人教版A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)：第四章綜合測(cè)試（附答案與解析）

第四章綜合測(cè)試

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的）

1.已知集合M={x|W<3},A^={x|log3x<l},則McN等于（）

A.0B.{x|0<x<3}

C.{X|JC<3}D.{x|-3<x<3}

2.下列四個(gè)函數(shù)中，在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞減的是（）

A./'(%)=?B./(%)=-log〕x

2

c./(x)=logjxD./(x)=x3

2

xax

3.函數(shù)y=（0<a<l）的大致圖像是（)

ABCD

4.若a=k>gi664,0=lg0.2,c=2L2,則a,。，c的大小關(guān)系是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<b<cD.b<c<a

5.設(shè)不為1的實(shí)數(shù)a,b,c滿足。>b>c>0,則()

A.log,力>log”bB.log”b>logac

C.ba>bcD.ab>cb

6.若嘉函數(shù)/（x）的圖象過點(diǎn)（3,百），則/（x）+2—%=0的解為（）

A.1B.2C.3D.4

7.已知函數(shù)/(X)=('則/(l+log23)的值為()

/(x+l),x<3,

A.3B.6C.12D.24

8.已知々>0,。>0,且awl力wl,若logq0>l,貝U()

A.(a-l)(/?-l)<0B.(a-l)(a-Z?)>0

C.(b—1)S—a)VOD.(b-r)(b-a)>Q

9?已,知…f(2”-a)x-+3,x<l

是R上單調(diào)遞增函數(shù)，那么a的取值范圍是(

A.(1,2)D.(l,+oo)

4x,x^-

2

10.若函數(shù)/(幻=1082(如：-1)在(-3,-2)上為減函數(shù)，且函數(shù)g(x)=<在R上有最大值，則a的

log|fl|x,x>-

取值范圍為()

11.某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此

基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增加12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬(wàn)元的年份

是(參考數(shù)據(jù)：lg1.12~0.05,1g1.3?0.11,1g2~0.30)()

A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年

12.函數(shù)丁=/(尤)的定義域?yàn)?。，如果滿足：①y=/(x)在。內(nèi)是連續(xù)單調(diào)函數(shù)，②存在團(tuán),切=￡),使

y=f(x)在"上的值域?yàn)?那么就稱為y=f(x)為“半保值函數(shù)”.若函數(shù)/(x)=log/a?2)

(?>0,且awl)是“半保值函數(shù)”，則/的取值范圍為()

A/O3B.C。[[C%)D,1吳)

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上)

13.已知集合M={y|y=l-21,集合N={y|y=lg(/+項(xiàng)，則McN=.

14.設(shè)2*=8v+1,9y=3、-9,則x+y=.

15.設(shè)2。=5"=機(jī)，且上電=2,貝U〃z=.

ab

16.已知對(duì)數(shù)函數(shù)/(%)的圖象過點(diǎn)(4,-2),則不等式/(x-1)-/(x+l)>3的解集為.

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時(shí)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟)

-yrjr

17.［10分］已知KxW4,求函數(shù)/(x)=log2log?］的最大值與最小值.

18.［12分］已知函數(shù)/。)=2工一41

(1)求y=/(x)在［一1,1］上的值域；

(2)解不等式/(無(wú))>16-9x2”；

(3)若關(guān)于x的方程/(X)+m-1=0在上有解，求加的取值范圍.

19.［12分］已知幕函數(shù)/(x)=x〃+刈(meN*).

(1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；

(2)若該函數(shù)圖象還經(jīng)過點(diǎn)(2,a)，試確定相的值，并求滿足條件“2-a)>/(a-1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍.

,,3

20.［12分］已知函數(shù)/(x)=ex-l,g(x)=—+l.

(1)求函數(shù)g(尤)的值域；

(2)求滿足方程“x)-g(x)=0的二的值.

21.[12分]已知函數(shù)/(彳)=史上二，其中a為常數(shù).

21'+1

(1)判斷函數(shù)/(%)的單調(diào)性并證明；

(2)當(dāng)a=l時(shí)，對(duì)于任意xe[-2,2],不等式加+6)+/(_2〃叱)>0恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

l,x>0,

22.[12分]已知g(x)=|o,x=O,f(x)=a園其中a>0且awl,

。同2

—1,x<0,

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)解不等式

(3)若/⑵)+時(shí)⑺+4部對(duì)任意的正實(shí)數(shù)/恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

第四章綜合測(cè)試

答案解析

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】A

【解析】Q/(x)=log2(依—1)在(-3,-2)上為減函數(shù),

a<0且ax-1>0在(-3,-2)上恒成立，:.-2a一120,

2

又g(x)在R上有最大值，且g(x)在上單調(diào)遞增,

0<|?|<1,6

在上單調(diào)遞減，且同

g(x)logg”42=2,|2解得。<向《年,

5》問,2

.?瀉Waco或Ma4.

61

綜上所述，WaW-二故選A.

22

11.【答案】B

【解析】設(shè)2015年后的第〃年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬(wàn)元.由130(1+12%)”>200,得

20

13

32-炮1.3七0.30-0.11

兩邊取對(duì)數(shù)并整理，得“〉=3.8,

lgl.120.05

"24，二從2019年開始該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬(wàn)元.

12.【答案】B

【解析】函數(shù)/(%)=1。8〃(虐+?)(。>0且。*1是“半保值函數(shù)”，且定義域?yàn)镽,當(dāng)。>1時(shí)，z=ax+t2

在R上遞增，了=1。8/在(0,+8)上遞增，可得/(X)為R上的增函數(shù)；當(dāng)0<a<l時(shí)，仍為R上的增

函數(shù).

/(%)在其定義域R內(nèi)為增函數(shù).

Q函數(shù)/(x)=log/a*+?)(40且"1)是"半保值函數(shù)”，

y=log.("+產(chǎn))與y=的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

.,.loga(a*+』)=gx有兩個(gè)不同的根，

]_x1

/W0,優(yōu)+產(chǎn)=[2+.2=0

1

令U=E,U>0,則〃2一〃+?=0有兩個(gè)不同的正數(shù)根，

.?,l-4r2>0,且產(chǎn)>0,解得故選B.

—?,、

13.【答案】[0,1)

14.【答案】27

15.【答案】屈

【解析】因?yàn)?"=5"=加，則。=log2祖力=log5?i,

利用換底公式可得。=型生，b=皿.

1g21g5

因?yàn)?±2=2,即,+1=2,

abba

所以昱+姮=_L=2,所以根=加.

IgmIgmIgm

16.【答案】“，3

【解析】設(shè)/(x)=log”X(a>o且aN1).將點(diǎn)(4,—2)的坐標(biāo)代入得loga4=—2,故a=L則f(x)=log；x.

22

故原不等式可化為logi(x-l)—logi(x+l)>3,

22

x-l>0,

Y-1|x+l>0,解得故原不等式的解集為(1,9

即喝工1>地審所以7

O<-<1,1

X+18

三、

17.【答案】Q/(%)=log2；xlog23=(logzX_2Xk)gzX—l)=(log2X—m]-(，,1.OWlogzXWZ,

3—1

?.^logzx=—,即1=2^=2后時(shí)，/(%)取得最小值-屋當(dāng)logzX=0，即x=l時(shí)，/(1)取得最大值

2.

函數(shù)/(X)的最大值是2,最小值是.

4

2

18.【答案】(1)設(shè)"2。Qxe[-l,l],：.tJ-,2],y=t-t^-(t-^]+L.?.當(dāng)f=，時(shí)，/(x)111ax=L

2I2J42八,E4

當(dāng)f=2時(shí)，/(x)*=-2./(x)的值域?yàn)?2,1

(2)設(shè)f=2,,由/(%)>16-9x2,,得一戶>16-9t,BPt2-lOt+16<0,z.2<f<8,即2<2*<8,/.l<x<3,

不等式的解集為(1,3).

(3)方程有解等價(jià)于函數(shù)y=機(jī)與y=l-/(x)的圖像在內(nèi)有交點(diǎn)，令r=2lQxe-1,1],1,2

；.y=l—/(x)=l+4*—2*=*_.+1=卜_工]+-,其在時(shí)的值域?yàn)椤?,31..?.相的取值范圍為

I2；414」

i3.■

19.【答案】(1)Qm2+m=m(m+l),meN+,根與加+1中必有一個(gè)為偶數(shù)，，加之+根為偶數(shù)，.?.函

]

數(shù)f(x)=Xm2+m(根￡N+)的定義域?yàn)閇0,+co),并且該函數(shù)在其定義域上為增函數(shù).

2]_]

(2)Q函數(shù)/(%)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(2,后)，「.&=2/+陽(yáng)，即2萬(wàn)=2m2+相，.?.m2+加=2,即加？+加一2=0,

...加=1或m=一2.又QMEN+,...加=1.

2-“20,

3

Q/(%)在[0,+oo)上是增函數(shù)，，由/(2-〃)>/(〃-1)得<a一1三0,解得1WQ<3.

2

2—〃>a—1,

故加的值為1,滿足條件/(2-a)>/(a-1)的實(shí)數(shù)a的取值在相1,1

3(1、同

20.【答案】(1)g(%)=—+l=3l-J+1,

因?yàn)閲?guó)20,所以小屋1,

所以0<2JW3,

則l(g(x)W4,故g(x)是值域是(1,4].

3

(2)由/⑴-g(x)=0,得e*-而-2=0,

當(dāng)xWO時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)x>0時(shí)，ex-4-2=0,整理得(ex)2—2ex—3=o,即卜工+1)(/-3)=0.

因?yàn)閑*>0,所以e*=3,即尤=ln3.

21.【答案】(1)函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).

a(2x+U22

證明：函數(shù)/(%)=-------——=a------,任取jq,xeR,且不,則

2X+12A,+12-

:.2X1-2-^<0,2為+1>0,

2超+1>0,二/(玉)—/(々)V0,;./(再)</(々)，.,.函數(shù)/'(x)在R上是增函數(shù).

2X_12T_ii_

(2)由(1)知函數(shù)/(x)在定義域上是增函數(shù),當(dāng)a=1時(shí)，/⑶=-----，則/(-%)=------=-----=-/(%),

2+12一工+11+2工

函數(shù)〃x)是奇函數(shù).

對(duì)于任意工￡[-2,2],不等式/(/+根+6)+/(-2機(jī)爐C恒成立，等價(jià)于對(duì)于任意X￡[-2,2],不等式

/(X2+m+6)>-/(-2mx)=/(2機(jī)人恒成立，即x2+m+6>2nvc在xe[-2,2]時(shí)恒成立，即

x2-2m而留在工￡[—2,2]時(shí)恒成立，g(x)=x2-2mx+m+6,貝Ug(x)min>0即