高一數(shù)學(xué)新教材同步配套教學(xué)講義(人教A版必修第二冊)10.1隨機(jī)事件與概率(原卷版+解析)

10.1隨機(jī)事件與概率【知識點梳理】1．隨機(jī)試驗我們把對隨機(jī)現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機(jī)試驗(randomexperiment)，簡稱試驗，常用字母E表示．2．隨機(jī)試驗的特點(1)試驗可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果．3．樣本空間我們把隨機(jī)試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間(samplespace)．一般地，我們用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點．在本書中，我們只討論Ω為有限集的情況．如果一個隨機(jī)試驗有n個可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間.4．隨機(jī)事件一般地，隨機(jī)試驗中的每個隨機(jī)事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示．為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件(randomevent)，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件(elementaryevent)．隨機(jī)事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.5．必然事件，不可能事件在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件．而空集?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱?為不可能事件．6.事件的關(guān)系與運算定義表示法圖示事件的運算包含關(guān)系一般地，對于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)并事件若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A+B)交事件若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥關(guān)系若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥若A∩B＝?，則A與B互斥對立關(guān)系若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件，可記為B＝A或A＝B若A∩B＝?，A∪B＝U，則A與B對立探究1(1)并事件、交事件和集合的并集、交集意義一樣嗎？(2)互斥事件和對立事件的關(guān)系是怎樣的？答案(1)并事件、交事件和集合的并集、交集的意義一樣．(2)互斥事件包括對立事件，即對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件.探究2從運算的含義總結(jié)事件的關(guān)系或運算？事件的關(guān)系或運算含義符號表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B并事件(和事件)A與B至少一個發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A∩B＝?互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生A∩B＝?，A∪B＝Ω7.概率對隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率(probability)，事件A的概率用P(A)表示．8.古典概型（1）古典概型考察這些試驗的共同特征，就是要看它們的樣本點及樣本空間有哪些共性．可以發(fā)現(xiàn)，它們具有如下共同特征：①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型(classicalmodelsofprobability)，簡稱古典概型．（2）概率公式一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù)．9.概率的基本性質(zhì)一般地，概率有如下性質(zhì)：性質(zhì)1：對任意的事件A，都有P(A)≥0.性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)．性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．【典型例題】題型一樣本空間例1．(2023·湖南·高一課時練習(xí)）在0，1，2，…，9這10個數(shù)字中任意選取一個，寫出試驗的樣本點和樣本空間.解題技巧（寫樣本空間的注意事項）在寫試驗結(jié)果時，一般采用列舉法寫出，必須首先明確事件發(fā)生的條件，根據(jù)日常生活經(jīng)驗，按一定次序列舉，才能保證所列結(jié)果沒有重復(fù)，也沒有遺漏．例2．(2023·湖南·高一課時練習(xí)）拋擲一枚骰子和一枚硬幣，寫出樣本空間.例3．(2023·全國·高一）已知集合，，從兩個集合中各取一個元素構(gòu)成點的坐標(biāo)．(1)寫出這個試驗的樣本空間；(2)求這個試驗樣本點的總數(shù)；(3)寫出“得到的點是第一象限內(nèi)的點”這一事件所包含的樣本點；(4)說出事件所表示的實際意義．題型二必然事件、不可能事件與隨機(jī)事件的判斷例4．（2023·全國·高一課時練習(xí)）指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件．(1)中國體操運動員將在下屆奧運會上獲得全能冠軍．(2)出租車司機(jī)小李駕車通過幾個十字路口都將遇到綠燈．(3)若x∈R，則x2＋1≥1.(4)拋一枚骰子兩次，朝上面的數(shù)字之和小于2.解題技巧：(判斷事件類型的步驟)要判定事件是何種事件，首先要看清條件，因為三種事件都是相對于一定條件而言的，第二步再看它是一定發(fā)生，還是不一定發(fā)生，還是一定不發(fā)生，一定發(fā)生的是必然事件，不一定發(fā)生的是隨機(jī)事件，一定不發(fā)生的是不可能事件．例5．（2023·全國·高一課時練習(xí)）指出下列事件中，哪些是隨機(jī)事件?必然事件或不可能事件：(1)任取3條線段，這3條線段恰好能組成直角三角形；(2)任取1個正方體的3個頂點，這3個頂點不共面；(3)從1個三角形的3個頂點處各任畫1條射線，這3條射線交于一點；(4)把9寫成兩個實數(shù)的和，其中一定有1個數(shù)小于5；(5)實數(shù)a，b不都為0，但；(6)汽車排放尾氣會污染環(huán)境；(7)明天早晨有霧；(8)明年7月28日的最高氣溫高于今年8月10日的最高氣溫.例6．（2023·全國·高一課時練習(xí)）某轉(zhuǎn)盤被平均分成10份（如圖所示）.轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字.問題（1）設(shè)事件“轉(zhuǎn)出的數(shù)字是5”，事件A是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件？（2）設(shè)事件“轉(zhuǎn)出的數(shù)字是0”，事件B是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件？（3）設(shè)事件“轉(zhuǎn)出的數(shù)字x滿足，”，事件C是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件？題型三事件關(guān)系的判斷例7．(2023·湖北·一模）從裝有2個紅球和2個黑球的袋子內(nèi)任取2個球，下列選項中是互斥而不對立的兩個事件的是（

）A．“至少有1個紅球”與“都是黑球”B．“恰好有1個紅球”與“恰好有1個黑球”C．“至少有1個黑球”與“至少有1個紅球”D．“都是紅球”與“都是黑球”解題技巧（事件關(guān)系的判斷方法）(1)兩個事件是互斥事件還是對立事件，要根據(jù)互斥事件與對立事件的定義來判斷，互斥事件是在任何一次試驗中不能同時發(fā)生的兩個事件，對立事件除要求兩個事件互斥外，還要求在一次試驗中必有一個事件發(fā)生．(2)對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件．例8．（2023·全國·高一課時練習(xí)）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：=“點數(shù)為i”，其中；=“點數(shù)不大于2”，=“點數(shù)大于2”，=“點數(shù)大于4”；E=“點數(shù)為奇數(shù)”，F(xiàn)=“點數(shù)為偶數(shù)”.判斷下列結(jié)論是否正確.（1）與互斥；（2），為對立事件；（3）；（4）；（5），；（6）；（7）；（8）E，F(xiàn)為對立事件；（9）；（10）例9．（2023·全國·高一課時練習(xí)）如圖是某班級50名學(xué)生訂閱數(shù)學(xué)、語文、英語學(xué)習(xí)資料的情況，其中A表示訂閱數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料的學(xué)生，B表示訂閱語文學(xué)習(xí)資料的學(xué)生，C表示訂閱英語學(xué)習(xí)資料的學(xué)生．(1)從這個班任意選擇一名學(xué)生，用自然語言描述1，4，5，8各區(qū)域所代表的事件；(2)用A，B，C表示下列事件：①至少訂閱一種學(xué)習(xí)資料；②恰好訂閱一種學(xué)習(xí)資料；③沒有訂閱任何學(xué)習(xí)資料.題型四事件的運算例10．（2023·全國·高一課時練習(xí)）1.拋擲相同硬幣3次，記“至少有一次正面向上”為事件A，“一次正面向上，兩次反面向上”為事件B，“兩次正面向上，一次反面向上”為事件C，“至少一次反面向上”為事件D，“3次都正面向上”為事件E.(1)試判斷事件A與事件B，C，E的關(guān)系；(2)試求AD，B+C所包含的樣本點，并判斷AD與B+C的關(guān)系.解題技巧：(事件運算的規(guī)律)(1)利用事件間運算的定義，列出同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運算．(2)利用Venn圖，借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，并進(jìn)行運算．例11．（2023·全國·高一課時練習(xí)）盒子里有6個紅球，4個白球，現(xiàn)從中任取3個球.設(shè)事件“1個紅球和2個白球”，事件“2個紅球和1個白球”，事件“至少有1個紅球”，事件“既有紅球又有白球”，則：（1）事件與事件是什么關(guān)系？（2）事件與事件的交事件與事件是什么關(guān)系？例12．（2023·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)A，B，C表示三個隨機(jī)事件，試將下列事件用A，B，C表示出來.（1）三個事件都發(fā)生；（2）三個事件至少有一個發(fā)生；（3）A發(fā)生，B，C不發(fā)生；（4）A，B都發(fā)生，C不發(fā)生；（5）A，B至少有一個發(fā)生，C不發(fā)生；（6）A，B，C中恰好有兩個發(fā)生.題型五簡單古典概型的計算例13．(2023·云南師大附中高三階段練習(xí)（文））中國古樂中的五音，一般指五聲音階，依次為宮、商、角、徵、羽．若從這五個音階中任取三個音階，排成含有三個音階的一個音序，則這個音序中不含“商”這個音階的概率為(

)A． B． C． D．解題技巧（求古典概型的一般步驟）(1) 明確實驗的條件及要觀察的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆枺ㄗ帜?數(shù)字/數(shù)組等）表示實驗的可能結(jié)果（可借助圖表）；(2) 根據(jù)實際問題情景判斷樣本點的等可能性；(3) 計算樣本點總個數(shù)及事件包含的樣本點個數(shù)，求出事件A的概率.例14．(2023·貴州·高三期末（文））已知某班英語興趣小組有3名男生和2名女生，從中任選2人參加該校組織的英語演講比賽，則恰有1名女生被選到的概率是（

）A． B． C． D．例15．（2023·湖南·常德市第二中學(xué)高二期中）《易經(jīng)》是中國文化中的精髓，下圖是易經(jīng)八卦圖(含乾?坤?巽?震?坎?離?艮?兌八卦)，每一卦由三根線組成(表示一根陽線，表示一根陰線)，從八卦中任取一卦，這一卦的三根線中至少有2根陽線的概率（

）A． B． C． D．題型六較復(fù)雜的古典概型的計算例16．（2023·河北省博野中學(xué)高一開學(xué)考試）如圖，以邊長為4的正方形ABCD的中心為原點，構(gòu)建一個平面直角坐標(biāo)系.現(xiàn)做如下實驗:連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體的骰子(六個面分別標(biāo)有1至6這六個點數(shù)中的一個)兩次，將骰子朝上的點數(shù)作為直角坐標(biāo)系中點P的坐標(biāo)(第一次的點數(shù)作為橫坐標(biāo)，第二次的點數(shù)作為縱坐標(biāo)).(1)①請用畫樹狀圖或列表的方法，表示出點P的坐標(biāo)的所有可能的結(jié)果;②求點P在正方形ABCD中(含正方形內(nèi)部和邊界)的概率.(2)試將正方形ABCD平移整數(shù)個單位長度，則是否存在一種平移，使點P在正方形ABCD中的概率為?若存在，請寫出平移方式;若不存在，請說明理由.解題技巧(“有放回”與“無放回”的區(qū)別)“有放回”是指抽取物體時，每一次抽取之后，都將被抽取的物體放回原處，這樣前后兩次抽取時，被抽取的物體的總數(shù)是一樣的．“無放回”是指抽取物體時，在每一次抽取后，被抽取的物體放到一邊，并不放回到原處，這樣，前后兩次抽取時，后一次被抽取的物體的總數(shù)較前一次被抽取的物體總數(shù)少1.這兩種情況下基本事件總數(shù)是不同的．例17．(2023·江西·臨川一中高二期末（文））已知某學(xué)校的初中、高中年級的在校學(xué)生人數(shù)之比為9：11，該校為了解學(xué)生的課下做作業(yè)時間，用分層抽樣的方法在初中、高中年級的在校學(xué)生中共抽取了100名學(xué)生，調(diào)查了他們課下做作業(yè)的時間，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下頻率分布直方圖：(1)在抽取的100名學(xué)生中，初中、高中年級各抽取的人數(shù)是多少？(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計學(xué)生做作業(yè)時間的中位數(shù)和平均時長（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(3)另據(jù)調(diào)查，這100人中做作業(yè)時間超過4小時的人中2人來自初中年級，3人來自高中年級，從中任選2人，恰好1人來自初中年級，1人來自高中年級的概率是多少．例18．（2023·河北·秦皇島一中高二階段練習(xí)）某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人的平均年齡和第80百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任本市的“中國夢”宣傳使者.（i）若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定人選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；（ii）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，據(jù)此估計這人中35~45歲所有人的年齡的方差.題型七概率的基本性質(zhì)例19．(2023·湖南·高一課時練習(xí)）一個電路板上裝有甲、乙兩根熔絲，某種情況下甲熔斷的概率為0.85，乙熔斷概率為0.74，兩根同時熔斷的概率為0.63，問該情況下至少有一根熔斷的概率是多少？解題技巧（概率性質(zhì)公式）(1)運用概率加法公式解題的步驟①確定諸事件彼此互斥；②先求諸事件分別發(fā)生的概率，再求其和．(2)求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的并；二是先求對立事件的概率，進(jìn)而再求所求事件的概率．例20．（2023·全國·高一課時練習(xí)）擲一枚骰子，下列事件：A=“出現(xiàn)奇數(shù)點”，B=“出現(xiàn)偶數(shù)點”，C=“點數(shù)小于3”，D=“點數(shù)大于2”，E=“點數(shù)是3倍數(shù)”.求：(1)A∩B，BC及相應(yīng)的概率(2)A∪B，B+C及相應(yīng)的概率；(3)記為事件H的對立事件，求及相應(yīng)的概率.例21．（2023·全國·高一課時練習(xí)）在一次滿分為100分的數(shù)學(xué)考試中，某同學(xué)的考試成績及其概率如下表所示，請計算他在該次數(shù)學(xué)考試中取得80分以上成績的概率和考試不及格（低于60分）的概率.成績/分概率0.080.150.550.12題型八概率的基本性質(zhì)的應(yīng)用例22．（2023·全國·高一課時練習(xí)）已知是一個三位正整數(shù)，若的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱為“三位遞增數(shù)”（如135，256，345等）．現(xiàn)要從甲、乙兩名同學(xué)中選出人參加某市組織的數(shù)學(xué)競賽，選取的規(guī)則如下：從由1，2，3，4，5，6組成的所有“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個數(shù)，若抽取的“三位遞增數(shù)”是偶數(shù)，則甲參加數(shù)學(xué)競賽；否則，乙參加數(shù)學(xué)競賽．(1)由1，2，3，4，5，6可組成多少個“三位遞增數(shù)”？分別用樹狀圖法和列舉法解答．(2)這種選取規(guī)則對甲、乙兩名同學(xué)公平嗎？請說明理由．解題技巧(概率性質(zhì)的應(yīng)用)1．對于一個較復(fù)雜的事件，一般將其分解為幾個簡單的事件．當(dāng)這些事件彼此互斥時，即可用概率加法公式．2．運用事件的概率加法公式解題的步驟：(1)確定題中哪些事件彼此互斥；(2)將待求事件拆分為幾個互斥事件之和；(3)先求各互斥事件分別發(fā)生的概率，再求和．例23．（2023·全國·高一課時練習(xí)）盒子里放有外形相同且編號為1，2，3，4，5的五個小球，其中1號與2號是黑球，3號、4號與5號是紅球，從中有放回地每次取出1個球，共取兩次.（1）求取到的2個球中恰好有1個是黑球的概率；（2）求取到的2個球中至少有1個是紅球的概率.例24．（2023·陜西渭南·高一期末）某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得，100張獎券為一個開獎單位，每個開獎單位設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個，設(shè)一張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，可知其概率平分別為．（1）求1張獎券中獎的概率；（2）求1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．【同步練習(xí)】一、單選題1．(2023·安徽·蒙城縣第六中學(xué)高三開學(xué)考試（文））空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為五級，指數(shù)越大說明污染的情況越嚴(yán)重，對人體危害越大，指數(shù)范圍在：，，，，分別對應(yīng)“優(yōu)”、“良”、“輕度污染”“中度污染”、“重污染”五個等級，下面是某市連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，下列說法不正確的是（

）A．這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)為“優(yōu)良”的頻率為B．這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是103C．從11日到14日空氣質(zhì)量越來越好D．連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小的是9日到11日2．(2023·河南·模擬預(yù)測（理））某藝術(shù)館有一間邊長為10m的正方形展廳，設(shè)計師準(zhǔn)備在展廳地面鋪設(shè)深淺兩種顏色邊長均為1m的正方形瓷磚．如圖，先在一個墻角鋪一塊深色瓷磚（左上角），然后在這塊磚外側(cè)鋪一層淺色瓷磚，再在淺色瓷磚外側(cè)鋪一層深色瓷磚……像這樣一層一層向外，兩種顏色相間鋪設(shè)，直到鋪滿整個展廳．若在這個展廳內(nèi)隨機(jī)拋一枚硬幣（大小忽略不計），則硬幣最后落在深色瓷磚上的概率為（

）A． B． C． D．3．（2023·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期末）5張卡片上分別寫有數(shù)字0，1，2，3，4，從中任意抽取一張，抽到的卡片上的數(shù)字為奇數(shù)的概率是（

）A． B．C． D．4．(2023·廣東·高三階段練習(xí)）第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬季奧運會，是由中國舉辦的國際性奧林匹克賽事，于2022年2月4日開幕，2月20日閉幕.小林觀看了本屆冬奧會后，打算從冰壺?短道速滑?花樣滑冰?冬季兩項這四個項目中任意選兩項進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，則小林沒有選擇冰壺的概率為（

）A． B． C． D．5．(2023·全國·高三專題練習(xí)）袋子中有四個小球，分別寫有“美、麗、中、國”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“中”“國”兩個字都取到就停止，用隨機(jī)模擬的方法估計恰好在第三次停止的概率．利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用0，1，2，3代表“中、國、美、麗”這四個字，以每三個隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：232

321

230

023

123

021

132

220

001231

130

133

231

031

320

122

103

233由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為（

）A． B．C． D．6．（2023·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期末）某人打靶時連續(xù)射擊兩次，下列事件與事件“至多一次中靶”互為對立的是（

）A．至少一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都沒有中靶7．(2023·江西九江·一模（文））如圖，在中，D，E為線段上兩點，現(xiàn)從A，B，C，D，E這五個點中任取三個點，則這三個點能構(gòu)成一個三角形的概率為（

）.A． B． C． D．8．（2023·四川省南充高級中學(xué)高二階段練習(xí)（文））若事件A與B互為互斥事件，，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高一期末）“新冠肺炎”席卷全球，我國醫(yī)務(wù)工作者為了打好這次疫情阻擊戰(zhàn)，充分發(fā)揮優(yōu)勢，很快抑制了病毒，據(jù)統(tǒng)計老年患者治愈率為，中年患者治愈率為，青年患者治愈率為.某醫(yī)院共有名老年患者，名中年患者，名青年患者，則（

）A．若從該醫(yī)院所有患者中抽取容量為的樣本，老年患者應(yīng)抽取人B．該醫(yī)院中年患者所占的頻率為C．估計該醫(yī)院的平均治愈率大約是D．估計該醫(yī)院的平均治愈率大約是10．(2023·湖北武漢·高三期末）為弘揚(yáng)文明、和諧的社區(qū)文化氛圍，更好地服務(wù)社區(qū)群眾，武漢市某社區(qū)組織開展了“黨員先鋒”、“鄰里互助”兩個公益服務(wù)項目，其中某個星期內(nèi)兩個項目的參與人數(shù)（單位：人）記錄如下：日期項目星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日黨員先鋒24272625377672鄰里互助11131111127132143對于該星期內(nèi)的公益服務(wù)情況，下列說法正確的有（

）A．“黨員先鋒”項目參與人數(shù)的極差為52，中位數(shù)為25B．“鄰里互助”項目參與人數(shù)的眾數(shù)為11，平均數(shù)為64C．用頻率估計概率，“黨員先鋒”項目連續(xù)3天參與人數(shù)不低于25的概率為D．用頻率估計概率，“鄰里互助”項目連續(xù)2天參與人數(shù)不低于該項目平均數(shù)的概率為11．(2023·山東省淄博實驗中學(xué)高二開學(xué)考試）先后拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，第一次和第二次出現(xiàn)的點數(shù)分別記為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．時的概率為B．時的概率為C．時的概率為D．是6的倍數(shù)的概率是12．(2023·全國·模擬預(yù)測）某商場為了促進(jìn)銷售，對于進(jìn)入商場的人員，可以進(jìn)入商場擲骰子進(jìn)行獎勵，規(guī)定每位進(jìn)入商場的人員可以隨機(jī)投擲一顆質(zhì)地均勻的正方體的骰子，每面上分別寫著1，2，3，4，5，6，隨機(jī)投擲該骰子三次，三次投擲向上點數(shù)分別為，，，若滿足，，，分別為一等獎，二等獎，三等獎，只有這三等獎，則（

）A．中一等獎的概率為 B．中二等獎的概率為 C．中三等獎的概率為 D．沒有中獎的概率為三、填空題13．(2023·湖南·高一課時練習(xí)）電路如圖所示.用A表示事件“電燈變亮”，用B，C，D依次表示“開關(guān)Ⅰ閉合”“開關(guān)Ⅱ閉合”“開關(guān)Ⅲ閉合”，則A＝____________.(用B，C，D間的運算關(guān)系式表示)14．(2023·江西·景德鎮(zhèn)一中高一期末）某次聯(lián)歡會上設(shè)有一個抽獎游戲，抽獎箱中共有四種不同顏色且形狀大小完全相同的小球16個，分別代表一等獎、二等獎、三等獎、無獎四種獎項.其中紅球代表一等獎且只有1個，黃球代表三等獎，從中任取一個小球，若中二等獎或三等獎的概率為，小華同學(xué)獲得一次摸獎機(jī)會，則求他不能中獎的概率是____________.15．(2023·上海·格致中學(xué)高二期末）若將拋擲一枚硬幣所出現(xiàn)的結(jié)果“正面（朝上）”與“反面（朝上）”，分別記為H、T，相應(yīng)的拋擲兩枚硬幣的樣本空間為，則與事件“一個正面（朝上）一個反面（朝上）”對應(yīng)的樣本空間的子集為______．16．(2023·河南·模擬預(yù)測（理））有兩枚質(zhì)地均勻，大小相同的正方體骰子，六個面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，同時擲兩枚骰子，則兩枚骰子朝上面的數(shù)字之積能被6整除的概率為___________.四、解答題17．(2023·河南洛陽·二模（文））河南省省會鄭州市從7月20號到7月31號，由刷新降雨極值引發(fā)的洪災(zāi)，到出現(xiàn)新一輪的疫情，經(jīng)歷過這難熬7月的鄭州人民忍不住造了新詞“澇疫結(jié)合”．新一輪的疫情使得人們的出行受到了極大的限制．在黨和政府的正確指揮，全省乃至全國人民的共同努力下鄭州疫情得到了有效控制，使出行旅游成為可能.2021年“十一”黃金周，鄭州市某旅行社報名去焦作云臺山、洛陽老君山兩地旅游的游客共有800人，旅行社將去這兩個目的地的游客分別分為三批組織游玩，為了做好游客的行程安排，旅行社對參加旅游的游客人數(shù)（單位：名）作了如下統(tǒng)計：第一批第二批第三批云臺山160ab老君山120128c已知在參加云臺山、老君山兩地旅游的800人中，參加第二批云臺山游的頻率是0.165．(1)現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有游客中抽取40人，協(xié)助旅途后勤工作，問應(yīng)在第三批參加旅游的游客中抽取多少人？(2)已知，，求第三批參加旅游的游客中到云臺山旅游的人數(shù)比到老君山旅游的人數(shù)多的概率．18．(2023·湖南·高一課時練習(xí)）將紅、白兩個球任意放入Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三個盒中（一個盒中只能容納一個球）.用，，分別表示事件“紅球在Ⅰ盒中”“紅球在Ⅱ盒中”“紅球在Ⅲ盒中”；用，，分別表示事件“白球在Ⅰ盒中”“白球在Ⅱ盒中”“白球在Ⅲ盒中”.用語言敘述下列事件：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).19．（2023·湖南·常德市第二中學(xué)高二期末）對某班名同學(xué)每天參加課外活動的時間進(jìn)行了詳細(xì)統(tǒng)計，并繪制成頻率分布直方圖，其中，，，，在縱軸上對應(yīng)的高度分別為，，，，，如圖所示.(1)求實數(shù)的值及這名同學(xué)每天參加課外活動的時間的眾數(shù)；(2)從每天參加活動不少于分鐘的人(含男生甲)中任選人，求其中的男生甲被選中的概率.20．(2023·甘肅·一模（文））2021年國慶節(jié)過后我省多地突發(fā)新冠疫情，某行業(yè)主管部門為了了解本行業(yè)中的小企業(yè)在疫情后的恢復(fù)生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了150個企業(yè)，得到這些企業(yè)第四季度相對于去年同期產(chǎn)值增長率的頻數(shù)分布表如下：增長率分組企業(yè)數(shù)1530503817(1)根據(jù)上述增長率的頻數(shù)分布表，估計這些企業(yè)中產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例（用百分?jǐn)?shù)表示）；估計這150個企業(yè)同期產(chǎn)值增長率的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；(2)現(xiàn)從同期產(chǎn)值增長率的上述5個分組中各選1個對應(yīng)企業(yè)，進(jìn)行后疫情時期復(fù)工復(fù)產(chǎn)與防疫情況調(diào)研，并在選出的5個企業(yè)中再隨機(jī)選取其中2個企業(yè)對后疫情時期生產(chǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行重點分析，求選取的這2個企業(yè)恰有一家企業(yè)同期產(chǎn)值負(fù)增長的概率.21．(2023·山西·一模（文））從某臺機(jī)器一天產(chǎn)出的零件中，隨機(jī)抽取10件作為樣本，測得其質(zhì)量如下（單位：克）：10.5

9.9

9.4

10.7

10.0

9.6

10.8

10.1

9.7

9.3記樣本均值為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s．(1)求，s；(2)將質(zhì)量在區(qū)間內(nèi)的零件定為一等品．①估計這臺機(jī)器生產(chǎn)的零件的一等品率；②從樣本中的一等品中隨機(jī)抽取2件，求這兩件產(chǎn)品質(zhì)量之差的絕對值不超過0.3克的概率P．22．(2023·江西·模擬預(yù)測（文））某蛋糕店計劃按日生產(chǎn)一種面包，每天生產(chǎn)量相同，生產(chǎn)成本每個6元，售價每個8元，未售出的面包降價處理，以每個5元的價格當(dāng)天全部處理完，該蛋糕店記錄了30天這種面包的日需求量（單位：個），整理得表：日需求量n282930313233頻數(shù)346674(1)若該蛋糕店一天生產(chǎn)30個這種面包，以記錄了30天的日需求量的頻率作為日需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤不少于60元的概率；(2)該蛋糕店想提高該面包的銷售利潤，員工甲和乙分別提出兩種方案.甲的方案：保持一天生產(chǎn)30個這種面包；乙的方案：加大產(chǎn)量一天生產(chǎn)31個這種面包.根據(jù)以上30天日需求量的日平均利潤來決策哪一種方案收益更好.10.1隨機(jī)事件與概率【知識點梳理】1．隨機(jī)試驗我們把對隨機(jī)現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機(jī)試驗(randomexperiment)，簡稱試驗，常用字母E表示．2．隨機(jī)試驗的特點(1)試驗可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果．3．樣本空間我們把隨機(jī)試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間(samplespace)．一般地，我們用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點．在本書中，我們只討論Ω為有限集的情況．如果一個隨機(jī)試驗有n個可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間.4．隨機(jī)事件一般地，隨機(jī)試驗中的每個隨機(jī)事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示．為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件(randomevent)，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件(elementaryevent)．隨機(jī)事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.5．必然事件，不可能事件在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件．而空集?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱?為不可能事件．6.事件的關(guān)系與運算定義表示法圖示事件的運算包含關(guān)系一般地，對于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)并事件若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A+B)交事件若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥關(guān)系若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥若A∩B＝?，則A與B互斥對立關(guān)系若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件，可記為B＝A或A＝B若A∩B＝?，A∪B＝U，則A與B對立探究1(1)并事件、交事件和集合的并集、交集意義一樣嗎？(2)互斥事件和對立事件的關(guān)系是怎樣的？答案(1)并事件、交事件和集合的并集、交集的意義一樣．(2)互斥事件包括對立事件，即對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件.探究2從運算的含義總結(jié)事件的關(guān)系或運算？事件的關(guān)系或運算含義符號表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B并事件(和事件)A與B至少一個發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A∩B＝?互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生A∩B＝?，A∪B＝Ω7.概率對隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率(probability)，事件A的概率用P(A)表示．8.古典概型（1）古典概型考察這些試驗的共同特征，就是要看它們的樣本點及樣本空間有哪些共性．可以發(fā)現(xiàn)，它們具有如下共同特征：①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型(classicalmodelsofprobability)，簡稱古典概型．（2）概率公式一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù)．9.概率的基本性質(zhì)一般地，概率有如下性質(zhì)：性質(zhì)1：對任意的事件A，都有P(A)≥0.性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)．性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．【典型例題】題型一樣本空間例1．(2023·湖南·高一課時練習(xí)）在0，1，2，…，9這10個數(shù)字中任意選取一個，寫出試驗的樣本點和樣本空間.答案：見解析【解析】分析：利用樣本點和樣本空間的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】在0，1，2，…，9這10個數(shù)字中任意選取一個，試驗的樣本點為：0，1，2，3,4，5，6，7，8，9；樣本空間.解題技巧（寫樣本空間的注意事項）在寫試驗結(jié)果時，一般采用列舉法寫出，必須首先明確事件發(fā)生的條件，根據(jù)日常生活經(jīng)驗，按一定次序列舉，才能保證所列結(jié)果沒有重復(fù)，也沒有遺漏．例2．(2023·湖南·高一課時練習(xí)）拋擲一枚骰子和一枚硬幣，寫出樣本空間.答案：見解析.【解析】分析：給拋擲一枚骰子的結(jié)果編號，給拋擲一枚硬幣的結(jié)果編號，寫出所有的可能組合即可.【詳解】設(shè)表示拋擲骰子所得點數(shù)為，表示拋擲硬幣反面朝上，表示拋擲硬幣正面朝上，則分別表示“拋擲骰子所得點數(shù)為且拋擲硬幣反面朝上”與“拋擲骰子所得點數(shù)為且拋擲硬幣正面朝上".則樣本空間,例3．(2023·全國·高一）已知集合，，從兩個集合中各取一個元素構(gòu)成點的坐標(biāo)．(1)寫出這個試驗的樣本空間；(2)求這個試驗樣本點的總數(shù)；(3)寫出“得到的點是第一象限內(nèi)的點”這一事件所包含的樣本點；(4)說出事件所表示的實際意義．答案：(1)答案見解析；(2)(3)(4)得到的點是第三象限內(nèi)的點.【解析】分析：（1）將樣本點一一列出在花括號內(nèi)可得樣本空間；（2）由樣本空間可得樣本點的個數(shù)；（3）找出橫縱坐標(biāo)都大于的樣本點即可；（4）根據(jù)事件中樣本點的坐標(biāo)可得實際意義.(1)樣本空間為：(2)由知這個試驗樣本點的總數(shù)為.(3)得到的點是第一象限內(nèi)的點”這一事件所包含的樣本點為.(4)事件表示得到的點是第三象限內(nèi)的點.題型二必然事件、不可能事件與隨機(jī)事件的判斷例4．（2023·全國·高一課時練習(xí)）指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件．(1)中國體操運動員將在下屆奧運會上獲得全能冠軍．(2)出租車司機(jī)小李駕車通過幾個十字路口都將遇到綠燈．(3)若x∈R，則x2＋1≥1.(4)拋一枚骰子兩次，朝上面的數(shù)字之和小于2.答案：(1)隨機(jī)事件(2)隨機(jī)事件(3)是必然事件(4)不可能事件【解析】分析：根據(jù)必然事件是一定會發(fā)生的，隨機(jī)事件是可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，不可能事件是不可能發(fā)生對每個問題逐一判斷即可.(1)中國體操運動員將在下屆奧運會上獲得全能冠軍可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以是隨機(jī)事件(2)出租車司機(jī)小李駕車通過幾個十字路口都將遇到綠燈,可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以是隨機(jī)事件(3)若x∈R，則x2＋1≥1，一定會發(fā)生，是必然事件(4)拋一枚骰子兩次，朝上面的數(shù)字之和小于2，不可能發(fā)生，是不可能事件．解題技巧：(判斷事件類型的步驟)要判定事件是何種事件，首先要看清條件，因為三種事件都是相對于一定條件而言的，第二步再看它是一定發(fā)生，還是不一定發(fā)生，還是一定不發(fā)生，一定發(fā)生的是必然事件，不一定發(fā)生的是隨機(jī)事件，一定不發(fā)生的是不可能事件．例5．（2023·全國·高一課時練習(xí)）指出下列事件中，哪些是隨機(jī)事件?必然事件或不可能事件：(1)任取3條線段，這3條線段恰好能組成直角三角形；(2)任取1個正方體的3個頂點，這3個頂點不共面；(3)從1個三角形的3個頂點處各任畫1條射線，這3條射線交于一點；(4)把9寫成兩個實數(shù)的和，其中一定有1個數(shù)小于5；(5)實數(shù)a，b不都為0，但；(6)汽車排放尾氣會污染環(huán)境；(7)明天早晨有霧；(8)明年7月28日的最高氣溫高于今年8月10日的最高氣溫.答案：(1)隨機(jī)事件(2)不可能事件(3)隨機(jī)事件(4)必然事件(5)不可能事件(6)必然事件(7)隨機(jī)事件(8)隨機(jī)事件【解析】分析：根據(jù)隨機(jī)事件?必然事件或不可能事件的概念直接判斷.(1)任取3條線段，這3條線段恰好能組成直角三角形，是隨機(jī)事件；(2)任取1個正方體的3個頂點，這3個頂點不共面，是不可能事件；(3)從1個三角形的3個頂點處各任畫1條射線，這3條射線交于一點，是隨機(jī)事件；(4)把9寫成兩個實數(shù)的和，其中一定有1個數(shù)小于5，是必然事件；(5)實數(shù)a，b不都為0，但，是不可能事件；(6)汽車排放尾氣會污染環(huán)境，是必然事件；(7)明天早晨有霧，是隨機(jī)事件；(8)明年7月28日的最高氣溫高于今年8月10日的最高氣溫，是隨機(jī)事件.例6．（2023·全國·高一課時練習(xí)）某轉(zhuǎn)盤被平均分成10份（如圖所示）.轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字.問題（1）設(shè)事件“轉(zhuǎn)出的數(shù)字是5”，事件A是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件？（2）設(shè)事件“轉(zhuǎn)出的數(shù)字是0”，事件B是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件？（3）設(shè)事件“轉(zhuǎn)出的數(shù)字x滿足，”，事件C是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件？答案：（1）隨機(jī)事件；（2）不可能事件；（3）必然事件.【解析】根據(jù)必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件的定義判斷：（1）可能發(fā)生也可能不發(fā)生，（2）不可能發(fā)生；（3）一定會發(fā)生．【詳解】（1）“轉(zhuǎn)出的數(shù)字是5”可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故事件A是隨機(jī)事件.（2）“轉(zhuǎn)出的數(shù)字是0”，即，不是樣本空間的子集，故事件B是不可能事件.（3），故事件C是必然事件.【點睛】本題考查必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件的概念，屬于基礎(chǔ)題．題型三事件關(guān)系的判斷例7．(2023·湖北·一模）從裝有2個紅球和2個黑球的袋子內(nèi)任取2個球，下列選項中是互斥而不對立的兩個事件的是（

）A．“至少有1個紅球”與“都是黑球”B．“恰好有1個紅球”與“恰好有1個黑球”C．“至少有1個黑球”與“至少有1個紅球”D．“都是紅球”與“都是黑球”答案：D【解析】分析：根據(jù)互斥事件與對立事件的概念分析可得.【詳解】從裝有2個紅球和2個黑球的袋子內(nèi)任取2個球，可能的結(jié)果為：1紅1黑?2紅?2黑，對于A：“至少有1個紅球”包括1紅1黑?2紅，與“都是黑球”是對立事件，不符合；對于B：“恰好有1個紅球”和恰好有1個黑球”是同一個事件，不符合題意；對于C：“至少有1個黑球”包括1紅1黑?2黑，“至少有1個紅球”包括1紅1黑?2紅，這兩個事件不是互斥事件，不符合題意；對于D：“都是紅球”與“都是黑球”是互斥事件而不是對立事件，符合題意；故選：D.解題技巧（事件關(guān)系的判斷方法）(1)兩個事件是互斥事件還是對立事件，要根據(jù)互斥事件與對立事件的定義來判斷，互斥事件是在任何一次試驗中不能同時發(fā)生的兩個事件，對立事件除要求兩個事件互斥外，還要求在一次試驗中必有一個事件發(fā)生．(2)對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件．例8．（2023·全國·高一課時練習(xí)）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：=“點數(shù)為i”，其中；=“點數(shù)不大于2”，=“點數(shù)大于2”，=“點數(shù)大于4”；E=“點數(shù)為奇數(shù)”，F(xiàn)=“點數(shù)為偶數(shù)”.判斷下列結(jié)論是否正確.（1）與互斥；（2），為對立事件；（3）；（4）；（5），；（6）；（7）；（8）E，F(xiàn)為對立事件；（9）；（10）答案：（1）正確；（2）錯誤；（3）正確；（4）正確；（5）正確；（6）正確；（7）正確；（8）正確；（9）正確；（10）正確.【解析】根據(jù)題意分別計算各個事件的基本事件,再逐個判斷即可.【詳解】解：該試驗的樣本空間可表示為,由題意知,,,,,.（1）,,滿足,所以與互斥,故正確；（2）,,滿足但不滿足.所以為互斥事件,但不是對立事件,故錯誤；根據(jù)對應(yīng)的集合易得,（3）正確；（4）正確；（5）正確；（6）,所以,故正確；（7）,故正確；（8）因為,,所以E,F為對立事件,故正確；（9）正確；（10）正確.【點睛】本題主要考查了事件間的關(guān)系判斷,屬于基礎(chǔ)題型.例9．（2023·全國·高一課時練習(xí)）如圖是某班級50名學(xué)生訂閱數(shù)學(xué)、語文、英語學(xué)習(xí)資料的情況，其中A表示訂閱數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料的學(xué)生，B表示訂閱語文學(xué)習(xí)資料的學(xué)生，C表示訂閱英語學(xué)習(xí)資料的學(xué)生．(1)從這個班任意選擇一名學(xué)生，用自然語言描述1，4，5，8各區(qū)域所代表的事件；(2)用A，B，C表示下列事件：①至少訂閱一種學(xué)習(xí)資料；②恰好訂閱一種學(xué)習(xí)資料；③沒有訂閱任何學(xué)習(xí)資料.答案：(1)答案見詳解；(2)①A+B+C；②；③.【解析】分析：(1)根據(jù)題設(shè)條件分別寫出1，4，5，8各區(qū)域所代表的事件即可.(2)將所給事件分別用A，B，C表示出來即可.(1)由給定圖形可知，區(qū)域1表示該生語文、數(shù)學(xué)、英語三種學(xué)習(xí)資料都訂閱；區(qū)域4表示該生只訂閱語文、數(shù)學(xué)兩種學(xué)習(xí)資料；區(qū)域5表示該生只訂閱語文學(xué)習(xí)資料；區(qū)域8表示該生語文、數(shù)學(xué)、英語三種學(xué)習(xí)資料都沒有訂閱.(2)①至少訂閱一種學(xué)習(xí)資料的事件即是事件A發(fā)生，或者事件B發(fā)生，或者事件C發(fā)生，所以至少訂閱一種學(xué)習(xí)資料的事件為：A+B+C；②恰好訂閱一種學(xué)習(xí)資料的事件包含只訂閱數(shù)學(xué)資料的事件，只訂閱語文資料的事件，只訂閱英語資料的事件，它們互斥，所以恰好訂閱一種學(xué)習(xí)資料的事件為：；③沒有訂閱任何學(xué)習(xí)資料的事件是事件、、同時發(fā)生，所以這個事件表示為：.題型四事件的運算例10．（2023·全國·高一課時練習(xí)）1.拋擲相同硬幣3次，記“至少有一次正面向上”為事件A，“一次正面向上，兩次反面向上”為事件B，“兩次正面向上，一次反面向上”為事件C，“至少一次反面向上”為事件D，“3次都正面向上”為事件E.(1)試判斷事件A與事件B，C，E的關(guān)系；(2)試求AD，B+C所包含的樣本點，并判斷AD與B+C的關(guān)系.答案：(1)B?A，C?A，E?A，A=B+C+E(2)AD={有正面向上，也有反面向上}，B+C={一次正面向上或兩次正面向上}，AD=B+C【解析】分析：（1）寫出事件A所包含的基本事件，可以看出是事件B，事件C和事件E的和，故可以得到答案；（2）寫出事件D所包含的基本事件，與事件A進(jìn)行比較，得到AD所包含的樣本點，再寫出B+C所包含的樣本點，可得到AD與B+C的關(guān)系.(1)事件A為“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，兩次反面向上”，“兩次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三個基本事件，所以B?A，C?A，E?A，A=B+C+E(2)“至少一次反面向上”為事件D，包含“一次正面向上，兩次反面向上”，“兩次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三個基本事件，可以看出事件A與事件D有相同的兩個基本事件，即“一次正面向上，兩次反面向上”，“兩次正面向上，一次反面向上”，故AD={一次正面向上或兩次正面向上}，B+C={一次正面向上或兩次正面向上}，所以AD=B+C解題技巧：(事件運算的規(guī)律)(1)利用事件間運算的定義，列出同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運算．(2)利用Venn圖，借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，并進(jìn)行運算．例11．（2023·全國·高一課時練習(xí)）盒子里有6個紅球，4個白球，現(xiàn)從中任取3個球.設(shè)事件“1個紅球和2個白球”，事件“2個紅球和1個白球”，事件“至少有1個紅球”，事件“既有紅球又有白球”，則：（1）事件與事件是什么關(guān)系？（2）事件與事件的交事件與事件是什么關(guān)系？答案：（1）.（2）事件與事件的交事件與事件相等.【解析】(1)根據(jù)事件與事件的基本事件分析即可.(2)分析事件的基本事件,再判斷即可.【詳解】（1）對于事件,可能的結(jié)果為1個紅球和2個白球或2個紅球和1個白球,故.（2）對于事件,可能的結(jié)果為1個紅球和2個白球,2個紅球和1個白球或3個紅球,故,所以事件與事件的交事件與事件相等.【點睛】本題主要考查了事件的基本關(guān)系的判斷,屬于基礎(chǔ)題.例12．（2023·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)A，B，C表示三個隨機(jī)事件，試將下列事件用A，B，C表示出來.（1）三個事件都發(fā)生；（2）三個事件至少有一個發(fā)生；（3）A發(fā)生，B，C不發(fā)生；（4）A，B都發(fā)生，C不發(fā)生；（5）A，B至少有一個發(fā)生，C不發(fā)生；（6）A，B，C中恰好有兩個發(fā)生.答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【解析】分析：由互斥事件和對立事件的定義、事件的間的關(guān)系求解即可【詳解】解：（1）三個事件都發(fā)生表示為；（2）三個事件至少有一個發(fā)生表示為；（3）A發(fā)生，B，C不發(fā)生表示為；（4）A，B都發(fā)生，C不發(fā)生表示為；（5）A，B至少有一個發(fā)生，C不發(fā)生表示為；（6）A，B，C中恰好有兩個發(fā)生表示為題型五簡單古典概型的計算例13．(2023·云南師大附中高三階段練習(xí)（文））中國古樂中的五音，一般指五聲音階，依次為宮、商、角、徵、羽．若從這五個音階中任取三個音階，排成含有三個音階的一個音序，則這個音序中不含“商”這個音階的概率為(

)A． B． C． D．答案：A【解析】分析：采用列舉法即可求該古典概型概率問題.【詳解】從這五個音階中任取三個音階，有：(宮商角)，(宮商徵)，(宮商羽)；(宮角徵)，(宮角羽)；(宮徵羽)；(商角徵)，(商角羽)；(商徵羽)；(角徵羽)；共10個基本事件；其中不含“商”的基本事件有(宮角徵)，(宮角羽)，(宮徵羽)，(角徵羽)共4個；∴這個音序中不含“商”這個音階的概率為.故選：A.解題技巧（求古典概型的一般步驟）(1) 明確實驗的條件及要觀察的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆枺ㄗ帜?數(shù)字/數(shù)組等）表示實驗的可能結(jié)果（可借助圖表）；(2) 根據(jù)實際問題情景判斷樣本點的等可能性；(3) 計算樣本點總個數(shù)及事件包含的樣本點個數(shù)，求出事件A的概率.例14．(2023·貴州·高三期末（文））已知某班英語興趣小組有3名男生和2名女生，從中任選2人參加該校組織的英語演講比賽，則恰有1名女生被選到的概率是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：根據(jù)列舉法先求出從這5名學(xué)生中任選2人的所有情況和恰有1名女生被選到的情況，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】記這3名男生分別為a，b，c，這2名女生分別為D，E，則從這5名學(xué)生中任選2人的情況有，，，，，，，，，，共10種，其中恰有1名女生被選到的情況有，，，，，，共6種，則所求概率.故選：B.例15．（2023·湖南·常德市第二中學(xué)高二期中）《易經(jīng)》是中國文化中的精髓，下圖是易經(jīng)八卦圖(含乾?坤?巽?震?坎?離?艮?兌八卦)，每一卦由三根線組成(表示一根陽線，表示一根陰線)，從八卦中任取一卦，這一卦的三根線中至少有2根陽線的概率（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：從八卦中任取一卦，基本事件總數(shù)，這一卦的三根線中至少有2根陽線包含的基本事件個數(shù)，然后求出概率．【詳解】從八卦中任取一卦，基本事件總數(shù)，這一卦的三根線中至少有2根陽線包含的基本事件個數(shù)，這一卦的三根線中至少有2根陽線的概率為，故選：D題型六較復(fù)雜的古典概型的計算例16．（2023·河北省博野中學(xué)高一開學(xué)考試）如圖，以邊長為4的正方形ABCD的中心為原點，構(gòu)建一個平面直角坐標(biāo)系.現(xiàn)做如下實驗:連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體的骰子(六個面分別標(biāo)有1至6這六個點數(shù)中的一個)兩次，將骰子朝上的點數(shù)作為直角坐標(biāo)系中點P的坐標(biāo)(第一次的點數(shù)作為橫坐標(biāo)，第二次的點數(shù)作為縱坐標(biāo)).(1)①請用畫樹狀圖或列表的方法，表示出點P的坐標(biāo)的所有可能的結(jié)果;②求點P在正方形ABCD中(含正方形內(nèi)部和邊界)的概率.(2)試將正方形ABCD平移整數(shù)個單位長度，則是否存在一種平移，使點P在正方形ABCD中的概率為?若存在，請寫出平移方式;若不存在，請說明理由.答案：(1)①答案見解析，②；(2)存在，答案見解析.【解析】分析：（1）由題列表表示所有的結(jié)果，然后利用古典概型概率公式即得；（2）由題可得需使點P在正方形中的情況有12種，結(jié)合條件可得.(1)①設(shè)，則點P的坐標(biāo)的所有可能為：

123456123456②構(gòu)成的點P的坐標(biāo)共有36種等可能的情況，其中在正方形ABCD中有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)這四種情況，所以點P在正方形ABCD中的概率為=.(2)∵要使點P在正方形ABCD中的概率為=>，∴只能將正方形ABCD向上或向右平移整數(shù)個單位長度，且使點P在正方形中的情況有12種，∴存在滿足要求的平移方式有兩種，分別是：將正方形ABCD先向上移2個單位長度，再向右移1個單位長度(先向右再向上亦可)；或?qū)⒄叫蜛BCD先向上移1個單位長度，再向右移2個單位長度(先向右再向上亦可).解題技巧(“有放回”與“無放回”的區(qū)別)“有放回”是指抽取物體時，每一次抽取之后，都將被抽取的物體放回原處，這樣前后兩次抽取時，被抽取的物體的總數(shù)是一樣的．“無放回”是指抽取物體時，在每一次抽取后，被抽取的物體放到一邊，并不放回到原處，這樣，前后兩次抽取時，后一次被抽取的物體的總數(shù)較前一次被抽取的物體總數(shù)少1.這兩種情況下基本事件總數(shù)是不同的．例17．(2023·江西·臨川一中高二期末（文））已知某學(xué)校的初中、高中年級的在校學(xué)生人數(shù)之比為9：11，該校為了解學(xué)生的課下做作業(yè)時間，用分層抽樣的方法在初中、高中年級的在校學(xué)生中共抽取了100名學(xué)生，調(diào)查了他們課下做作業(yè)的時間，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下頻率分布直方圖：(1)在抽取的100名學(xué)生中，初中、高中年級各抽取的人數(shù)是多少？(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計學(xué)生做作業(yè)時間的中位數(shù)和平均時長（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(3)另據(jù)調(diào)查，這100人中做作業(yè)時間超過4小時的人中2人來自初中年級，3人來自高中年級，從中任選2人，恰好1人來自初中年級，1人來自高中年級的概率是多少．答案：(1)初中、高中年級所抽取人數(shù)分別為45、55(2)2.375小時，2.4小時(3)【解析】分析：（1）依據(jù)分層抽樣的原則列方程即可解決；（2）依據(jù)頻率分布直方圖計算學(xué)生做作業(yè)時間的中位數(shù)和平均時長即可；（3）依據(jù)古典概型即可求得恰好1人來自初中年級，1人來自高中年級的概率.(1)設(shè)初中、高中年級所抽取人數(shù)分別為x、y，由已知可得，解得；(2)的頻率為，的頻率為，的頻率為因為，，所以中位數(shù)在區(qū)間上，設(shè)為x，則，解得，所以學(xué)生做作業(yè)時間的中位數(shù)為2.375小時；平均時長為小時.故估計學(xué)生做作業(yè)時間的中位數(shù)為2.375小時，平均時長為2.4小時(3)2人來自初中年級，記為，，3人來自高中年級，記為，，，則從中任選2人，所有可能結(jié)果有：，，，，，，，，，共10種，其中恰好1人來自初中年級，1人來自高中年級有6種可能，所以恰好1人來自初中年級，1人來自高中年級的概率為例18．（2023·河北·秦皇島一中高二階段練習(xí)）某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人的平均年齡和第80百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任本市的“中國夢”宣傳使者.（i）若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定人選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；（ii）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，據(jù)此估計這人中35~45歲所有人的年齡的方差.答案：（1）32.25歲；37.5；（2）（i）；（ii）10.【解析】分析：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，利用組中值乘以相應(yīng)的頻率，即可的這人的平均年齡；設(shè)第80百分位數(shù)為，計算從左到右頻率和為或計算從右到左頻率和為，即可求出；(2)（i）由題意可得，第四組應(yīng)抽取4人，記為，，，甲，第五組抽取2人，記為，乙，根據(jù)古典概型計算方法求解即可；（ii）根據(jù)方差的計算原理計算合并后方差即可.【詳解】解：（1）設(shè)這人的平均年齡為，則（歲）.設(shè)第80百分位數(shù)為，方法一：由，解得.方法二：由，解得.（2）（i）由題意得，第四組應(yīng)抽取4人，記為，，，甲，第五組抽取2人，記為，乙，對應(yīng)的樣本空間為：，共15個樣本點.設(shè)事件“甲、乙兩人至少一人被選上”，則，共有9個樣本點.所以，.（ii）設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，則，，，，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為.則，，因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，據(jù)此，可估計這人中年齡在35~45歲的所有人的年齡方差約為10.題型七概率的基本性質(zhì)例19．(2023·湖南·高一課時練習(xí)）一個電路板上裝有甲、乙兩根熔絲，某種情況下甲熔斷的概率為0.85，乙熔斷概率為0.74，兩根同時熔斷的概率為0.63，問該情況下至少有一根熔斷的概率是多少？答案：.【解析】分析：根據(jù)給定條件利用概率的加法公式直接計算作答.【詳解】設(shè)A=“甲熔絲熔斷”，B=“乙熔絲熔斷”，則有，，“甲、乙兩根熔絲同時熔斷”為事件，有，“甲、乙兩根熔絲至少有一根熔斷”為事件，于是得，所以甲、乙至少有一根熔斷的概率是.解題技巧（概率性質(zhì)公式）(1)運用概率加法公式解題的步驟①確定諸事件彼此互斥；②先求諸事件分別發(fā)生的概率，再求其和．(2)求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的并；二是先求對立事件的概率，進(jìn)而再求所求事件的概率．例20．（2023·全國·高一課時練習(xí)）擲一枚骰子，下列事件：A=“出現(xiàn)奇數(shù)點”，B=“出現(xiàn)偶數(shù)點”，C=“點數(shù)小于3”，D=“點數(shù)大于2”，E=“點數(shù)是3倍數(shù)”.求：(1)A∩B，BC及相應(yīng)的概率(2)A∪B，B+C及相應(yīng)的概率；(3)記為事件H的對立事件，求及相應(yīng)的概率.答案：(1)A∩B=，BC={2}，概率為0，(2)A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}，概率為1，(3)={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.所求概率為【解析】分析：（1）A∩B表示同時發(fā)生，BC表示同時發(fā)生，利用古典概型公式即求；（2）A∪B表示至少有一個事件發(fā)生，表示至少有一個事件發(fā)生，利用古典概型公式即求；（3）表示的對立事件；等價于同時發(fā)生；等價于至少有一個事件發(fā)生；等價于的對立事件與的對立事件至少有一個事件發(fā)生，利用古典概型公式即求.(1)由題可知，，，，∴，，，，∴A∩B=，BC={2}，所求概率為，.(2)A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}，所求概率為，.(3)={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.所求概率為；；；.例21．（2023·全國·高一課時練習(xí)）在一次滿分為100分的數(shù)學(xué)考試中，某同學(xué)的考試成績及其概率如下表所示，請計算他在該次數(shù)學(xué)考試中取得80分以上成績的概率和考試不及格（低于60分）的概率.成績/分概率0.080.150.550.12答案：答案見解析．【解析】分析：根據(jù)互斥事件和對立事件的概率公式計算．【詳解】由已知取得80分以上成績的概率為，考試不及格（低于60分）的概率為．題型八概率的基本性質(zhì)的應(yīng)用例22．（2023·全國·高一課時練習(xí)）已知是一個三位正整數(shù)，若的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱為“三位遞增數(shù)”（如135，256，345等）．現(xiàn)要從甲、乙兩名同學(xué)中選出人參加某市組織的數(shù)學(xué)競賽，選取的規(guī)則如下：從由1，2，3，4，5，6組成的所有“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個數(shù)，若抽取的“三位遞增數(shù)”是偶數(shù)，則甲參加數(shù)學(xué)競賽；否則，乙參加數(shù)學(xué)競賽．(1)由1，2，3，4，5，6可組成多少個“三位遞增數(shù)”？分別用樹狀圖法和列舉法解答．(2)這種選取規(guī)則對甲、乙兩名同學(xué)公平嗎？請說明理由．答案：(1)答案見解析(2)對甲、乙兩名同學(xué)不公平，理由見解析．【解析】【詳解】（1）樹狀圖法：畫出樹狀圖，如圖所示：從上面的樹狀圖，知由1，2，3，4，5，6可組成20個“三位遞增數(shù)”；列舉法：由題意，知由1，2，3，4，5，6組成的“三位遞增數(shù)”分別是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20個，故由1，2，3，4，5，6可組成20個“三位遞增數(shù)”．（2）不公平．理由如下：由（1），知由1，2，3，4，5，6組成的“三位遞增數(shù)”有20個記“甲參加數(shù)學(xué)競賽”為事件，事件包含的樣本點有124，126，134，136，146，156，234，236，246，256，346，356，456，共13個．所以．記“乙參加數(shù)學(xué)競賽”為事件，則事件包含的樣本點有123，125，135，145，235，245，345，共7個．所以．因為，所以該選取規(guī)則對甲、乙兩名同學(xué)不公平．解題技巧(概率性質(zhì)的應(yīng)用)1．對于一個較復(fù)雜的事件，一般將其分解為幾個簡單的事件．當(dāng)這些事件彼此互斥時，即可用概率加法公式．2．運用事件的概率加法公式解題的步驟：(1)確定題中哪些事件彼此互斥；(2)將待求事件拆分為幾個互斥事件之和；(3)先求各互斥事件分別發(fā)生的概率，再求和．例23．（2023·全國·高一課時練習(xí)）盒子里放有外形相同且編號為1，2，3，4，5的五個小球，其中1號與2號是黑球，3號、4號與5號是紅球，從中有放回地每次取出1個球，共取兩次.（1）求取到的2個球中恰好有1個是黑球的概率；（2）求取到的2個球中至少有1個是紅球的概率.答案：（1）；（2）.【解析】【詳解】分析：（1）先求出全體基本事件共有25種情形，再求出取到的2個球中恰好有1個是黑球的情況有12種，即可得到答案；（2）求對立事件沒有一個紅球，即全是黑球的情況，從而即可求出.詳解：全體基本事件共有25種情形，（1）2個球中恰好1個黑球為13，14，15，23，24，25，再交換一下，共有12種情形，故概率.（2）取到的2個球中至少有1個是紅球的對立事件為沒有一個紅球，即全是黑球為11，12，21，22，共4種情形，即.點睛：求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和；二是間接法，先求該事件的對立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．當(dāng)題目涉及“至多”“至少”型問題，多考慮間接法．例24．（2023·陜西渭南·高一期末）某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得，100張獎券為一個開獎單位，每個開獎單位設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個，設(shè)一張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，可知其概率平分別為．（1）求1張獎券中獎的概率；（2）求1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．答案：（1）（2）【解析】分析：（1）1張獎券中獎包括中特等獎、一等獎、二等獎,且、、兩兩互斥,利用互斥事件的概率加法公式求解即可；（2）“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”的對立事件為“1張獎券中特等獎或中一等獎”,則利用互斥事件的概率公式求解即可【詳解】（1）1張獎券中獎包括中特等獎、一等獎、二等獎,設(shè)“1張獎券中獎”為事件,則,因為、、兩兩互斥,所以故1張獎券中獎的概率為（2）設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件,則事件與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件,所以,故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為【點睛】本題考查互斥事件的概率加法公式的應(yīng)用,考查古典概型,考查利用對立事件求概率【同步練習(xí)】一、單選題1．(2023·安徽·蒙城縣第六中學(xué)高三開學(xué)考試（文））空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為五級，指數(shù)越大說明污染的情況越嚴(yán)重，對人體危害越大，指數(shù)范圍在：，，，，分別對應(yīng)“優(yōu)”、“良”、“輕度污染”“中度污染”、“重污染”五個等級，下面是某市連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，下列說法不正確的是（

）A．這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)為“優(yōu)良”的頻率為B．這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是103C．從11日到14日空氣質(zhì)量越來越好D．連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小的是9日到11日答案：B【解析】分析：結(jié)合連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，逐項判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】14天中有：1-3日，7日，12-14日共7天空氣質(zhì)量指數(shù)為優(yōu)成良，所以這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)為“優(yōu)良”的頻率為，故A正確；14天中的中位數(shù)為，故B錯誤；從11日到14日空氣質(zhì)量指數(shù)越來越低，故空氣質(zhì)量越來越好，故C正確；觀察折線圖可知D正確．故選：B．2．(2023·河南·模擬預(yù)測（理））某藝術(shù)館有一間邊長為10m的正方形展廳，設(shè)計師準(zhǔn)備在展廳地面鋪設(shè)深淺兩種顏色邊長均為1m的正方形瓷磚．如圖，先在一個墻角鋪一塊深色瓷磚（左上角），然后在這塊磚外側(cè)鋪一層淺色瓷磚，再在淺色瓷磚外側(cè)鋪一層深色瓷磚……像這樣一層一層向外，兩種顏色相間鋪設(shè)，直到鋪滿整個展廳．若在這個展廳內(nèi)隨機(jī)拋一枚硬幣（大小忽略不計），則硬幣最后落在深色瓷磚上的概率為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：根據(jù)題意，分別求出深色瓷磚總數(shù)和瓷磚總數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式，即可得答案.【詳解】由題意得，第1、3、5、7、9圈鋪深色瓷磚，第一圈1塊，第3圈塊，第5圈塊則第n圈，為塊（，n為奇數(shù)），所以深色瓷磚總數(shù)，瓷磚總數(shù)，所以硬幣最后落在深色瓷磚上的概率為.故選：A3．（2023·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期末）5張卡片上分別寫有數(shù)字0，1，2，3，4，從中任意抽取一張，抽到的卡片上的數(shù)字為奇數(shù)的概率是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】分析：根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；【詳解】解：5張卡片中卡片上的數(shù)字為奇數(shù)的有張，從中任意抽取一張，抽到的卡片上的數(shù)字為奇數(shù)的概率是；故選：C4．(2023·廣東·高三階段練習(xí)）第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬季奧運會，是由中國舉辦的國際性奧林匹克賽事，于2022年2月4日開幕，2月20日閉幕.小林觀看了本屆冬奧會后，打算從冰壺?短道速滑?花樣滑冰?冬季兩項這四個項目中任意選兩項進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，則小林沒有選擇冰壺的概率為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：利用列舉法，先列出四項中選兩項的所有情況，再找出沒選擇冰壺的情況，然后利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】記冰壺?短道速滑?花樣滑冰?冬季兩項分別為A,B,C,D，則這四個項目中任意選兩項的情況有：AB,AC,AD,BC,BD,CD，6種情況，其中沒有選擇冰壺的有：BC,BD,CD，3種情況，所以所求概率為.故選：C5．(2023·全國·高三專題練習(xí)）袋子中有四個小球，分別寫有“美、麗、中、國”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“中”“國”兩個字都取到就停止，用隨機(jī)模擬的方法估計恰好在第三次停止的概率．利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用0，1，2，3代表“中、國、美、麗”這四個字，以每三個隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：232

321

230

023

123

021

132

220

001231

130

133

231

031

320

122

103

233由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】分析：根據(jù)題意，由古典概型的概率計算方法求解即可.【詳解】由隨機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)可知，恰好第三次就停止的有：共4個基本事件，根據(jù)古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率為，故選：C.6．（2023·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期末）某人打靶時連續(xù)射擊兩次，下列事件與事件“至多一次中靶”互為對立的是（

）A．至少一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都沒有中靶答案：B【解析】分析：直接利用對立事件的定義判斷即可.【詳解】由已知條件得∵事件“至多一次中靶”包含事件兩次都未中靶和兩次只有一次中靶，∴事件“至多一次中靶”的對立事件為“兩次都中靶”，故選：.7．(2023·江西九江·一模（文））如圖，在中，D，E為線段上兩點，現(xiàn)從A，B，C，D，E這五個點中任取三個點，則這三個點能構(gòu)成一個三角形的概率為（

）.A． B． C． D．答案：B【解析】分析：利用古典概型概率公式即求.【詳解】從A，B，C，D，E這五個點中任取三個點，共有，，，，，，，，，，共10個基本事件，其中可構(gòu)成三角形的有：，，，，，，共6個基本事件，所求概率為.故選：B.8．（2023·四川省南充高級中學(xué)高二階段練習(xí)（文））若事件A與B互為互斥事件，，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：利用互斥事件概率公式即得.【詳解】∵事件A與B互為互斥事件，，∴.故選：D.二、多選題9．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高一期末）“新冠肺炎”席卷全球，我國醫(yī)務(wù)工作者為了打好這次疫情阻擊戰(zhàn)，充分發(fā)揮優(yōu)勢，很快抑制了病毒，據(jù)統(tǒng)計老年患者治愈率為，中年患者治愈率為，青年患者治愈率為.某醫(yī)院共有名老年患者，名中年患者，名青年患者，則（

）A．若從該醫(yī)院所有患者中抽取容量為的樣本，老年患者應(yīng)抽取人B．該醫(yī)院中年患者所占的頻率為C．估計該醫(yī)院的平均治愈率大約是D．估計該醫(yī)院的平均治愈率大約是答案：ABC【解析】分析：利用分層抽樣可判斷A選項；利用頻率公式可判斷B選項；計算出該醫(yī)院的平均治愈率，可判斷CD選項.【詳解】對于A選項，若從該醫(yī)院所有患者中抽取容量為的樣本，老年患者應(yīng)抽取的人數(shù)為，A對；對于B選項，該醫(yī)院中年患者所占的頻率為，B對；對于CD選項，估計該醫(yī)院的平均治愈率大約是，C對D錯.故選：ABC.10．(2023·湖北武漢·高三期末）為弘揚(yáng)文明、和諧的社區(qū)文化氛圍，更好地服務(wù)社區(qū)群眾，武漢市某社區(qū)組織開展了“黨員先鋒”、“鄰里互助”兩個公益服務(wù)項目，