函數(shù)概念高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第一冊

函數(shù)概念

函數(shù)概念的起源與發(fā)展史萊布尼茨1646－1716德國數(shù)學(xué)家

1673年，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨首次使用“function”（函數(shù)）一詞，后又經(jīng)德國數(shù)學(xué)家康托爾在集合論的基礎(chǔ)上，揭示了函數(shù)的本質(zhì)，中國清代數(shù)學(xué)家李善蘭1859年在翻譯《代數(shù)學(xué)》一書時，將function翻譯成函數(shù)，將函數(shù)一詞引入中國，他翻譯到“凡式中含天，為天之函數(shù)”。康托爾1845－1918德國數(shù)學(xué)家李善蘭1811－1882清代數(shù)學(xué)家復(fù)習(xí)引入在初中，我們學(xué)習(xí)了哪些重要的函數(shù)類型？

一次函數(shù)一元二次函數(shù)反比例函數(shù)xyOxyOxyOx0y0x0y0x0y0函數(shù)的基本特征：對于每一個

x

的取值，都有唯一確定的

y

值和它對應(yīng).情境導(dǎo)入

一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到地面擊中目標(biāo).炮彈的射高為845m,且炮彈距地面的高度h(單位:m)隨時間t(單位:s)變化的規(guī)律是時間

t的變化范圍是數(shù)集高度

h的變化范圍是數(shù)集數(shù)集A中的任意一個時間t，按照對應(yīng)關(guān)系

，在數(shù)集B中都有唯一確定的高度h和它對應(yīng).情境導(dǎo)入

下圖是2012—2021年我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況：時間（年）2012201320142015201620172018201920202021恩格爾系數(shù)（%）3230.13029.729.328.627.727.629.228.6數(shù)集

A中的任意一個時間，按照表格，在數(shù)集

B中都有唯一確定的系數(shù)和它對應(yīng).

你能用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，抽象概括出函數(shù)的概念嗎？

以上兩個實例中變量的對應(yīng)關(guān)系有什么共同點(diǎn)呢？（1）都有兩個非空數(shù)集

A，B；（2）兩個數(shù)集間都有一種確定的對應(yīng)關(guān)系；

（3）對于數(shù)集

A

中的任意一個數(shù)，數(shù)集

B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng).函數(shù)的定義

給定實數(shù)集

R

中的兩個非空數(shù)集

A和

B,如果存在一個對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合

A中的每一個數(shù)x

,在集合

B中都有唯一確定的數(shù)

y

和它對應(yīng)，那么就把對應(yīng)關(guān)系

f

稱為定義在集合

A上的一個函數(shù)，

記作

y

=

f(x)，x∈A.其中集合

A

稱為函數(shù)的定義域，x稱為自變量.與

x值對應(yīng)的

y值稱為函數(shù)值.集合

稱為函數(shù)的值域.思考：集合

B與函數(shù)值域的關(guān)系？函數(shù)的三要素定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域（1）定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍.比如，

的定義域為

特別地，若涉及實際問題，函數(shù)的定義域還必須使得實際問題有意義.

如描述彈簧的伸長量

x與彈力

y的函數(shù)

，由于自變量

x是伸長量，定義域就不可能包含負(fù)數(shù)了.函數(shù)的三要素定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域（3）值域是全體函數(shù)值組成的集合.（2）對應(yīng)關(guān)系指的是對應(yīng)的結(jié)果，而不是對應(yīng)的過程.比如，

與

是同一個函數(shù).

用

表示函數(shù)

當(dāng)

時的函數(shù)值.例如，對于函數(shù)

來說，

，其中

84就是函數(shù)

當(dāng)

時的函數(shù)值.例

1

下列各組中的兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)？（1）（2）（3）（4）

（1）因為

的定義域是

R，

的定義域是

，兩個函數(shù)的定義域不同，所以不是同一個函數(shù)；解

（2）因為兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，所以不是同一個函數(shù)；

（3）因為

的定義域是

，

的定義域是R，兩個函數(shù)的定義域不同，所以不是同一個函數(shù)；

（4）

和

雖然表示自變量的字母不同，但它們的定義域及對應(yīng)關(guān)系都相同，所以是同一個函數(shù).定義域?qū)?yīng)關(guān)系決定值域函數(shù)的

如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱它們是同一函數(shù).

（2）為使函數(shù)有意義，只需解析式中的被開方數(shù)非負(fù)，且分式的分母不為

0，即

，解得.

（3）為使函數(shù)有意義，只需解析式中的被開方數(shù)非負(fù)，解

例

2

求下列函數(shù)的定義域：（1）（2）（3）

（1）為使函數(shù)有意義，只需解析式中分式的分母不為零，即

解得

所以函數(shù)

的定義域是

；

即

解得

所以函數(shù)

的定義域是

；

所以函數(shù)

的定義域是

（3）

f(x)為偶次根式型函數(shù)時，定義域為使被開方數(shù)非負(fù)的實數(shù)集合；

f(x)為奇次根式型函數(shù)時，定義域為

R；已知解析式求函數(shù)的定義域：

（1）

f(x)為整式型函數(shù)時，定義域為

R；

（2）

f(x)為分式型函數(shù)時，定義域為使分母不為零的實數(shù)的集合；

（4）若

，定義域為不等式

的解集；

（5）若

y=f(x)是由幾個部分的式子構(gòu)成時，定義域為使各部分式子都有意義的實數(shù)的集合；函數(shù)的定義域用集合或區(qū)間表示.已知解析式求函數(shù)的定義域：（即求各集合的交集）

（6）若是實際問題，定義域為使實際問題都有意義的實數(shù)的集合.當(dāng)

時，

解

例

3

已知函數(shù)（1）求

的值；

（2）若

，求

a的值.

（1）

（2）當(dāng)

時，

，解得