2024八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第04講二次根式的化簡(jiǎn)與應(yīng)用核心考點(diǎn)講與練含解析新版浙教版

Page1第04講二次根式的化簡(jiǎn)與應(yīng)用(核心考點(diǎn)講與練)一．二次根式的化簡(jiǎn)求值二次根式的化簡(jiǎn)求值，確定要先化簡(jiǎn)再代入求值．二次根式運(yùn)算的最終，留意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避開相互干擾．二．二次根式的應(yīng)用把二次根式的運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)學(xué)問之間的聯(lián)系，感受所學(xué)學(xué)問的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的實(shí)力．二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法．一．二次根式的化簡(jiǎn)求值（共10小題）1．（會(huì)寧縣期末）已知a＝+2，b＝﹣2，則a2+b2的值為（）A．4 B．14 C． D．14+4【分析】依據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則分別求出a+b，ab，依據(jù)完全平方公式把原式變形，代入計(jì)算即可．【解答】解：∵a＝+2，b＝﹣2，∴a+b＝（+2）+（﹣2）＝2，ab＝（+2）（﹣2）＝﹣1，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（2）2﹣2×（﹣1）＝14，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，駕馭二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（杭州期末）若a＝+1，b＝﹣1，則a2﹣ab+b2＝5．【分析】依據(jù)配方法以及二次根式的運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：∵a＝+1，b＝﹣1，∴a+b＝+1+﹣1＝2，ab＝（+1）（﹣1）＝2﹣1＝1，∴原式＝a2+2ab+b2﹣3ab＝（a+b）2﹣3ab＝（2）2﹣3×1＝8﹣3＝5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是嫻熟運(yùn)用完全平方公式以及二次根式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．3．（奉化區(qū)校級(jí)期末）已知x﹣2＝，則代數(shù)式（x+1）2﹣6（x+1）+9的值為2．【分析】利用完全平方公式得到原式＝（x﹣2）2，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：（x+1）2﹣6（x+1）+9＝[（x+1）﹣3]2＝（x﹣2）2，因?yàn)閤﹣2＝，所以原式＝（）2＝2．故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，確定要先化簡(jiǎn)再代入求值．二次根式運(yùn)算的最終，留意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避開相互干擾．4．（永嘉縣校級(jí)期中）若|a﹣2|+b2+4b+4+＝0，則＝2．【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a﹣2＝0，b+2＝0，c﹣＝0，解得a＝2，b＝﹣2，c＝，然后依據(jù)二次根式的性質(zhì)和二次根式的乘法法則計(jì)算．【解答】解：依據(jù)題意得|a﹣2|+（b+2）2+＝0，∴a﹣2＝0，b+2＝0，c﹣＝0，解得a＝2，b＝﹣2，c＝，所以原式＝××＝2×＝2×1＝2．故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，確定要先化簡(jiǎn)再代入求值．二次根式運(yùn)算的最終，留意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避開相互干擾．5．（西湖區(qū)校級(jí)期末）已知：y＝++5，化簡(jiǎn)并求的值．【分析】依據(jù)二次根式有意義的條件得到x＝4，則y＝5，再利用約分得到原式＝+，然后通分得到原式＝，最終把x、y的值代入計(jì)算即可．【解答】解：∵x﹣4≥0且4﹣x≥0，∴x＝4，∴y＝5，∴原式＝+＝＝＝＝﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，確定要先化簡(jiǎn)再代入求值．也考查了二次根式有意義的條件．也考查了根式有意義的條件．6．（上城區(qū)校級(jí)期中）已知a＝，b＝，求ab的值為1．【分析】a＝，b＝易得ab＝1即可．【解答】解：a＝，b＝，∴ab＝（）（）＝3﹣2＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，依據(jù)二次根式的乘法可得ab的值．7．（余杭區(qū)模擬）已知x＝2+，則代數(shù)式（7﹣4）x2+（2﹣）x﹣的值為2﹣．【分析】將x＝2+代入代數(shù)式（7﹣4）x2+（2﹣）x﹣，先利用完全平方公式和平方差公式化簡(jiǎn)計(jì)算，再進(jìn)行實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算即可得出答案．【解答】解：∵x＝2+，∴（7﹣4）x2+（2﹣）x﹣＝（7﹣4）（2+）2+（2﹣）（2+）﹣＝（7﹣4）（7+4）+（4﹣3）﹣＝49﹣48+1﹣＝2﹣．故答案為：2﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，嫻熟駕馭完全平方公式和平方差公式及二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．8．（永嘉縣校級(jí)期末）已知a+b＝3，ab＝2，則的值為．【分析】依據(jù)a+b＝3，ab＝2，可以推斷出a＞0，b＞0，將所求數(shù)字化簡(jiǎn)，然后a+b＝3，ab＝2代入即可解答本題．【解答】解：＝＝＝，∵a+b＝3，ab＝2，∴a＞0，b＞0，∴原式＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式化簡(jiǎn)求值的方法．9．（永嘉縣校級(jí)期末）已知x＝，其中a是正整數(shù)，那么全部使得x為整數(shù)的a的取值之和為14．【分析】首先利用二次根式有意義的條件得到a≤178；然后＜50，列舉出滿足條件的a的整數(shù)值，求和即可．【解答】解：①依據(jù)題意知，50﹣≥0．解得a≤178．因?yàn)閍是正整數(shù)，且使得x為正整數(shù)，所以是正整數(shù)．當(dāng)a＝178時(shí)，＜50，則在1、2、3、…、178中，滿足14的倍數(shù)，即14n（n是正整數(shù)），同時(shí)又能整開方的數(shù)，只有14，即和為14．②故答案是：14．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，二次根式有意義的條件，此題的難點(diǎn)是依據(jù)二次根式有意義的條件求得a的取值范圍，結(jié)合條件確定a的取值．10．（永嘉縣校級(jí)期末）已知x＝+1，y＝﹣1，則x2﹣5xy+y2+6＝7．【分析】依據(jù)已知條件先求出x﹣y和xy的值，再把要求的式子變形為（x﹣y）2﹣3xy+6，然后代值計(jì)算即可．【解答】解：∵x＝+1，y＝﹣1，∴x﹣y＝+1﹣（﹣1）＝2，xy＝1，∴x2﹣5xy+y2+6＝（x﹣y）2﹣3xy+6＝22﹣3+6＝7；故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，用到的學(xué)問點(diǎn)是完全平方公式和平方差公式，關(guān)鍵是對(duì)要求的式子進(jìn)行變形．二．二次根式的應(yīng)用（共8小題）11．（鄢陵縣期末）方程的解為（）A． B． C． D．【分析】?jī)蛇呁瑫r(shí)除以后即可求得方程的解．【解答】解：方程兩邊同時(shí)除以得：x＝＝＝＝＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】考查了二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能夠進(jìn)行分母有理化，難度不大．12．（奉化區(qū)校級(jí)期末）已知max表示取三個(gè)數(shù)中最大的那個(gè)數(shù)，例如：當(dāng)x＝9時(shí)，max＝81．當(dāng)max時(shí)，則x的值為（）A． B． C． D．【分析】干脆利用已知分別分析得出符合題意的答案．【解答】解：當(dāng)max時(shí)，①＝，解得：x＝，此時(shí)＞x＞x2，符合題意；②x2＝，解得：x＝；此時(shí)＞x＞x2，不合題意；③x＝，＞x＞x2，不合題意；故只有x＝時(shí)，max．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了新定義，正確理解題意分類探討是解題關(guān)鍵．13．（錫山區(qū)期末）如圖，從一個(gè)大正方形中裁去面積為8cm2和18cm2的兩個(gè)小正方形，則留下的陰影部分面積和為24cm2．【分析】干脆利用正方形的性質(zhì)得出兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出大正方形的邊長(zhǎng)，即可得出答案．【解答】解：∵兩個(gè)小正方形面積為8cm2和18cm2，∴大正方形邊長(zhǎng)為：+＝2+3＝5（cm），∴大正方形面積為（5）2＝50（cm2），∴留下的陰影部分面積和為：50﹣8﹣18＝24（cm2）．故答案為：24cm2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的應(yīng)用，正確得出大正方形的邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．14．（余姚市期末）如圖，矩形內(nèi)兩個(gè)相鄰正方形的面積分別為9和3，則陰影部分的面積為（）A．8﹣3 B．9﹣3 C．3﹣3 D．3﹣2【分析】依據(jù)有理數(shù)的乘方求出兩個(gè)正方形的面積，然后依據(jù)陰影部分的面積的和為一個(gè)矩形的面積列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵兩個(gè)相鄰的正方形，面積分別為3和9，∴兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為，3，∴陰影部分的面積＝×（3﹣）＝3﹣3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘方，正方形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記概念并求出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．15．（盂縣月考）閱讀與計(jì)算：古希臘的幾何學(xué)家海倫，在他的著作《度量》一書中，給出了下面一個(gè)公式：假如一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記p＝（a+b+c），則三角形的面積為：S△ABC＝（海倫公式），若△ABC中，BC＝4，AC＝5，AB＝6，請(qǐng)利用上面公式求出△ABC的面積．【分析】先求出p，再代入海倫公式中計(jì)算即可．【解答】解：∵BC＝4，AC＝5，AB＝6，∴p＝（4+5+6）＝，∴S＝＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的應(yīng)用，關(guān)鍵是讀懂題意，理解公式的意思．16．（天河區(qū)校級(jí)月考）若矩形的長(zhǎng)a＝，寬b＝．（1）求矩形的面積和周長(zhǎng)；（2）求a2+b2﹣20+2ab的值．【分析】（1）干脆利用二次根式的混合運(yùn)算法則分別計(jì)算得出答案；（2）干脆利用完全平方公式結(jié)合二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：（1）∵矩形的長(zhǎng)a＝，寬b＝．∴矩形的面積為：（+）（﹣）＝6﹣5＝1；矩形的周長(zhǎng)為：2（++﹣）＝4；（2）a2+b2﹣20+2ab＝（a+b）2﹣20＝（++﹣）2﹣20＝（2）2﹣20＝24﹣20＝4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確駕馭相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．17．（永嘉縣校級(jí)期末）解方程：，得x＝．【分析】去分母、移項(xiàng)，據(jù)此求出方程的解是多少即可．【解答】解：去分母得：3x+＝4x，移項(xiàng)得：x＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解一元一次方程的方法和二次根式的乘法，要嫻熟駕馭解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1．18．（烏蘇市期末）矩形相鄰兩邊長(zhǎng)分別為，，則它的周長(zhǎng)是6，面積是4．【分析】利用矩形的周長(zhǎng)和面積計(jì)算公式列式計(jì)算即可．【解答】解：矩形的周長(zhǎng)是2×（+）＝2×（+2）＝6，矩形的面積是×＝4．故答案為：6，4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查二次根式的實(shí)際運(yùn)用，駕馭矩形的周長(zhǎng)和面積計(jì)算方法是解決問題的關(guān)鍵．題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一．選擇題（共6小題）1．（諸暨市月考）將一組數(shù)據(jù)，，3，2，，…，3，按下面的方法進(jìn)行排列：，，3，2，；3，，2，3，；…若2的位置記為（1，4），2的位置記為（2，3），則這組數(shù)中最大的數(shù)的位置記為（）A．（5，2） B．（5，3） C．（6，2） D．（6，5）【分析】依據(jù)題意可以得到每行五個(gè)數(shù)，且根號(hào)里面的數(shù)都是3的倍數(shù)，從而可以得到3所在的位置．【解答】解：由題意可得，每五個(gè)數(shù)為一行，3＝，90÷3＝30，30÷5＝6，故3位于第六行第五個(gè)數(shù)，位置記為（6，5），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的性質(zhì)，駕馭二次根式的性質(zhì)、正確找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（越城區(qū)模擬）已知a＝+，b＝﹣，那么a、b的關(guān)系為（）A．a(chǎn)+b＝ B．a(chǎn)﹣b＝0 C．a(chǎn)b＝1 D．＝2【分析】利用a、b的值分別計(jì)算出它們的和、差和積，然后對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行推斷．【解答】解：∵a＝+，b＝﹣，∴a+b＝2，a﹣b＝2，ab＝3﹣2＝1，＝＝（+）2＝5+2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，確定要先化簡(jiǎn)再代入求值．二次根式運(yùn)算的最終，留意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避開相互干擾．3．（溫州期中）若x＝2﹣，則代數(shù)式x2﹣4x+7的值為（）A．7 B．6 C．﹣6 D．﹣7【分析】先移項(xiàng)得到x﹣2＝﹣，兩邊平方得到x2﹣4x＝﹣1，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：∵x＝2﹣，∴x﹣2＝﹣，∴（x﹣2）2＝3，∴x2﹣4x+4＝3，即x2﹣4x＝﹣1，∴x2﹣4x+7＝﹣1+7＝6．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，確定要先化簡(jiǎn)再代入求值．二次根式運(yùn)算的最終，留意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避開相互干擾．4．（鹿城區(qū)校級(jí)期中）已知a＝3﹣，b＝2+，則代數(shù)式（a2﹣6a+9）（b2﹣4b+4）的值是（）A．20 B．16 C．8 D．4【分析】先將（a2﹣6a+9）（b2﹣4b+4）變形為[（a﹣3）（b﹣2）]2，再將a＝3﹣，b＝2+，代入求值即可．【解答】解：（a2﹣6a+9）（b2﹣4b+4）＝（a﹣3）2（b﹣2）2＝[（a﹣3）（b﹣2）]2當(dāng)a＝3﹣，b＝2+時(shí)，原式＝[（3﹣﹣3）（2+﹣2）]2＝（﹣2）2＝4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，嫻熟運(yùn)用完全平方公式是解題的關(guān)鍵．5．（鎮(zhèn)海區(qū)期末）已知直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為和，則這個(gè)直角三角形的面積為（）A．16 B．8 C．163 D．【分析】干脆利用二次根式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：∵直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為：和，∴這個(gè)直角三角形的面積為：．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的應(yīng)用，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．6．（椒江區(qū)校級(jí)期中）如圖，長(zhǎng)方形內(nèi)有兩個(gè)相鄰的正方形，面積分別為3和9，那么圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【分析】設(shè)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是x、y（x＜y），得出方程x2＝3，y2＝9，求出x＝，y＝3，代入陰影部分的面積是（y﹣x）x求出即可．【解答】解：設(shè)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是x、y（x＜y），則x2＝3，y2＝9，x＝，y＝3，則陰影部分的面積是（y﹣x）x＝（3﹣）×＝3﹣3，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了算術(shù)平方根性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力．二．填空題（共4小題）7．（天臺(tái)縣期末）已知x＝+1，y＝﹣1，則x2﹣y2＝．【分析】先分解因式，再代入比較簡(jiǎn)便．【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×2＝4．【點(diǎn)評(píng)】留意分解因式在代數(shù)式求值中的作用．8．（西湖區(qū)期末）已知a＝﹣2，則+a＝0．【分析】依據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：當(dāng)a＝﹣2時(shí)，原式＝|a|+a＝﹣a+a＝0；故答案為：0【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是嫻熟運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．9．（溫州期中）當(dāng)x＝﹣時(shí)，二次根式的值是2．【分析】把x＝﹣代入已知二次根式，通過開平方求得答案．【解答】解：把x＝﹣代入中，得＝＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值．此題利用代入法求得二次根式的值．10．（奉化區(qū)校級(jí)期中）如圖，長(zhǎng)方形內(nèi)有兩個(gè)相鄰的正方形，面積分別為3和9，那么陰影部分的面積為3﹣3．【分析】設(shè)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是x、y（x＜y），得出方程x2＝4，y2＝9，求出x＝2，y＝3，代入陰影部分的面積是（y﹣x）x求出即可．【解答】解：設(shè)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是x、y（x＜y），則x2＝3，y2＝9，x＝，y＝3，則陰影部分的面積是（y﹣x）x＝（3﹣）×＝3﹣3，故答案為：3﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了算術(shù)平方根性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力．三．解答題（共3小題）11．（越城區(qū)校級(jí)月考）點(diǎn)P（x，y）是平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，點(diǎn)A（1，0）為x軸上的一點(diǎn)．（1）用二次根式表示點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離；（2）當(dāng)x＝4，y＝時(shí)，連接OP、PA，求PA+PO；（3）若點(diǎn)P位于其次象限，且滿足函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝x+1，求+的值．【分析】（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行解答；（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式求得OP、PA，然后求PA+PO；（3）把y＝x+1代入所求的代數(shù)式進(jìn)行解答．【解答】解：（1）點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離：；（2）∵x＝4，y＝，P（x，y），A（1，0），∴P（4，），∴PA＝＝2，PO＝＝3，則PA+PO＝2+3；（3）∵點(diǎn)P位于其次象限，∴x＜0，y＞0，又∵y＝x+1，∴+＝|x|+|y|＝﹣x+y＝﹣x+x+1＝1．即+的值是1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的應(yīng)用．熟記兩點(diǎn)間的距離公式是解題的難點(diǎn)．12．（臨海市期末）計(jì)算：（1）+|﹣|；（2）已知x＝+1，求代數(shù)式x2﹣2x+3的值．【分析】（1）依據(jù)二次根式的性質(zhì)、確定值的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）依據(jù)完全平方公式把原式變形，代入計(jì)算，得到答案．【解答】解：（1）+|﹣|＝2+＝3；（2）當(dāng)x＝+1時(shí)，x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2＝5+2＝7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，駕馭二次根式的性質(zhì)、合并同類二次根式的法則是解題的關(guān)鍵．13．（二道區(qū)期末）有一塊矩形木板，木工接受如圖的方式，在木板上截出兩個(gè)面積分別為18dm2和32dm2的正方形木板．（1）求剩余木料的面積．（2）假如木工想從剩余的木料中截出長(zhǎng)為1.5dm，寬為1dm的長(zhǎng)方形木條，最多能截出2塊這樣的木條．【分析】（1）依據(jù)二次根式的性質(zhì)分別求出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，結(jié)合圖形計(jì)算得到答案；（2）求出3和范圍，依據(jù)題意解答．【解答】解：（1）∵兩個(gè)正方形的面積分別為18dm2和32dm2，∴這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為3dm和4dm，∴剩余木料的面積為（4﹣3）×3＝6（dm2）；（2）4＜3＜4.5，1＜＜2，∴從剩余的木料中截出長(zhǎng)為1.5dm，寬為1dm的長(zhǎng)方形木條，最多能截出2塊這樣的木條，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的應(yīng)用，駕馭二次根式的性質(zhì)、無理數(shù)的估算是解題的關(guān)鍵．題組B實(shí)力提升練一．選擇題（共3小題）1．（鐵東區(qū)期中）如圖，從一個(gè)大正方形中裁去面積為16cm2和24cm2的兩個(gè)小正方形，則余下的面積為（）A．16cm2 B．40cm2 C．8cm2 D．（2+4）cm2【分析】依據(jù)已知部分面積求得相應(yīng)正方形的邊長(zhǎng)，從而得到大正方形的邊長(zhǎng)，易得大正方形的面積，利用分割法求得余下部分的面積．【解答】解：從一個(gè)大正方形中裁去面積為16cm2和24cm2的兩個(gè)小正方形，大正方形的邊長(zhǎng)是+＝4+2，留下部分（即陰影部分）的面積是（4+2）2﹣16﹣24＝16+16+24﹣16﹣24＝16（cm2）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的應(yīng)用，正確求出陰影部分面積是解題關(guān)鍵．2．（永嘉縣期中）把四張形態(tài)大小完全相同的小長(zhǎng)方形卡片（如圖①）不重疊地放在一個(gè)底面為長(zhǎng)方形（長(zhǎng)為cm，寬為4cm）的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．則圖②中兩塊陰影部分的周長(zhǎng)和是（）A．4cm B．16cm C．2（+4）cm D．4（﹣4）cm【分析】依據(jù)題意列出關(guān)系式，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果．【解答】解：設(shè)小長(zhǎng)方形卡片的長(zhǎng)為x，寬為y，依據(jù)題意得：x+2y＝，則圖②中兩塊陰影部分周長(zhǎng)和是2+2（4﹣2y）+2（4﹣x）＝2+4×4﹣4y﹣2x＝2+16﹣2（x+2y）＝2+16﹣2＝16（cm）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，整式的加減運(yùn)算，在解題時(shí)要依據(jù)題意結(jié)合圖形得出答案是解題的關(guān)鍵．3．（寧波自主招生）設(shè)等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，其中a、x、y是三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，則的值是（）A．3 B． C．2 D．【分析】依據(jù)根號(hào)下的數(shù)要是非負(fù)數(shù)，得到a（x﹣a）≥0，a（y﹣a）≥0，x﹣a≥0，a﹣y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a＝0，代入即可求出y＝﹣x，把y＝﹣x代入原式即可求出答案．【解答】解：由于根號(hào)下的數(shù)要是非負(fù)數(shù)，∴a（x﹣a）≥0，a（y﹣a）≥0，x﹣a≥0，a﹣y≥0，a（x﹣a）≥0和x﹣a≥0可以得到a≥0，a（y﹣a）≥0和a﹣y≥0可以得到a≤0，∴a只能等于0，將a＝0代入等式得﹣＝0，∴x＝﹣y，即：y＝﹣x，由于x，y，a是三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，∴x＞0，y＜0．將x＝﹣y代入原式得：原式＝＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)二次根式的化簡(jiǎn)，算術(shù)平方根的非負(fù)性，分式的加減、乘除等學(xué)問點(diǎn)的理解和駕馭，依據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題）4．（永嘉縣校級(jí)期中）若，則＝6．【分析】對(duì)變形，得，因?yàn)楦黜?xiàng)均為非負(fù)數(shù)，故可求得x、y、z的值，代入中即可．【解答】解：依據(jù)題意，，即，得x＝2，y＝6，z＝3；所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及二次根式的化簡(jiǎn)和求值．5．（蕭山區(qū)期末）已知x＝+1，則代數(shù)式x2﹣2x+1的值為2．【分析】依據(jù)x的值和完全平方差公式可以解答本題．【解答】解：∵x＝+1，∴x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＝（+1﹣1）2＝（）2＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式化簡(jiǎn)求值的方法．6．（浙江自主招生）設(shè)a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，則a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝15．【分析】將a﹣b＝2+和b﹣c＝2﹣相加，得到a﹣c＝4，再將a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc轉(zhuǎn)化成關(guān)于a﹣b，b﹣c，a﹣c的完全平方的形式，再將a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣和a﹣c＝4整體代入即可．【解答】解：∵a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，兩式相加得，a﹣c＝4，原式＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝＝＝＝＝＝15．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了對(duì)完全平方公式及整體代入的駕馭狀況，有確定的綜合性，但難度不大．7．（錦江區(qū)校級(jí)期中）若，則m＝3，n＝2．【分析】將已知的等式的左邊被開方數(shù)中的5變形為2+3，依據(jù)平方根的定義將2變?yōu)椋?變?yōu)?，同時(shí)將2化為2??，符合完全平方公式的特點(diǎn)，利用完全平方公式變形后，再利用二次根式的化簡(jiǎn)公式＝|a|化簡(jiǎn)后，依據(jù)大于，利用確定值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，與等式右邊比較，即可求出m與n的值．【解答】解：∵＞，即﹣＞0，∴＝＝＝＝|﹣|＝﹣，又∵＝﹣，則m＝3，n＝2．故答案為：3；2【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，涉及的學(xué)問有：平方根的定義，二次根式的化簡(jiǎn)公式，完全平方公式，以及確定值的代數(shù)意義，其技巧性較強(qiáng)，靈敏變換等式左邊的被開方數(shù)是解本題的關(guān)鍵．8．（紹興期中）求當(dāng)a＝1+，b＝時(shí)，代數(shù)式2a2+b2﹣4a+2的值為12．【分析】原式配方變形后，將已知等式代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：原式＝2（a2﹣2a+1）+b2＝2（a﹣1）2+b2，當(dāng)a＝1+，b＝時(shí)，原式＝10+2＝12，故答案為：12【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，嫻熟駕馭運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．9．（臺(tái)州期中）若a＝3﹣，則a2﹣6a+9的值為7．【分析】將a的值代入a2﹣6a+9＝（a﹣3）2計(jì)算可得．【解答】解：當(dāng)a＝3﹣時(shí)，a2﹣6a+9＝（a﹣3）2＝（3﹣﹣3）2＝（﹣）2＝7，故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是駕馭完全平方公式和二次根數(shù)的運(yùn)算依次及運(yùn)算法則．三．解答題（共6小題）10．（鄞州區(qū)月考）已知a＝．（1）求a2﹣4a+4的值；（2）化簡(jiǎn)并求值：．【分析】（1）先將a化簡(jiǎn)，然后通過配方法將原式化簡(jiǎn)，最終代入a求值．（2）將原式先化簡(jiǎn)，然后代入a的值求解．【解答】解：（1）a＝＝＝2﹣，a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，將a＝2﹣代入（a﹣2）2得（﹣）2＝3．（2），＝﹣＝（a﹣1）﹣，∵a＝2﹣，∴a﹣1＝1﹣＜0，∴原式＝a﹣1+＝2﹣﹣1+2+＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題關(guān)鍵是嫻熟駕馭因式分解與分式化簡(jiǎn)的方法，駕馭分母有理化的方法．11．（仙桃校級(jí)模擬）（1）計(jì)算：．（2）已知x2＝2x+15，求代數(shù)式的值．【分析】（1）依據(jù)算術(shù)平方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、確定值可以解答本題；（2）依據(jù)完全平方公式可以將所求式子化簡(jiǎn)，然后依據(jù)x2＝2x+15，可以得到x的值，然后代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．【解答】解：（1）＝2+9﹣2＝9；（2）＝x2+2x+2﹣（x2﹣2x+2）＝x2+2x+2﹣x2+2x﹣2＝4x，由x2＝2x+15，可得x1＝﹣3，x2＝5，當(dāng)x＝﹣3時(shí)，原式＝﹣12；當(dāng)x＝5時(shí)，原式＝20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值、負(fù)整數(shù)指數(shù)