有理數(shù)與無(wú)理數(shù)習(xí)題

2.1-2.2有理數(shù)與無(wú)理數(shù)

【推本溯源】

2.1正數(shù)與負(fù)數(shù)

正、負(fù)數(shù)的讀法與寫法：

"+"號(hào)讀作"正如8O讀作"正8","+"可以省略不寫.

"-"號(hào)讀作"負(fù)"，如-13,讀作“負(fù)13","-〃號(hào)是不可以省略的.

實(shí)際上，日常生活中，許多具有相反意義的量都可以用正數(shù)、負(fù)數(shù)來(lái)表示.例如

零上和零下，前進(jìn)和后退，上升和下降，收入

和支出,向東和向西，超過(guò)和____丕及________等等。

2.認(rèn)識(shí)正負(fù)數(shù)。

正數(shù)概念：像3、+8這樣的數(shù)；負(fù)數(shù)概念：像-1、-4；

0既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù).

請(qǐng)寫出兩個(gè)整數(shù)0、1;兩個(gè)負(fù)數(shù)-1、-2；兩個(gè)分?jǐn)?shù)1/2、

2/3；兩個(gè)負(fù)分?jǐn)?shù)-1/2、4/5；兩個(gè)非負(fù)數(shù)2、6；

3.正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、零統(tǒng)稱為整數(shù).

正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù).

'正整數(shù)

整數(shù)零分?jǐn)?shù)J正分?jǐn)?shù)

負(fù)整數(shù)1負(fù)分?jǐn)?shù)

2.2有理數(shù)與無(wú)理數(shù)

1.認(rèn)識(shí)有理數(shù)與無(wú)理數(shù)

有理數(shù)概念:我們把能夠?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)形式m/n的數(shù)叫做有理數(shù)_________________

無(wú)理數(shù)概念：無(wú)限不循環(huán)小數(shù);

2.有理數(shù)與無(wú)理數(shù)分類

因?yàn)檎龜?shù)、有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)能夠?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)形式，所以正數(shù)、

有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)；

無(wú)理數(shù)的形式：

(1)：像a2=2、b2=5種，a、b的值為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；

(2)：含n的數(shù)；

(3)：看似循環(huán)實(shí)則不循環(huán)的小數(shù),例：0.1010010001(依次加一個(gè)0)；

【解惑】

例1：（2021秋?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）

（1）如果節(jié)約20kW-h電記作+20kW-h,那么浪費(fèi)10kW-h電記作什么？

（2）如果-20.50元表示虧本20.50元，那么+100.57元表示什么？

（3）如果+20%表示增加20%,那么-6%表示什么？

【答案】（Q-10kW?h；（2）+100.57元表示盈利100.57元;（3）-6%表示減少6%.

【分析】此題主要用正負(fù)數(shù)來(lái)表示具有意義相反的兩個(gè)量，根據(jù)正數(shù)與負(fù)數(shù)的意

義即可得出.

【詳解】解：（1）節(jié)約與浪費(fèi)是具有相反意義的量，

若節(jié)約20kW-h電記作+20kW-h,那么浪費(fèi)10kW-h電記作-10kW-h；

（2）盈利與虧本是具有相反意義的量，

若-20.50元表示虧本20.50元，那么+100.57元表示盈利100.57元；

（3）增加和減少是具有相反意義的量，

若+20%表示增加20%,那么-6%表示減少6%.

【點(diǎn)睛】本題考查了正數(shù)與負(fù)數(shù)的意義，掌握與理解正數(shù)與負(fù)數(shù)的意義是解題的

關(guān)鍵.

例2：（2023秋?遼寧沈陽(yáng)?七年級(jí)統(tǒng)考期末）將下列各數(shù)填入所屬的集合中：

一2147..?

0,—3,-,-7,-4.2,3.5,0.6,-3—,10,—,--,6.5

正數(shù)集合：｛…｝;

整數(shù)集合：｛-.｝；

分?jǐn)?shù)集合：｛

負(fù)整數(shù)集合：｛

正分?jǐn)?shù)集合：｛…｝;

【答案】見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)正數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念，即可得出答案.

【詳解】正數(shù)集合：｛|,3.5,0.6,10,*6.51

整數(shù)集合：｛0,-3-7,10｝；

分?jǐn)?shù)集合：］■|,-4.2,3.5,0.6,-3g,g,-（,6.51；

負(fù)整數(shù)集合：｛-3,-7｝；

正分?jǐn)?shù)集合：弓,350.6,*6.5：；

【點(diǎn)睛】本題考查了正數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念，掌握以上內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

【摩拳擦掌】

1.（2023春?安徽蚌埠?九年級(jí)校聯(lián)考期中）中國(guó)是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義

的量，并進(jìn)行負(fù)數(shù)運(yùn)算的國(guó)家，若零上i0c記作+則零下rc可記作（）

A.fCB.-1°CC.0°CD.-2°C

【答案】B

【分析】根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義，零上記為正，則零下記為負(fù)，即可得到答案.

【詳解】解：若零上fc記作+1℃,則零下可記作-Tc.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解"正"和"負(fù)"的相對(duì)性,

看清規(guī)定哪一個(gè)為正，則和它意義相反的就為負(fù).

2.（2022秋?廣西崇左?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列各組數(shù)中，不是互為相反意義

的量的是（）

A.收入200元與支出20元B.超過(guò)0.05mm與不足0.03m

C.增大2L與減少2kgD.上升10m和下降7m

【答案】C

【分析】在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表

示.據(jù)此對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解；A、收入200元與支出20元，是一組互為相反意義的量，故A不

符合題意；

超過(guò)0.05mm與不足Q03m,是一組互為相反意義的量，故B不符合題意；

C、增加2L與減少2kg,不是相反意義的量，故C符合題意；

D、上升10m與下降7m,是一組互為相反意義的量，故D不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵是理解"正‘'和"負(fù)"的相對(duì)性，確定一

對(duì)具有相反意義的量.

3.（2023?吉林?統(tǒng)考一模）中國(guó)是世界上最早使用負(fù)數(shù)的國(guó)家，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期李悝所

著的《法經(jīng)》中已使用負(fù)數(shù).如果公元前500年記作-500年，那么公元2023年

應(yīng)記作（）

A.—2023年.B.+1523年.C.+2023年.D.+2523年.

【答案】C

【分析】根據(jù)相反意義的量進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：公元前500年記作-500年，

，公元前為"-"，

二公元后為"+

???公元2023年就是公元后2023年，

公元2023年應(yīng)記作+2023年.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相反意義的量，理解相反意義的量是解題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?江蘇徐州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）有一種記分方法；以80分為準(zhǔn)，

86分記為+6分，某同學(xué)得74分，則應(yīng)記為（）

A.T分B.-74分C.+6分D.-6分

【答案】D

【分析】首先審清題意，明確"正"和"負(fù)"所表示的意義；再根據(jù)題意作答.

【詳解】以80分為準(zhǔn)，86分記為+6分，某同學(xué)得74分，則應(yīng)記為-6分.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了正負(fù)數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解"正"和"負(fù)"的相對(duì)性,

明確什么是一對(duì)具有相反意義的量.在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一

個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示.

5.（2022秋?浙江?七年級(jí)期中）下列說(shuō)法中具有相反意義的量是（）

A.向南走5千米和向東走6.2千米B.前進(jìn)30米和后退40米

C.收入500元和虧損500元D.升高5。42和零下79

【答案】B

【分析】根據(jù)具有相反意義的量必須滿足兩個(gè)條件（①他們是同一屬性的量；

②他們的意義相反）時(shí)行判斷.

【詳解】A選項(xiàng)：向南和向北是意義相反的，故不符合題意；

B選項(xiàng)：前進(jìn)和后退是意義相反的，故符合題意；

C選項(xiàng)：收入和支出，盈利與虧損是意義相反的，故不符合題意；

D選項(xiàng)：升高與降低，零上與零下是意義相反的，故不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】考查了具有相反意義的量，解題的關(guān)鍵是明確什么是相反意義的量.

6.（2022秋?河南周口,七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）某單位對(duì)員工“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”每日的分

數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，規(guī)定多于40分的記作正，少于40分的記作負(fù)，小芳學(xué)習(xí)的第一周

每日的積分（單位：分）為：+14,+9,-2,+5,-10,+1,-11

⑴求小芳周三的學(xué)習(xí)積分是多少？

⑵小芳哪一天的學(xué)習(xí)積分最少？是多少？哪一天的學(xué)習(xí)積分最多，是多少？

⑶這一周小芳的分?jǐn)?shù)累計(jì)為多少分？

【答案】（1）小芳周三的積分為38分

⑵星期天的積分最少為29分，星期一的積分最多為54分

⑶小芳一周的積分為286分

【分析】（1）根據(jù)正負(fù)數(shù)的計(jì)算得出結(jié)論即可；

（2）根據(jù)正負(fù)數(shù)的計(jì)算得出結(jié)論即可；

（3）根據(jù)正負(fù)數(shù)的計(jì)算得出結(jié)論即可.

【詳解】（1）解：40-2=38（分），

答：小芳周三的積分為38分；

（2）解：星期天的積分最少為40-11=29（分），

星期一的積分最多為40+14=54（分），；

（3）解：+14+9-2+5-10+1-11=6（分），

7x40+6=286（分），

答：小芳一周的積分為286分.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正負(fù)數(shù)的概念及計(jì)算，熟練掌握正負(fù)數(shù)的概念及計(jì)算是解

題的關(guān)鍵

7.（2022秋?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）某人用400元購(gòu)買了8套兒童服裝，準(zhǔn)備以

一定價(jià)格出售.他以每套55元的價(jià)格為標(biāo)準(zhǔn)，將超出的記作正數(shù)，不足的記作

負(fù)數(shù),記錄如下：+2,-3,+2,+1,-2,-1,0,-2（單位：元）.他賣

完這8套兒童服裝后是盈利還是虧損？他盈利（或虧損）了多少錢？

【答案】37元

【分析】在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)來(lái)

表示,利用"正"和"負(fù)"的相對(duì)性即可求解.

【詳解】解：2+（-3）+2+1+（-2）+（-1）+0+（-2）=-3（元），

（55-400-8）x84-（-3）=37（元），

答：他盈利了37元.

【點(diǎn)睛】本題考查了相反意義的量，理解"正"和"負(fù)"的相對(duì)性是解題的關(guān)鍵.

8.（2021秋?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下表記錄了某星期內(nèi)股市的漲跌情況，請(qǐng)完成下

表：

時(shí)間漲跌情況用正負(fù)數(shù)表示

星期一上漲100點(diǎn)+100

星期二下跌50點(diǎn)

星期三上漲60點(diǎn)

星期四下跌30點(diǎn)

星期五上漲2點(diǎn)

【答案】依次為：-50,+60,-30,+2.

【分析】上漲為正，下跌為負(fù)，直接得到答案即可.

【詳解】解：下跌50點(diǎn)，用正負(fù)數(shù)表示為-50,

上漲60點(diǎn)，用正負(fù)數(shù)表示為+60,

下跌30點(diǎn)，用正負(fù)數(shù)表示為-30,

上漲2點(diǎn)，用正負(fù)數(shù)表示為+2.

故答案為：-50,+60,-30,+2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量，看清題目規(guī)定的哪一

個(gè)量為正，則具有相反意義的量即為負(fù).

9.（2022秋?浙江杭州?七年級(jí)?？计谥校┌严铝懈鲾?shù)的序號(hào)填在相應(yīng)的橫線內(nèi)：

①1②-|③萬(wàn)④°⑤;⑥一50-6.5

⑴整數(shù)：;

⑵負(fù)分?jǐn)?shù)：;

⑶有理數(shù)：.

【答案】⑴①④⑥

⑵②⑦

⑶①②④⑤⑥⑦

【分析】（1）根據(jù)整數(shù)的定義作答即可；

（2）依據(jù)負(fù)分?jǐn)?shù)的定義作答即可；

（3）整數(shù)、有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)，分?jǐn)?shù)等都是有理數(shù)，據(jù)此作答即可.

【詳解】（1）①1是整數(shù)，也是有理數(shù)；②-|是負(fù)數(shù)，分?jǐn)?shù)，也是有理數(shù)；

③萬(wàn)不是有理數(shù)；④。是整數(shù)，也是有理數(shù)；⑤;是分?jǐn)?shù)，也是有理數(shù)；⑥-5

是整數(shù)，負(fù)數(shù),也是有理數(shù)；⑦Y.5是分?jǐn)?shù)，負(fù)數(shù)，也是有理數(shù).

即整數(shù)有：①④⑥，

故答案為：①④⑥；

（2）根據(jù)（1）中的判斷，可知負(fù)分?jǐn)?shù)為②⑦，

故答案為：②⑦；

（3）根據(jù)（1）中的判斷，可知有理數(shù)為①②④⑤⑥⑦，

故答案為：①②④⑤⑥⑦；

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的分類，有理數(shù)的判斷等知識(shí)，掌握有理數(shù)、負(fù)

分?jǐn)?shù)、整數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.

10.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）把下列各數(shù)填入它所屬的集合內(nèi)：

1JT.

-2.5,5-,0,-3,2,-1.121121112...（每?jī)蓚€(gè)2之間依次增加一個(gè)1）.

°J

正數(shù)集合：｛—...｝;

無(wú)理數(shù)集合：｛—...）;

分?jǐn)?shù)集合：｛...｝;

非負(fù)整數(shù)集合：｛—...｝.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類求解即可.

【詳解】解：正數(shù)集合：｛5；,2,￡...｝；

TT____

無(wú)理數(shù)集合：｛],-1.121121112…（每?jī)蓚€(gè)2之間依次增加一個(gè)1）...｝；

分?jǐn)?shù)集合：｛-2.5,5、.｝；

非負(fù)整數(shù)集合：｛0,2...｝.

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的分類，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的分類.

【知不足】

1.（2023春?河北承德?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相

反，要令正負(fù)以名之“，意思是：今有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)與負(fù)

數(shù)，若上升7米記作+7米，則-5米表示（）

A.上升5米B.下降5米C.下降7米D.上升7米

【答案】B

【分析】根據(jù)具有相反意義的量求解即可.

【詳解】解：回上升7米記作+7米，

回-5米表示下降5米，故B正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了具有相反意義的量，理解相反數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵.

57

2.（2022秋,廣西崇左?七年級(jí)校考階段練習(xí)）在有理數(shù)-2,+1,6.7,-14,0,有,-5,15%

622

中，整數(shù)一共有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)整數(shù)的定義，即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：+1,-14,0,-5屬于整數(shù)，

，整數(shù)一共有4個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)，利用整數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

3.（2023春?北京海淀?七年級(jí)北大附中?？计谥校┫铝袑?shí)數(shù)中的無(wú)理數(shù)是（）

A.1.414B.0C."D.--

3

【答案】C

【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】解：A、1.414是有限小數(shù)，屬有理數(shù)不是無(wú)理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、0是整數(shù)，屬有理數(shù)不是無(wú)理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、乃是無(wú)理數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；

D、一是分?jǐn)?shù)，屬有理數(shù)不是無(wú)理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的定義，無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).理解無(wú)理數(shù)的

概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)

和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù).

4.（2023春?湖南長(zhǎng)沙?七年級(jí)湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）下列各數(shù)

中，無(wú)理數(shù)是（）

A.-兀B.3.14C.-2D.一

7

【答案】A

【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】A、-兀是無(wú)理數(shù)，符合題意；

B、3.14是有理數(shù)，不符合題意；

C、-2是有理數(shù)，不符合題意；

D、g是有理數(shù)，不符合題意，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)理數(shù)，解答的關(guān)鍵掌握無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的概念：有理數(shù)

包含整數(shù)和分?jǐn)?shù)、無(wú)理數(shù)為無(wú)限不循環(huán)小數(shù).

357

5.（2023春?上海,六年級(jí)專題練習(xí)）在數(shù)=，-0.54,0,52,15,-6八中，負(fù)分?jǐn)?shù)的

569

個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)負(fù)分?jǐn)?shù)的定義可以得到答案，要注意負(fù)小數(shù)也可以化為負(fù)分?jǐn)?shù).

35737

【詳解】解：在數(shù)-9-0.54,0,52,15,-6m中，負(fù)分?jǐn)?shù)有-￡，-。54,-61，共有3

56959

個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的分類，解題的關(guān)鍵是掌握負(fù)分?jǐn)?shù)的定義，要注意很

容易將負(fù)小數(shù)漏掉，出現(xiàn)錯(cuò)誤.

6.（2022秋?廣東河源,七年級(jí)校考期末）下列結(jié)論正確的是（）

A.有理數(shù)包括正數(shù)和負(fù)數(shù)

B.有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)

C.。是最小的整數(shù)

D.兩個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值相等，則這兩個(gè)有理數(shù)也相等

【答案】B

【分析】根據(jù)有理數(shù)的相關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)分析判斷即可.

【詳解】回有理數(shù)包括正有理數(shù)，零和負(fù)有理數(shù)，

回A錯(cuò)誤，不符合題意；

回有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，

加正確，符合題意；

回沒(méi)有最小的整數(shù)，

回C錯(cuò)誤，不符合題意；

回兩個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值相等，則這兩個(gè)有理數(shù)相等或互為相反數(shù)，

回D錯(cuò)誤，不符合題意；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的相關(guān)概念，正確理解相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵.

7.（2022秋?重慶彭水?七年級(jí)?？计谥校┫铝姓f(shuō)法正確的有（）

①一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；②海拔-155m表示比海平面低155m；

③負(fù)分?jǐn)?shù)不是有理數(shù)；④零是最小的數(shù)；

⑤零是整數(shù)，也是正數(shù)；⑥-1是最大的負(fù)數(shù).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】利用正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】解：0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，①錯(cuò)誤；

海拔-155m表示比海平面低155m,②正確；

負(fù)分?jǐn)?shù)是有理數(shù)，③錯(cuò)誤；

負(fù)數(shù)比零小，④錯(cuò)誤；

零是整數(shù)，不是正數(shù)，⑤錯(cuò)誤；

T是最大的負(fù)整數(shù)，⑥錯(cuò)誤；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)有理數(shù)有關(guān)內(nèi)容的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和辨析

能力，解題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義以及注意0的特殊性.

8.（2022秋?江蘇南京?七年級(jí)統(tǒng)考期中）某校七年級(jí)1至4班計(jì)劃每班購(gòu)買數(shù)量

相同的圖書布置班級(jí)讀書角，但是由于種種原因，實(shí)際購(gòu)書量與計(jì)劃有出入，如

表是實(shí)際購(gòu)書情況：

班級(jí)1班2班3班4班

實(shí)際購(gòu)書量（本）a32C22

實(shí)際購(gòu)書量與計(jì)劃購(gòu)書量的差值（本）+15b-7-8

⑴直接寫出一,b=—；

⑵根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知4個(gè)班實(shí)際購(gòu)書共—本；

⑶書店給出一種優(yōu)惠方案：一次購(gòu)買達(dá)到15本，其中2本書免費(fèi).若每本書售

價(jià)為30元，求這4個(gè)班團(tuán)體購(gòu)書的最低費(fèi)用.

【答案】（1）45,2

（2）122

（3）3180

【分析】（1）由于4班實(shí)際購(gòu)入22本，且實(shí)際購(gòu)買數(shù)量與計(jì)劃購(gòu)買數(shù)量的差值

為-8,即可得計(jì)劃購(gòu)書量為30,進(jìn)而可把表格補(bǔ)充完整；

（2）把每班實(shí)際數(shù)量相加即可；

（3）根據(jù)已知求出總費(fèi)用即可.

【詳解】（1）回由于4班實(shí)際購(gòu)入22本，且實(shí)際購(gòu)買數(shù)量與計(jì)劃購(gòu)買數(shù)量的差值

為-8,即可得計(jì)劃購(gòu)書量為30本，

回一班實(shí)際購(gòu)入a=30+15=45本，二班實(shí)際購(gòu)入數(shù)量與計(jì)劃購(gòu)入數(shù)量的差值

%=32-30=2本，

故答案依次為：45,2.

（2）4個(gè)班一共購(gòu)入數(shù)量為：45+32+23+22=122本，

故答案為：122

（3）回122+15=8.2,

回如果每次購(gòu)買15本，則可以購(gòu)買8次，且最后還剩2本書需單獨(dú)購(gòu)買，

回最低總花費(fèi)為：30x（15-2）x8+30x2=31807^.

【點(diǎn)睛】本題考查了正負(fù)數(shù)的應(yīng)用.在生活實(shí)際中利用正負(fù)數(shù)的計(jì)算能力，并通

過(guò)相關(guān)運(yùn)算來(lái)比較大小，進(jìn)而得出最佳方案；正確理解正負(fù)數(shù)的意義是解題的關(guān)

鍵.

9.（2022秋?河南安陽(yáng)?七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）每年的4月7日是世界衛(wèi)生日一一

WORLDHEALTHDAY（翻譯為中文也叫世界健康日），旨在引起世界對(duì)衛(wèi)生、健康

工作的關(guān)注，提高人們對(duì)衛(wèi)生、健康領(lǐng)域的素質(zhì)和認(rèn)識(shí)、強(qiáng)調(diào)健康對(duì)于勞動(dòng)創(chuàng)造

和幸福生活的重要性.為了迎接世界健康日的來(lái)臨，小明決定以跑步的方式踐行

“健康人人參與"，小明從家出發(fā)，沿著家門口的東西方向道路開(kāi)始跑步（家到路

的距離忽略不計(jì)），如果規(guī)定向東跑步為正，向西跑步為負(fù)，小明七次跑步記錄

如下（單位：m）：

第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

-400+700-900+800+600-500-200

⑴求跑步結(jié)束時(shí)小明距離家多遠(yuǎn)？

⑵在第幾次記錄時(shí)小明距離家最遠(yuǎn)?

⑶若每千米消耗60千卡的熱量，則小明跑步共消耗多少千卡熱量？

【答案】⑴100m

⑵第五次

（3）246千卡

【分析】（1）將七次跑步記錄相加即可；

（2）第一次小明距家400米，第一次跑步記錄加第二次跑步記錄為小明第二次

距家的米數(shù)，結(jié)果加第三次的得數(shù)為第三次小明距家的米數(shù)，以此類推，然后結(jié)

果的絕對(duì)值作比較即可；

（3）將七次跑步記錄的絕對(duì)值相加，結(jié)果變成千米，然后乘60即可.

【詳解】（1）-400+700-900+800+600-500-200=100（m）.

答：跑步結(jié)束時(shí)小明距離家100米.

（2）第一次記錄時(shí)距離家：I-400b40。（米）；

第二次記錄時(shí)距離家：-400+7001=30。（米）；

第三次記錄時(shí)距離家：-400+700-9001=600（米）；

第四次記錄時(shí)距離家：

|-400+700-900+8001=200（米）；

第五次記錄時(shí)距離家：

|-400+700-900+800+6001=800（米）；

第六次記錄時(shí)距離家：

1-400+700-900+800+600-5001=300（米）；

第七次記錄時(shí)距離家：

|-400+700-900+800+600-500-2001=100（米）.

第五次記錄時(shí)小明距離家最遠(yuǎn).

（3）I-4001+700+1-9001+800+600+1-5001+1-2001=4100m=4.1km.

4.1x60=246（千卡）.

答：小明跑步共消耗246千卡熱量.

【點(diǎn)睛】本題考查正負(fù)數(shù)和數(shù)軸，能夠理解正負(fù)數(shù)的含義解答本題的關(guān)鍵.

10.（2022秋,廣西崇左?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的括號(hào)

內(nèi)：-2.5,3.14,-2,+72,-0.6,0.618,0,-0.101

正數(shù)：_____________________________________

負(fù)數(shù)：_____________________________________

分?jǐn)?shù)：_______________________________________

非負(fù)數(shù)：_____________________________________

【答案】正數(shù)：3.14,+72,0.618；負(fù)數(shù):-2.5,-2,-0.6,-0.101；分?jǐn)?shù)：-2.5,

3.14,-0.6,0.618,-0.101；非負(fù)數(shù)：3.14,+72,0.618,0.

【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類方法進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：-2.5是負(fù)數(shù)，是分?jǐn)?shù)；

3.14是正數(shù)，是分?jǐn)?shù)，是非負(fù)數(shù)；

-2是負(fù)數(shù)；

+72是正數(shù)，是非負(fù)數(shù)；

旬.6是負(fù)數(shù)，是分?jǐn)?shù)；

0.618是正數(shù)，是分?jǐn)?shù)，是非負(fù)數(shù)；

0是非負(fù)數(shù)；

-0.101是負(fù)數(shù)，是分?jǐn)?shù)；

回正數(shù)：3.14,+72,0.618；

負(fù)數(shù)：-2.5,-2,-0.6,-0.101；

分?jǐn)?shù)：-2.5,3.14,-0.6,0.618,-0.101；

非負(fù)數(shù)：3.14,+72,0.618,0.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的分類，熟知有理數(shù)的分類方法是解題的關(guān)鍵.

【一覽眾山小】

1.（2022秋?江蘇泰州?七年級(jí)靖江市靖城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列說(shuō)法中：（1）

一個(gè)整數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；（2）最小的整數(shù)是零；（3）負(fù)數(shù)中沒(méi)有最大的數(shù)；

（4）自然數(shù)一定是正整數(shù)；（5）有理數(shù)包括正有理數(shù)、零和負(fù)有理數(shù)；（6）整

數(shù)就是正整數(shù)和負(fù)整數(shù)；（7）零是整數(shù)但不是正數(shù)；（8）正數(shù)、負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理

數(shù)；（9）非負(fù)有理數(shù)是指正有理數(shù)和0.正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)有理數(shù)的概念和有理數(shù)的分類，正、負(fù)數(shù)依次進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：整數(shù)分為正整數(shù)，0和負(fù)整數(shù)，

回一個(gè)整數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)錯(cuò)誤，

故（1）不符合題意；

沒(méi)有最小的整數(shù)，

故（2）不符合題意；

負(fù)數(shù)中沒(méi)有最大的數(shù)，

故（3）符合題意；

自然數(shù)包括0,

回自然數(shù)一定是正整數(shù)錯(cuò)誤，

故（4）不符合題意；

有理數(shù)包括正有理數(shù)，零和負(fù)有理數(shù)，

故（5）符合題意，

整數(shù)包括正整數(shù)，0和負(fù)整數(shù)，

故（6）不符合題意；

零食整數(shù)但不是正數(shù)，

故（7）符合題意；

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，

故（8）不符合題意；

非負(fù)有理數(shù)是指正有理數(shù)和0,

故（9）符合題意，

綜上所述，正確的有（3）（5）（7）（9）,共4個(gè)，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的概念和分類，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?山東青島?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合中：3,

211

-7,--,5.6,0,-8—,15,—

正數(shù)集合：{};

負(fù)數(shù)集合：{};

整數(shù)集合：{};

分?jǐn)?shù)集合：{}.

、21211

【答案】3,5.6,15；-7,--,-8—；3,-7,0,15；--,5.6,-8—,—

【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類方法進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：正數(shù)集合：3,5.6,15,

負(fù)數(shù)集合：-7,-|,-日；

整數(shù)集合：3,-7,0,15；

分?jǐn)?shù)集合：-1,5.6,-8；,1

、21211

故答案為：3,5.6,15；-7,--,-8—；3,-7,0,15；--,5.6,-8—,-

【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵.

3.(2023春?黑龍江哈爾濱?七年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？茧A段練習(xí))某

公司6天內(nèi)貨品進(jìn)出倉(cāng)庫(kù)的噸數(shù)如下：("+"表示進(jìn)庫(kù)，"一”表示出庫(kù))

+31,-32,-16,+35,-38,-20.

⑴經(jīng)過(guò)這6天，倉(cāng)庫(kù)里的貨品.(填"增多了"或“減少了”)

⑵經(jīng)過(guò)這6天，倉(cāng)庫(kù)管理員結(jié)算時(shí)發(fā)現(xiàn)倉(cāng)庫(kù)里還剩貨品460t,那么6天前倉(cāng)庫(kù)里

有貨品多少噸？

⑶如果貨品進(jìn)出倉(cāng)庫(kù)的裝卸費(fèi)都是每噸5元,那么這6天共需付多少元裝卸費(fèi)？

【答案】⑴減少了

(2)500噸

(3)860%

【分析】(1)根據(jù)題意把各個(gè)數(shù)據(jù)相加，若得數(shù)為負(fù)，說(shuō)明減少了，若得數(shù)為正，

說(shuō)明增加了；

(2)剩下貨品加上出的貨品即為所求；

(3)分別把這6天裝卸的貨物求出，再乘以裝卸費(fèi)用即為所求.

【詳解】(1)解：+31+(-32)+(-16)+(+35)+(-38)+(-20)=^10(噸)，

回經(jīng)過(guò)這6天，倉(cāng)庫(kù)里的貨品減少了，

故答案為：減少了；

（2）460+40=500（噸），

答:6天前倉(cāng)庫(kù)里有貨品500噸；

（3）（31+32+16+35+38+20）x5=860（元）

答：這6天要付860元裝卸費(fèi).

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)加減的混合運(yùn)算，相反意義的量、有理數(shù)加法及應(yīng)用，

熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則，理解題意是解此題的關(guān)鍵.

4.（2023春?上海?六年級(jí)專題練習(xí)）某班級(jí)抽查了10名同學(xué)的期末成績(jī)，以80

分為基準(zhǔn)，超出的分?jǐn)?shù)記為正數(shù)，不足的分?jǐn)?shù)記為負(fù)數(shù)，記錄的結(jié)果如下（單位：

分）：+8、-3、+12、-7、-10、-3、-8、+1、5、+10.這10名同學(xué)中，

⑴最高分是多少？

⑵最低分是多少？

⑶10名同學(xué)的平均成績(jī)是多少？

【答案】（1）92分

（2）70分

（3）80.5分

【分析】（1）根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義，可得答案；

（2）根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義，可得答案；

（3）根據(jù)平均數(shù)的意義，可得答案.

【詳解】（1）最高分是80+12=92分；

（2）最低分是80-10=70分;

（3）10名同學(xué)的平均成績(jī)是80+（8-3+12-7-10-3-8+1+5+10）:10=80.5分.

【點(diǎn)睛】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，利用正負(fù)數(shù)的意義超出的分?jǐn)?shù)記為正數(shù)，不足

的分?jǐn)?shù)記為負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵.

5.（2022秋?浙江寧波?七年級(jí)校考期中）對(duì)以下數(shù)進(jìn)行分類-8.4,2\+117,0.33,

O

負(fù)整數(shù)（)

負(fù)分?jǐn)?shù)（）

正分?jǐn)?shù)（）

整數(shù)（）

分?jǐn)?shù)（）

有理數(shù)（）

【答案】見(jiàn)解析

【分析】直接根據(jù)有理數(shù)定義及其分類進(jìn)行解答即可.

173

【詳解】對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行分類-8.4,22,+1,0.33,0,--9

o5

負(fù)整數(shù)（-9）

負(fù)分?jǐn)?shù)（-8.4,-1）

正分?jǐn)?shù)（+=17,0.33）

6

整數(shù)（2?,0,-9）

173

分?jǐn)?shù)（-8.4,+—,0.33,--）

65

173

有理數(shù)（-8.4,22,+—,0.33,0,--,-9）

o5

【點(diǎn)睛】本題側(cè)重考查有理數(shù)定義及其分類，掌握其分類是解決此題的關(guān)鍵.

6.（2020秋?江蘇徐州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）把下列各數(shù)填入大括號(hào)：一2.4,3,

2.004,-y,-0,15,0,萬(wàn)，-（-2.28）,3.14,TT,-2.1010010001...（每

兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0）.

⑴正有理數(shù)集合：｛…｝;

（2）整數(shù)集合：｛...｝；

⑶負(fù)分?jǐn)?shù)集合：｛…｝;

⑷無(wú)理數(shù)集合：｛...｝.

【答案】⑴3,2.004,3.14,-(-2.28)

(2)3,0,-|-4|

⑶-2.4,-?,一0.15

⑷萬(wàn)，一2.1010010001…(每?jī)蓚€(gè)1之間依次增加1個(gè)0)

【分析】根據(jù)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的分類解答即可.

【詳解】（1）正有理數(shù)集合：3,2.004,3.14,-（-2.28）...

故答案為：3,2.004,1：,3.14,-（-2.28）；

（2）整數(shù)集合：3,0,-H，...

故答案為：3,0,十4|

（3）負(fù)分?jǐn)?shù)集合：-2.4,-y,-0.15...

故答案為：-2.4,-學(xué)-0.15；

（4）無(wú)理數(shù)集合:萬(wàn)，一2.1010010001…（每?jī)蓚€(gè)工之間依次增加1個(gè)0）,…

故答案為：萬(wàn)，一2.1010010001…（每?jī)蓚€(gè)1之間依次增加1個(gè)0）.

【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的定義：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，以及有理數(shù)的分

類，正確掌握實(shí)數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

7.（2022秋?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）在下列空格里打"V",表示該數(shù)屬于哪種類

型的數(shù)：

類型數(shù)有理數(shù)正整數(shù)負(fù)整數(shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)非負(fù)數(shù)

+3

——————

-11

——————

0

——————

0.5

——————

_6

——————

【答案】見(jiàn)解析

【分析】依據(jù)有理數(shù)的分類，按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類可得：有理數(shù)包含正整數(shù)、

0、負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)；按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類可得：有理數(shù)包含

正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、0、負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù).

【詳解】解：+3屬于有理數(shù)，正整數(shù)，非負(fù)數(shù)；

-1;屬于有理數(shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)；

0屬于有理數(shù)，非負(fù)數(shù)；

0.5屬于有理數(shù)，正分?jǐn)?shù)，非負(fù)數(shù);

-6屬于有理數(shù)，負(fù)整數(shù).

類型數(shù)有理數(shù)正整數(shù)負(fù)整數(shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)非負(fù)數(shù)

+3VVV

1

-1VV

0VV

0.5VVV

_6VV

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的分類，解題時(shí)注意：非負(fù)數(shù)包括正數(shù)和0.

8.（2022秋?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí)）把幾個(gè)數(shù)用大括號(hào)圍起來(lái)，中間用逗號(hào)斷開(kāi)，如:

{1,2,-3}、{-2,7,4,19},我們稱之為集合，其中的數(shù)稱其為集合的元素，一個(gè)給定

集合中的元

素是互不相同的.

（1）類比有理數(shù)加法運(yùn)算，集合也可以“相加定義：集合A與集合B中的所有元素組

成的集合稱為集合A與集合B的和，記為A+B.如A={2,-1},B={-1,4},則A+B={2,

-1,4}.現(xiàn)在A={-2,0,1,5,7},B={-3,0,1,3,5},貝l]A+B=_.

（2）如果一個(gè)集合滿足：當(dāng)有理數(shù)a是集合的元素時(shí)，有理數(shù)6-a也必是這個(gè)集合的

元素，這樣的集合我們稱為好的集合.

①請(qǐng)你判斷集合{1，2},{-2,1,3,5,8}是不是好的集合？

②請(qǐng)你寫出滿足條件的兩個(gè)好的集合的例子.

【答案】⑴{-3,-2,0,1,3,5,7}；⑵①集合口,2}不是好的集合，集合{-2,1,

3,5,8}是一個(gè)好的集合；②例如{2,4,1,5}、{3,10,-4）.

【詳解】試題分析：（1）根據(jù)題目所給例子可得A+B等于把A、B兩個(gè)集合里

面的數(shù)組合在一起；

（2）①根據(jù)題意好集合的定義當(dāng)有理數(shù)a是集合的元素時(shí)，有理數(shù)6-a也

必是這個(gè)集合的元素，這樣的集合我們稱為好的集合，計(jì)算后驗(yàn)證一下即可判

斷；

②根據(jù)有理數(shù)a是集合的元素時(shí)，有理數(shù)6-a也必是這個(gè)集合的元素這個(gè)條

件盡量寫元素少的集合；

試題解析：（l）A+B=｛-3,-2,0,1,3,5,7｝,故答案為｛-3,-2,0,1,

3,5,7｝；

（2）006-1=5,5不是集合中的元素，

回集合｛1,2｝不是好的集合，

06-（-2）=8,6-1=5,6-3=3,而8、3、5都是該集合的元素，

回集合｛-2,1,3,5,8｝是一個(gè)好的集合；

②例如｛2,4,1,5｝、｛3,10,-4）.

9.（2023秋?云南紅河?七年級(jí)統(tǒng)考期末）A同學(xué)比標(biāo)準(zhǔn)身高超出5cm記作+5cm,

B同學(xué)比標(biāo)準(zhǔn)身高不足3cm記作cm.

【答案】-3

【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)的概念得出結(jié)論即可.

【詳解】解：A同學(xué)比標(biāo)準(zhǔn)身高超出5cm記作+5cm,3同學(xué)比標(biāo)準(zhǔn)身高不足3cm記

作-3