2015高中數(shù)學 初高中銜接教程 第六講 圓練習 新人教版

第六講圓

一、知識歸納

1、證明四點共圓的方法有：

(1)到一定點的距離相等的點在同一個圓上

(2)同斜邊的直角三角形的各頂點共圓

(3)線段同旁張角相等，則四點共圓。

(4)若一個四邊形的?組對角再互補，那么它的四個頂點共圓

(5)若四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角，那么它的四個頂點共圓

(6)四邊形ABCD對角線相交于點P,若PA?PC=PB-PD,則它的四個頂點共圓

(7)四邊形ABCD的一組對邊AB、DC的延長線交于點P,若PA?PB=PC?PD,則它

的四個頂點共圓。

2、圓幕定理

二、例題講解

例1：如圖，設(shè)AB為圓的直徑，過點A在AB的同側(cè)作弦AP、AQ交B處的切線于R、S,

求證：P、Q、S、R同點共圓。

例2：圓內(nèi)接四邊形ABCD,0為AB上一點，以0為圓心的半圓與BC,CD,DA相切，求

證：AD+BC=AB

例3：如圖，設(shè)A為。0外一點，AB,

AC和00分別切于B,C兩點，APQ為。0

的一條割線，過點B作BR〃AQ交。0于點R,

連結(jié)CR交A0于點M,試證：A,B,C,0,M五點共圓。

例4：如圖，PA切。。于A,割線PBC交00于B,C兩點，D為PC中點，且AD延長線

交。0于點E,又BE?=0E-EA,求證：(1)PA=PD；(2)2BD?=ADDE.

例5：如圖，PA,PB是。0的兩條切線，PEC是?條割線，D是AB與PC的交點，若PE

長為2,CD=1,求DE的長度。

三、課堂練習

1、如圖，已知點P在。。外一點，PS,PT是。。的兩條切線，過點P作。0的割線PAB,

交。0于A,B兩點，并交ST于點C,求證：-=-(—+—)

PC2PAPB

2、如圖，A是。。外一點，AB、AC和。0分別切于點B、C,APQ為。0的一條割線，過

B作BR//AQ交。0于R,連CR交AQ于M

試證：A,B,C,0,M五點共圓。

3、設(shè)。01、。0八。。3兩兩外切，M是。0卜的切點，R、S分別是。0卜。。2與。

0：,的切點，連心線。02交。6于P，。。2于Q，求證：P、Q、R、S四點共圓。

第六講圓

例題講解答案

例1：證明：連PQ、QB內(nèi)四邊形ABQP內(nèi)接于圓

，ZQBA=ZRPQ

又?rSB為切線，AB為直徑

...NABS=NAQB=90°,故NQBA=/QSB

AZRPQ=ZQSB

??.P、Q、S、R四點共圓

例2：解：在AB上截取BE=BC,連結(jié)OC,OD,DE,CE?

.,.ZBEC=-(180°-ZB)

2

VABCD內(nèi)接于圓,

A180°-ZB=ZADC

/BEC=-ZADC

2

又DA,DC為半圓切線，

二-ZADC=ZAD0=Z0DC

2

/.ZBEC=Z0DC,即C、E、0、D四點共圓。

AZAED=Z0CD=-ZBCD=-(180°-ZA),

/.ZADE=180o-ZA-ZAED=180°-ZA--(180°-ZA)=-(180°-ZA)

22

AZADE=ZAED,

例3：解答:連接OB,OC,BC,則OBLAB,0CLAC,

AA,B,0,C四點共圓,VBR//AQ,

/GBR=/BAQ,而NGBR=NBCR,

；.NBAQ=NBCR,即NBAM=NBCM,C四點共圓，但A,B,C三點確定一個圓,

.?.A,B,C,0,M五點共圓。

例4：解：（1）連接AB

RFEA

?：BE2=DEEA,?：—

DEBE

VZE=ZF

，ABDE^AABE,，ZDBE=ZBAD

：PA切。0于點A,AZE=ZPAB

，ZDBE+ZE=ZBAD+ZPAB

.\ZPAD=ZBDA,PD=PA

(2)：PA切。0于點A,APA2=PBPC

為PC中點，；.PC=2PD,：PD=PA,

PD2^PB-2PD,.,.DP=2PB,

；.B為PD中點，DC=2BD,:.AD?DE=BD-DC=BD2BD=2BD?

例5：解答：連PO交AB于H,設(shè)DE=x,則”2=PE/C=2(X+3),

在Rt^APH中，AP2^AH2+PH2

：.AH2+PH2^2(x+3)①

在Rt^PHD中，PH2+DH2^(x+2)2②

由相交弦定理，知=

而=+?！?=