2015年北京市中考數(shù)學(xué)試卷

2015年北京市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共30分，每小題3分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有

一?個(gè).是符合題意的）

1.截止到2015年6月1日，北京市已建成34個(gè)地下調(diào)蓄設(shè)施，蓄水能力達(dá)到140000立

方米，將140000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.14X104B.1.4X105C.1.4X106D.14X106

2.實(shí)數(shù)a,b,c,d在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，這四個(gè)數(shù)中，絕對值最大的是

（）

abed

??----------------->-?~~?——

-4-3-7-101234

A.aB.bC.cD.d

3.一個(gè)不透明的盒子中裝有3個(gè)紅球，2個(gè)黃球和1個(gè)綠球，這些球除了顏色外無其他

差別，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，恰好是黃球的概率為（）

4.剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，下列剪紙作品中，是軸對稱圖形的為（）

如圖，直線%交于一點(diǎn)，直線〃〃小若/。，則父的度

5.k,12,1=124°,42=883

A.26°B.36°C.46°D.56°

6.如圖，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)。被湖隔開.若測得4M的長為

1.2km,則M,C兩點(diǎn)間的距離為()

A.0.5fcmB.0.6kmC.0.9fcmD.1.2fcm

7.某市6月份日平均氣溫統(tǒng)計(jì)如圖所示，則在日平均氣溫這組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)

分別是()

8.如圖是利用平面直角坐標(biāo)系畫出的故宮博物院的主要建筑分布圖，若這個(gè)坐標(biāo)系分

別以正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸的正方向，表示太和門的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-1),表示九

龍壁的點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,1),則表示下列宮殿的點(diǎn)的坐標(biāo)正確的是()

A.景仁宮(4,2)B.養(yǎng)心殿(―2,3)

C.保和殿(1,0)。武英殿(一3.5,—4)

試卷第2頁，總15頁

9.一家游泳館的游泳收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為30元/次，若購買會員年卡，可享受如下優(yōu)惠:

會員年卡類型辦卡費(fèi)用（元）每次游泳收費(fèi)（元）

4類5025

B類20020

C類40015

例如，購買4類會員年卡，一年內(nèi)游泳20次，消費(fèi)50+25x20=550元，若一年內(nèi)在

該游泳館游泳的次數(shù)介于45~55次之間，則最省錢的方式為（）

A.購買4類會員年卡B.購買B類會員年卡

C.購買C類會員年卡D.不購買會員年卡

10.一個(gè)尋寶游戲的尋寶通道如圖1所示，通道由在同一平面內(nèi)的AB,BC,CA,OA,

OB,OC組成.為記錄尋寶者的行進(jìn)路線，在BC的中點(diǎn)M處放置了一臺定位儀器.設(shè)

尋寶者行進(jìn)的時(shí)間為x，尋寶者與定位儀器之間的距離為y,若尋寶者勻速行進(jìn)，且表

示y與4的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，則尋寶者的行進(jìn)路線可能為（）

圖1圖2

A.i4t0tBB.8t4一＞CC.B0CD.CtBt0

二、填填空題（本題共18分，每小題3分））

11.分解因式：5x3-10%2+5%=

12.如圖是由射線AB,BC,CD,DE,E4組成的平面圖形，則41+42+43+44+

45=.

13.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框

架.它的代數(shù)成就主要包括開方術(shù)、正負(fù)術(shù)和方程術(shù).其中，方程術(shù)是《九章算術(shù)》

最高的數(shù)學(xué)成就.

《九章算術(shù)》中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩.問：牛、

羊各直金幾何？"譯文："假設(shè)有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8

兩.問：每頭牛、每只羊各值金多少兩？"設(shè)每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩，可列方

程組為.

14.關(guān)于x的一元二次方程ad+法+；=。有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，寫出一組滿足條件的

4

實(shí)數(shù)a,b的值：a=,b=.

15.北京市2009-2014年軌道交通日均客運(yùn)量統(tǒng)計(jì)如圖所示.根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中提供的信

息，預(yù)估2015年北京市軌道交通日均客運(yùn)量約萬人次，你的預(yù)估理由是

日均客運(yùn)量萬人次

16.閱讀下面材料：

在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：

尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線.

己知：級段.45.

a,B

小蕓的作法如下：

試卷第4頁，總15頁

老師說："小蕓的作法正確.”

請回答：小蕓的作圖依據(jù)是

三、解答題（本題共72分，第17-26題，每小題5分，第27題7分，第28題7

分，第29題8分）解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.）

17.計(jì)算：(^)-2-(7T-V7)0+|V3-21+4sin60°.

18.已知2a2+3a—6=0.求代數(shù)式3a(2a+1)—(2a+l)(2a—1)的值.

f4（x+1）W7x+10

19.解不等式組,_5<-'并寫出它的所有非負(fù)整數(shù)解.

20.如圖，在△力BC中，AB=AC,4。是BC邊上的中線，BE1AC于點(diǎn)E.求證:

Z-CBE—/-BAD.

21.為解決"最后一公里”的交通接駁問題，北京市投放了大量公租自行車供市民使

用.到2013年底，全市已有公租自行車25000輛，租賃點(diǎn)600個(gè).預(yù)計(jì)到2015年底，

全市將有公租自行車50000輛，并且平均每個(gè)租賃點(diǎn)的公租自行車數(shù)量是2013年底平

均每個(gè)租賃點(diǎn)的公租自行車數(shù)量的1.2倍.預(yù)計(jì)到2015年底，全市將有租賃點(diǎn)多少個(gè)?

22.在EL4BCD中，過點(diǎn)。作DEJ.4B于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊CD上，DF=BE,連接AF,BF.

（1）求證：四邊形BFDE是矩形；

(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求證：4戶平分4D2B.

23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+b(k>0)與雙曲線y=:的一個(gè)交點(diǎn)為

P(2,m),與x軸、y軸分別交于點(diǎn)4B.

(1)求m的值；

(2)若P4=24B,求k的值.

24.如圖，AB是。。的直徑，過點(diǎn)B作。。的切線BM,肱CD“BM,交AB于點(diǎn)F,且

DA=DC,連接AC,AD,延長力。交BM于點(diǎn)E.

(1)求證：△ACC是等邊三角形;

(2)連接0E,若DE=2,求0E的長.

25.閱讀下列材料：

2015年清明小長假，北京市屬公園開展以"清明踏青，春色滿園”為主題的游園活動(dòng)，

雖然氣溫小幅走低，但游客踏青賞花的熱情很高，市屬公園游客接待量約為190萬人

次.其中，玉淵潭公園的櫻花、北京植物園的桃花受到了游客的熱捧，兩公園的游客

接待量分別為38萬人次、21.75萬人次；頤和園、天壇公園、北海公園因皇家園林的厚

重文化底蘊(yùn)與滿園春色成為游客的重要目的地，游客接待量分別為26萬人次、20萬人

次、17.6萬人次：北京動(dòng)物園游客接待量為18萬人次，熊貓館的游客密集度較高.

2014年清明小長假，天氣晴好，北京市屬公園游客接待量約為200萬人次，其中，玉

淵潭公園游客接待量比2013年清明小長假增長了25%；頤和園游客接待量為26.2萬人

次，比2013年清明小長假增加了4.6萬人次；北京動(dòng)物園游客接待量為22萬人次.

2013年清明小長假，玉淵潭公園、陶然亭公園、北京動(dòng)物園游客接待量分別為32萬人

次、13萬人次、14.9萬人次.

根據(jù)以上材料解答下列問題：

(1)2014年清明小長假，玉淵潭公園游客接待量為萬人次；

試卷第6頁，總15頁

(2)選擇統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖,將2013—2015年清明小長假玉淵潭公園、頤和園和北京

動(dòng)物園的游客接待量表示出來.

26.有這樣一個(gè)問題：探究函數(shù)y=的圖象與性質(zhì).

小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)y=的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究.

下面是小東的探究過程，請補(bǔ)充完整：

(1)函數(shù)y=+?的自變量x的取值范圍是；

(2)下表是y與x的幾組對應(yīng)值.

X.??-3-2-11111123???

~2-332

y???25311553551735m???

62~281818822

求m的值;

(3)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn).根據(jù)描

出的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象；

(4)進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的最低點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,|),結(jié)合函數(shù)的

圖象，寫出該函數(shù)的其它性質(zhì)(一條即可).

27.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)(0,2)且平行于x軸的直線，與直線y=x-l交于點(diǎn)

4點(diǎn)4關(guān)于直線％=1的對稱點(diǎn)為拋物線Cfy=/+b%+c經(jīng)過點(diǎn)4,

（1）求點(diǎn)a,B的坐標(biāo)；

（2）求拋物線G的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）若拋物線C2：y=ax2（a￥0）與線段4B恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求a的

取值范圍.

28.在正方形中，BD是一條對角線，點(diǎn)P在射線CD上（與點(diǎn)C、。不重合），連接

AP,平移AADP,使點(diǎn)。移動(dòng)到點(diǎn)C,得到ABCQ,過點(diǎn)Q作QH1BD于H,連接4H,

PH.

（1）若點(diǎn)P在線段C。上，如圖1.

①依題意補(bǔ)全圖1;

②判斷與PH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明；

（2）若點(diǎn)P在線段CO的延長線上，且乙4HQ=152。，正方形4BCD的邊長為1,請寫出

求DP長的思路.（可以不寫出計(jì)算結(jié)果）

29.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，0c的半徑為r,P是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OC

的反稱點(diǎn)的定義如下：若在射線CP上存在一點(diǎn)P',滿足CP+CP'=2r,則稱P'為點(diǎn)P

關(guān)于0C的反稱點(diǎn)，如圖為點(diǎn)P及其關(guān)于。C的反稱點(diǎn)P'的示意圖.

試卷第8頁，總15頁

特別地,當(dāng)點(diǎn)P'與圓心C重合時(shí),規(guī)定CP'=0.

(1)當(dāng)。。的半徑為1時(shí).

①分別判斷點(diǎn)M(2,1),N(|,0),7(1,遮)關(guān)于。。的反稱點(diǎn)是否存在？若存在，求其

坐標(biāo)；

②點(diǎn)P在直線y=-x+2上，若點(diǎn)P關(guān)于0。的反稱點(diǎn)P'存在，且點(diǎn)P'不在%軸上，求

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍；

(2)0c的圓心在%軸上，半徑為1,直線y=-與x+2遮與x軸、y軸分別交于點(diǎn)4,

B,若線段上存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P關(guān)于OC的反稱點(diǎn)P在OC的內(nèi)部，求圓心C的橫坐

標(biāo)的取值范圍.

參考答案與試題解析

2015年北京市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題(本題共30分，每小題3分)下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有

一.個(gè).是符合題意的

1.B

2.A

3.B

4.D

5.B

6.D

7.C

8.B

9.C

10.C

二、填填空題(本題共18分，每小題3分)

11.5x(%—1)2

12.360°

(5x+2y=10,

(2%4-5y=8.

14.4,2

15.980,因?yàn)?012-2013年發(fā)生數(shù)據(jù)突變，故參照2013-2014增長進(jìn)行估算.

16.到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，兩點(diǎn)確定一條直線.

三、解答題(本題共72分，第17-26題，每小題5分，第27題7分，第28題7

分，第29題8分)解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.解：原式=4-1+2一b+4義?

=5+V3.

18.2a2+3a—6=0,BP2a24-3a=6,

原式=6M+3a-4a2+l=2a2+3a+1=6+1=7.

(4(%+1)<7%+10①

19.解：|刀一5<瞪②，

由①得：x>-2；

由②得：x<1,

不等式組的解集為一2Wx

則不等式組的所有非負(fù)整數(shù)解為：0,1,2,3.

20.證明：AB=AC,/W是BC邊上的中線，BE1AC,

乙CBE+Z.C—Z-CAD+Z.C=90°,Z.CAD=Z-BAD,

乙CBE=cBAD.

21.到2015年底，全市將有租賃點(diǎn)1000個(gè).

22.證明：四邊形力BCD是平行四邊形，

AB//CD.

■：BE"DF,BE=DF,

試卷第10頁，總15頁

???四邊形BFDE是平行四邊形.

?/DELAB,

4DEB=90°,

???四邊形BFDE是矩形；

?「四邊形4BCD是平行四邊形，

AB//DC,

「?Z-DFA=Z.FAB.

在中，由勾股定理，得

BC=y/FC24-FB2=V32+42=5,

.?.AD=BC=DF=5,

Z.DAF—Z.DFA9

..Z.DAF=Z.FAB9

即4F平分匕ZMB.

23.解：(I)：y=g經(jīng)過P(2,zn),

.e.2m=8,解得：m=4.

(2)-/點(diǎn)P(2,4)在y=kx+b上，

4=2k+b,

6=4-2fc,

,/直線)/=心:+以憶＞0)與不軸、'軸分別交于點(diǎn)4B,

4(2-%0),B(0,4-2k),

如圖，點(diǎn)4在x軸負(fù)半軸，點(diǎn);8在y軸正半軸時(shí)，

AB=PB,貝IJ04=OC,

22解得

7k-='k=l;

當(dāng)點(diǎn)4在不軸正半軸，點(diǎn)8在y軸負(fù)半軸時(shí),

23

解得，fc=3.

k=1或k=3.

24.(1)證明：?「AB是。。的直徑，BM是00的切線,

AB1BE,

,/CD“BE,

「?CDLAB,

：.AD=AC9

???DA=DC,

AD=AC=CD,

AD=AC=CD,

.1?△4CD是等邊三角形；

(2)解：連接。E,過。作。NJ.4D于N,

由(1)知，AAC。是等邊三角形，

Z.DAC=60°.

?/AD=AC,CD1AB,

Z.DAB=30",

BE=-AE,ON=-AO,

22

設(shè)O。的半徑為：r,

ON=-r,AN=DN=—r,

22

..V31V3r+2

.?EN=n2H—r,BDEC=-AE=-------

222

在RtANEO與RtABEO中,

OE2=ON2+NE2=OB2+BE2,

即鏟+Q+務(wù))2=/+(等)2,

r=2V5,

OE2=(V3)2+25=28,

OE=2A/7.

25.40

26.xW0

(2)令％=3,

m=——.

6

(3)由題意得，如圖所示，即為所作.

試卷第12頁，總15頁

該函數(shù)沒有最大值

27.解：(1)當(dāng)y=2時(shí)，則2=x-l,

解得：%=3,

4(3,2),

???點(diǎn)A關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)為B,

8(-1,2).

(2)把(3,2),(-2,2)代入拋物線。1：丫=/+取+(：得：

[2=9+3b+c

(2=1-匕+c

解得：?二?

lc=-1

y=%2—2%—1.

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,一2).

解得：a=l，

代入B(-1,2),則a(-1)2=2,

解得：a=2,

-<a<2

9

28.解：(1)①如圖1；

②如圖1,連接CH,

四邊形4BCD是正方形，QH上BD,

：.ZHDQ=45°,

「?是等腰直角三角形.

???DP=CQ,

在AHDP與AHQC中.

DH=QH

Z.HDP=乙HQC,

DP=QC

AHDP主△〃QC(SZS),

PH=CH,乙HPC=cHCP.

BD是正方形4BCD的對稱軸，

AH=CH,Z,DAH=Z.HCP,

^LAHP=180°-^ADP=