2025版高考物理一輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破第8章機(jī)械振動(dòng)機(jī)械波第20講機(jī)械振動(dòng)考點(diǎn)3單擺及其周期公式

考點(diǎn)3單擺及其周期公式(基礎(chǔ)考點(diǎn)·自主探究)1．單擺的受力特征(1)回復(fù)力：擺球重力沿與擺線垂直方向的分力，F(xiàn)回＝－mgsinθ＝－eq\f(mg,l)x＝－kx，負(fù)號(hào)表示回復(fù)力F回與位移x的方向相反。(2)向心力：細(xì)線的拉力和擺球重力沿細(xì)線方向分力的合力充當(dāng)向心力，F(xiàn)向＝FT－mgcosθ。(3)兩點(diǎn)說明①當(dāng)擺球在最高點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)向＝eq\f(mv2,l)＝0，F(xiàn)T＝mgcosθ。②當(dāng)擺球在最低點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)向＝eq\f(mv\o\al(2,max),l)，F(xiàn)向最大，F(xiàn)T＝mg＋meq\f(v\o\al(2,max),l)。(4)單擺是一個(gè)志向化模型，擺角θ≤5°時(shí)，單擺的周期為T＝2πeq\r(\f(l,g))，與單擺的振幅A、擺球質(zhì)量m無關(guān)，式中的g為單擺所處位置(當(dāng)?shù)?的重力加速度。2．等效擺長及等效重力加速度(1)l′——等效擺長：搖擺圓弧的圓心到擺球重心的距離。如圖甲所示的雙線擺的擺長l′＝r＋Lcosα。乙圖中小球(可看作質(zhì)點(diǎn))在半徑為R的光滑圓槽中靠近A點(diǎn)的旁邊振動(dòng)，其等效擺長為l′＝R。(2)g′——等效重力加速度：與單擺所處物理環(huán)境有關(guān)。①在不同星球表面：g′＝eq\f(GM,R2)，M為星球的質(zhì)量，R為星球的半徑。②單擺處于超重或失重狀態(tài)下的等效重力加速度分別為g′＝g＋a和g′＝g－a，a為超重或失重時(shí)單擺系統(tǒng)整體豎直向上或豎直向下的加速度大小。單擺在斜面上加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，等效重力加速度可用擺球相對(duì)于搖擺圓弧的圓心靜止時(shí)，擺線或圓弧軌道對(duì)擺球作用力所產(chǎn)生的加速度?！靖櫽?xùn)練】(單擺周期公式的應(yīng)用)(2024·海南卷)在同一地方，甲、乙兩個(gè)單擺做振幅不同的簡諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)圖像如圖所示，可知甲、乙兩個(gè)單擺的擺長之比為(C)A．2∶3 B．3∶2C．4∶9 D．9∶4[解析]由振動(dòng)圖像可知甲乙兩個(gè)單擺周期之比為T甲∶T乙＝0.8∶1.2＝2∶3，依據(jù)單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(L,g))，可得L＝eq\f(gT2,4π2)，則甲、乙兩個(gè)單擺的擺長之比為L甲∶L乙＝Teq\o\al(2,甲)∶Teq\o\al(2,乙)＝4∶9。故選C。(單擺周期公式與萬有引力定律的綜合應(yīng)用)在科學(xué)探討中，科學(xué)家常將未知現(xiàn)象同已知現(xiàn)象進(jìn)行比較，找出其共同點(diǎn)，進(jìn)一步推想未知現(xiàn)象的特性和規(guī)律。法國物理學(xué)家?guī)靵鲈谔接懏惙N電荷的吸引力問題時(shí)，曾將扭秤的振動(dòng)周期與電荷間距離的關(guān)系類比為單擺的振動(dòng)周期與擺球到地心距離的關(guān)系。已知單擺擺長為l，引力常量為G，地球質(zhì)量為M，擺球到地心的距離為r，則單擺振動(dòng)周期T與距離r的關(guān)系式為(B)A．T＝2πreq\r(\f(GM,l)) B．T＝2πreq\r(\f(l,GM))C．T＝eq\f(2π,r)eq\r(\f(GM,l)) D．T＝2πl(wèi)eq\r(\f(r,GM))[解析]設(shè)離地心r處重力加速度為g，則eq\f(GMm,r2)＝mg，故g＝eq\f(GM,r2)；單擺振動(dòng)周期T＝2πeq\r(\f(l,g))。聯(lián)立解得T＝2πreq\r(\f(l,GM))，故B項(xiàng)正確。(等效單擺模型)(多選)豎直面內(nèi)有一半徑為R的光滑圓弧軌道AB，其對(duì)應(yīng)的圓心角為10°，A、B兩點(diǎn)等高，CD為豎直直徑。在A、D兩點(diǎn)間固定光滑直斜面，直斜面在D處與光滑圓弧軌道DB平滑相接，將一小球由A點(diǎn)靜止釋放沿直斜面AD下滑，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，則下列說法正確的是(BD)A．小球從A到D的時(shí)間等于從D到B的時(shí)間B．小球從A到D的時(shí)間大于從D到B的時(shí)間C．由題中數(shù)據(jù)可以求得小球在DB圓弧軌道上通過D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力D．若將兩個(gè)小球分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)由靜止釋放，它們會(huì)同時(shí)到達(dá)D點(diǎn)[解析]小球在DB圓弧軌道上從B到D點(diǎn)過程，依據(jù)動(dòng)能定理可得mgR(1－cos5°)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,D)在D點(diǎn)依據(jù)牛頓其次定律可得FN－mg＝eq\f(mv\o\al(2,D),R)，解得FN＝mg(3－2cos5°)，由于不知道小球的質(zhì)量，故不能求出小球通過D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力，C錯(cuò)誤；小球從A點(diǎn)靜止釋放到D點(diǎn)過程，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a＝eq\f(mgsin2.5°,m)＝gsin2.5°，依據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得xAD＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,AD)，解得tAD＝eq\r(\f(2xAD,a))＝eq\r(\f(2×2Rsin2.5°,gsin2.5°))＝2eq\r(\f(R,g))，小球從C點(diǎn)由靜止釋放到D點(diǎn)過程，做自由落體運(yùn)動(dòng)，則有hCD＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,CD)，解得tCD＝eq\r(\f(2hCD,g))＝eq\r(\f(2×2R,g))＝2eq\r(\f(R,g))，可得tAD＝tCD＝2eq\r(\f(R,g))，若將兩個(gè)小球分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)由靜止釋放，它們會(huì)同時(shí)到達(dá)D點(diǎn)，D正確；小球從D到B的過程，依據(jù)單擺周期公式可得所用時(shí)間為tDB＝eq\f(1,4)T＝eq\f(1,4)×2πeq\r(\f