高中數(shù)學(xué)學(xué)案1：高中數(shù)學(xué)人教A版2019 選擇性必修 第一冊 空間向量運算的坐標(biāo)表示

1.3.2空間向量運算的坐標(biāo)表示

導(dǎo)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握空間向量運算的坐標(biāo)表示，并會判斷兩個向量是否共線或垂直

2.掌握空間向量的模，夾角公式和兩點間距離公式，并能運用這些公式解決簡單

幾何體中的問題

【自主學(xué)習(xí)】

知識點一空間向量運算的坐標(biāo)表示

設(shè)a=（a”名，&）,b=（b\,8,&）,空間向量的坐標(biāo)運算法則如下表所示：

運算坐標(biāo)表示

加法a+b=(a+\，戈+。2,a+&)

減法a-b=1比一b\,也,――

數(shù)乘入a=（入方”入金，入&），入￡R

數(shù)量積a.b=+也從~\~a3b3

知識點二空間向量的平行、垂直、模與夾角公式的坐標(biāo)表示

設(shè)a=（a"a?,&）>b=（仇，bt），則

<

平行（a〃合）a//b(bWO)=a=入Zz?劉2=入8，(XwR)

、&=入th

垂直（a，6）aVb^a?b=Ooa4+包十+ab、=0(a,6均為非零

1

向量）

模a=\/a?&=、//+〃+/

a?b_______ai仿+a28+a3-

夾角公式'㈤?引/?；+￡+￡

知識點三向量的坐標(biāo)及兩點間的距離公式

在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)4（句，b\,G）,6（比，bz,C2）,則

A

（1）AB=（色一4,b「b\,Q—a）;

（2）daB=AB\=4（還一句）一+（2一，i）~+（Q-。1丫?

2

【合作探究】

探究一空間向量的坐標(biāo)運算

【例1】⑴若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),滿足條件(c—a)?2b

=—2,則x=.

(2)已知a=(2,—1,—2),b=(0,—1,4),

求a+b,a~b,a,b,(2a),(—6),(a+5)?(a—Z>).

【答案】⑴2(2)(2,-2,2),(2,0,-6),-7,14,-8

[e~a=(0,0,1-jr),26=(2,4,2),由(c—a)?26=—2得2(1一力=一2,解得

x—2.]

(2)[解]a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,—2+4)=(2,

—2,2)；

a—b=(2,—1,-2)—(0,—1,4)=(2—0,—1+1,—2—4)=(2,0,-6)；

a-(2,-1,-2)-(0,-l,4)=2X0+(-l)X(-1)+(-2)X4=-7；

(2a),(―/>)=—2(a,/>)=—2X(—7)=14；

(a+/>),(a—6)=(2,—2,2),(2,0,—6)=2X2—2X0+2X(—6)=—8.

歸納總結(jié)：進行空間向量的數(shù)量積坐標(biāo)運算的技巧

利用向量坐標(biāo)運算解決問題的關(guān)鍵是熟記向量坐標(biāo)運算的法則，同時掌握下列技

巧.

(1)在運算中注意相關(guān)公式的靈活運用，如(a+b)<a-6)=i-lf=\a\2-b\2,

(a+b),(a+力)=(a+砂等.

(2)進行向量坐標(biāo)運算時，可以先代入坐標(biāo)再運算，也可先進行向量式的化簡再

代入坐標(biāo)運算，如計算(2a)-(-6),既可以利用運算律把它化成一2(a?8),也

3

可以求出2a,一，后，再求數(shù)量積；計算(a+b)?(a—b),既可以求出a+b,a

一b后,求數(shù)量積，也可以把(a+b)?(&—力寫成/一82后計算.

【練習(xí)1](1)已知向量a=(1,2,3),b=(—2,—4,—6),c|若(a+

b)?c=7,則a與c的夾角為.

(2)已知〃(1,2,3),M2,3,4),尸(一1,2,-3),若|序=3|而且/〃而,則0

點的坐標(biāo)為()

A.(2,5,0)B.(—4,-1,—6)或(2,5,0)

C.(3,4,1)D.⑶4,1)或(一3,-2,-5)

【答案】(1)120°(2)B

[(l)因為a=(l,2,3),6=(—2,-4,-6),所以a+b=(—l,—2,—3),所

以la+引=，五因為(a+力)?c=7,所以a+6與c夾角的余弦值為(，即夾角

為60°.因為a=(l,2,3)與a+6=(—1,-2,—3)方向相反，所以可知a與c

的夾角為120°.

(2)設(shè)。(x,y,z),則尿(x+1,y~2,z+3),.就-(1,1,1),

222222

.('^+l)+(y-2)+(z+3)=3^1+1+1,

[x+l=y-2=z+3,

/x=—4,|x=2,

解得—1,或"=5,

[z=-6lz=0,

???。點的坐標(biāo)為(-4,-1,—6)或(2,5,0).]

4

探究二空間向量的平行與垂直

【例2】(1)對于空間向量a=(1,2,3)"=(入，4,6).若a//b,則實數(shù)人=()

A.-2B.-1C.1D.2

(2)正方體中，"是棱〃〃的中點，P、0分別為線段3〃，物上的

點，

且3而三曲，若PQLAE,BD=人而，求人的值.

［思路探究］(1)利用向量共線充要條件.

⑵建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運算，求入值.

【答案】(DD

1231

［因為空間向量a=(1,2,3),b=(入，4,6),若a〃瓦則7=彳=1=5，所以入

44。Z

=2,故選D.］

⑵［解］如圖所示，以，為原點，贏DC,應(yīng)的方向分別為x軸，y軸，z軸

的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1,則力(1,0,0),/o,0,1

6(1,1,0),5,(1,1,1),22)(0,0,1),

由題意，可設(shè)點戶的坐標(biāo)為(a,a,1),

5

因為3友心而，所以3（a—l,a—1,0）=（一%-a0）,

3

所以3a—3=-a,解得a=j,

所以點尸的坐標(biāo)為g，*1）

由題意可設(shè)點。的坐標(biāo)為（，，40）,

因為HLL4E,所以閑?花=0,

所以（。一?力一*—?f—1,0,3=0，

即解得6=（,

所以點0的坐標(biāo)為（；，；，0］，

因為劭=入〃Q所以（一1，—1，。）=入R0）

所以?=-1,故人=-4.

歸納總結(jié)：

（1）向量化：將空間中的垂直與平行轉(zhuǎn)化為向量的垂直與平行；

（2）向量關(guān)系代數(shù)化：寫出向量的坐標(biāo)；

⑶對于a=（x”K，Z）,力=（尼，%Z?）,根據(jù)為用+y先+20是否為0判斷

兩向量是否垂直；根據(jù)出=入在，必=入%，?=入z?（入?R）或也"=匕=亙（髭，如

在y2z2

及都不為0）判斷兩向量是否平行.

6

2.由空間向量垂直或平行求值只需根據(jù)垂直或平行的條件建立方程（組）求解即

可

【練習(xí)2］已知a=(入+1,1,2入)，加=(6,2加一1,2).

(1)若2〃，，分別求人與加的值；

⑵若a=#,且與c=(2,—2X,—人)垂直，求a.

［解］⑴由a〃b,得(入+1,1,2、)=A(6,2加一1,2),

［4+1=6A,f1

力=

i=k2m—1,解得Jk—5'

［24=24,l?=3.

，實數(shù)入=E，m=3.

5

(2)Va=/,且ale,

p+l)2+l2+(24)2=5,

?<

.(4+1,1,2^),(2,—2入，一4)=0,

'5乂+21=3,

化簡，得Ic12c解得人=-1.因此，a=(0,1,—2).

2240,

探究三空間向量的夾角與長度問題

【例3】如圖所示，在直三棱柱483436中，CA=CB=l,N30=9O°,棱

=2,肱A'分別為4A,44的中點.

7

⑴求融的長;

(2)求//與6C所成角的余弦值;

(3)求證：而L平面G期V：

［思路探究］建系小燈z-得各點的坐標(biāo)一數(shù)量積運算一夾角、長度公式

-*幾何結(jié)論

［解］(1)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz.

依題意得8(0,1,0),A'(l,0,1),

???I勵=叱1-oy+(o—i『+(i—0『=小,

線段瞅的長為擊.

(2)依題意得4(1,0,2),<7(0,0,0),((0,1,2),

.?.蔭=(1,-1,2),^=(0,1,2),

.,.防?法=1義0+(—1)X1+2X2=3.

又|朋|=季，|紹|=4.

8

L-、BA}?SA/30

Acos〈物i,CB)=---------

-*■-?I()

\BAi\\CBi\

故48與6c所成角的余弦值為鳴.

(3)證明:依題意得4(1,0,2),G(0,0,2),6(0,1,0),

Ml,0,1),心,j,2),

."〃=弓，5,oLGH,O,-i),

訕=3-1,1),

ff11

：.QM*BN=~X\+-X(-1)+0X1=0,

乙乙

郎?孤1X1+0X(-D+(-l)Xl=0.

J.QMLBN,C\N'BN,

:.BNLCM,BN'GN,

又,?G"AQN=G,G，化平面C\MN,GAiz平面C腳,

.?.及歸_平面QMN.

歸納總結(jié)：

1.利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求異面直線所成角的步驟

(1)根據(jù)幾何圖形的特點建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；

(2)利用已知條件寫出有關(guān)點的坐標(biāo)，進而獲得相關(guān)向量的坐標(biāo);

9

(3)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得異面直線上有關(guān)向量的夾角，并將它轉(zhuǎn)化為

異面直線所成的角.

2.利用向量坐標(biāo)求空間中線段的長度的一般步驟

(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；

(2)求出線段端點的坐標(biāo)；

(3)利用兩點間的距離公式求出線段的長.

【練習(xí)3］在棱長為1的正方體4?845G〃中，E,尸分別是加，龍的中點,

G在棱切上，CG=*D,〃是GG的中點.

(1)求證：EFLBG

(2)求跖與GG所成角的余弦值;

⑶求勿的長.

［解］如圖，以〃為原點建立空間直角坐標(biāo)系力燈z,

則5,(1,1,1),<7(0,1,0),

0,3,d,P0),

40,ohC；(0,1,1),

10

11

O

nin——a一--

⑴正=5,J,一弓，5c=(—i,o,—1),?O?5C=522

〈乙乙乙)1,乙

—1)=0,

:.EFLBC

(2)：詢=(0,-；，-11

孰岸&I-fo.-i)=1

\EF\=

3

一

8-倔

；,EF與GC所成角的余弦值是星.

平

/.cos(￡F,C\G)-近n

X-4

11

課后作業(yè)

A組基礎(chǔ)題

一、選擇題

1.已知三點2(1,5,-2),8(2,4,1),C(a,3,8+2)在同一條直線上，那么(

A.a=3,b=~3B.a=6,b=~l

C.a=3,6=2D.a=-2,8=1

【答案】C

[根據(jù)題意2=(1,-1,3),赤=(a—l,-2,6+4),

,砒標(biāo)線，：.AC=XAB,

(a—1,—2,3+4)=(入，一入，3人)，

(a—1=4，(a=3,

{-2=-A,解得|8=2,

故選C.]

16+4=31,[A=2

—3,—2),b=；x—2a,則x等于(

2.已知a=(2,3,—4),6=(—4,)

A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)

C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)

【答案】B

[由題a=(2,3,—4),6=(—4,—3,—2),設(shè)x=(%y,z)

貝U由b=^x—2a,可得(一4,—3,—2)=g(獷,y,z)—2(2,3,-4)%2_

2

—(4,6,-8)=(]L4,6,gz+8),解得IF=0,y=6,z=-20,即x=(0,6

12

-20).]

3.已知向量a=(l,0,-1),則下列向量中與a成60°夾角的是()

A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)

C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)

【答案】B

[不妨設(shè)向量為6=(x,y,z),

a?b—111

A.若5=(—1,1,0),則cos0=-,------=-=--;=-5工[,不滿足條件.

\a?\b\72x7222

B.若6=(1,-1,0),則cos°=a1.~b^=yp)xyp1~~2,滿足條件.

a?b—111

===-

C.若，=(0,—1,1),則cos0a\~b^x-^22^2'不滿足條件?

a?b—21

D.若b~(-1,0,1),則cos()=J.一~b\=yj2Xyl2=一1工萬’不滿足條件.故

選B.]

4.已知向量a=(-2,x,2),6=(2,1,2),c=(4,—2,1),若aJL(b—c),則

x的值為()

A.-2B.2

C.3D.-3

【答案】A

[b—c=(-2,3,1),a"(b—c)=4+3x+2=0,x=-2.]

5.已知從B、。三點的坐標(biāo)分別為4(4,1,3),8(2,-5,1),<7(3,7,A),

若茄，就；則入等于()

13

A.28B.-28

C.14D.-14

【答案】D

\_AB=(-2,—6,—2),AC=(—1,6,九一3),

'：~ABVAC,.?.法?荷=-2X(—1)-6X6—2(4一3)=0,解得兒=一14.]

二、填空題

6.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a—b,<?=a+2/>—c,則p?g

【答案】-1

p=a~b=(1,0,—1),q=a+2b~c—(0,3,1),g=lX0+0O3+(一

1)Xl=-1.]

7.已知空間三點4(1,1,1),6(—1,0,4),C(2,—2,3),則花與5的夾角J的

大小是.

【答案】120。

\_AB=(-2,—1,3),CA—(—1,3,-2),

L-、-2X-1+-1X3+3X-21

cos{AB,CA)=-------------------------i=-----j=-----------------------

[147142

二8=(AB,31)=120°.]

8.如圖，正方體力式》48a〃的棱長為1,E、尸分別是棱8C、〃〃上的點，如果

身心平面ABF,則CE與以'的和的值為.

14

【答案】1

［以〃M、DC、〃〃分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)gx,DF

=y,則易知￡(x,1,1).5(1,1,0),

...謙=(x—l,0,1),又為(0,0,1—9,8(1,1,1),...麗=(1,1,y),由于4RL

BE若3幻_平面45R

只需赤?日=(1,1,力?(x—1,0,D=0，x+y=L]

三、解答題

9.已知空間中三點力(-2,0,2),5(-1,1,2),C(一3,0,4),設(shè)a=茄，b=AC.

(1)求向量a與向量8的夾角的余弦值；

⑵若4a+6與姑一2b互相垂直，求實數(shù)4的值.

[解](l)Va=(l,1,0),b=(-l,0,2),?b=(l,1,0)?(—1,0,2)=—1,

又Ia|=^/l2+l2+02=V2.Ib\-12+02+22=V5.

Q?b-1A/10

=

Acos〈a,b)=,a！b\^T[Q~~10~,即向量a與向量力的夾角的余弦值為

yio

-10'

(2)法一：.:ka+b=(k—1,k,2),ka—2b=(k+2,k,—4),且Aa+力與Aa—

2b互相垂直，

5

A(A-1,左2)?(A+2,k,-4)=(4-1)(A+2)+〃-8=0,???A=2或4=一3

15

5

...當(dāng)Aa+b與后一2b互相垂直時，實數(shù)4的值為2或一;

法二：由(1)知b=鄧,a?b——\,

5

：.(ka+b)?<ka—2Z>)=k'a—ka,b—2b=2接+k—10=0,得左=2或k=—7

10.已知正三棱柱力處43。，底面邊長18=2,AB.LBQ,o,a分別是邊io,

4G的中點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

（1）求正三棱柱的側(cè)棱長；

⑵求異面直線與a'所成角的余弦值.

[解]（1）設(shè)正三棱柱的側(cè)棱長為h,

由題意得4（0,-1,0）,B（小,0,0）,^7（0,1,0）,瓜他,0,A),G(o,1,A),

則拓=（4，1,/1）,拓=（一4，1,/?）,

因為4笈，/，所以法?詬=-3+1+力2=0,

所以h=y[i.

⑵由⑴可知耘=（小，1,隹），BC=（~y[3,1,0),

所以法?訪=-3+1=—2.

因為|耘|=十,瓦|=2,所以cos（拓，BC）-2

2m6,

16

所以異面直線眼與勿所成角的余弦值為A當(dāng)/6

17

B組能力提升

一、選擇題

1.直三棱柱力優(yōu)45G中，/BCA=90°,M,“分別是45,4G的中點，BC=

CA=CQ,則切/與4M所成角的余弦值為()

12

AC.

-To5

【答案】c

［建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,設(shè)BC=2,則

8(0,2,0),4(2,0,0),“(1,1,2),Ml,0,2),所以"(1,

fbM?AN

—1,2),AN=(-1,0,2),故BM與4V所成角。的余弦值cos0=———

麗?|和

3_^30

#10

2.(多選題)若向量a=(1,2,0),6=(—2,0,1),則下列結(jié)論正確的是()

A.cos(a,t>)=—-B.aVb

5

C.a//bD.|=|

【答案】AD

響量a=(1,2,0),6=(—2,0,1),

|a|=/,|b\=y15,

a-8=1X(—2)+2X0+0Xl=-2,

a9b—22

==

cos{a,6〉=n_ai\--?-7bT\~~5^~r5-

18

由上知A正確，B不正確，D正確.C顯然也不正確.]

二、填空題

3.已知a=(x,2,—4),b=(—1,y,3),c=(1,—2,z),且a,b,c