2021屆高三數(shù)學(xué)“小題速練”含答案解析22

2021屆高三數(shù)學(xué)“小題速練”22

答案解析

一、單項選擇題

1.已知集合A={x|-+y2=4,B==,則4知8=()

A.[0,1]B,[0,4<?)C.{-1,1}D.{0,1}

【答案】A

【解析】

【分析】

集合A={x|f+y2=1}是x的取值范圍，8={y|y=x2}是函數(shù)的值域，分別求出再求交集.

【詳解】解：y2=l-x2>0,-1<X<1,5={y|y=￡}=[0,+oo)

AnB==[-i/n[o,+8)=[o,i]

故選：A

【點睛】考查求等式中變量的范圍以及集合的交集運算；基礎(chǔ)題.

2.已知復(fù)數(shù)(2+ai)(3+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線y=x上，則實數(shù)。=()

A.-2B.-lC.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

化簡復(fù)數(shù)，求出對應(yīng)點，代入直線方程求解即可.

【詳解】因為（2+ai）（3+i）=6—a+（2+3a）i,

所以對應(yīng)的點為（6—2+3a）,

代入直線y=x可得6—a=2+3a,

解得a—\,

故選：C

【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義，直線的方程，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.若log“。<0（a>0且awl）,2h~~b>1>則（）

A.a>l,b>\B.0<?<1>b>\

C.a>l,O<Z><1D.0<a<l,O<Z><1

【答案】B

【解析】

【分析】

先由得，b2-b>0<又由/?>0，可得力>1,而log?b<0,可得0<a<l

【詳解】解：因為2/4>1，所以曠—b>0,

因為b>0,所以Z?>1,

因為log“b<0,b>\,

所以0<。<1,

故選：B

【點睛】此題考查的是指數(shù)不等式和對數(shù)不等式，屬于基礎(chǔ)題

4.我國天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的唇長損益相同（皆是按照

日影測定時刻的儀器，號長即為所測量影子的長度）.二十四節(jié)氣及唇長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣辱長

減少或增加的量相同，周而復(fù)始.已知每年冬至的唇長為一丈三尺五寸，夏至的唇長為一尺五寸（一丈等

于十尺，一尺等于十寸），則說法不正確的是（）

例ft。而明至雨

,,30立反

**300

4X.田1

冬至27090夏至

4

、霜薛惠騫18。

rtlltt.e/

鼻長逐漸變不

A.相鄰兩個節(jié)氣劈長減少或增加的量為一尺

B.春分和秋分兩個節(jié)氣的號長相同

C.立冬的柳長為一丈五寸

D.立春的號長比立秋的唇長短

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意可知夏至到冬至的唇長構(gòu)成等差數(shù)列，其中弓=15寸，/3=135寸，公差為d寸,可求出d,利

用等差數(shù)列知識即可判斷各選項.

【詳解】由題意可知夏至到冬至的號長構(gòu)成等差數(shù)列{4},其中%=15寸，0,3=135寸，公差為d寸，則

135=15+124,

解得d=10（寸），

同理可知由冬至到夏至的唇長構(gòu)成等差數(shù)歹以2},首項4=135,末項43=15,公差△=—1（）（單位都為

寸）.

故選項A正確；

1,春分的唇長為。7，二用=偽+64=135-60=75

1,秋分的署長為的，?'?%=。|+64=15+60=75,所以B正確；

???立冬的號長為時,??.4o=4+9d=15+9O=lO5,即立冬的號長為一丈五寸，C正確；

???立春的號長，立秋的號長分別為4,%,

二4=4+3d=15+30=45,仇=4+3d=135-30=105,

.?.”>%，故D錯誤.

故選：D

【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用，數(shù)學(xué)文化，屬于中檔題.

5.有三個筐，一個裝著柑子，一個裝著蘋果，一個裝著柑子和蘋果，包裝封好然后做“柑子”“蘋果”“混

裝”三個標(biāo)簽，分別貼到上述三個筐上，由于馬虎，結(jié)果全貼錯了，則（）

A.從貼有“柑子”標(biāo)簽的筐里拿出一個水果，就能糾正所有的標(biāo)簽

B.從貼有“蘋果”標(biāo)簽的筐里拿出一個水果，就能糾正所有的標(biāo)簽

C.從貼有“混裝”標(biāo)簽的筐里拿出一個水果，就能糾正所有的標(biāo)簽

D.從其中一個筐里拿出一個水果，不可能糾正所有的標(biāo)簽

【答案】C

【解析】

【分析】

若從貼有“柑子”或“蘋果”標(biāo)簽的筐內(nèi)拿出一個水果，無法判定剩余水果是一種還是兩種，不能糾正所

有標(biāo)簽，若從“混裝”標(biāo)簽中取出一個，就能判斷其余兩個筐內(nèi)水果.

【詳解】如果從貼著蘋果標(biāo)簽的筐中拿出一個水果，如果拿的是柑子，就無法判斷這筐裝的全是柑子，還

是有蘋果和柑子；

同理從貼著柑子的筐中取出也無法判斷，因此應(yīng)從貼著蘋果和柑子的標(biāo)簽的筐中取出水果.

分兩種情況:(1)如果取出的是柑子，那說明這筐全是柑子，則貼有柑子的那筐就是蘋果，貼有蘋果的那筐就

是蘋果和柑子.

(2)如果取出的是蘋果，那說明這筐全是蘋果，那貼有蘋果的那筐就是柑子，貼有柑子的那筐就是蘋果和柑

子.

故選：C

【點睛】解決本題的關(guān)鍵在于，其中貼有混裝的這筐肯定不是蘋果和柑子混在一起，所以能判斷不是蘋果

就是柑子，考查了邏輯推理能力，屬于容易題.

6.已知向量赤=(起,2板)，將麗繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)45。到麗的位置，則麗=()

A.(1,3)B.(-3,1)C.(3,1)D.(-1,3)

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)向量而與X軸的夾角為1,結(jié)合三角函數(shù)的定義和兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，求得

cosa,sina,cos(?+45°),sin(a+45°),得到點p'的坐標(biāo)，進(jìn)而求得Op；.

【詳解】由題意，向量麗=(a,2&),則|麗卜

設(shè)向量而與九軸的夾角為。，則cosa=、=,sina=-7=,

VioVio

由(“V。、&夜20及V10

所以cos(a+45)=cosacos45-sinasin45--j=x------=x——=-----

V102Vio210

2725/2V2V23x/10

sin(a+45°)=sinacos45°+cosasin45°=—7=x——+—=x——=------

Vio2V10210

部)=7，回卜皿&+45。)=而x^l=3

可得|加卜os(a+45。)=x(-

所以O(shè)P'=(-1,3).

故選：D.

【點睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)表示，以及三角函數(shù)的定義的應(yīng)用和兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)的

綜合應(yīng)用，著重考查推理與運算能力.

〃1

7.已知函數(shù)“X)對任意都有2/(x+y)=/(x)/(y),且/⑴=1,則Z7K=()

/■=0J\1)

A.2"-1B.2"--C.1---D.2---

22"2"

【答案】B

【解析】

【分析】

利用賦值法再結(jié)合條件，即可得答案；

【詳解】由所求式子可得/(0)/0,

令x=y=0可得：/⑼/①/⑼=/⑼:2,

令X=y=l可得：/⑵=/⑴"⑴」

22

令x=l,y=2可得：/(3)=/⑴?⑵=*,

令x=y=2可得：/(4)J⑵，⑵=1,

/(〃)==，

.”1.:(1-2叫

七/①占1-22

故選：B.

【點睛】本題考查根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的解析式，等比數(shù)列求和，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化

歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意將抽象函數(shù)具體化.

8.已知正四棱柱,設(shè)直線AA與平面ACC出所成的角為a,直線CR與直線Ag所成

的角為￡,則()

jr

A.。=2aB.a—2/3C.a=]3D.a+/3=—

【答案】D

【解析】

【分析】

分別在正四棱柱中找到a和夕，將a和￡放在同一個平面圖形中找關(guān)系即可.

【詳解】作正四棱柱ABCO—AGGA如下圖:

???在正四棱柱ABC。—A4G。中，A4J.平面A/CQi,

A4,，8a

?.?底面A4G。是正方形

BQ±4cl

又,:A4,c4G=A

/.瓦A_L平面AB[C]￡>]

NB]AO是直線AB,與平面ACC,A,所成的角，即ZB,AO=a

CD.//A.B

.../BAG是直線CR與直線4G所成的角，即血3=0

VA,B=B,A,40=30,OA=OB

：./XABO也△81A0

NBAC|=ZAgO=￡

?.?BR，平面4gGA

B.O1OA

TT

：.a+0=NBiAO+NABQ=5

故選：D

【點睛】本題主要考查直線與平面和異面直線的夾角，屬于中檔題.

二、多項選擇題：本題共4小題.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

9.下列說法正確的是（）

A.某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法從該校四個年級的本

科生中抽取一個容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查.已知該校一、二、三、四年級本科生人數(shù)之比為6：5：5：4,

則應(yīng)從一年級中抽取90名學(xué)生

B.10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率為!

C.已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得1=3,亍=3.5,則由該觀測數(shù)據(jù)算得線性回歸方程可能是

y=0.4x+2.3

D.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，至少有一個黑球與至少有一個紅球是兩個互斥而不對

立的事件

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根據(jù)分層抽樣、概率、線性回歸直線方程、互斥事件與對立事件的概念分別進(jìn)行判斷.

【詳解】A.由分層抽樣，應(yīng)制取人數(shù)為300x號7r9。，A正確;

C3cl1

B.恰好取到1件次品的概率為P=十=-B正確;

叱2

C.V3.5=(14x3+2.3,直線y=0.4x+2.3過中心點(3,3.5),可能是回歸直線方程，C正確；

D.一紅球一黑球這個事件即是至少有一個紅球，也是至少有一個黑球，因此它們不互斥，D錯誤.

故選：ABC.

【點睛】本題考查命題的真假判斷，解題時需掌握分層抽樣、概率、線性回歸直線方程、互斥事件與對立

事件的概念等知識，要求較高，屬于中檔題.

TT

10.已知定義在(0,5)上的函數(shù)/(X),/'(X)是/(幻的導(dǎo)函數(shù)，且恒有cos燈7x)+sin0>(x)<0成立，則

()

A./吟)>&/(今B.V3/(|)>/(^)

6463

C.八夕>何(今D-⑸鏟“)

o3

【答案】CD

【解析】

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/@,然后利用導(dǎo)數(shù)和已知條件求出g(x)在(0,四)上單調(diào)遞減，從而有

>

cosx2

>g(-),據(jù)此轉(zhuǎn)化化簡后即可得出結(jié)論.

［詳解］設(shè)g(x);四，則gG)=Csx-sinx,

cosXcosX

71

因為x￡(0,—)時，cosxf\x)+sinxf{x)<0,

ll-八?！?，/、f-cosx+f(x)-sinx八

所以xw(0,一)時，--------------------<0,

2cosx

71

因此g(x)在(0,」)上單調(diào)遞減，所以

2

/(-)/(-)/(-)/(-)

即請,啜=綺>厲令請>今=>忘/(9>&/(￡).

-264

222

故選：CD.

【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查構(gòu)造函數(shù)比較大小，有一定難度.解題關(guān)鍵是構(gòu)造合適

的函數(shù)，一般從兩方面著手：①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換進(jìn)行構(gòu)造；②若是選擇題，可根據(jù)選項的共性

歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).

71

11.設(shè)函數(shù)g(x)=si"5(0>O)向左平移二個單位長度得到函數(shù)兀v),已知其x)在[0,2和上有且只有5個零點,

5a)

則下列結(jié)論正確的是()

7F

A.火外的圖象關(guān)于直線x=萬對稱

[5.於)在(0,2以上有且只有.3個極大值點，y(x)在(0,2%)上有且只有2個極小值點

TT

c.yu）在（o,歷）上單調(diào)遞增

1229

D.勿的取值范圍是［二,正）

【答案】CD

【解析】

【分析】

利用正弦函數(shù)的對稱軸可知，A不正確；由圖可知/（x）在（。，2萬）上還可能有3個極小值點，8不正確；由

37r7r3乃

4<2萬解得的結(jié)果可知，。正確；根據(jù)/&）在（0,?。┥线f增，且—，可知C正確.

10Q1010。

TT'll'II'2TT

【詳解】依題意得/（x）=g（x+—）=sin［o（x+—）］=sin（s+—）,T=——,如圖：

5695a）5co

rrjrKTEJ7T

對于A，令。*+—=%乃+一，kwZ,得*=—+——，kwZ,所以f(x)的圖象關(guān)于直線

52co10<w

k437r

x=---1----(左￡Z)對稱，故A不正確；

co10G

對于根據(jù)圖象可知，4<2乃<乙,/（X）在（0,24）有3個極大值點，/⑶在（0,2團有2個或3個極小

值點，故B不正確，

?十r-iu九57T527r24萬冗502〃29萬

對于Z）,因為5=----1—T=-----1—x—=----,xB=-----1_3T=----b3x—=----,所以

56y25o）2CD5a）5。5。co5。

24〃29萬—12j29,十"

---W2〃<----，解得—《刃<—，所rr以i。正確；

5co5co510

jr1jr1?n37r29

對于C,因為——+—7=——+—X—=由圖可知/（幻在（0,——）上遞增，因為0〈一<3,

5G45G4G106910。10

n37r71371

所以F-k=-7（l一一）<°，所以“x）在（°，F(xiàn)）上單調(diào)遞增，故C正確；

1010<w10co10

故選：CD.

【點睛】本題考查了三角函數(shù)的相位變換，考查了正弦函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性和周期性，考查了極值點的

概念，考查了函數(shù)的零點，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

12.如圖，在矩形A8CD中，M為BC的中點，將△4WB沿直線AM翻折成△4BM,連接BQ,N為B】D

的中點，則在翻折過程中，下列說法正確的是（）

A.存在某個位置，使得CNLABi

B.CN的長是定值

C.^AB=BM,則4Ml.BQ

D.若AB=BM=1,當(dāng)三棱錐Bi-AMD的體積最大時，三棱錐由一AMZ）的外接球的表面積是4乃

【答案】BD

【解析】

【分析】

A中，取AO中點E，連接EC交MO與由題意判斷三線NE,NF,NC共面共點，得出A不成立;

3中，利用余弦定理可得NC是定值，判斷8正確；

。中，取AM中點。，連接用。，DO,由題意判斷C不成立；

。中，當(dāng)三棱錐片-AMD的體積最大時，求出該三棱錐外接球的表面積即可.

【詳解】解：對于A：如圖1,取中點E,連接EC交與E,

則NE//Ag,NFHMB,,

如果CN_LAg,可得到EN工NF,

又ENJ.CN,且三線NE,NF,NC共面共點，不可能，則A錯誤.

對于8：如圖1,可得由NNEC=NM44（定值）,

NE=工AB］（定值），AM=EC（定值），

2

由余弦定理可得MC2=NE2+EC2-2NE,ECyosNNEC，

所以NC是定值，則8正確.

對于C：如圖2,取A"中點。，連接用。，DO,

由題意得AM，面。。與，即可得OZ）_LAM,

從而AD=MD，由題意不成立，可得C錯誤.

對于O：當(dāng)平面與AMJ_平面AMD時，三棱錐用-AMO的體積最大,

由題意得AO中點”就是三棱錐耳-AMD的外接球的球心，

球半徑為1,表面積是4萬，則。正確.

故選：BD.

【點睛】本題考查了矩形的折疊問題，解題關(guān)鍵是正確理解線面、面面平行與垂直的判定和性質(zhì)定理，屬

于中檔題.

三、填空題：本題共4小題.

13.某藥廠選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12,13),

[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，……,

第五組，如圖是根據(jù)實驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有20人，則第三組中的人數(shù)

為.

【答案】18

【解析】

【分析】

頻數(shù)

由頻率=不苴捺五以及直方圖可得分布在區(qū)間第一組與第二組共有20人的頻率，即可求出

樣本谷量

總的人數(shù)，求出第三組的人數(shù).

【詳解】由直方圖可得分布在區(qū)間第一組與第二組共有20人，分布在區(qū)間第一組與第二組的頻率分

20

別為0.24,0.16,設(shè)總的人數(shù)為n,則—=0.24+0.16=0.4,/.〃=50.所以第3小組的人數(shù)

n

為50x0.36=18人.

故答案為18

【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖中頻數(shù)、頻率等的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解能力掌

握水平.

14.(x—』)(l-x)4的展開式中X3的系數(shù)為.

X

【答案】5

【解析】

【分析】

利用二項式定理求解即可.

t詳解】(