2024年遼寧省高考數(shù)學試卷(理科)(同名3322)

菁優(yōu)網(wǎng) ?2024-2024菁優(yōu)網(wǎng) 2024年遼寧省高考數(shù)學試卷〔理科〕一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．〔5分〕〔2024?遼寧〕全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，那么集合?U〔A∪B〕=〔〕A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．〔5分〕〔2024?遼寧〕設(shè)復數(shù)z滿足〔z﹣2i〕〔2﹣i〕=5，那么z=〔〕A．2+3iB．2﹣3iC．3+2iD．3﹣2i3．〔5分〕〔2024?遼寧〕a=，b=log2，c=log，那么〔〕A．a(chǎn)＞b＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a4．〔5分〕〔2024?遼寧〕m，n表示兩條不同直線，α表示平面，以下說法正確的選項是〔〕A．假設(shè)m∥α，n∥α，那么m∥nB．假設(shè)m⊥α，n?α，那么m⊥nC．假設(shè)m⊥α，m⊥n，那么n∥αD．假設(shè)m∥α，m⊥n，那么n⊥α5．〔5分〕〔2024?遼寧〕設(shè)，，是非零向量，命題p：假設(shè)?=0，?=0，那么?=0；命題q：假設(shè)∥，∥，那么∥，那么以下命題中真命題是〔〕A．p∨qB．p∧qC．〔￢p〕∧〔￢q〕D．p∨〔￢q〕6．〔5分〕〔2024?遼寧〕6把椅子排成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為〔〕A．144B．120C．72D．247．〔5分〕〔2024?遼寧〕某幾何體三視圖如以下列圖，那么該幾何體的體積為〔〕A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣8．〔5分〕〔2024?遼寧〕設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，假設(shè)數(shù)列{}為遞減數(shù)列，那么〔〕A．d＜0B．d＞0C．a(chǎn)1d＜0D．a(chǎn)1d＞09．〔5分〕〔2024?遼寧〕將函數(shù)y=3sin〔2x+〕的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)〔〕A．在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減B．在區(qū)間[，]上單調(diào)遞增C．在區(qū)間[﹣，]上單調(diào)遞減D．在區(qū)間[﹣，]上單調(diào)遞增10．〔5分〕〔2024?遼寧〕點A〔﹣2，3〕在拋物線C：y2=2px的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，那么直線BF的斜率為〔〕A．B．C．D．11．〔5分〕〔2024?遼寧〕當x∈[﹣2，1]時，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，那么實數(shù)a的取值范圍是〔〕A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]12．〔5分〕〔2024?遼寧〕定義在[0，1]上的函數(shù)f〔x〕滿足：①f〔0〕=f〔1〕=0；②對所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f〔x〕﹣f〔y〕|＜|x﹣y|．假設(shè)對所有x，y∈[0，1]，|f〔x〕﹣f〔y〕|＜k恒成立，那么k的最小值為〔〕A．B．C．D．二、填空題：本大題共4小題，每題5分?？忌鶕?jù)要求作答．13．〔5分〕〔2024?遼寧〕執(zhí)行如圖的程序框圖，假設(shè)輸入x=9，那么輸出y=_________．14．〔5分〕〔2024?遼寧〕正方形的四個頂點A〔﹣1，﹣1〕，B〔1，﹣1〕，C〔1，1〕，D〔﹣1，1〕分別在拋物線y=﹣x2和y=x2上，如以下列圖，假設(shè)將一個質(zhì)點隨機投入正方形ABCD中，那么質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率是_________．15．〔5分〕〔2024?遼寧〕橢圓C：+=1，點M與C的焦點不重合，假設(shè)M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A、B，線段MN的中點在C上，那么|AN|+|BN|=_________．16．〔5分〕〔2024?遼寧〕對于c＞0，當非零實數(shù)a，b滿足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大時，﹣+的最小值為_________．三、解答題：解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．〔12分〕〔2024?遼寧〕在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且a＞c，?=2，cosB=，b=3，求：〔Ⅰ〕a和c的值；〔Ⅱ〕cos〔B﹣C〕的值．18．〔12分〕〔2024?遼寧〕一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如以下列圖．將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立．〔Ⅰ〕求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；〔Ⅱ〕用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列，期望E〔X〕及方差D〔X〕．19．〔12分〕〔2024?遼寧〕如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分別為AC、DC的中點．〔Ⅰ〕求證：EF⊥BC；〔Ⅱ〕求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．20．〔12分〕〔2024?遼寧〕圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切點為P〔如圖〕，雙曲線C1：﹣=1過點P且離心率為．〔Ⅰ〕求C1的方程；〔Ⅱ〕假設(shè)橢圓C2過點P且與C1有相同的焦點，直線l過C2的右焦點且與C2交于A，B兩點，假設(shè)以線段AB為直徑的圓過點P，求l的方程．21．〔12分〕〔2024?遼寧〕函數(shù)f〔x〕=〔cosx﹣x〕〔π+2x〕﹣〔sinx+1〕g〔x〕=3〔x﹣π〕cosx﹣4〔1+sinx〕ln〔3﹣〕證明：〔Ⅰ〕存在唯一x0∈〔0，〕，使f〔x0〕=0；〔Ⅱ〕存在唯一x1∈〔，π〕，使g〔x1〕=0，且對〔Ⅰ〕中的x0，有x0+x1＜π．四、請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，那么按所做的第一題記分，作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號下方的方框涂黑．選修4-1：幾何證明選講.22．〔10分〕〔2024?遼寧〕如圖，EP交圓于E，C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且PG=PD，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F．〔Ⅰ〕求證：AB為圓的直徑；〔Ⅱ〕假設(shè)AC=BD，求證：AB=ED．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程23．〔2024?遼寧〕將圓x2+y2=1上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C．〔Ⅰ〕寫出C的參數(shù)方程；〔Ⅱ〕設(shè)直線l：2x+y﹣2=0與C的交點為P1，P2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程．不等式選講24．〔2024?遼寧〕設(shè)函數(shù)f〔x〕=2|x﹣1|+x﹣1，g〔x〕=16x2﹣8x+1．記f〔x〕≤1的解集為M，g〔x〕≤4的解集為N．〔Ⅰ〕求M；〔Ⅱ〕當x∈M∩N時，證明：x2f〔x〕+x[f〔x〕]2≤．

2024年遼寧省高考數(shù)學試卷〔理科〕參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．〔5分〕〔2024?遼寧〕全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，那么集合?U〔A∪B〕=〔〕A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}考點：交、并、補集的混合運算．專題：計算題；集合．分析：先求A∪B，再根據(jù)補集的定義求CU〔A∪B〕．解答：解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴CU〔A∪B〕={x|0＜x＜1}，應選：D．點評：此題考查了集合的并集、補集運算，利用數(shù)軸進行數(shù)集的交、并、補運算是常用方法．2．〔5分〕〔2024?遼寧〕設(shè)復數(shù)z滿足〔z﹣2i〕〔2﹣i〕=5，那么z=〔〕A．2+3iB．2﹣3iC．3+2iD．3﹣2i考點：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．專題：數(shù)系的擴充和復數(shù)．分析：把給出的等式兩邊同時乘以，然后利用復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，那么z可求．解答：解：由〔z﹣2i〕〔2﹣i〕=5，得：，∴z=2+3i．應選：A．點評：此題考查了復數(shù)代數(shù)形式的除法運算，是根底的計算題．3．〔5分〕〔2024?遼寧〕a=，b=log2，c=log，那么〔〕A．a(chǎn)＞b＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a考點：對數(shù)的運算性質(zhì)．專題：計算題；綜合題．分析：利用指數(shù)式的運算性質(zhì)得到0＜a＜1，由對數(shù)的運算性質(zhì)得到b＜0，c＞1，那么答案可求．解答：解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．應選：C．點評：此題考查指數(shù)的運算性質(zhì)和對數(shù)的運算性質(zhì)，在涉及比較兩個數(shù)的大小關(guān)系時，有時借助于0、1這樣的特殊值能起到事半功倍的效果，是根底題．4．〔5分〕〔2024?遼寧〕m，n表示兩條不同直線，α表示平面，以下說法正確的選項是〔〕A．假設(shè)m∥α，n∥α，那么m∥nB．假設(shè)m⊥α，n?α，那么m⊥nC．假設(shè)m⊥α，m⊥n，那么n∥αD．假設(shè)m∥α，m⊥n，那么n⊥α考點：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：A．運用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合線線的位置關(guān)系，即可判斷；B．運用線面垂直的性質(zhì)，即可判斷；C．運用線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線線垂直和線面平行的位置即可判斷；D．運用線面平行的性質(zhì)和線面垂直的判定，即可判斷．解答：解：A．假設(shè)m∥α，n∥α，那么m，n相交或平行或異面，故A錯；B．假設(shè)m⊥α，n?α，那么m⊥n，故B正確；C．假設(shè)m⊥α，m⊥n，那么n∥α或n?α，故C錯；D．假設(shè)m∥α，m⊥n，那么n∥α或n?α或n⊥α，故D錯．應選B．點評：此題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查直線與平面的平行、垂直的判斷與性質(zhì)，記熟這些定理是迅速解題的關(guān)鍵，注意觀察空間的直線與平面的模型．5．〔5分〕〔2024?遼寧〕設(shè)，，是非零向量，命題p：假設(shè)?=0，?=0，那么?=0；命題q：假設(shè)∥，∥，那么∥，那么以下命題中真命題是〔〕A．p∨qB．p∧qC．〔￢p〕∧〔￢q〕D．p∨〔￢q〕考點：復合命題的真假．專題：簡易邏輯．分析：根據(jù)向量的有關(guān)概念和性質(zhì)分別判斷p，q的真假，利用復合命題之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．解答：解：假設(shè)?=0，?=0，那么?=?，即〔﹣〕?=0，那么?=0不一定成立，故命題p為假命題，假設(shè)∥，∥，那么∥平行，故命題q為真命題，那么p∨q，為真命題，p∧q，〔￢p〕∧〔￢q〕，p∨〔￢q〕都為假命題，應選：A．點評：此題主要考查復合命題之間的判斷，利用向量的有關(guān)概念和性質(zhì)分別判斷p，q的真假是解決此題的關(guān)鍵．6．〔5分〕〔2024?遼寧〕6把椅子排成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為〔〕A．144B．120C．72D．24考點：計數(shù)原理的應用．專題：應用題；排列組合．分析：先排人，再插入椅子，根據(jù)乘法原理可得結(jié)論．解答：解：3人全排，有=6種方法，形成4個空，在前3個或后3個或中間兩個空中插入椅子，有4種方法，根據(jù)乘法原理可得所求坐法種數(shù)為6×4=24種．應選：D．點評：此題考查排列知識的運用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是關(guān)鍵．7．〔5分〕〔2024?遼寧〕某幾何體三視圖如以下列圖，那么該幾何體的體積為〔〕A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣考點：由三視圖求面積、體積．專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：幾何體是正方體切去兩個圓柱，根據(jù)三視圖判斷正方體的棱長及切去的圓柱的底面半徑和高，把數(shù)據(jù)代入正方體與圓柱的體積公式計算．解答：解：由三視圖知：幾何體是正方體切去兩個圓柱，正方體的棱長為2，切去的圓柱的底面半徑為1，高為2，∴幾何體的體積V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．應選：B．點評：此題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對應的幾何量是解題的關(guān)鍵．8．〔5分〕〔2024?遼寧〕設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，假設(shè)數(shù)列{}為遞減數(shù)列，那么〔〕A．d＜0B．d＞0C．a(chǎn)1d＜0D．a(chǎn)1d＞0考點：數(shù)列的函數(shù)特性．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由于數(shù)列{2}為遞減數(shù)列，可得=＜1，解出即可．解答：解：∵等差數(shù)列{an}的公差為d，∴an+1﹣an=d，又數(shù)列{2}為遞減數(shù)列，∴=＜1，∴a1d＜0．應選：C．點評：此題考查了等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的運算法那么等根底知識與根本技能方法，屬于中檔題．9．〔5分〕〔2024?遼寧〕將函數(shù)y=3sin〔2x+〕的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)〔〕A．在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減B．在區(qū)間[，]上單調(diào)遞增C．在區(qū)間[﹣，]上單調(diào)遞減D．在區(qū)間[﹣，]上單調(diào)遞增考點：函數(shù)y=Asin〔ωx+φ〕的圖象變換．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：直接由函數(shù)的圖象平移得到平移后的圖象所對應的函數(shù)解析式，然后利用復合函數(shù)的單調(diào)性的求法求出函數(shù)的增區(qū)間，取k=0即可得到函數(shù)在區(qū)間[，]上單調(diào)遞增，那么答案可求．解答：解：把函數(shù)y=3sin〔2x+〕的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象所對應的函數(shù)解析式為：y=3sin[2〔x﹣〕+]．即y=3sin〔2x﹣〕．由，得．取k=0，得．∴所得圖象對應的函數(shù)在區(qū)間[，]上單調(diào)遞增．應選：B．點評：此題考查了函數(shù)圖象的平移，考查了復合函數(shù)單調(diào)性的求法，復合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減〞原那么，是中檔題．10．〔5分〕〔2024?遼寧〕點A〔﹣2，3〕在拋物線C：y2=2px的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，那么直線BF的斜率為〔〕A．B．C．D．考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系．專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：由題意先求出準線方程x=﹣2，再求出p，從而得到拋物線方程，寫出第一象限的拋物線方程，設(shè)出切點，并求導，得到切線AB的斜率，再由兩點的斜率公式得到方程，解出方程求出切點，再由兩點的斜率公式求出BF的斜率．解答：解：∵點A〔﹣2，3〕在拋物線C：y2=2px的準線上，即準線方程為：x=﹣2，∴p＞0，=﹣2即p=4，∴拋物線C：y2=8x，在第一象限的方程為y=2，設(shè)切點B〔m，n〕，那么n=2，又導數(shù)y′=2，那么在切點處的斜率為，∴即m=2m，解得=2〔舍去〕，∴切點B〔8，8〕，又F〔2，0〕，∴直線BF的斜率為，應選D．點評：此題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)，同時考查直線與拋物線相切，運用導數(shù)求切線的斜率等，是一道根底題．11．〔5分〕〔2024?遼寧〕當x∈[﹣2，1]時，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，那么實數(shù)a的取值范圍是〔〕A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]考點：函數(shù)恒成立問題；其他不等式的解法．專題：綜合題；導數(shù)的綜合應用；不等式的解法及應用．分析：分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三種情況進行討論，別離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值即可，利用導數(shù)即可求得函數(shù)最值，注意最后要對a取交集．解答：解：當x=0時，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0對任意a∈R恒成立；當0＜x≤1時，ax3﹣x2+4x+3≥0可化為a≥，令f〔x〕=，那么f′〔x〕==﹣〔*〕，當0＜x≤1時，f′〔x〕＞0，f〔x〕在〔0，1]上單調(diào)遞增，f〔x〕max=f〔1〕=﹣6，∴a≥﹣6；當﹣2≤x＜0時，ax3﹣x2+4x+3≥0可化為a≤，由〔*〕式可知，當﹣2≤x＜﹣1時，f′〔x〕＜0，f〔x〕單調(diào)遞減，當﹣1＜x＜0時，f′〔x〕＞0，f〔x〕單調(diào)遞增，f〔x〕min=f〔﹣1〕=﹣2，∴a≤﹣2；綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是﹣6≤a≤﹣2，即實數(shù)a的取值范圍是[﹣6，﹣2]．應選C．點評：此題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，按照自變量討論，最后要對參數(shù)范圍取交集；假設(shè)按照參數(shù)討論那么取并集．12．〔5分〕〔2024?遼寧〕定義在[0，1]上的函數(shù)f〔x〕滿足：①f〔0〕=f〔1〕=0；②對所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f〔x〕﹣f〔y〕|＜|x﹣y|．假設(shè)對所有x，y∈[0，1]，|f〔x〕﹣f〔y〕|＜k恒成立，那么k的最小值為〔〕A．B．C．D．考點：函數(shù)恒成立問題；絕對值不等式的解法．專題：綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析：依題意，構(gòu)造函數(shù)f〔x〕=〔0＜k＜〕，分x∈[0，]，且y∈[0，]；x∈[0，]，且y∈[，1]；y∈[0，]，且y∈[，1]；及當x∈[，1]，且y∈[，1]時，四類情況討論，可證得對所有x，y∈[0，1]，|f〔x〕﹣f〔y〕|＜恒成立，從而可得k≥，繼而可得答案．解答：解：依題意，定義在[0，1]上的函數(shù)y=f〔x〕的斜率|k|＜，不妨令k＞0，構(gòu)造函數(shù)f〔x〕=〔0＜k＜〕，滿足f〔0〕=f〔1〕=0，|f〔x〕﹣f〔y〕|＜|x﹣y|．當x∈[0，]，且y∈[0，]時，|f〔x〕﹣f〔y〕|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×＜；當x∈[0，]，且y∈[，1]，|f〔x〕﹣f〔y〕|=|kx﹣〔k﹣ky〕|=|k〔x+y〕﹣k|≤|k〔1+〕﹣k|=＜；當y∈[0，]，且y∈[，1]時，同理可得，|f〔x〕﹣f〔y〕|＜；當x∈[，1]，且y∈[，1]時，|f〔x〕﹣f〔y〕|=|〔k﹣kx〕﹣〔k﹣ky〕|=k|x﹣y|≤k×〔1﹣〕=＜；綜上所述，對所有x，y∈[0，1]，|f〔x〕﹣f〔y〕|＜，∵對所有x，y∈[0，1]，|f〔x〕﹣f〔y〕|＜k恒成立，∴k≥，即k的最小值為．應選：B．點評：此題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查構(gòu)造函數(shù)思想、分類討論思想、函數(shù)方程思想與等價轉(zhuǎn)化思想的綜合運用，考查分析、推理及運算能力，屬于難題．二、填空題：本大題共4小題，每題5分。考生根據(jù)要求作答．13．〔5分〕〔2024?遼寧〕執(zhí)行如圖的程序框圖，假設(shè)輸入x=9，那么輸出y=．考點：程序框圖．專題：計算題；算法和程序框圖．分析：根據(jù)框圖的流程模擬運行程序，直到滿足條件|y﹣x|＜1，計算輸出y的值．解答：解：由程序框圖知：第一次循環(huán)x=9，y=+2=5，|5﹣9|=4＞1；第二次循環(huán)x=5，y=+2=，|﹣5|=＞1；第三次循環(huán)x=，y=+2．|+2﹣|=＜1，滿足條件|y﹣x|＜1，跳出循環(huán)，輸出y=．故答案為：．點評：此題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程模擬運行程序是解答此類問題的常用方法．14．〔5分〕〔2024?遼寧〕正方形的四個頂點A〔﹣1，﹣1〕，B〔1，﹣1〕，C〔1，1〕，D〔﹣1，1〕分別在拋物線y=﹣x2和y=x2上，如以下列圖，假設(shè)將一個質(zhì)點隨機投入正方形ABCD中，那么質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率是．考點：幾何概型．專題：概率與統(tǒng)計．分析：利用幾何槪型的概率公式，求出對應的圖形的面積，利用面積比即可得到結(jié)論．解答：解：∵A〔﹣1，﹣1〕，B〔1，﹣1〕，C〔1，1〕，D〔﹣1，1〕，∴正方體的ABCD的面積S=2×2=4，根據(jù)積分的幾何意義以及拋物線的對稱性可知陰影局部的面積S=2=2=2[〔1﹣〕﹣〔﹣1+〕]=2×=，那么由幾何槪型的概率公式可得質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率是．故答案為：．點評：此題主要考查幾何槪型的概率的計算，利用積分求出陰影局部的面積是解決此題的關(guān)鍵．15．〔5分〕〔2024?遼寧〕橢圓C：+=1，點M與C的焦點不重合，假設(shè)M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A、B，線段MN的中點在C上，那么|AN|+|BN|=12．考點：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：畫出圖形，利用中點坐標以及橢圓的定義，即可求出|AN|+|BN|的值．解答：解：如圖：MN的中點為Q，易得，，∵Q在橢圓C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，∴|AN|+|BN|=12．故答案為：12．點評：此題考查橢圓的定義，橢圓的根本性質(zhì)的應用，根本知識的考查．16．〔5分〕〔2024?遼寧〕對于c＞0，當非零實數(shù)a，b滿足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大時，﹣+的最小值為﹣2．考點：根本不等式．專題：不等式的解法及應用．分析：首先把：4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，轉(zhuǎn)化為=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分別用b表示a，c，在代入到﹣+得到關(guān)于b的二次函數(shù)，求出最小值即可．解答：解：∵4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，∴=由柯西不等式得，[][]=|2a+b|2故當|2a+b|最大時，有∴∴﹣+===，當b=時，取得最小值為﹣2．故答案為：﹣2點評：此題考查了柯西不等式，以及二次函數(shù)的最值問題，屬于難題．三、解答題：解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．〔12分〕〔2024?遼寧〕在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且a＞c，?=2，cosB=，b=3，求：〔Ⅰ〕a和c的值；〔Ⅱ〕cos〔B﹣C〕的值．考點：余弦定理；平面向量數(shù)量積的運算；兩角和與差的余弦函數(shù)．專題：三角函數(shù)的求值．分析：〔Ⅰ〕利用平面向量的數(shù)量積運算法那么化簡?=2，將cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，聯(lián)立即可求出ac的值；〔Ⅱ〕由cosB的值，利用同角三角函數(shù)間根本關(guān)系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，進而求出cosC的值，原式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入計算即可求出值．解答：解：〔Ⅰ〕∵?=2，cosB=，∴c?acosB=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，聯(lián)立①②得：a=3，c=2；〔Ⅱ〕在△ABC中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b＞c，∴C為銳角，∴cosC===，那么cos〔B﹣C〕=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．點評：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，以及同角三角函數(shù)間的根本關(guān)系，熟練掌握定理是解此題的關(guān)鍵．18．〔12分〕〔2024?遼寧〕一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如以下列圖．將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立．〔Ⅰ〕求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；〔Ⅱ〕用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列，期望E〔X〕及方差D〔X〕．考點：離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變量的期望與方差．專題：概率與統(tǒng)計．分析：〔Ⅰ〕由頻率分布直方圖求出事件A1，A2的概率，利用相互獨立事件的概率公式求出事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個〞的概率；〔Ⅱ〕寫出X可取得值，利用相互獨立事件的概率公式求出X取每一個值的概率；列出分布列．根據(jù)服從二項分布的隨機變量的期望與方差公式求出期望E〔X〕及方差D〔X〕．解答：解：〔Ⅰ〕設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個〞，A2表示事件“日銷售量低于50個〞B表示事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個〞，因此P〔A1〕=〔0.006+0.004+0.002〕×50=0.6，P〔A2〕=0.003×50=0.15，P〔B〕=0.6×0.6×0.15×2=0.108，〔Ⅱ〕X可能取的值為0，1，2，3，相應的概率為：，，，隨機變量X的分布列為因為X～B〔3，0.6〕，所以期望E〔X〕=3×0.6=1.8，方差D〔X〕=3×0.6×〔1﹣0.6〕=0.72．點評：在n次獨立重復試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)服從二項分布、服從二項分布的隨機變量的期望與方差公式，考查分布列的求法．19．〔12分〕〔2024?遼寧〕如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分別為AC、DC的中點．〔Ⅰ〕求證：EF⊥BC；〔Ⅱ〕求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．考點：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的性質(zhì)；二面角的平面角及求法．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：〔Ⅰ〕以B為坐標原點，在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸，建立如以下列圖空間直角坐標系，得到E、F、B、C點的坐標，易求得此?=0，所以EF⊥BC；〔Ⅱ〕設(shè)平面BFC的一個法向量=〔0，0，1〕，平面BEF的法向量=〔x，y，z〕，依題意，可求得一個=〔1，﹣，1〕，設(shè)二面角E﹣BF﹣C的大小為θ，可求得sinθ的值．解答：〔Ⅰ〕證明：由題意，以B為坐標原點，在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸，建立如以下列圖空間直角坐標系，易得B〔0，0，0〕，A〔0，﹣1，〕，D〔，﹣1，0〕，C〔0，2，0〕，因而E〔0，，〕，F(xiàn)〔，，0〕，所以=〔，0，﹣〕，=〔0，2，0〕，因此?=0，所以EF⊥BC．〔Ⅱ〕解：在圖中，設(shè)平面BFC的一個法向量=〔0，0，1〕，平面BEF的法向量=〔x，y，z〕，又=〔，，0〕，=〔0，，〕，由得其中一個=〔1，﹣，1〕，設(shè)二面角E﹣BF﹣C的大小為θ，由題意知θ為銳角，那么cosθ=|cos＜，＞|=||=，因此sinθ==，即所求二面角正弦值為．點評：此題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系，二面角等根底知識，同時考查空間想象能力，空間向量的坐標運算，推理論證能力和運算求解能力．20．〔12分〕〔2024?遼寧〕圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切點為P〔如圖〕，雙曲線C1：﹣=1過點P且離心率為．〔Ⅰ〕求C1的方程；〔Ⅱ〕假設(shè)橢圓C2過點P且與C1有相同的焦點，直線l過C2的右焦點且與C2交于A，B兩點，假設(shè)以線段AB為直徑的圓過點P，求l的方程．考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系；雙曲線的標準方程．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：〔Ⅰ〕設(shè)切點P〔x0，y0〕，〔x0＞0，y0＞0〕，利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得切線的斜率和切線的方程，即可得出三角形的面積，利用根本不等式的性質(zhì)可得點P的坐標，再利用雙曲線的標準方程及其性質(zhì)即可得出；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得橢圓C2的焦點．可設(shè)橢圓C2的方程為〔b1＞0〕．把P的坐標代入即可得出方程．由題意可設(shè)直線l的方程為x=my+，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，與橢圓的方程聯(lián)立即可得出根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．解答：解：〔Ⅰ〕設(shè)切點P〔x0，y0〕，〔x0＞0，y0＞0〕，那么切線的斜率為，可得切線的方程為，化為x0x+y0y=4．令x=0，可得；令y=0，可得．∴切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形的面積S==．∵4=，當且僅當時取等號．∴．此時P．由題意可得，，解得a2=1，b2=2．故雙曲線C1的方程為．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知雙曲線C1的焦點〔±，0〕，即為橢圓C2的焦點．可設(shè)橢圓C2的方程為〔b1＞0〕．把P代入可得，解得=3，因此橢圓C2的方程為．由題意可設(shè)直線l的方程為x=my+，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，聯(lián)立，化為，∴，．∴x1+x2==，x1x2==．，，∵，∴，∴+，∴，解得m=或m=，因此直線l的方程為：或．點評：此題綜合考查了圓錐曲線的標準方程及其性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、切線的斜率和切線的方程、三角形的面積計算公式、根本不等式的性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系等根底知識與根本技能方法，考查了推理能力和計算能力，考查了轉(zhuǎn)化和化歸能力，考查了解決問題的能力，屬于難題．21．〔12分〕〔2024?遼寧〕函數(shù)f〔x〕=〔cosx﹣x〕〔π+2x〕﹣〔sinx+1〕g〔x〕=3〔x﹣π〕cosx﹣4〔1+sinx〕ln〔3﹣〕證明：〔Ⅰ〕存在唯一x0∈〔0，〕，使f〔x0〕=0；〔Ⅱ〕存在唯一x1∈〔，π〕，使g〔x1〕=0，且對〔Ⅰ〕中的x0，有x0+x1＜π．考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．專題：綜合題；導數(shù)的綜合應用．分析：〔Ⅰ〕由x∈〔0，〕時，f′〔x〕＜0，得出f〔x〕在〔0，〕上為減函數(shù)，且f〔0〕＞0，f〔〕＜0，即可得出結(jié)論；〔Ⅱ〕由函數(shù)h〔x〕=﹣4ln〔3﹣x〕，x∈[，π]，令t=π﹣x，t∈[0，]，得u〔t〕=h〔π﹣t〕，求出u〔t〕存在唯一的零點t1∈〔0，〕，即證g〔x〕存在唯一的零點x1∈〔，π〕，且滿足x0+x1＜π．解答：證明：〔Ⅰ〕∵當x∈〔0，〕時，f′〔x〕=﹣〔1+sinx〕〔π+2x〕﹣2x﹣cosx＜0，∴函數(shù)f〔x〕在〔0，〕上為減函數(shù)，又f〔0〕=π﹣＞0，f〔〕=﹣π2﹣＜0；∴存在唯一的x0∈〔0，〕，使f〔x0〕=0；〔Ⅱ〕考慮函數(shù)h〔x〕=﹣4ln〔3﹣x〕，x∈[，π]，令t=π﹣x，那么x∈[，π]時，t∈[0，]，記u〔t〕=h〔π﹣t〕=﹣4ln〔1+t〕，那么u′〔t〕=，由〔Ⅰ〕得，當t∈〔0，x0〕時，u′〔t〕＜0；在〔0，x0〕上u〔x〕是增函數(shù)，又u〔0〕=0，∴當t∈〔，x0]時，u〔t〕＞0，∴u〔t〕在〔0，x0]上無零點；在〔x0，〕上u〔t〕是減函數(shù)，由u〔x0〕＞0，u〔〕=﹣4ln2＜0，∴存在唯一的t1∈〔x0，〕，使u〔t1〕=0；∴存在唯一的t1∈〔0，〕，使u〔t1〕=0；∴存在唯一的x1=π﹣t1∈〔，π〕，使h〔x1〕=h〔π﹣t1〕=u〔t1〕=0；∵當x∈〔，π〕時，1+sinx＞0，∴g〔x〕=〔1+sinx〕h〔x〕與h〔x〕有相同的零點，∴存在唯一的x1∈〔，π〕，使g〔x1〕=0，∵x1=π﹣t1，t1＞x0，∴x0+x1＜π．點評：此題考查了導數(shù)的綜合應用問題，解題時應根據(jù)導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的零點問題，是較難的題目．四、請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，那么按所做的第一題記分，作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號下方的方框涂黑．選修4-1：幾何證明選講.22．〔10分〕〔2024?遼寧〕如圖，EP交圓于E，C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且PG=PD，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F．〔Ⅰ〕求證：AB為圓的直徑；〔Ⅱ〕假設(shè)AC=BD，求證：AB=ED．考點：圓周角定理；與圓有關(guān)的比例線段．專題：選作題；幾何證明．分析：〔Ⅰ〕證明AB為圓的直徑，只需證明∠BDA=90°；〔Ⅱ〕證明Rt△BDA≌Rt△ACB，再證明∠DCE為直角，即可證明AB=ED．解答：證明：〔Ⅰ〕∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，∵PD為切線，∴∠PDA=∠DBA，∵∠PGD=∠EGA，∴∠DBA=∠EGA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BDA，∴∠NDA=∠PFA，∵AF⊥EP，∴∠PFA=90°．∴∠BDA=90°，∴AB為圓的直徑；〔Ⅱ〕連接BC，DC，那么∵AB為圓的直徑，∴∠BDA=∠A