上海市華東師范大學(xué)附屬周浦中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)試題

2023—2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)華東師大附屬周浦中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，每題3分，滿分36分）1．（3分）角屬于第______象限角．2．（3分）在中，如果三條邊，那么角______．（用反三角形式表示角）3．（3分）若是復(fù)數(shù)，，則______．4．（3分）計(jì)算：______．5．（3分）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：______．6．（3分）小數(shù)化為分?jǐn)?shù)是______．7．（3分）設(shè)等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，則______．8．（3分）在等比數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，若，則______．9．（3分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則它的通項(xiàng)公式______．10．（3分）已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)根，且，則滿足條件的實(shí)數(shù)的值為______．11．（3分）若是偶函數(shù)，則有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）______．（注：寫出你認(rèn)為正確的一組數(shù)字即可）12．（3分）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記，若，則正整數(shù)的值為______．二、選擇題（共4小題，每小題4分，共16分）13．（4分）設(shè)為復(fù)數(shù)，下列命題一定成立的是（）A．如果是正實(shí)數(shù)，那么B．如果，那C．如果是正實(shí)數(shù)，那么D．如果，那么14．（4分）要得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象（）A．向右平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位15．（4分）等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比為，數(shù)列滿足（是正整數(shù)），若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的前項(xiàng)和取得最大值，則取值范圍是（）A． B． C． D．16．（4分）設(shè)數(shù)列為：，其中第1項(xiàng)為，接下來2項(xiàng)均為，再接下來8項(xiàng)均為，以此類推，記，使得；②數(shù)列（）A．①和②均為真命題B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題D．①為假命題，②為真命題三、解答題（滿分48分，）17．（8分）當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，復(fù)數(shù)為：（1）實(shí)數(shù)；（2）純虛數(shù)；（3）對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限？18．（8分）已知，求的值．19．（10分）已知函數(shù)．（1）求的最小正周期，對(duì)稱中心；（2）求的單調(diào)區(qū)間，最值以及取得最值時(shí)的值．20．（10分）已知數(shù)列滿足．設(shè)．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）對(duì)于數(shù)列，其中，對(duì)任意正整數(shù)都有，則稱數(shù)列為數(shù)列的“接近數(shù)列”．已知為數(shù)列的“接近數(shù)列”，且．（1）若（是正整數(shù)），求的值；（2）若（是正整數(shù)），是否存在（是正整數(shù)），使得，如果存在，請(qǐng)求出的最小值，如果不存在；（3）若為無窮等差數(shù)列，公差為，求證：數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是．2023—2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)華東師大附屬周浦中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共有12題，每題3分，滿分36分）1．【分析】根據(jù)終邊相同的角的定義即可得．【解答】解：與終邊相同．故答案為：四．【點(diǎn)評(píng)】本題考查終邊相同的角的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】先設(shè)，然后結(jié)合余弦定理可求，進(jìn)而可求．【解答】解：在中，，設(shè)，根據(jù)余弦定理得，，故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求得答案．【解答】解：，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解．【解答】解：原式．故答案為：1000．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合求根公式，即可求解．【解答】解：令，，由求根公式可知，，故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】設(shè)，兩式相減可得答案．【解答】解：設(shè)，，，，解得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查方程思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式即可求解．【解答】解：等差數(shù)列中，，即，則．故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，分析可得，變形可得的值，進(jìn)而求出的值，計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，即，變形可得，解可得：；又由，即，解可得，故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的求和，涉及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】由與的關(guān)系，化簡(jiǎn)可得所求通項(xiàng)公式．【解答】解：由，可得時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．綜上，可得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】根據(jù)函數(shù)有實(shí)根或復(fù)數(shù)根進(jìn)行討論，從而解出．【解答】解：當(dāng)即時(shí)，由于，若同為負(fù)數(shù)，，矛盾！所以一正一負(fù)，不妨設(shè)，則有，又有，得，當(dāng)即時(shí)，令，得，，，得．故答案為：—3或4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程根的分布于系數(shù)的關(guān)系，需要注意討論復(fù)根，屬中檔題．11．【分析】若能通過化簡(jiǎn)變形為的形式，即可找到為偶函數(shù)的條件，從而得出結(jié)論．【解答】解：．是偶函數(shù)，只要即可，可以?。军c(diǎn)評(píng)】知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的問題解決的方法主要有三：（1）奇偶性的定義；（2）數(shù)形結(jié)合；（3）根據(jù)基礎(chǔ)函數(shù)平移伸縮變換得出奇偶性．12．【分析】先令，則，再對(duì)分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)絕對(duì)值的知識(shí)及等差數(shù)列的求和公式推導(dǎo)出的表達(dá)式，代入進(jìn)行計(jì)算即可得到符合題意的正整數(shù)的值．【解答】解：由題意，令，則，①當(dāng)時(shí)，，由，可得，化簡(jiǎn)整理，得，解得或3，②當(dāng)時(shí)，，由，可得，化簡(jiǎn)整理，得，解得，這與矛盾，不合題意，綜合①②，可得符合題意的正整數(shù)或3．故答案為：2或7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查絕對(duì)值數(shù)列的求和問題．考查了分類討論思想，方程思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，等差數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，分組求和法，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．二，選擇題（共4小題，每小題4分，共16分）13．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念結(jié)合復(fù)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷．【解答】解：設(shè)，對(duì)于選項(xiàng)A：，則，，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：，即，則，不能得到，更不能得到，例如，則，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：，則，但只有實(shí)數(shù)才能比較大小，對(duì)于虛數(shù)無法比較大??；對(duì)于選項(xiàng)D：，則可得，不能得到，例如，則，但顯然，故D錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】由條件利用的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答】解：把的圖象上所有的點(diǎn)向右平移，可得函數(shù)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】求出的通項(xiàng)公式，分析出其為等差數(shù)列，然后由條件得出，代入通項(xiàng)公式即可求解．【解答】解，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的前項(xiàng)和取得最大值，所以，即．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，推理能力，屬于中檔題．16．【分析】通過判定命題①的否定，進(jìn)一步說明命題①的真假，對(duì)于命題②通過驗(yàn)證前8項(xiàng)，進(jìn)一步說明第9項(xiàng)以后的數(shù)列都符合遞減數(shù)列．【解答】解：對(duì)于數(shù)列為：，首先判斷命題：①存在正整數(shù)，使得；命題①的否定為：對(duì)正整數(shù)，都有，通過驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，，故命題的否定為真命題；對(duì)于②數(shù)列滿足，，從第9項(xiàng)起，故②為真命題．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：驗(yàn)證法，命題真假的判定，數(shù)列的單調(diào)性，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．三、解答題（滿分48分，）17．【分析】（1）結(jié)合實(shí)數(shù)的概念，即可求解；（2）結(jié)合純虛數(shù)的概念，即可求解；（3）結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：復(fù)數(shù)（1）為實(shí)數(shù)，則，解得；（2）為純虛數(shù)，則，解得；（3）對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限，則，解得．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，以及復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．18．（8分）已知，求的值．【分析】觀察角度的關(guān)系發(fā)現(xiàn)，，然后利用兩角和的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，把和的值代入即可求出所求式子的值．【解答】解：，．【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．學(xué)生做題時(shí)應(yīng)注意找角度的關(guān)系．19．【分析】（1）利用二倍角公式以及兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)可得，利用余弦函數(shù)的周期公式以及對(duì)稱性即可求解；（2）利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）因?yàn)樗缘淖钚≌芷?，令，解得，所以的?duì)稱中心為；（2）令，所以的嚴(yán)格增區(qū)間令，所以的嚴(yán)格減區(qū)間可得當(dāng)時(shí)，最大值為；當(dāng)時(shí)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二倍角公式以及兩角和的余弦公式的應(yīng)用，考查了余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．20．【分析】（1）由數(shù)列的遞推式，兩邊同時(shí)加上2，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求；（2）求得，推得遞減，可得，由不等式恒成立思想，可得所求取值范圍．【解答】解：（1）證明：由，可得，即數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為3的等比數(shù)列，則，即；（2）數(shù)列，則，可得遞減，可得，對(duì)任意正整數(shù)，不等式恒成立，可得，即有，即的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的單調(diào)性和不等式恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．21．【分析】（1）根據(jù)定義逐一計(jì)算即可；（2）求得的通項(xiàng)公式，分類討論為奇數(shù)，為偶數(shù)時(shí)列不等式求解即可；（3）根據(jù)充分必要條件的定義即可證明．【解答】解：（1）由題意得，（是正整數(shù)）為數(shù)列的“接近數(shù)列”，