2015-2016高中數(shù)學(xué) 2.1平面

2.1.1平面

國(guó)回回國(guó)

1.平面的概念.

(1)平面的定義.

幾何里所說(shuō)的“平面”是從課桌面、黑板面、海洋這樣一些物體中抽象出來(lái)的.但是，

幾何里的平面是無(wú)限延展的.

平面的兩個(gè)特點(diǎn)：①平；②無(wú)限延展性.

(2)平面的畫(huà)法.

①水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形;

②它的銳角通常畫(huà)成45°；

③橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍.

如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮住，為增強(qiáng)立體感，把擋住的部分用虛線畫(huà)出來(lái)(如圖所

示).

(3)平面的表示.

下圖所示的平面可表示為:

①平面ABCD；②平面AC；③平面a.

2.空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系及三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化.

文字語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言圖形表示

點(diǎn)A在直線1上AG1-1

點(diǎn)A在直線1外A住1

點(diǎn)A在平面a內(nèi)AGa47/

?A

點(diǎn)A在平面a外A4a

直線1在平面a內(nèi)ICa

直線1在平面a外l(Ja%/雙方7

直線1,m相交于點(diǎn)A1Om=A

平面a,p相交于直

aA0=1

線10o

練習(xí)1：已知AGa,BGa,則直線AB與平面a的關(guān)系為ABUa.

練習(xí)2：觀察下圖，平面a與6的關(guān)系為aA6=A,對(duì)嗎？

答案：錯(cuò)

練習(xí)3:空間有四個(gè)點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)最多可以確定多少個(gè)平面?

答案：四個(gè)

3.平面的基本性質(zhì).

公理內(nèi)容圖形符號(hào)

如果一條直線上的兩點(diǎn)在

AWl,B@l,且A￡Q,B

公理1一個(gè)平面內(nèi)，那么這條白

Z37Ga今1Ua

線在此平面內(nèi)

A,B,C三點(diǎn)不共線為存在

過(guò)不在一條直線上的三

公理2唯一的平面a,使A,B,

點(diǎn)，有且只有個(gè)平面

CSa

如果兩個(gè)不重合的平面有

一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有PGa且PGBaaCB=

公理3Oy

且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共1且Pel

直線

練習(xí)4：三條過(guò)同一個(gè)點(diǎn)的直線可以確定多少個(gè)平面？

答案：一個(gè)或三個(gè)

練習(xí)5：三條兩兩平行的直線可以確定多少個(gè)平面？

答案：一個(gè)或三個(gè)

■思考應(yīng)用

1.如何認(rèn)識(shí)平面的定義？

解析：平面和點(diǎn)、直線的概念類似，是一個(gè)不加定義的原始概念，只能通過(guò)描述加以理

解.正像點(diǎn)的特征是沒(méi)有形狀、大小、質(zhì)量一樣，直線也沒(méi)有粗細(xì)、長(zhǎng)短，可以無(wú)限延伸：

平面也是無(wú)邊界、無(wú)厚度、不可度量的.

2.在正方體ABCDABCD中，判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由.

①直線AG在平面CCBB內(nèi)；

②設(shè)正方形ABCD與ABC。的中心分別為0,0?則平面方CC與平面BBDD的交線為

線段00“

③由點(diǎn)A,0,C可以確定一個(gè)平面；

④由A,G,Bi確定的平面是平面ADCB；

⑤由A,3,Bi確定的平面與由A,CI,D確定的平面是同一個(gè)平面.

解析:對(duì)于①,GG平面CCBB,AG/平面CCBB,故直線AG6平面CCBB,不正確;

②平面AACC與平面BBDD的交線為直線00”不應(yīng)該為線段，故不正確；③點(diǎn)A,0,C在

同一條直線上，故不能確定一個(gè)平面，不正確；④平面ACB與平面ADCB是同一個(gè)平面，

故正確；⑤正確.

回回回回

1.用符號(hào)表示“點(diǎn)A在直線1上，1在平面a外”，正確的是㈤

A.AG1,KaB.AG1,Ida

C.AC1,IdaD.ACLHa

2.下列說(shuō)法中正確的是（。

A.桌面是平面

B.一個(gè)平面的面積是26nf

C.空間圖形是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的

D.用平行四邊形表示平面，2個(gè)平面重疊在一起，比一個(gè)平面要厚

解析：平面是一個(gè)無(wú)邊界、無(wú)厚度、不可度量的圖形.

3.能確定一個(gè)平面的條件是（功

A.空間三個(gè)點(diǎn)

B.一個(gè)點(diǎn)和一條直線

C.無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)

D.兩條相交直線

解析：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可確定一個(gè)平面，A,B,。條件不能保證有不在同一

條直線上的三個(gè)點(diǎn)，故不正確.

4.把下列符號(hào)敘述所對(duì)應(yīng)的圖形填在題后的橫線上.

(l)Afe,aUa.￡

(2)aCB=a,P陣a,且醫(yī)B.2

(3)aCa,aCla=A.0

(4)anP—a,aCy=c,BCY=b,aAbdc=O.B

題型一點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的符號(hào)表示

題型二多線共面問(wèn)題

題型三多點(diǎn)共線問(wèn)題

國(guó)畫(huà)國(guó)畫(huà)

1.已知點(diǎn)A,直線a,平面a.

①Ada,a《a》Aqa；②AWa,aCaaAGa；③A9a,a<ta=>A^a；④Ada,aUa

=>Aea.

以上表達(dá)中正確的個(gè)數(shù)是（歷

40個(gè)81個(gè)C.2個(gè)3個(gè)

解析：①②③都不正確，④正確.

2.空間四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D不共面，那么下列判斷中正確的是（Q

A.A,B,C,D四點(diǎn)中必有三點(diǎn)共線

B.A,B,C,1）四點(diǎn)中不存在三點(diǎn)共線

C.直線AB與CD相交

D.直線AB與CD平行

解析：若空間中有三點(diǎn)共線，則四點(diǎn)一定共面，/錯(cuò)；兩條相交直線和平行直線一定共

面，故G〃不正確.選后

3.卜面空間圖形畫(huà)法錯(cuò)誤的是（功

解析：〃中被遮住的線畫(huà)成了實(shí)線.

4.如下圖所示，用符號(hào)語(yǔ)言可表達(dá)為（心

C.aA3=m,nCa,AUm,ACn

D.aCB=m,nFa,AGm,ASn

5.如圖，在正方體ABCDABCD中：

(1)ACABD=；

(2)平面ABBAn平面AA,C1C=；

(3)平面ACCAC平面ABCD=；

(4)平面A,C,CACl平面DBBD=；

(5)平面ABCDn平面ABBAfl平面BCCB=.

答案：(1)0(2)AA,(3)AC(4)00,(5)B,

6.在空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，如果EF與【IG

交于點(diǎn)M,那么（心

4M一定在直線AC上

B.M一定在直線BD上

C.M可能在直線AC上，也可能在直線BD上

〃M既不在直線AC上，也不在直線BD上

解析：點(diǎn)M一定在平面ABC和平面CDA的交線AC上.

回畫(huà)園畫(huà)

7.若三個(gè)平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個(gè)平面把空間分成（。

A.5部分B.6部分

C.7部分D.8部分

8.三條直線兩兩相交，可確定平面的個(gè)數(shù)是個(gè).

解析：當(dāng)三條直線共點(diǎn)時(shí)可確定三個(gè)或一個(gè)，當(dāng)三條直線不共點(diǎn)時(shí)可確定一個(gè)平面.

答案：一或三

9.如圖所示，G是長(zhǎng)方體ABCD-ABCD的棱DDi延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E、F是棱AB、BC的中

點(diǎn).試分別畫(huà)出過(guò)下列各點(diǎn)、直線的平面與長(zhǎng)方體表面的交線：

⑴過(guò)點(diǎn)G及AC；

（2）過(guò)三點(diǎn)E、F、D..

解析：（1）畫(huà)法：連接GA交AD于點(diǎn)M；

連接GC交CD于點(diǎn)N：連接MN、AC.

則MA、CN、MN、AC為所求平面與長(zhǎng)方體表面的交線.如圖（1）所示.

⑵畫(huà)法：連接EF交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q；

連接DF交CCi于點(diǎn)M,連接DQ交AAi于點(diǎn)N；連接MF、NE.

貝IJDM、MF、FE、EN、N?為所求平面與長(zhǎng)方體表血的交線.如圖（2）所示.

10.如圖所示，已知空間四邊形ABCD,E,

CFCG2

CD上的點(diǎn)，且右=右=不求證：