冪函數(shù)與二次函數(shù)專項(xiàng)訓(xùn)練- 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

冪函數(shù)與二次函數(shù)一、單項(xiàng)選擇題1．如圖，函數(shù)y＝1x，y＝x，y＝1的圖象和直線x＝1將平面直角坐標(biāo)系的第一象限分成八個(gè)部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過的部分是④⑧，則f(xA．y＝x2 B．y＝1C．y＝x12 D．y＝2．若函數(shù)y＝x2－3x＋4的定義域?yàn)閇0，m]，值域?yàn)?4，A．(0，4] B．3C．32，33．若函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－3，0) B．(－∞，－3]C．[－2，0] D．[－3，0]4．當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則m的取值范圍是()A．(－∞，4] B．(－∞，－5)C．(－∞，－5] D．(－5，－4)5．已知二次函數(shù)f(x)，對任意的x∈R，都有f(2x)＜2f(x)，則f(x)的圖象可能是()ABCD6．在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測量分別得到x1，x2，…，xn共n個(gè)數(shù)據(jù)．我們規(guī)定所測量物理量的“最佳近似值”a應(yīng)該滿足與所有測量數(shù)據(jù)的差的平方和最?。纱艘?guī)定，從這些數(shù)據(jù)得出的“最佳近似值”a應(yīng)是()A．n B．nC．n D．n二、多項(xiàng)選擇題7．若函數(shù)f(x)＝x13，且x1＜x2，則(A．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0B．x1－f(x1)＞x2－f(x2)C．f(x1)－x2＜f(x2)－x1D．fx1+f8．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x－3，若對任意的x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，fx1?fA．－2 B．－1C．1 D．2三、填空題9．冪函數(shù)f(x)＝xα(α∈R)滿足：任意x∈R都有f(－x)＝f(x)，且f(－1)＜f(2)＜2．請寫出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)f(x)＝________．10．(2024·河北唐山開灤二中模擬)若函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間[1，2]上有最大值4，則a的值為________．四、解答題11．在①f(4)＝－1，f(3)＝2，②當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得最大值3，③f(x＋2)＝f(2－x)，f(0)＝－1這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答．問題：已知函數(shù)f(x)＝－x2－2ax＋b，且________．(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在[m，n](m＜n)上的值域?yàn)閇3m－2，3n－2]，求m＋n的值．12．已知f(x)＝ax2－2x＋1.(1)若f(x)在[0，1]上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若x∈[0，1]，求f(x)的最小值g(a)．13．俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫是研究直線逼近函數(shù)理論的先驅(qū)．對定義在非空集合I上的函數(shù)f(x)，以及函數(shù)g(x)＝kx＋b(k，b∈R)，切比雪夫?qū)⒑瘮?shù)y＝|f(x)－g(x)|，x∈I的最大值稱為函數(shù)f(x)與g(x)的“偏差”．(1)若f(x)＝x2(x∈[0，1])，g(x)＝－x－1，求函數(shù)f(x)與g(x)的“偏差”；(2)若f(x)＝x2(x∈[－1，1])，g(x)＝x＋b，求實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)f(x)與g(x)的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值．參考答案1．B[因?yàn)楹瘮?shù)y＝xα的圖象過④⑧部分，所以函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，所以α<0．又易知當(dāng)x＝2時(shí)，12＜y2．C[y＝x2－3x＋4＝x?322＋74的定義域?yàn)閇0，m]，顯然，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，又值域?yàn)?4，43．D[當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－3x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，滿足題意；當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)圖象的對稱軸為x＝3?a2a，由f(x)在區(qū)間[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，知解得－3≤a<0．綜上，a的取值范圍為[－3，0].]4．C[令f(x)＝x2＋mx＋4，∵當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，f(x)<0恒成立，∴f1≤0，f2≤05．A[二次函數(shù)f(x)，對任意的x∈R，有f(2x)＜2f(x)，令x＝0得，f(0)＜2f(0)，即f(0)＞0，故CD都不可能，對于B，二次函數(shù)圖象的對稱軸方程為x＝－b2a，由圖象可知f?b2a＜0，設(shè)f(x)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為x1，x2，且0＜x1＜x2，則x1＋x2＝－ba＞0，所以0＜x1＜－b2a＜x2＜－ba，所以f?ba＞0，當(dāng)x＝－b2a時(shí)，f故選A.]6．A[根據(jù)題意得f(a)＝(a－x1)2＋(a－x2)2＋…＋(a－xn)2＝na2?2x1+x2+…+xna+x12+…+7．AC[由冪函數(shù)的性質(zhì)知，f(x)＝x13在因?yàn)閤1＜x2，所以f(x1)＜f(x2)，即x1－x2＜0，f(x1)－f(x2)＜0，所以(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0.故A正確；令x1＝0，x2＝1，則0－f(0)＝1－f(1)＝0，故B錯(cuò)誤；令g(x)＝f(x)＋x＝x13＋由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)知，f(x)＝x13在R上單調(diào)遞增，y＝x在所以y＝f(x)＋x＝x13＋x在因?yàn)閤1＜x2，所以g(x1)＜g(x2)，即f(x1)＋x1＜f(x2)＋x2，于是有f(x1)－x2＜f(x2)－x1，故C正確；令x1＝－1，x2＝1，則x1所以f1+f8．AB[不妨設(shè)1≤x1＜x2，則x1－x2＜0，根據(jù)題意，可得f(x1)－f(x2)＞3(x1－x2)恒成立，即f(x1)－3x1＞f(x2)－3x2恒成立，令g(x)＝f(x)－3x＝ax2－2x－3，則g(x1)＞g(x2)恒成立，所以函數(shù)g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減．當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝－2x－3在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，要使g(x)＝ax2－2x－3在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，則a＜0，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，0].故選AB.]9．x23(答案不唯一)[取f(x)＝x23，則定義域?yàn)镽，且f(－x)＝(－x)23＝x23＝f(x)，f(－1)＝1，f(2)＝210．38[f(x)＝a(x＋1)2＋1－a①當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上的值為常數(shù)1，不符合題意，舍去．②當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，最大值為f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝38③當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，最大值為f(1)＝3a＋1＝4，解得a＝1，不符合題意，舍去．綜上可知，a的值為3811．解：(1)若選①，由題意可得f解得a＝－2，b＝－1，故f(x)＝－x2＋4x－1.若選②，由題意可得?a解得a＝－2，b＝－1，故f(x)＝－x2＋4x－1.若選③，因?yàn)閒(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)圖象的對稱軸方程為x＝2，則－a＝2，即a＝－2，因?yàn)閒(0)＝－1，所以b＝－1，故f(x)＝－x2＋4x－1.(2)因?yàn)閒(x)＝－x2＋4x－1在R上的值域?yàn)?－∞，3]，所以3n－2≤3，即n≤53因?yàn)閒(x)圖象的對稱軸方程為x＝2，且n≤53所以f(x)在[m，n]上單調(diào)遞增，則f整理得n2－m2＋m－n＝0，即(n－m)(n＋m－1)＝0，因?yàn)閚－m≠0，所以n＋m－1＝0，即n＋m＝1.12．解：(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－2x＋1單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)圖象的對稱軸為x＝1a，且1∴1a≥1，即0<a≤當(dāng)a<0時(shí)，f(x)圖象的對稱軸為x＝1a且1∴a<0符合題意．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1].(2)①當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－2x＋1在[0，1]上單調(diào)遞減，∴f(x)min＝f(1)＝－1.②當(dāng)a>0時(shí)，f(x)＝ax2－2x＋1的圖象開口方向向上，且對稱軸為x＝1a(ⅰ)當(dāng)1a<1，即a>1時(shí)，f(x)＝ax2－2x∴f(x)在0，1a∴f(x)min＝f1a＝1a?(ⅱ)當(dāng)1a≥1，即0<a≤1時(shí)，f(x∴f(x)min＝f(1)＝a－1.③當(dāng)a<0時(shí)，f(x)＝ax2－2x＋1的圖象開口方向向下，且對稱軸x＝1a<0，在y∴f(x)＝ax2－2x＋1在[0，1]上單調(diào)遞減．∴f(x)min＝f(1)＝a－1.綜上所述，g(a)＝a?113．解：(1)y＝|f(x)－g(x)|＝|x2＋x＋1|＝x+122+34＝x+由二次函數(shù)的性質(zhì)可得y＝x+122故函數(shù)f(x)與g(x)的“偏差”為3.(2)令t(x)＝f(x)－g(x)＝x2－x－b＝x?122－b－14因?yàn)閠(－1)＝2－b，t12＝－b－14，t(1)＝－令h(x)＝|t(x)|＝x?122?b?因?yàn)閤∈[－1，1]，x－12∈?32當(dāng)－b－14＝0，即b＝－14時(shí)，此時(shí)x?122－則h(x)＝x?122?b?14的“偏差”當(dāng)－b－14＞0，即b＜－14時(shí)，此時(shí)x?122則h(x)＝x?122?b?14的“偏差”當(dāng)－b－14＜0，t(－1)＝2－b＞0且b＋14＜2－b，即－14＜b則h(x)＝x?122?b?14的“偏差”為2－b當(dāng)－b－14＜0，t(－1)＝2－b＞0且b＋