(s)的所有極點位于左半s平面，

即存在。則

的像函數(shù)例：

的像函數(shù)

的像函數(shù)

周期函數(shù)的像函數(shù)若函數(shù)f(t)是以T為周期的周期函數(shù)，即，則

卷積定理若t<0時，

f(t)＝g(t)＝0，則f(t)和g(t)的卷積可表示為其中，f(t)

g(t)表示函數(shù)f(t)和g(t)的卷積。原函數(shù)（微分方程的解）像函數(shù)微分方程像函數(shù)的代數(shù)方程數(shù)學反變換數(shù)學變換解代數(shù)方程數(shù)學變換法求解線性微分方程的思路引入拉普拉斯變換后，時域的微積分運算可以化成復頻域的代數(shù)運算；但在工程技術領域，在做完復頻域的分析后，有時還需要將分析結果變換到時域，此時，還需要進行拉式反變換。拉氏反變換L－1為拉氏反變換的符號。

部分分式法

如果f(t)的拉氏變換F(s)已分解成為下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)假定F1(s),F2(s),…，F(xiàn)n(s)的拉氏反變換可以容易地求出，則L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)●拉氏反變換在控制理論中，通常為了應用上述方法，將F(s)寫成下面的形式式中，p1，p2，…，pn為分母=0的根的負值，稱為F(s)的極點；ci=bi

/a0

(i=0,1,…,m)。此時，即可將F(s)展開成部分分式。

只含不同單極點的情況式中，Ai為常數(shù)，稱為s=-pi極點處的留數(shù)。于是例：求的原函數(shù)。解：即：

含共軛復數(shù)極點情況方法1假設F(s)含有一對共軛復數(shù)極點-p1、-p2，其余極點均為各不相同的實數(shù)極點，則式中，A1和A2的值由下式求解：上式為復數(shù)方程，令方程兩端實部、虛部分別相等即可確定A1和A2的值。方法2此時F(s)仍可分解為下列形式：由于p1、p2為共軛復數(shù)，因此，

A1和A2的也為共軛復數(shù)。方法1例：求的原函數(shù)。解：即所以

解：方法2例：

則

含多重極點情況設F(s)存在r重極點-p0，其余極點均不同，則式中，Ar+1，…，An利用前面的方法求解?！⒁獾剑核裕豪呵蟮脑瘮?shù)。解：于是原函數(shù)（微分方程的解）象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程拉氏反變換拉氏變換解代數(shù)方程拉氏變換法求解線性微分方程的過程

借用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程

求解步驟

將微分方程通過拉氏變換變?yōu)?/p>

s的代數(shù)方

程；

解代數(shù)方程，得到有關變量的拉氏變換表

達式；

應用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。

實例設系統(tǒng)微分方程為：其中

，求

？解：對微分方程左右邊分別進行拉氏變換代入初值得用上述求解留數(shù)的方法，解得故

實例設系統(tǒng)微分方程為：若xi

(t)

=1(t)，初始條件分別為x'o(0)、xo(0)，試求xo(t)。解：對微分方程左邊進行拉氏變換即：對方程右邊進行拉氏變換從而所以當初始條件為零時：狀態(tài)響應零輸入響應

微分方程在應用拉氏變換后，已經(jīng)轉換為s的代數(shù)方程，并且該代數(shù)方程僅僅包含輸入、輸出量，因此具備了討論輸出與輸入關系的基礎條件。

如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏變換可以簡單地用sn代替dn/dtn得到。

由上述實例可見：四、傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)的概念和定義

一般地，設線性定常系統(tǒng)的微分方程為：

在零初始條件下，其拉式變換為：

定義傳遞函數(shù)為：

即在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。

零初始條件：t<0時，輸入量及其各階導數(shù)均為0；

輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即t<0時，輸出量及其各階導數(shù)也均為0；比微分方程簡單，通過拉氏變換，實數(shù)域復雜的微積分運算已經(jīng)轉化為簡單的代數(shù)運算；傳遞函數(shù)有以下特點：傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)；它是復變量s的有理真分式函數(shù)，且m≤n；傳遞函數(shù)取決于系統(tǒng)或元件的結構和參數(shù)，與輸入、輸出信號無關；傳遞函數(shù)雖然描述了輸出與輸入之間的關系，但它不提供任何該系統(tǒng)的集體物理結構，因為許多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)；如果傳遞函數(shù)已知，那么可以研究系統(tǒng)在各種輸入信號作用下的輸出響應；如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)未知，可以給系統(tǒng)加上已知的輸入，研究其輸出，從而得出傳遞函數(shù)。

傳遞函數(shù)求解示例

質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：R-L-C無源電路網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)的幾點說明

傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關系式；傳遞函數(shù)的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)；

傳遞函數(shù)是

s的復變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各項系數(shù)和相應微分方程中的各項系數(shù)對應相等，完全取決于系統(tǒng)結構參數(shù)；

傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時刻之前，系統(tǒng)對所給定的平衡工作點處于相對靜止狀態(tài)。因此，傳遞函數(shù)不反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)律；

傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關系，無法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況；

一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個輸出的關系，適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述。

典型環(huán)節(jié)示例

比例環(huán)節(jié)輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關系。其運動方程為：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)—分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量；K—比例系數(shù)，等于輸出量與輸入量之比。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：z1z2ni(t)no(t)齒輪傳動副R2R1ui(t)uo(t)比例運算放大器

一階慣性環(huán)節(jié)凡運動方程為下面一階微分方程形式的環(huán)節(jié)稱為一階慣性環(huán)節(jié)。其傳遞函數(shù)為：T—時間常數(shù)，表征環(huán)節(jié)的慣性，和

環(huán)節(jié)結構參數(shù)有關式中，K—環(huán)節(jié)增益（放大系數(shù)）；如：無源濾波電路RCui(t)uo(t)i(t)R-C無源濾波電路即常數(shù)T=RC；如：彈簧-阻尼器環(huán)節(jié)xi(t)xo(t)彈簧-阻尼器組成的環(huán)節(jié)KD

微分環(huán)節(jié)

輸出量正比于輸入量的微分。運動方程為：傳遞函數(shù)為：式中，

—微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)如：測速發(fā)電機uo(t)

i(t)測

速

發(fā)

電

機式中，Kt為電機常數(shù)。

無負載時RCui(t)uo(t)i(t)無源微分網(wǎng)絡無源微分網(wǎng)絡

顯然，無源微分網(wǎng)絡包括有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)，稱之為慣性微分環(huán)節(jié)，只有當|Ts|<<1時，才近似為微分環(huán)節(jié)。

在物理系統(tǒng)中輸入輸出同量綱的微分環(huán)節(jié)很難獨立存在，經(jīng)常和其它環(huán)節(jié)一起出現(xiàn)。

積分環(huán)節(jié)輸出量正比于輸入量對時間的積分。

運動方程為：傳遞函數(shù)為：積分環(huán)節(jié)特點：

輸出量取決于輸入量對時間的積累過程。

具有明顯的滯后作用。積分環(huán)節(jié)常用來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。如當輸入量為常值

A時，由于輸出量須經(jīng)過時間T才能達到輸入量在t=0時的值A。如：有源積分網(wǎng)絡

+

CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)aei——距離，輸入量；nei機械積分器IBA

0——I軸的轉角，輸出量；n(t)——I軸的轉速。

二階振蕩環(huán)節(jié)含有兩個獨立的儲能元件，且所存儲的能量能夠相互轉換，從而導致輸出帶有振蕩的性質(zhì)，運動方程為：傳遞函數(shù)：式中，T—振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)

ζ—阻尼比，對于振蕩環(huán)節(jié)，0<ζ<1K—比例系數(shù)振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的兩種常用標準形式為（K=1）：

n稱為無阻尼固有角頻率。傳遞函數(shù)：R-L-C無源電路網(wǎng)絡LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C無源電路網(wǎng)絡如：質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)傳遞函數(shù)：常數(shù)：當時，為振蕩環(huán)節(jié)。

幾點結論

傳遞函數(shù)是復數(shù)s域中的系統(tǒng)數(shù)學模型，其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結構及參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入形式無關。

若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函數(shù)G(s)決定，即傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)內(nèi)在的固有動態(tài)特性。

傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關系來描述系統(tǒng)的固有特性。即以系統(tǒng)外部的輸入－輸出特性來描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。五、系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖及其簡化

方框圖系統(tǒng)方框圖是控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型的圖解形式。可以形象直觀地描述系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)間的相互關系及其功能以及信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程。是表示控制系統(tǒng)的另一種圖形，與方塊圖有類似之處，可將系統(tǒng)函數(shù)方塊圖轉化為信號流圖。

信號流圖

方框圖的結構要素

信號線

帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，直線旁標記變量，即信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。X(s),x(t)信號線

函數(shù)方框(環(huán)節(jié))G(s)X1(s)X2(s)函數(shù)方塊函數(shù)方塊具有運算功能，即X2(s)=G(s)X1(s)傳遞函數(shù)的圖解表示。比較點（求和點、綜合點）信號之間代數(shù)加減運算的圖解。用符號“

”及相應的信號箭頭表示，每個箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號或減去此信號。

相鄰求和點可以互換、合并、分解，即滿足代數(shù)運算的交換律、結合律和分配律。

X1(s)X2(s)X1(s)

X2(s)

ABA-BCA-B+C

A+C-BBCAA+C

ABA-B+CCA-B+C比較點可以有多個輸入，但輸出是唯一的。

信號引出點（線）

表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。

同一信號線上引出的信號，其性質(zhì)、大小完全一樣。

引出線X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)

求和點函數(shù)方塊函數(shù)方塊引出線Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方塊圖示例任何系統(tǒng)都可以由信號線、函數(shù)方塊、信號引出點及比較點組成的方框圖來表示。

系統(tǒng)方塊圖的建立

步驟

建立系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的微分方程,明確信號的因果關系（輸入/輸出）。

對上述微分方程進行拉氏變換，繪制各部件的方框圖。

按照信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程，依次將各部件的方框圖連接起來，得到系統(tǒng)的方框圖。

示例RCui(t)uo(t)i(t)無源RC電路網(wǎng)絡

無源RC網(wǎng)絡

拉氏變換得：從而可得系統(tǒng)各方框單元及其方框圖。

Ui(s)Ui-UoI(s)Uo(s)(a)Uo(s)I(s)(b)

Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)無源RC電路網(wǎng)絡系統(tǒng)方框圖

方塊圖簡化

方框圖的運算法則

串聯(lián)G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s)...G(s)=G1(s)G2(s)···Gn(s)Xi(s)Xo(s)

并聯(lián)Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)

++Gn(s)...Xi(s)Xo(s)G1(s)+G2(s)+

+Gn(s)

反饋

G(s)H(s)

Xi(s)Xo(s)

B(s)E(s)Xi(s)Xo(s)開環(huán)傳遞函數(shù)

方塊圖變換法則

求和點的移動

G(s)

ABC±G(s)

ABC±G(s)

ABCG(s)±G(s)

ABC±求和點后移求和點前移

引出點的移動G(s)ACCG(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)ACA引出點前移引出點后移

由方框圖求系統(tǒng)傳遞函數(shù)基本思路：利用等效變換法則，移動求和點和引出點，消去交叉回路，變換成可以運算的簡單回路。

例：求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。H1(s)Xo(s)G1(s)

G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)

BH2(s)AH1(s)G1(s)

G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)

Xo(s)H2(s)G3(s)解：1、A點前移；2、消去H2(s)G3(s)反饋回路H1(s)Xo(s)G1(s)

G3(s)H3(s)+Xi(s)Xi(s)Xo(s)H3(s)

Xi(s)Xo(s)3、消去H1(s)反饋回路4、消去H3(s)反饋回路

（機械）系統(tǒng)分析的一般步驟系統(tǒng)（實物）到動力學模型的簡化六、控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)推導舉例由簡化的動力學模型列寫微分方程拉式（反）變換求解輸出/傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)函數(shù)方塊圖或信號流圖

組合機床動力滑臺

汽車懸掛系統(tǒng)當汽車行駛時，輪胎的垂直位移作用于汽車懸掛系統(tǒng)上，系統(tǒng)的運動由質(zhì)心的平移運動和圍繞質(zhì)心的旋轉運動組成。車體車架質(zhì)心汽車懸掛系統(tǒng)（垂直方向）液力減震器m2m1K2DK1xi(t)xo(t)x(t)簡化的懸掛系統(tǒng)（垂直方向）

FK1(s)X(s)FD(s)FK2(s)(b)

Xi(s)X

(s)K1FK1(s)(a)

Xo(s)FD(s)FK2(s)

(d)K2

X(s)Xo(s)FK2(s)DsFD(s)(c)

Xi(s)X(s)FD(s)FK1(s)

Xo(s)FK2(s)

K1

Xo(s)FK2(s)DsFD(s)K2汽車懸掛系統(tǒng)方框圖X(s)K1X(s)Xo(s)Xi(s)Matlab簡介：1980年前后，美國moler博士構思并開發(fā)；最初的matlab版本是用fortran語言編寫，現(xiàn)在的版本用c語言改寫；1992年推出了具有重要意義的matlab4.0版本；并于1993年推出了其windows平臺下的微機版，目前的版本每年更新2次，分為a、b。七、系統(tǒng)數(shù)學模型的MATLAB實現(xiàn)

要分析系統(tǒng)，首先需要能夠描述這個系統(tǒng)。例如用傳遞函數(shù)的形式描述系統(tǒng)

控制系統(tǒng)數(shù)學模型在MATLAB中，多項式通過系數(shù)行向量表示，系數(shù)按降序排列。如要輸入多項式：x4-12x3+25x+126>>p=[1-12025126]p=1-12025126在MATLAB中，用num和den分別表示F(s)的分子和分母多項式，即：num=[b0b1…bm]den=[a0a1…an]然后利用下面的語句就可以表示這個系統(tǒng)

sys=tf(num,den)其中tf()代表傳遞函數(shù)的形式描述系統(tǒng)，還可以用零極點形式來描述，語句為

z=[12]; p=[-1-2-3];k=4;sys=zpk(z,p,k)4(s-1)(s-2)-----------------(s+1)(s+2)(s+3)而且傳遞函數(shù)形式和零極點形式之間可以相互轉化，語句為

[z,p,k]=tf2zp(num,den)[num,den]=zp2tf(z,p,k)den1=122den2=2332den=271314104z=[1;2]; p=[-1;-2;-3];k=4;[num,den]=zp2tf(z,p,k)當傳遞函數(shù)復雜時，應用多項式乘法函數(shù)conv()等實現(xiàn)。例如

den1=[1,2,2]den2=[2,3,3,2]den=conv(den1,den2)計算閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的基本連接方式有三種：串連、并聯(lián)和反饋串連：sys=series(sys1,sys2)并聯(lián)：sys=parallel(sys1,sys2)反饋：sys=feedback(sys1,sys2,-1)如果是單位反饋系統(tǒng)，則可使用cloop()函數(shù)，sys=cloop(sys1,-1)

用MATLAB展開部分分式設：應用舉例用num和den分別表示F(s)的分子和分母多項式，即：num=[b0b1…bm]den=[a0a1…an]MATLAB提供函數(shù)residue用于實現(xiàn)部分分式展開，其句法為：[r,p,k]=residue(num,den)其中，r,p分別為展開后的留數(shù)及極點構成的列向量、k為余項多項式行向量。若無重極點，MATLAB展開后的一般形式為：若存在q重極點p(j)，展開式將包括下列各項