高中數(shù)學(xué)學(xué)案1：高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修 第二冊 向量的數(shù)乘運算

第6章6.2.3向量的數(shù)乘運算

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【課標(biāo)要求】

課程標(biāo)準(zhǔn)：1.通過實例分析,掌握平面向量數(shù)乘運算規(guī)則，理解其幾何意義.2.理解兩個平面向量共線的含義.

教學(xué)重點：向量數(shù)乘運算的意義、運算律，向量共線定理.

教學(xué)難點：向量共線定理的探究及其應(yīng)用.

【知識導(dǎo)學(xué)】

知識點一向量的數(shù)乘

結(jié)果皿向量

定義實數(shù)A與向量a的積

記作畫M

長度|Afl|=BI|A||a|

當(dāng)入＞0時的方向與。的方向回相同

方向當(dāng)入＜0時，碗的方向與a的方向圓相反

當(dāng)A=0時.初=肘0

總結(jié)向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的物線性運算

知識點二實數(shù)與向量的積的運算律

設(shè)儲幺為實數(shù)，那么

(l)A(/za)=[5TI(入〃)a

運算律

(2)(入+〃)。=闞入a+/加

(3)A(fl+fr)=[03]Afl+Afe

(-A)a=—(Aa)=A(-a)；

特別情況

A(a-h)=Aa一入b

對于任意向量a".以及任意實數(shù)人%，小，

推廣形式

怛有a±〃26)=初入〃1。土入〃2b

知識點三共線向量定理

向量a（aWO）與6共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)入，使6=4a

【新知拓展】

1.對4a的理解

⑴可以將a的長度擴(kuò)大（|川〉1時），也可以縮?。▅兒|＜1時）；同時可以不改變

a的方向（兒＞0時），也可以改變a的方向（兒＜0時），與a的方向相反.

⑵當(dāng)4=0時，Aa=O,而當(dāng)4W0時，若a=0,也有4a=0.

⑶實數(shù)與向量可以求積，結(jié)果仍是一個向量，它可以看成實數(shù)與實數(shù)的積的定

義的推廣，但不能進(jìn)行加減運算，如：4+a,4一？無意義.

2.對兩向量共線的條件的理解

（1）判斷兩向量共線，其實就是找一個實數(shù)，使得它與一個向量的積等于另一個

向量.可以用來證明幾何中的三點共線及兩直線平行的問題.

（2）為何規(guī)定“非零向量a”這一條件？若a=0,b"0時，不存在實數(shù)才使得b

=4a；若a=0,b=0,則存在不唯一的實數(shù)滿足等式.

（3）若a,8不共線，且存在實數(shù)4,〃，使或〃a+4b=0）,則必有

U,

〃=4=0.因為a,b不共線，則a,6必為非零向量，若4#0,則6=丁Aa,若

A,

則a=}b,無論哪種情況都有a,8共線與已知矛盾，故必有兒=〃=

0.

⑷兩向量共線的一般形式：若存在不全為0的一對實數(shù)力，〃使〃a+H6=0,

則a與力共線.

【評價自測】

1.判一判（正確的打"J"，錯誤的打"X"）

(1)4a的方向與a的方向一致.()

⑵共線向量定理中，條件aWO可以去掉.()

(3)若a=4e,b=~8e,則a=-2b.()

2.做一做

(1)下列各式中不表示向量的是()

A.0,aB.a+36C.13a|D.一■-e(x,y

x—y

eR,且xWy)

⑵下列各式計算正確的有()

①(-7)6a=-42a；②7(a+2>)—8，=7a+156；

③a—2，+a+2b=2a；④4(2a+b)=8a+48.

A.1個B.2個C.3個D.4個

(3)已知向量a,b不共線，c=4a+b(%eR),d=a—b,如果c〃&那么()

A.4=1且c與d同向

B.k=\且c與d反向

C.左=—1且c與d同向

D.4=-1且c與d反向

(4)已知向量a=2e,b=~e,則a與b(填“共線”或“不共線”).

【題型探究】

題型一向量的數(shù)乘運算

例1化簡下列各式:

(l)3(6a+Z>)-9

⑵((3a+2Z>)一

(3)2(5a—4b+c)—3(a—38+c)—7a.

［規(guī)律方法］向量數(shù)乘運算的方法

(1)向量的數(shù)乘運算可類似于代數(shù)多項式的運算.例如實數(shù)運算中的去括號、移

項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是在

這里的“同類項”“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù).

(2)向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用代數(shù)方程的方法

求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當(dāng)運用運算律，簡化運算.

［跟蹤訓(xùn)練1］

(1)設(shè)向量a=3f+2J,b=2i-j,求十(2力一a)；

(2)已知向量為a,b,未知向量為￡,y,向量a,b,x,y滿足關(guān)系式3x—2y=

a,—4x+3y=b,求向量x,y.

題型二向量的線性運算的應(yīng)用

例2如圖，四邊形4%刀是一個梯形，AB//CDS.\AB\=2\CD\,M,N分別是DC,

—?-A

46的中點，已知AD=e?試用a，包表示下列向量.

⑴〃=

(2)助V=.

―?―?-?

［互動探究］在本例中，若條件改為8C=e”AD=a,試用e,&表示向量掰V

［規(guī)律方法］用已知向量表示其他向量的兩種方法

(1)直接法

(2)方程法

當(dāng)直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所

求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程.

[跟蹤訓(xùn)練2]

如圖所示，已知口力比力的邊3C,切上的中點分別為L,且/仁良，4=&,試

-A-?

用e”會表示BC,CD.

題型三共線向量定理的應(yīng)用

例3已知非零向量e不共線.

-A-A-?

⑴如果+8c=2a+8ez，券=3(@—6),求證：A,B,〃三點共線;

(2)欲使ket+和e+共線，試確定實數(shù)A的值.

［變式探究］本例條件不變，將⑵改為：欲使4a+2&和2?+4以共線，試確

定A的值.

［規(guī)律方法］用向量共線的條件證明兩條直線平行或重合的思路

(1)若b=/la(aWO),且b與a所在的直線無公共點，則這兩條直線平行.

⑵若力=/la(aWO),且6與a所在的直線有公共點，則這兩條直線重合.例如，

—?—?―?―?—?—?

若向量四="4則陰4供線，又力8與力甫公共點/,從而/,B,。三點共線，

這是證明三點共線的重要方法.

［跟蹤訓(xùn)練3］

—?—?-?

(1)已知6,,會是兩個不共線的向量，若45=2良一88，CB=el+3e>,CD=2ex—

金，求證：A,B,〃三點共線;

(2)已知凡B,尸三點共線，。為直線外任意一點，若OP=xOA+yOB,求x+y的

值.

【隨堂達(dá)標(biāo)】

1.已知勿，〃是實數(shù)，a,入是向量，則下列命題中正確的為()

①m(a-6)=ma—mb；?{m—n)a=ma—na\

③若ma=mb,則a=6；④若ma=na,則R=〃.

A.①④B.①②C.①③D.③④

2.對于向量a,b有下列表示：

①a=2e,b=-2e；②a=e一牡，6=—2良+2自；

21_

(3)a=4ei--&1，b=e,——e；?a=e-\-e>,6=2?—2%

□1U2x

其中，向量a,b一定共線的是()

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

3.已知x,y是實數(shù)，向量a,b不共線，若(x+y—l)a+(x—y)8=0,則x=

，y=.

—?—?-?

4.如圖所示，在口48。?中，AB=a,AD=b,AN=3NC,"為8。的中點，則助\三

(用a,6表示).

5.如圖，在四邊形/頗中，E,F,G,〃分別為劭，AB,47和5的中點，求

證：四邊形以砌為平行四邊形.

第6章6.2.3向量的數(shù)乘運算【參考答案】

【評價自測】

1.答案⑴X(2)X(3)X2.答案(DC(2)C(3)D(4)共線

【題型探究】

題型一向量的數(shù)乘運算

例1［解］⑴原式=18a+36—9a—3b=9a.

(2)原式=*2a+,J-a-a-：6=0.

(3)原式=10a—86+2c—3a+98—3c—1a=b—c.

［跟蹤訓(xùn)練1］

12

解(1)原式=^a—b—a+wb+2b—a

oo

=i3-1-1Ja+r1+3+2p

RRR5

=—'-a+-b=—'~(^>i+2j)+-(2i—J)

10、

=15+%+才5/=-京5-5/

T-

3x—2y=a,①

(2)<

1—4x+3y=b,②

①義3+②X2,得x=3a+2Z>,再代入①，得y=4a+38.

題型二向量的線性運算的應(yīng)用

―?—?―?―?―?―?—?-?

例2［解析］⑴因為血〃勿，\AB\=2\CD\,所以48=2%,DC=；AB.

―?―?—?

AC=AD+DC=桂.

—?—?—?—?—?—?―?

(2)MN=MD+DA+AJV=—力〃—^e,——電

［答案］(1)段(2)；良一僥

［互動探究］

-A-?-A—?-A—?-A-?

解因為MN=MD+DA+AN,MN=MC+CB+BN,

-A-A-A-A—A—?—?

所以2MN={MD+MC)+DA+CB+(AN+BN).

又因為亂N分別是力3的中點,

所以/跖+加'=0,AN+BN=Q,所以2/人力+",

所以協(xié)制（―AD—BC）=—.

[跟蹤訓(xùn)練2]

—?-?

解解法一：設(shè)BC=x,則

―?—?—?-?

,111

AB=AK+KB=e\一酒DL=~^e\一產(chǎn)

—?—?—?-?

又AD=x,由/〃+〃￡=/￡,得x+y下=比

乙q

42-42

解方程得x=w0一鼻8,即比三遍一鼻8.

oooo

—?―?—?-?

[42

由勿=—AB=e—^x,得一.ei+w&.

t乙oo

-A-A-A-A

解法二：設(shè)BC=x,CD=y,則打仁^X，DL=-1

’1

-?-?-?-?-?-?2*e“CID

由力3+冊=/4,AD+DL=AL,得＜1

x-]尸a.②

12

—2義②+①，得5*一2x=e—2僥,,*=鼻（2比一?）.

乙O

2f42f42

同理得7=可（一2@十包），即/7=鼻快一.e,CD=--ei+-e2.

ooooo

解法三：如圖所示，延長a1與4的延長線交于點幺則△龍J四

3

從而4￡=24￡,CE=AD,KE=-Ba

乙

3

由KE=AE-AK,得萬6。=2包一e,

242

即仇=鼻(22-a)=可包一鼻a.

oOo

242

同理可得。1=1(-2ei+ez)=一鼻8+-e..

,jOO

題型三共線向量定理的應(yīng)用

例3［解］（D證明：??38=6+縱

BD=BC-\-CD=z2e\-\-3e>+?>e\—'ie'=^{ei+e^=54笈

：.AB,友英線，且有公共點8,，4B,〃三點共線.

⑵:〃勘+魚和e+Aa共線,

...存在實數(shù)力，使4?+&=4（e+如），即（左一兒）e=（44—1）e.

k—4=0,

?；ei與日不共線，.：4A-l=0.解得仁士1.

［變式探究］

解?.Ze+2e和26+e共線，

.?.存在實數(shù)4使e+22=A(2e+3),

即(A—24)良=(4A—2)&,

7-2A=0,

e,,@不共線，二彳一解得4=±2.

.Ak=2,

［跟蹤訓(xùn)練3］

-A-A

解⑴證明：?.?％=?+3色，CD=2e、一0,

―?-A-A

BD=CD—CB=e-4僥.

-A

又力夕=2臺-8a=2(e］一4eJ,

-?—?—?-?

：.AB=2BD,：.AB//BD.

?：AB與BD有公共點、B,：.A,B,〃三點共線.

―?-?

(2)由于4B,尸三點共線，所以向量/6,加在同一直線上,

-A-A

由向量共線定理可知，必定存在實