人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步精講精練專題一次函數(shù)與線段、角度有關(guān)的問題(原卷版+解析)_第1頁(yè)
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八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十九章一次函數(shù)》專題一次函數(shù)與線段、角度有關(guān)的問題題型一一次函數(shù)與線段問題題型一一次函數(shù)與線段問題【例題1】(2021春?達(dá)川區(qū)校級(jí)期中)如圖,直線y1=?13x+b與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B,與直線y2=x交于點(diǎn)E,點(diǎn)(1)直接寫出b值:;(2)直接寫出關(guān)于不等式組0<?13x+b≤(3)在x軸上有一點(diǎn)P(m,0),過點(diǎn)P作x軸的垂線,與直線y1=?13x+b交于點(diǎn)C,與直線y2=x交于點(diǎn)D,若CD=2OB,求【變式1-1】(2022秋?青白江區(qū)期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AE:y=23x+8交x軸于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)A,直線BD:y=﹣2x﹣4交x軸于點(diǎn)D,交y軸于B,交直線AE于點(diǎn)(1)求點(diǎn)D、點(diǎn)E和點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)求△CDE的面積;(3)若在直線AE上存在點(diǎn)F,使BA是△BCF的中線,求點(diǎn)F的坐標(biāo).【變式1-2】(2023春?包河區(qū)月考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y1=﹣2x+10的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與一次函數(shù)y2=23x+2的圖象交于點(diǎn)(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)結(jié)合圖象,當(dāng)y1>y2時(shí),請(qǐng)直接寫出x的取值范圍;(3)C為x軸上點(diǎn)A右側(cè)一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)C作y軸的平行線,與一次函數(shù)y1=﹣2x+10的圖象交于點(diǎn)D,與一次函數(shù)y2=23x+2的圖象交于點(diǎn)E.當(dāng)CE=3CD時(shí),求【變式1-3】(2023春?中原區(qū)校級(jí)期中)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(﹣2,6),且與x軸相交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)D,與正比例函數(shù)y=3x的圖象相交于點(diǎn)C,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1.(1)求k,b的值;(2)請(qǐng)直接寫出不等式(k﹣3)x+b>0的解集;(3)M為射線CB上一時(shí),求M點(diǎn)的坐標(biāo).【變式1-4】(2022秋?榆陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末)如圖1,平面直角坐標(biāo)系中,直線y=12x﹣2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,直線y=﹣x+b經(jīng)過點(diǎn)A,并與y軸交于點(diǎn)(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及b的值;(2)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)P作x軸的垂線,分別交直線AC,AB于點(diǎn)D,E.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t.點(diǎn)D的坐標(biāo)為.點(diǎn)E的坐標(biāo)為;(均用含t的式子表示)(3)在(2)的條件下,當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí),探究是否存在某一時(shí)刻,使DE=OB?若存在,求出此時(shí)△ADE的面積;若不存在說明理由.【變式1-5】(2021秋?西湖區(qū)校級(jí)期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線y=?34x+6與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,與直線y=34(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)點(diǎn)P是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)O,A重合),過點(diǎn)P作平行于y軸的直線l,分別交直線AB,OC于點(diǎn)D,點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.①求線段PD的長(zhǎng)(用含m的代數(shù)式表示);②當(dāng)點(diǎn)P,D,E三點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)是另兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成線段的中點(diǎn)時(shí),請(qǐng)直接寫出m的值;(3)過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F,點(diǎn)M在線段CF上且不與點(diǎn)C重合,點(diǎn)N在線段OC上,CM=ON,連接BM,BN,BM+BN是否存在最小值?如果存在,請(qǐng)直接寫出最小值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.題型二一次函數(shù)與等角問題題型二一次函數(shù)與等角問題【例題2】(2022秋?東臺(tái)市月考)如圖,直線y=kx+b與直線y=﹣x+4相交于點(diǎn)A(2,2),與y軸交于點(diǎn)B(0,﹣2).(1)求直線y=kx+b的函數(shù)表達(dá)式;(2)若直線y=﹣x+4與y軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)P在直線y=﹣x+4上,當(dāng)∠ABO=∠POD時(shí),直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).【變式2-1】(2022秋?常州期末)【操作思考】如圖1所示的網(wǎng)格中,建立平面直角坐標(biāo)系.先畫出正比例函數(shù)y=x的圖象,再畫出△ABC關(guān)于正比例函數(shù)y=x的圖象對(duì)稱的△DEF.【猜想驗(yàn)證】猜想:點(diǎn)P(a,b)關(guān)于正比例函數(shù)y=x的圖象對(duì)稱的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為;驗(yàn)證點(diǎn)P(a,b)在第一象限時(shí)的情況(請(qǐng)將下面的證明過程補(bǔ)充完整).證明:如圖2,點(diǎn)P(a,b)、Q關(guān)于正比例函數(shù)y=x的圖象對(duì)稱,PH⊥x軸,垂足為H.【應(yīng)用拓展】在△ABC中,點(diǎn)A坐標(biāo)為(3,3),點(diǎn)B坐標(biāo)為(﹣2,﹣1),點(diǎn)C在射線BO上,且AO平分∠BAC,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.【變式2-2】(2022秋?開江縣校級(jí)期末)如圖1,已知函數(shù)y=12x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于(1)求直線BC的函數(shù)解析式;(2)設(shè)點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作y軸的平行線,交直線AB于點(diǎn)P,交直線BC于點(diǎn)Q.①若△PQB的面積為72,求點(diǎn)Q②點(diǎn)M在線段AC上,連接BM,如圖2,若∠BMP=∠BAC,直接寫出P的坐標(biāo).【變式2-3】如圖1,直線y=﹣x+b分別交x,y軸于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C(0,2),若S△ABC=2S△ACO.(1)求b的值;(2)若點(diǎn)P是射線AB上的一點(diǎn),S△PAC=S△PCO,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)如圖2,過點(diǎn)C的直線交直線AB于點(diǎn)E,已知D(﹣1,0),∠BEC=∠CDO,求直線CE的解析式.【變式2-4】(2022春?朔州期末)綜合與探究如圖1,直線AB與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn),已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn).知識(shí)初探:如圖1,求直線AB的解析式.探究計(jì)算:如圖2,若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()拓展探究:如圖3,若點(diǎn)CB的垂線,交x軸于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的坐標(biāo).類比探究:如圖4,過點(diǎn)C作線段AB的垂線,交x軸于點(diǎn)N,連接AN,當(dāng)∠OAN=∠CAN時(shí),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()題型三一次函數(shù)與45°角問題題型三一次函數(shù)與45°角問題【例題3】(2022春?宛城區(qū)期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB:y=?43x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B(1)將直線AB向下平移5個(gè)單位,所得直線的解析式是;(2)直接寫出與直線AB關(guān)于x軸對(duì)稱的直線的解析式;(3)若點(diǎn)P在x軸上,且∠APB=45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo);【變式3-1】(2022春?大冶市期末)如圖1,直線y=12x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)E為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn),且S(1)求直線AE的解析式;(2)如圖2,直線y=mx交直線AB于點(diǎn)M,交直線AE于點(diǎn)N,當(dāng)S△OEN=2S△OBM時(shí),求m的值;(3)點(diǎn)P為直線AE上一點(diǎn),若∠ABP=45°,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo):.【變式3-2】(2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=?23x+4與x軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn),過點(diǎn)C作DC⊥x軸,垂足為(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);(2)若點(diǎn)E為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn),連接CE交x軸于點(diǎn)F,且CF=FE,在直線CD上有一點(diǎn)P,使得AP+EP最小,求P點(diǎn)坐標(biāo);(3)如圖2,直線CD上是否存在點(diǎn)Q使得∠ABQ=45°,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.【變式3-3】(2022秋?洪山區(qū)校級(jí)月考)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB分別交y軸、x軸于點(diǎn)A(0,a),點(diǎn)B(b,0),且a、b滿足|a﹣2|+2b+2(1)求a,b的值;(2)以AB為邊作Rt△ABC,點(diǎn)C在直線AB的右側(cè)且∠ACB=45°,求點(diǎn)C的坐標(biāo);(3)若(2)的點(diǎn)C在第四象限(如圖2),AC與x交于點(diǎn)D,BC與y軸交于點(diǎn)E,連接DE,過點(diǎn)C作CF⊥BC交x軸于點(diǎn)F.①求證:CF=12②直接寫出點(diǎn)C到DE的距離.【變式3-4】(2020秋?濟(jì)南月考)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB經(jīng)過點(diǎn)C(a,a),且交x軸于點(diǎn)A(m,0),交y軸于點(diǎn)B(0,n),且m,n滿足m?6+(n﹣12)2(1)求直線AB的解析式及C點(diǎn)坐標(biāo);(2)設(shè)過點(diǎn)C的直線交x軸于點(diǎn)D,使得S△AOB=S△ACD,求D點(diǎn)的坐標(biāo);(3)如圖2,點(diǎn)E(0,﹣2),點(diǎn)P為射線AB上一點(diǎn),且∠CEP=45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).【變式3-5】(2022?江北區(qū)開學(xué))在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(﹣1,0),B(0,3),C(3,0),D是線段AB上一點(diǎn),CD交y軸于點(diǎn)E,且S△BCE=2S△AOB.(1)求直線AB的解析式;(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)猜想線段CE與線段AB的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系,并說明理由;(4)若F為射線CD上一點(diǎn),且∠DBF=45°,求點(diǎn)F的坐標(biāo).題型四一次函數(shù)與角度有關(guān)的綜合問題題型四一次函數(shù)與角度有關(guān)的綜合問題【例題4】(2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的解析式為y=?43x+b,它與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn),已知點(diǎn)(1)求出A點(diǎn)的坐標(biāo).(2)在第一象限的角平分線上是否存在點(diǎn)Q使得∠QBA=90°?若存在,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.(3)點(diǎn)P為y軸上一點(diǎn),連結(jié)AP,若∠APO=2∠ABO,求點(diǎn)P的坐標(biāo).【變式4-1】(2022?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)模擬)如圖,點(diǎn)P(a,a+3)是直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線l1:y=2x+6與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,直線l2經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)(6,3)并與x軸交于點(diǎn)C.(1)求直線l2的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)點(diǎn)P會(huì)落在直線l1:y=2x+6上嗎?說明原因;(3)當(dāng)點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部時(shí).①求a的范圍;②是否存在點(diǎn)P,使得∠OPA=90°?若存在,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.【變式4-2】(2022秋?和平區(qū)校級(jí)期中)如圖1,直線y=34x和直線y=?12x+b相交于點(diǎn)A,直線y=?12x+b與x軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P在線段AC上,PD⊥x軸于點(diǎn)(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為;(2)當(dāng)QP=OA時(shí),求Q點(diǎn)的坐標(biāo).(3)如圖2,在(2)的條件下,∠OQP平分線交x軸于點(diǎn)M.①求出M點(diǎn)的坐標(biāo).②在線段QM上找一點(diǎn)N,使△AON的周長(zhǎng)最小,直接寫出周長(zhǎng)最小值.【變式4-3】(2022秋?常州期末)在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=?43x+43的圖象l1與x軸交于點(diǎn)A,一次函數(shù)y=x+6的圖象l2與x軸交于點(diǎn)B,與l1交于點(diǎn)P.直線l3過點(diǎn)A且與x軸垂直,(1)分別求出點(diǎn)A、P的坐標(biāo);(2)設(shè)直線PC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,且滿足函數(shù)值y隨x的增大而增大.若△PCA的面積為15,分別求出k、b的值;(3)是否存在點(diǎn)C,使得2∠PCA+∠PAB=90°?若存在,直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.【變式4-4】(2022秋?市中區(qū)校級(jí)期末)如圖,直線y=﹣x+4和直線y=2x+1相交于點(diǎn)A,分別與y軸交于B,C兩點(diǎn).(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)P(a,0),過點(diǎn)P作x軸的垂線,分別交函數(shù)y=﹣x+4和y=2x+1的圖象于點(diǎn)D,E,若DE=9,求a的值.(3)在(2)的條件下,點(diǎn)Q為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn),直接寫出△DEQ為等腰三角形時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo).【變式4-5】已知,在直角坐標(biāo)系中,A(﹣a,0),B(b,0),C(0,c),且滿足b=a?c(1)如圖1,過B作BD⊥AC,交y軸于M,垂足為D,求M點(diǎn)的坐標(biāo).(2)如圖2,若a=32,AC=6,點(diǎn)P為線段AC上一點(diǎn),D為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn),且PD=PO,∠DPO=45°,求點(diǎn)D的坐標(biāo).(3)如圖3,M在OC上,E在AC上,滿足∠CME=∠OMA,EF⊥AM交AO于G,垂足為F,試猜想線段OG,OM,CM三者之間的數(shù)量關(guān)系,并給出證明.【變式4-6】(2022春?江夏區(qū)校級(jí)月考)如圖,直線y1=3x+6分別交x軸、y軸于A,B兩點(diǎn),直線y2=kx+3(k≠3)分別交x軸、y軸于C,D,交y1于點(diǎn)E.(1)直接寫出坐標(biāo)A:,B:,D:;(2)如圖1,若∠BED=45°,求C點(diǎn)的坐標(biāo);(3)如圖2,在(2)的條件下,過點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F作x軸的垂線交直線y2于點(diǎn)G,連接EF、BG、OE,求證:EF﹣BE=2OE八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十九章一次函數(shù)》專題一次函數(shù)與線段、角度有關(guān)的問題題型一一次函數(shù)與線段問題題型一一次函數(shù)與線段問題【例題1】(2021春?達(dá)川區(qū)校級(jí)期中)如圖,直線y1=?13x+b與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B,與直線y2=x交于點(diǎn)E,點(diǎn)(1)直接寫出b值:;(2)直接寫出關(guān)于不等式組0<?13x+b≤(3)在x軸上有一點(diǎn)P(m,0),過點(diǎn)P作x軸的垂線,與直線y1=?13x+b交于點(diǎn)C,與直線y2=x交于點(diǎn)D,若CD=2OB,求【分析】(1)先求出E點(diǎn)坐標(biāo),再代入求出b的值,(2)求出直線y1=?13x+b與x軸交于點(diǎn)A坐標(biāo),根據(jù)函數(shù)的圖象可以直接得出,當(dāng)0<y1≤y2時(shí)(3)由點(diǎn)B的坐標(biāo),可求出OB的長(zhǎng),進(jìn)而求出CD的長(zhǎng),由于點(diǎn)C、D分別在兩條直線上,由題意得CD的長(zhǎng)就是這兩個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的差,因此有兩種情況,分類討論,得出答案.【解答】解:(1)點(diǎn)E在直線y2=x上,點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3.∴E(3,3)代入直線y1=?13x+b得,3=?1∴b=4,故答案為:4.(2)直線y1=?13x+4得與x軸交點(diǎn)由圖象可知:當(dāng)0<y1≤y2時(shí),相應(yīng)的x的值為:3≤x<12.(3)當(dāng)x=0時(shí),y=4,∴B(0,4),即:OB=4,∴CD=2OB=8,∵點(diǎn)C在直線y1=?13x+4上,點(diǎn)D在直線y2=∴(?13m+4)﹣m=8或x﹣(?解得:m=﹣3或m=9,答:m的值為﹣3或9.【點(diǎn)評(píng)】考查待定系數(shù)法求函數(shù)的關(guān)系式、一次函數(shù)與一元一次不等式組的關(guān)系等知識(shí),數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵.【變式1-1】(2022秋?青白江區(qū)期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AE:y=23x+8交x軸于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)A,直線BD:y=﹣2x﹣4交x軸于點(diǎn)D,交y軸于B,交直線AE于點(diǎn)(1)求點(diǎn)D、點(diǎn)E和點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)求△CDE的面積;(3)若在直線AE上存在點(diǎn)F,使BA是△BCF的中線,求點(diǎn)F的坐標(biāo).【分析】(1)由一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得點(diǎn)E、D的坐標(biāo),兩解析式聯(lián)立成方程組,解方程組求得點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)根據(jù)三角形面積公式解答即可;(3)作CG⊥y軸于G,F(xiàn)H⊥y軸于H,構(gòu)造全等三角形△CAG≌△FAH(AAS),由該全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可以求得FH=CG=92,將x=9【解答】解:(1)在y=23x+8中,令y=0,得23x∴E(﹣12,0).在y=﹣2x﹣4中,令y=0,得﹣2x﹣4=0,解得x=﹣2,∴D(﹣2,0).解方程組y=23x+8∴C(?9(2)∵E(﹣12,0),D(﹣2,0).∴DE=10,∴S△CDE=1(3)作CG⊥y軸于點(diǎn)G,F(xiàn)H⊥y軸于點(diǎn)H.∵∠CGA=∠FHA=90°.∵BA為△BCF的中線,∴CA=FA.∵∠CAG=∠FAH,∴△CAG≌△FAH(AAS).∴FH=CG=9在y=23x+8中,當(dāng)x=9∴F(92【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法,三角形面積求法和全等三角形的判定合性質(zhì)等知識(shí),此題綜合性較強(qiáng),利用函數(shù)圖象表示出各部分長(zhǎng)度,再利用全等三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)的坐標(biāo).【變式1-2】(2023春?包河區(qū)月考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y1=﹣2x+10的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與一次函數(shù)y2=23x+2的圖象交于點(diǎn)(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)結(jié)合圖象,當(dāng)y1>y2時(shí),請(qǐng)直接寫出x的取值范圍;(3)C為x軸上點(diǎn)A右側(cè)一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)C作y軸的平行線,與一次函數(shù)y1=﹣2x+10的圖象交于點(diǎn)D,與一次函數(shù)y2=23x+2的圖象交于點(diǎn)E.當(dāng)CE=3CD時(shí),求【分析】(1)聯(lián)立可直接得點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)根據(jù)函數(shù)圖象,結(jié)合B點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得x的取值范圍;(3)設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m,則D(m,﹣2m+10),E(m,23m+2),由CE=3CD求出m,即可得DE【解答】解:(1)令﹣2x+10=23x+2,解得∴y=4,∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4).(2)由圖象以及B(3,4)可知,x<3時(shí),y1>y2;(3)設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m,則D(m,﹣2m+10),E(m,23m∴CE=23m+2,CD=2∵CE=3CD,∴23m+2=3(2m﹣10),解得m∴D(6,﹣2),E(6,6),∴DE=8.【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)綜合題,考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,一次函數(shù)與一元一次不等式,兩點(diǎn)的距離等知識(shí),靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題是本題的關(guān)鍵.【變式1-3】(2023春?中原區(qū)校級(jí)期中)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(﹣2,6),且與x軸相交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)D,與正比例函數(shù)y=3x的圖象相交于點(diǎn)C,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1.(1)求k,b的值;(2)請(qǐng)直接寫出不等式(k﹣3)x+b>0的解集;(3)M為射線CB上一時(shí),求M點(diǎn)的坐標(biāo).【分析】(1)求出C(1,3),再用待定系數(shù)法可得k的值是﹣1,b的值是4;(2)觀察圖象不等式(k﹣3)x+b>0的解集為x<1;(3)由y=﹣x+4,得D(0,4),OD=4,設(shè)M(m,﹣m+4),則N(m,3m),有3m﹣(﹣m+4)=3×4,即可解得答案.【解答】解:(1)在y=3x中,令x=1得y=3,∴C(1,3),把A(﹣2,6),C(1,3)代入y=kx+b得:?2k+b=6k+b=3解得k=?1b=4∴k的值是﹣1,b的值是4;(2)由圖象可得,當(dāng)x<1時(shí),直線y=kx+b在直線y=3x上方,∴kx+b>3x的解集為x<1,∴不等式(k﹣3)x+b>0的解集為x<1;(3)由(1)知,直線AB的解析式為y=﹣x+4,令x=0得y=4,∴D(0,4),∴OD=4,設(shè)M(m,﹣m+4),則N(m,3m),∵M(jìn)N=3DO,∴3m﹣(﹣m+4)=3×4,解得m=4,∴M的坐標(biāo)為(4,0).【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及待定系數(shù)法,一次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征,解題的關(guān)鍵是用含m的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度.【變式1-4】(2022秋?榆陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末)如圖1,平面直角坐標(biāo)系中,直線y=12x﹣2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,直線y=﹣x+b經(jīng)過點(diǎn)A,并與y軸交于點(diǎn)(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及b的值;(2)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)P作x軸的垂線,分別交直線AC,AB于點(diǎn)D,E.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t.點(diǎn)D的坐標(biāo)為.點(diǎn)E的坐標(biāo)為;(均用含t的式子表示)(3)在(2)的條件下,當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí),探究是否存在某一時(shí)刻,使DE=OB?若存在,求出此時(shí)△ADE的面積;若不存在說明理由.【分析】(1)將y=0代入y=12x﹣2,求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),同理求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,﹣2);將A(4,0)代入y=﹣x+b,求出(2)由(1)知,直線AC的表達(dá)式為y=﹣x+4,根據(jù)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況可知點(diǎn)P(t,0),再根據(jù)PD⊥x軸分別求出D(t,﹣t+4),E(t,12t(3)求出B(0,﹣2),利用DE=OB,求出t=83,進(jìn)而求出△【解答】解:(1)令y=0,則x=4,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),令x=0,則y=﹣2,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,﹣2),將A(4,0)代入y=﹣x+b,得0=﹣4+b,解得b=4;(2)由(1)知,直線AC的表達(dá)式為y=﹣x+4,∵點(diǎn)P(t,0),∵PD⊥x軸,∴D(t,﹣t+4),E(t,12t故答案為(t,﹣t+4),(t,12t(3)存在t,使DE=OB,理由如下:∵點(diǎn)P在線段OA上,∴0≤t≤4,由(2)知D(t,﹣t+4),E(t,12t∴DE=﹣t+4﹣(12t﹣2)=?3∵B(0,﹣2),∴OB=2,∵DE=OB,∴?32解得:t=8∴AP=4﹣t=4?8∴S△ADE=12DE?AP=1【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì),熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì),直線與x軸垂直時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn),兩點(diǎn)間距離的求法是解題的關(guān)鍵.【變式1-5】(2021秋?西湖區(qū)校級(jí)期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線y=?34x+6與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,與直線y=34(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)點(diǎn)P是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)O,A重合),過點(diǎn)P作平行于y軸的直線l,分別交直線AB,OC于點(diǎn)D,點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.①求線段PD的長(zhǎng)(用含m的代數(shù)式表示);②當(dāng)點(diǎn)P,D,E三點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)是另兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成線段的中點(diǎn)時(shí),請(qǐng)直接寫出m的值;(3)過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F,點(diǎn)M在線段CF上且不與點(diǎn)C重合,點(diǎn)N在線段OC上,CM=ON,連接BM,BN,BM+BN是否存在最小值?如果存在,請(qǐng)直接寫出最小值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.【分析】(1)∴聯(lián)立方程組:y=?34x+6(2)①點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,由PD∥y軸,得點(diǎn)P、D三點(diǎn)橫坐標(biāo)都為m,點(diǎn)D坐標(biāo)為(m,?34m+6),得PD=|?②,先表示出P,D,E三點(diǎn)坐標(biāo),分兩種情況第一種情形:點(diǎn)D是PE的中點(diǎn)時(shí),第二種情形:點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)時(shí),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解;(3)在OA上取點(diǎn)H,使得OH=BC,連接NH,先證△BCM≌△HON(SAS),BM=NH,BM+BN=NH+BN,當(dāng)NH+BN最小,即B、N、H三點(diǎn)共線時(shí),BM+BN最小,即可求解.【解答】解:(1)∵直線y=?34x+6與直線y=34∴聯(lián)立方程組:y=?3解得:x=4y=3∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,3);(2)①點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,∵PD∥y軸,∴點(diǎn)P、D,E三點(diǎn)橫坐標(biāo)都為m,當(dāng)x=m時(shí),y=34m,y=?∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(m,?34∴PD=?34②當(dāng)x=m時(shí),y=34∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(m,34m而點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,0),第一種情形:點(diǎn)D是PE的中點(diǎn)時(shí),34m+0解得:m=16第二種情形:點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)時(shí),12(?34m+6+0)解得:m=8綜上,m=163或(3)BM+BN存在最小值,在OA上取點(diǎn)H,使得OH=BC,連接NH,∵C(4,3),A(8,0),B(0,6),∠AOB=90°,∴AB=10,∵CF⊥BO,∴點(diǎn)F坐標(biāo)為(0,3),∴CF垂直平分BO,∴CB=OC=AC=5,∠BCF=∠OCF,∵CF∥AO,∴∠FCO=∠AOC,∴∠BCM=∠HON,∵M(jìn)C=NO,CB=OH,∴△BCM≌△HON(SAS),∴BM=NH,∴BM+BN=NH+BN,當(dāng)NH+BN最小,即B、N、H三點(diǎn)共線時(shí),BM+BN最小,此時(shí)最小值=B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,中點(diǎn)坐標(biāo)公式的運(yùn)用,全等三角形的性質(zhì)與判定,最值問題,解題關(guān)鍵是利用全等三角形的性質(zhì)把BM+BN的值轉(zhuǎn)化為NH+BN的值.題型二一次函數(shù)與等角問題題型二一次函數(shù)與等角問題【例題2】(2022秋?東臺(tái)市月考)如圖,直線y=kx+b與直線y=﹣x+4相交于點(diǎn)A(2,2),與y軸交于點(diǎn)B(0,﹣2).(1)求直線y=kx+b的函數(shù)表達(dá)式;(2)若直線y=﹣x+4與y軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)P在直線y=﹣x+4上,當(dāng)∠ABO=∠POD時(shí),直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).【分析】(1)利用待定系數(shù)即可求解;(2)分點(diǎn)P在y軸右側(cè),點(diǎn)P在y軸左側(cè)兩種情況,分別解答即可.【解答】解:(1)∵直線y=kx+b與直線y=﹣x+4相交于點(diǎn)A(2,2),與y軸交于點(diǎn)B(0,﹣2).∴2k+b=2b=?2,k=2∴直線y=kx+b的函數(shù)表達(dá)式為y=2x﹣2;(2)①點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí),∵∠ABO=∠POD,∴OP∥AB,∵直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=2x﹣2,∴直線OP為y=2x.聯(lián)立y=﹣x+4得:y=?x+4y=2x解得x=4∴P(43,8②點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí),過點(diǎn)A作AM⊥x軸于M,減OP于N,設(shè)AB交x軸于點(diǎn)C,∴∠OMN=∠BOC=90°,∵A(2,2),∴M(0,2),∵B(0,﹣2),∴OM=BO=2,∵∠ABO=∠POD,∴△CBO≌△MON,∴MN=OC,∵直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=2x﹣2,∴點(diǎn)C(1,0),∴OC=1,∴MN=1,∴N(﹣1,2),設(shè)直線ON的函數(shù)表達(dá)式為y=mx,∴﹣x=2,解得x=﹣2,∴直線ON的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣2x,聯(lián)立y=﹣x+4得:y=?x+4y=?2x解得x=﹣4,∴P(﹣4,8).綜上所述:點(diǎn)P坐標(biāo)為(43,8【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)綜合題,考查了待定系數(shù)法求解析式,兩直線平行問題,全等三角形的判定和性質(zhì),利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵.【變式2-1】(2022秋?常州期末)【操作思考】如圖1所示的網(wǎng)格中,建立平面直角坐標(biāo)系.先畫出正比例函數(shù)y=x的圖象,再畫出△ABC關(guān)于正比例函數(shù)y=x的圖象對(duì)稱的△DEF.【猜想驗(yàn)證】猜想:點(diǎn)P(a,b)關(guān)于正比例函數(shù)y=x的圖象對(duì)稱的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為;驗(yàn)證點(diǎn)P(a,b)在第一象限時(shí)的情況(請(qǐng)將下面的證明過程補(bǔ)充完整).證明:如圖2,點(diǎn)P(a,b)、Q關(guān)于正比例函數(shù)y=x的圖象對(duì)稱,PH⊥x軸,垂足為H.【應(yīng)用拓展】在△ABC中,點(diǎn)A坐標(biāo)為(3,3),點(diǎn)B坐標(biāo)為(﹣2,﹣1),點(diǎn)C在射線BO上,且AO平分∠BAC,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.【分析】操作思考:根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的對(duì)稱性即可畫出圖象.猜想驗(yàn)證:作QI⊥y,PH⊥x,點(diǎn)P、Q關(guān)于函數(shù)y=x的圖象對(duì)稱,可證明得到△IOQ≌△HOP,從而得到IQ=PH,OI=OH,進(jìn)而可得到Q點(diǎn)坐標(biāo);應(yīng)用拓展:在△ABC中,AO平分∠BAC,構(gòu)造全等三角形,可得點(diǎn)C在AB關(guān)于AK的對(duì)稱線AB'上,又因?yàn)辄c(diǎn)C在射線BO上,所以點(diǎn)C為直線BO和直線AB'的交點(diǎn)坐標(biāo).求出直線BO和直線AB'的解析式,即可得到答案.【解答】解:操作思考:猜想驗(yàn)證:猜想點(diǎn)P(a,b)關(guān)于正比例函數(shù)y=x的圖象對(duì)稱的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(b,a).故答案為:(b,a);證明:作QI⊥y軸,垂足為I,連接OQ.∵點(diǎn)P、Q關(guān)于函數(shù)y=x的圖象對(duì)稱,∴OP=OQ,PQ⊥ON,∴∠QON=∠PON,∵∠ION=∠HON=45°,∴∠ION﹣∠QON=∠HON﹣∠PON,即∠IOQ=∠HOP.在△IOQ和△HOP中,∠QIO=∠PHO∠IOQ=∠HOP∴△IOQ≌△HOP(AAS),∴IQ=PH=b,OI=OH=a,∴Q(b,a).應(yīng)用拓展:如圖3,過B作BB'⊥OA交AC延長(zhǎng)線于B',交直線AO于K,∵A(3,3),∴直線OA為y=x的圖象,∵AO平分∠BAC,∴∠BAO=∠B'AO,∵∠BKA=∠B'KA=90°,AK=AK,∴△BKA≌△B'KA(ASA),∴BK=B'K,∵BB'⊥AO,∴B、B'關(guān)于直線y=x對(duì)稱,∵B(﹣2,﹣1),∴B'(﹣1,﹣2),設(shè)直線AB'為y=kx+b,∴3k+b=3?k+b=?2∴k=5∴直線AB'為y=5又∵直線BO為y=1∴54∴x=1,∴y=1∴C(1,1故答案為:(1,1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形在平面直角坐標(biāo)系中的對(duì)稱問題、三角形全等問題、一次函數(shù)的應(yīng)用,熟練掌握?qǐng)D形對(duì)稱的定義,證明全等的方法,求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法是解此題的關(guān)鍵.【變式2-2】(2022秋?開江縣校級(jí)期末)如圖1,已知函數(shù)y=12x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于(1)求直線BC的函數(shù)解析式;(2)設(shè)點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作y軸的平行線,交直線AB于點(diǎn)P,交直線BC于點(diǎn)Q.①若△PQB的面積為72,求點(diǎn)Q②點(diǎn)M在線段AC上,連接BM,如圖2,若∠BMP=∠BAC,直接寫出P的坐標(biāo).【分析】(1)先確定出點(diǎn)B坐標(biāo)和點(diǎn)A坐標(biāo),進(jìn)而求出點(diǎn)C坐標(biāo),最后用待定系數(shù)法求出直線BC解析式;(2)①先表示出PQ,最后用三角形面積公式即可得出結(jié)論;②分點(diǎn)M在y軸左側(cè)和右側(cè),由對(duì)稱得出∠BAC=∠ACB,∠BMP+∠BMC=90°,所以,當(dāng)∠MBC=90°即可,利用勾股定理建立方程即可x2+9+45=(6﹣x)2,即可求解.【解答】解:(1)對(duì)于y=12由x=0得:y=3,∴B(0,3).由y=0得:12x+3=0,解得x∴A(﹣6,0),∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱.∴C(6,0)設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b,∴b=36k+b=0,解得k=?∴直線BC的函數(shù)解析式為y=?12(2)①設(shè)點(diǎn)M(m,0),則點(diǎn)P(m,12m+3),點(diǎn)Q(m,?1過點(diǎn)B作BD⊥PQ與點(diǎn)D,則PQ=|?12m+3﹣(12m+3)|=|m|,BD則△PQB的面積=12PQ?BD=12m2=7故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(7,3?72)或(?7②如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在y軸的左側(cè)時(shí),∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱,∴AB=BC,∴∠BAC=∠BCA,∵∠BMP=∠BAC,∴∠BMP=∠BCA,∵∠BMP+∠BMC=90°,∴∠BMC+∠BCA=90°∴∠MBC=180°﹣(∠BMC+∠BCA)=90°,∴BM2+BC2=MC2,設(shè)M(x,0),則P(x,12x∴BM2=OM2+OB2=x2+9,MC2=(6﹣x)2,BC2=OC2+OB2=62+32=45,∴x2+9+45=(6﹣x)2,解得x=?3∴P(?32,如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在y軸的右側(cè)時(shí),同理可得P(32,15綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?32,94)或(3【點(diǎn)評(píng)】此題是一次函數(shù)綜合題,主要考查了待定系數(shù)法,三角形的面積公式,直角三角形的判定,勾股定理,坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn),分類討論是解本題的關(guān)鍵.【變式2-3】如圖1,直線y=﹣x+b分別交x,y軸于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C(0,2),若S△ABC=2S△ACO.(1)求b的值;(2)若點(diǎn)P是射線AB上的一點(diǎn),S△PAC=S△PCO,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)如圖2,過點(diǎn)C的直線交直線AB于點(diǎn)E,已知D(﹣1,0),∠BEC=∠CDO,求直線CE的解析式.【分析】(1)利用△ABC和△ACO的面積公式求解;(2)分兩種情況討論,點(diǎn)P在第一象限或者在第二象限,分別列出對(duì)應(yīng)面積的表達(dá)式求解;(3)構(gòu)造△CDO和△CEF相似,求出點(diǎn)C和點(diǎn)E的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法再求直線表達(dá)式.【解答】解:(1)∵直線y=﹣x+b分別交x,y軸于A,B兩點(diǎn),∴點(diǎn)A(b,0),點(diǎn)B(0,b),∴S△ABC=12×BC×OA=12×(b?2)×b∵S△ABC=2S△ACO,∴12解得b=6;(2)由(1)知b=6,直線AB表達(dá)式為y=﹣x+6,∴A點(diǎn)坐標(biāo)(6,0),B點(diǎn)坐標(biāo)(0,6),設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b,將點(diǎn)A、C代入得,6k+b=0b=2,解得k=?∴直線AC的解析式為y=?13①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí),過點(diǎn)P作PQ⊥x軸,交AC于點(diǎn)Q,設(shè)Q(x,?13x+2),則點(diǎn)P(x,﹣方法一:∴PQ=﹣x+6﹣(?13x+2)∴S△PAC=S△PCQ+S△PAQ=1=12﹣2x,S△PCO==x,∵S△PAC=S△PCO,即12﹣2x=x,解得:x=4,則P點(diǎn)坐標(biāo)(4,2);方法二:∵S△PAC=S△BCA﹣S△BCP,∴S△PAC==1=12﹣2x,∵S△PCO=1∴S△PAC=S△PCO,∴12﹣2x=x,解得x=4,∴P(4,2);②當(dāng)P點(diǎn)在第二象限時(shí),設(shè)點(diǎn)P(x,﹣x+6),∴S△PAC=S△PBC+S△ABC=1=12﹣2x,S△PCO==﹣x,∵S△PAC=S△PCO,即12﹣2x=﹣x,解得:x=12,∴第二象限x<0,x=12不符合題意舍去,∴P點(diǎn)坐標(biāo)(4,2);(3)如圖,過點(diǎn)D作DF⊥CD交EC于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FH∠OD于H,設(shè)EC交x軸于點(diǎn)G.∵∠BEC=∠CDO,∴∠BAO+∠EGA=∠EGA+∠DCG,∴∠DCG=∠AO=45°,∴CD=DF,∵∠FDH+∠CDO=90°,∠CDO+∠DCO=90°,∴∠DCO=∠FDH,∵∠FHD=∠DOC=90°,∴△FHD≌△DOC(AAS),∴FH=OD=1,DH=OC=2,∴F(﹣3,1),∴直線CE的解析式為y=1【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)綜合題目,主要考查直角坐標(biāo)系內(nèi)三角形面積計(jì)算,解題關(guān)鍵是熟練計(jì)算坐標(biāo)系內(nèi)三角形面積,求出點(diǎn)E和點(diǎn)C的坐標(biāo),進(jìn)而求出直線的表達(dá)式,【變式2-4】(2022春?朔州期末)綜合與探究如圖1,直線AB與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn),已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn).知識(shí)初探:如圖1,求直線AB的解析式.探究計(jì)算:如圖2,若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()拓展探究:如圖3,若點(diǎn)CB的垂線,交x軸于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的坐標(biāo).類比探究:如圖4,過點(diǎn)C作線段AB的垂線,交x軸于點(diǎn)N,連接AN,當(dāng)∠OAN=∠CAN時(shí),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()【分析】知識(shí)初探:利用待定系數(shù)法可求解析式;探究計(jì)算:由中點(diǎn)公式可得,點(diǎn)C(2,32拓展探究:連接AM,設(shè)M(m,0),則OM=m,BM=4﹣m,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得AM=BM,在Rt△AOM中,利用勾股定理求出m的值,即可求解;類比探究:根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得NO=NC,利用HL得Rt△OAN≌Rt△ACN,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AC=AO=3,可得出BC=AB﹣AC=2,設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n,0),則ON=n,則CN=n,BN=4﹣n,在Rt△BCN中,由勾股定理即可求解.【解答】解:知識(shí)初探:設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,將A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入,得4k+b=0b=3解得k=?3∴直線AB的解析式為y=?34探究計(jì)算:∵點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),∴由中點(diǎn)公式得,點(diǎn)C(2,32故答案為:2,32拓展探究:連接AM,設(shè)M(m,0),則OM=m,BM=4﹣m,∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn),CM⊥AB,∴AM=BM=4﹣m,在Rt△AOM中,AM2=OM2+OA2,∴(4﹣m)2=m2+32,∴m=7∴M(78類比探究:∵NC⊥AB,NO⊥OA,∴當(dāng)∠OAN=∠CAN時(shí),即AN平分∠OAB時(shí),NO=NC,在Rt△OAN和Rt△ACN中,AN=ANNO=NC∴Rt△OAN≌Rt△ACN(HL),∴AC=AO=3,在Rt△AOB中,由勾股定理得AB=A∴BC=AB﹣AC=2,設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n,0),則ON=n,則CN=n,BN=4﹣n,在Rt△BCN中,由勾股定理得(4﹣n)2﹣n2=22,解得n=3∴點(diǎn)MN的坐標(biāo)為(32故答案為:32【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)綜合題,考查了待定系數(shù)法解析式,中點(diǎn)公式,角平分線的性質(zhì),勾股定理,全等三角形的判定和性質(zhì),利用勾股定理是本題的關(guān)鍵.題型三一次函數(shù)與45°角問題題型三一次函數(shù)與45°角問題【例題3】(2022春?宛城區(qū)期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB:y=?43x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B(1)將直線AB向下平移5個(gè)單位,所得直線的解析式是;(2)直接寫出與直線AB關(guān)于x軸對(duì)稱的直線的解析式;(3)若點(diǎn)P在x軸上,且∠APB=45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo);【分析】(1)由圖形平移的性質(zhì)求解即可;(2)求出A、B點(diǎn)坐標(biāo),然后求出A、B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo),由待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可;(3)由題意可知△OPB是等腰直角三角形,則OP=OB,由此可求P點(diǎn)坐標(biāo);【解答】解:(1)直線AB向下平移5個(gè)單位,得到y(tǒng)=?4故答案為:y=?4(2)令x=0,則y=4,∴B(0,4),令y=0,則x=3,∴A(3,0),∴B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)(0,﹣4),設(shè)直線AB:y=?43x+4關(guān)于x軸對(duì)稱的直線解析式為y∴3k﹣4=0,∴k=4∴y=43(3)∵B(0,4),∴OB=4,∵點(diǎn)P在x軸上,∠APB=45°,∴點(diǎn)P在直線AB的兩側(cè),OP=OB=4,∴P(﹣4,0)或(4,0);【點(diǎn)評(píng)】本題考查次一函數(shù)的圖象及性質(zhì),熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì),菱形的判定及性質(zhì),軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式3-1】(2022春?大冶市期末)如圖1,直線y=12x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)E為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn),且S(1)求直線AE的解析式;(2)如圖2,直線y=mx交直線AB于點(diǎn)M,交直線AE于點(diǎn)N,當(dāng)S△OEN=2S△OBM時(shí),求m的值;(3)點(diǎn)P為直線AE上一點(diǎn),若∠ABP=45°,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo):.【分析】(1)設(shè)E(0,t),由三角形面積求出E(0,﹣4),再由待定系數(shù)法求出直線AE的解析式;(2)聯(lián)立方程組y=12x+2y=mx,求出M(42m?1,4m2m?1),聯(lián)立方程組y=?x?4y=mx,求出N(?(3)當(dāng)P點(diǎn)在A點(diǎn)下方時(shí),過A點(diǎn)作AC⊥AB交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,過A點(diǎn)作MN⊥x軸,過B點(diǎn)作BM⊥MN交于M,過C作CN⊥MN交于N,通過證明△ABM≌△CAN(AAS),求出點(diǎn)C(﹣2,﹣4),利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=3x+2,聯(lián)立方程組y=3x+2y=?x?4,即可求P(?32,?52);當(dāng)P【解答】解:(1)在y=12x+2中,令x∴B(0,2),令y=0,則x=﹣4,∴A(﹣4,0),設(shè)E(0,t),∴BE=2﹣t,∵S△ABE=12,∴12×(2﹣∴t=﹣4,∴E(0,﹣4),設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b,∴?4k+b=0b=?4解得k=?1b=?4∴y=﹣x﹣4;(2)∵S△OEN=2S△OBM,∴4×(﹣xN)=2×2xM,∴﹣xN=xM,聯(lián)立方程組y=1解得x=4∴M(42m?1,4m聯(lián)立方程組y=?x?4y=mx解得x=?4∴N(?4m+1,∴42m?1∴m=2,經(jīng)檢驗(yàn)m=2是方程的根,∴m=2;(3)當(dāng)P點(diǎn)在A點(diǎn)下方時(shí),過A點(diǎn)作AC⊥AB交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,過A點(diǎn)作MN⊥x軸,過B點(diǎn)作BM⊥MN交于M,過C作CN⊥MN交于N,∵∠BAM+∠NAC=90°,∠MAB+∠MBA=90°,∴∠NAC=∠MBA,∵∠ABC=45°,∴AC=AB,∴△ABM≌△CAN(AAS),∴BM=AN,AM=NC,∵B(0,2),A(﹣4,0),∴AM=2,BM=4,∴C(﹣2,﹣4),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,∴?2k+b=?4b=2∴k=3b=2∴y=3x+2,聯(lián)立方程組y=3x+2y=?x?4解得x=?3∴P(?32,當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)上方時(shí),過A點(diǎn)作AQ⊥BP交于點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作QG⊥x軸交于G點(diǎn),∵∠QBA=45°,∴AQ=AB,∵∠QAB=90°,∴∠QAG+∠BAO=90°,∵∠QAG+∠AQG=90°,∴∠BAO=∠AQG,∴△AGQ≌△BOA(AAS),∴AG=BO,QG=AO,∴Q(﹣6,4),設(shè)直線BQ的解析式為y=k'x+b',∴b′=2?6k′+b′=4解得k′=?1∴y=?13聯(lián)立方程組y=?x?4y=?解得x=?9y=5∴P(﹣9,5);綜上所述:P點(diǎn)的坐標(biāo)(﹣9,5)或(?32,故答案為:(﹣9,5)或(?32,【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì),熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì),三角形全等的判定及性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式3-2】(2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=?23x+4與x軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn),過點(diǎn)C作DC⊥x軸,垂足為(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);(2)若點(diǎn)E為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn),連接CE交x軸于點(diǎn)F,且CF=FE,在直線CD上有一點(diǎn)P,使得AP+EP最小,求P點(diǎn)坐標(biāo);(3)如圖2,直線CD上是否存在點(diǎn)Q使得∠ABQ=45°,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.【分析】(1)對(duì)于y=?23x+4,令y=?23x+4=0,解得:x=6,令(2)作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A′(6,4),連接A′E交CD于點(diǎn)P,則點(diǎn)P為所求點(diǎn),進(jìn)而求解;(3)當(dāng)點(diǎn)Q在AB上方時(shí),證明△AHM≌△BOA(AAS),得到M的坐標(biāo)為(4,10),進(jìn)而求解;當(dāng)點(diǎn)Q(Q′)在AB下方時(shí),同理可解.【解答】解:(1)對(duì)于y=?23令y=?23x+4=0,解得:x=6,令x=0,則故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(0,4)、(6,0);(2)∵點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn),則點(diǎn)C(3,2),如圖1,過點(diǎn)C作CH⊥y軸于點(diǎn)H,∵CF=FE,故OF是△EHC的中位線,即點(diǎn)O是HE的中點(diǎn),則點(diǎn)E(0,﹣2),作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A′(6,4),連接A′E交CD于點(diǎn)P,則點(diǎn)P為所求點(diǎn),理由:AP+EP=A′P+EP=A′E為最小,設(shè)直線A′E的表達(dá)式為:y=kx+b,則b=?24=6k+b,解得k=1故直線A′E的表達(dá)式為:y=x﹣2,當(dāng)x=3時(shí),y=x﹣2=1,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,1);(3)存在,理由:當(dāng)點(diǎn)Q在AB上方時(shí),如圖2,過點(diǎn)A作AM⊥BQ交BQ于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MH⊥y軸于點(diǎn)H,∵∠ABQ=45°,∴AM=AB,∵∠HMA+∠HAM=90°,∠HAM+∠OAB=90°,∴∠HMA=∠AOB,在Rt△AHM和Rt△AOB中,∠HMA=∠BAO∠MHA=∠AOB=90°∴△AHM≌△BOA(AAS),∴AH=OB=6,HM=AO=4,故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,10),由點(diǎn)M、B的坐標(biāo)得,直線BM的表達(dá)式為:y=﹣5x+30,當(dāng)x=3時(shí),y=﹣5x+30=15,故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,15);當(dāng)點(diǎn)Q(Q′)在AB下方時(shí),過點(diǎn)A作AN⊥AB交BQ′于點(diǎn)N,則點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,點(diǎn)N(4,2),由點(diǎn)A、N得坐標(biāo)得:直線AN得表達(dá)式為:y=15x當(dāng)x=3時(shí),y=15x故點(diǎn)Q′的坐標(biāo)為(3,?3【點(diǎn)評(píng)】此題是一次函數(shù)綜合題,主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、點(diǎn)的對(duì)稱性,全等三角形的判定和性質(zhì)等,其中(3),需要分類求解,避免遺漏.【變式3-3】(2022秋?洪山區(qū)校級(jí)月考)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB分別交y軸、x軸于點(diǎn)A(0,a),點(diǎn)B(b,0),且a、b滿足|a﹣2|+2b+2(1)求a,b的值;(2)以AB為邊作Rt△ABC,點(diǎn)C在直線AB的右側(cè)且∠ACB=45°,求點(diǎn)C的坐標(biāo);(3)若(2)的點(diǎn)C在第四象限(如圖2),AC與x交于點(diǎn)D,BC與y軸交于點(diǎn)E,連接DE,過點(diǎn)C作CF⊥BC交x軸于點(diǎn)F.①求證:CF=12②直接寫出點(diǎn)C到DE的距離.【分析】(1)由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得出答案;(2)分兩種情況:∠BAC=90°或∠ABC=90°,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)C的坐標(biāo);(3)①如圖3,過點(diǎn)C作CL⊥y軸于點(diǎn)L,則CL=1=BO,根據(jù)AAS可證明△BOE≌△CLE,得出BE=CE,根據(jù)ASA可證明△ABE≌△BCF,得出BE=CF,則結(jié)論得證;②如圖4,過點(diǎn)C作CK⊥ED于點(diǎn)K,過點(diǎn)C作CH⊥DF于點(diǎn)H,根據(jù)SAS可證明△CDE≌△CDF,可得∠CDE=∠CDF,由角平分線的性質(zhì)可得CK=CH=1.【解答】(1)解:∵|a﹣2|+2b+2∵a﹣2≥0,2b+2≥∴a﹣2=0,2b+2=0,∴a=2,b=﹣1;(2)由(1)知a=2,b=﹣1,∴A(0,2),B(﹣1,0),∴OA=2,OB=1,∵△ABC是直角三角形,且∠ACB=45°,∴只有∠BAC=90°或∠ABC=90°,①當(dāng)∠BAC=90°時(shí),如圖1,過點(diǎn)C作CG⊥OA于G,∴∠AGC=90°,∠CAG+∠ACG=90°,∵∠BAO+∠CAG=90°,∴∠BAO=∠ACG,∵∠BAC=90°,∠ACB=45°,∴∠ACB=∠ABC=45°,∴AB=AC,在△AOB和△CGA中,∠CGA=∠AOB=90°∠ACG=∠BAO∴△AOB≌△CGA(AAS),∴CG=OA=2,AG=OB=1,∴OG=OA﹣AG=1,∴C(2,1);②當(dāng)∠ABC=90°時(shí),如圖2,過點(diǎn)C作CG⊥BD于G,同①得,△AOB≌△BGC(AAS),∴BG=OA=2,CG=OB=1,∴OG=BG﹣OB=1,∴C(1,﹣1);即:滿足條件的點(diǎn)C(2,1)或(1,﹣1);(3)①證明:如圖3,由(2)知點(diǎn)C(1,﹣1),過點(diǎn)C作CL⊥y軸于點(diǎn)L,則CL=1=BO,在△BOE和△CLE中,∠OEB=∠LEC∠EOB=∠ELC∴△BOE≌△CLE(AAS),∴BE=CE,∵∠ABC=90°,∴∠BAO+∠BEA=90°,∵∠BOE=90°,∴∠CBF+∠BEA=90°,∴∠BAE=∠CBF,在△ABE和△BCF中,∠BAE=∠CBFAB=BC∴△ABE≌△BCF(ASA),∴BE=CF,∴CF=12②解:點(diǎn)C到DE的距離為1.如圖4,過點(diǎn)C作CK⊥ED于點(diǎn)K,過點(diǎn)C作CH⊥DF于點(diǎn)H,由①知BE=CF,∵BE=12∴CE=CF,∵∠ACB=45°,∠BCF=90°,∴∠ECD=∠DCF,∵DC=DC,∴△CDE≌△CDF(SAS),∴∠CDE=∠CDF,∴CK=CH=1.∴點(diǎn)C到DE的距離為1.【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題,考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì),等腰直角三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),坐標(biāo)與圖形的性質(zhì),角平分線的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題.【變式3-4】(2020秋?濟(jì)南月考)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB經(jīng)過點(diǎn)C(a,a),且交x軸于點(diǎn)A(m,0),交y軸于點(diǎn)B(0,n),且m,n滿足m?6+(n﹣12)2(1)求直線AB的解析式及C點(diǎn)坐標(biāo);(2)設(shè)過點(diǎn)C的直線交x軸于點(diǎn)D,使得S△AOB=S△ACD,求D點(diǎn)的坐標(biāo);(3)如圖2,點(diǎn)E(0,﹣2),點(diǎn)P為射線AB上一點(diǎn),且∠CEP=45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).【分析】(1)利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法切線直線AB解析式即可解決問題;(2)根據(jù)三角形的面積公式可得AD=18,即可解決問題;(3)過點(diǎn)C作CF⊥CE交直線EP于點(diǎn)F,則△ECF為等腰直角三角形,求出直線PE解析式,利用方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)即可.【解答】解:(1)∵m?6+(n﹣12)2∴m=6,n=12,∴A(6,0),B(0,12),設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,則:b=12,6k+b=0,解得:k=﹣2,b=12,∴直線AB解析式為y=﹣2x+12,∵直線AB點(diǎn)C(a,a),∴a=﹣2a+12,∴a=4,∴點(diǎn)C坐標(biāo)(4,4);(2)如圖所示,∵A(6,0),B(0,12),∴S△AOB=12?OA?OBS△ADC=12×∴AD=18,設(shè)D(n,0),∴n﹣6=18或者n﹣6=﹣18.即n=24或者n=﹣12,∴點(diǎn)D坐標(biāo)(﹣12,0)或者(24,0);(3)如圖,過點(diǎn)C作CF⊥CE交直線EP于點(diǎn)F,∵∠CEF=45°,∴CE=CF,過C作x軸垂線l,分別過F、E作FM⊥l,EN⊥l,∴∠FMC=∠NCE=90°,∠MCF+∠MFC=90°,∵CF⊥CE,∴∠MCF+∠NCE=90°,∴∠MFC=∠NCE,∴△FMC≌△CNE(AAS),∴FM=CN=6,CM=EN=4,即F點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,8),由E(0,﹣2),得直線EF的解析式為:y=﹣5x﹣2,聯(lián)立y=﹣5x﹣2,y=﹣2x+12,得:x=?143,y即點(diǎn)P坐標(biāo)為:(?143,【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)綜合題、考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì),待定系數(shù)法、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積,全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是構(gòu)造等腰直角三角形解決問題,屬于中考?jí)狠S題.【變式3-5】(2022?江北區(qū)開學(xué))在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(﹣1,0),B(0,3),C(3,0),D是線段AB上一點(diǎn),CD交y軸于點(diǎn)E,且S△BCE=2S△AOB.(1)求直線AB的解析式;(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)猜想線段CE與線段AB的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系,并說明理由;(4)若F為射線CD上一點(diǎn),且∠DBF=45°,求點(diǎn)F的坐標(biāo).【分析】(1)設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為:y=kx+b,代入A、B坐標(biāo);(2)設(shè)E(0,t),根據(jù)S△BCE=2S△AOB,得12×3×(3?t)=3,從而E(0,1),設(shè)直線CE的函數(shù)解析式為:y=mx+n,將C、E的坐標(biāo)代入得出直線CE的解析式,與直線(3)通過SAS證明△COE≌△BOA,得CE=AB,∠OCE=∠OBA,可得∠OCE+∠BAO=∠OBA+∠BAO=90°,即可得出結(jié)論;(4)當(dāng)點(diǎn)F在線段CD上時(shí),過點(diǎn)D作GH∥y軸,過點(diǎn)B、F分別作GH的垂線,垂足分別為G、H點(diǎn),可證△BDG≌△DFH(AAS),得FH=DG=3?65=95,DH=BG=35,從而點(diǎn)F(65,35),當(dāng)點(diǎn)F【解答】解:(1)設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為:y=kx+b,∵點(diǎn)A(﹣1,0),B(0,3),則?k+b=0b=3∴k=3b=3∴直線AB的函數(shù)解析式為:y=3x+3;(2)設(shè)E(0,t),∵A(﹣1,0),B(0,3),∴OA=1,OB=3,∴S△AOB=12×∵S△BCE=2S△AOB,∴S△BCE=3,∴12×3×(3?解得t=1,∴E(0,1),設(shè)直線CE的函數(shù)解析式為:y=mx+n,將C、E的坐標(biāo)代入得:3m+n=0n=1∴m=?1∴直線CE的函數(shù)解析式為:y=?13當(dāng)?13x+1=3∴x=?3則y=6∴D(?35,(3)猜想:CE=AB,CE⊥AB,理由如下:∵OE=OA=1,OC=OB=3,∠COE=∠BOA=90°,∴△COE≌△BOA(SAS),∴CE=AB,∠OCE=∠OBA,∵∠OBA+∠BAO=90°,∴∠OCE+∠BAO=90°,∴∠CDA=90°,∴CE⊥AB;(4)在射線CD上存在兩個(gè)F點(diǎn),使∠DBF=45°,如圖,當(dāng)點(diǎn)F在線段CD上時(shí),過點(diǎn)D作GH∥y軸,過點(diǎn)B、F分別作GH的垂線,垂足分別為G、H點(diǎn),∵CD⊥AB,∠DBF=45°,∴∠DBF=∠DFB=45°,∴BD=DF,∵∠BDG+∠FDH=90°,∠BDG+∠DBG=90°,∴∠FDH=∠DBG,又∵∠BGD=∠DHF,∴△BDG≌△DFH(AAS),∴FH=DG=3?65=95,∴點(diǎn)F(65,3當(dāng)點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上時(shí),由對(duì)稱性可知F(?125,綜上點(diǎn)F的坐標(biāo)為:(65,35)或(?12【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)綜合題,主要考查了待定系數(shù)法求直線解析式,三角形的面積,全等三角形的判定與性質(zhì),構(gòu)造K型全等是解題的關(guān)鍵.題型四一次函數(shù)與角度有關(guān)的綜合問題題型四一次函數(shù)與角度有關(guān)的綜合問題【例題4】(2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的解析式為y=?43x+b,它與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn),已知點(diǎn)(1)求出A點(diǎn)的坐標(biāo).(2)在第一象限的角平分線上是否存在點(diǎn)Q使得∠QBA=90°?若存在,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.(3)點(diǎn)P為y軸上一點(diǎn),連結(jié)AP,若∠APO=2∠ABO,求點(diǎn)P的坐標(biāo).【分析】(1)將點(diǎn)B代入直線,求出直線解析式y(tǒng)=?43x+b,然后求直線與(2)點(diǎn)Q在第一象限角平分線上,設(shè)Q(x,x),利用勾股定理列方程,即可求出點(diǎn)Q的標(biāo);(3)分兩種情況,①點(diǎn)P為y軸正半軸上一點(diǎn);②點(diǎn)P為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn),根據(jù)三角形外角的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)即可求解.【解答】解:(1)∵B的縱坐標(biāo)為4.直線ly=?43x+b,與坐標(biāo)軸分別交于A、∴點(diǎn)B(0,4),將點(diǎn)B(0,4)代入直線l的解析式y(tǒng)=?43x+b得:∴直線l的解析式為:y=?43令y=0得:x=3,∴A(3,0);(2)存在,∵A(3,0),B(0,4),∴AB=O∵Q在第一象限的角平分線上,設(shè)Q(x,x),根據(jù)勾股定理:QB2+BA2=QA2,x2+(x﹣4)2+52=x2+(x﹣3)2,解得x=16,故Q(16,16);(3)如圖:①當(dāng)點(diǎn)P為y軸正半軸上一點(diǎn)時(shí),∵∠APO=2∠ABO,∠APO=∠ABO+∠PAB,∴∠ABO=∠PAB,∴PA=PB,設(shè)P(0,p),∴PA2=PB2,∴32+p2=(4﹣p)2,∴p=7∴P(0,78②當(dāng)點(diǎn)P為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)時(shí),∠AP′P=∠APO=2∠ABO,∴AP=AP′,∵AO⊥PP′,∴OP′=OP=7∴P′(0,?7綜上所述:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,78)或P(0,?【點(diǎn)評(píng)】此題一次函數(shù)的綜合題,考查了點(diǎn)的坐標(biāo)、勾股定理、三角形外角的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí),利用數(shù)形結(jié)合思想以及分類思想解決問題是本題的關(guān)鍵.【變式4-1】(2022?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)模擬)如圖,點(diǎn)P(a,a+3)是直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線l1:y=2x+6與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,直線l2經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)(6,3)并與x軸交于點(diǎn)C.(1)求直線l2的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)點(diǎn)P會(huì)落在直線l1:y=2x+6上嗎?說明原因;(3)當(dāng)點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部時(shí).①求a的范圍;②是否存在點(diǎn)P,使得∠OPA=90°?若存在,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.【分析】(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)是解析式即可;(2)將點(diǎn)P代入直線l1:y=2x+6,判斷a是否有解即可;(3)①由題意可知P點(diǎn)在直線y=x+2上,只需判斷該直線在△ABC內(nèi)部時(shí)的a的取值即可;②設(shè)AO的中點(diǎn)M為(?54,0),由題意可知PM=12【解答】解:(1)令x=0,則y=6,∴B(0,6),令y=0,則x=﹣3,∴A(﹣3,0),設(shè)直線l2的解析式為y=kx+b,b=66k+b=3解得k=?1∴y=?12令y=0,則x=12,∴C(12,0);(2)將點(diǎn)P(a,a+3)代入y=2x+6,∴a+3=2a+6,解得a=﹣3,∴P(﹣3,0),∴P點(diǎn)會(huì)落在直線l1上;(3)①∵P(a,a+3),∴P點(diǎn)在直線y=x+3上,令y=0,則x=﹣3,∴直線y=x+2與x軸的交點(diǎn)為(﹣3,0),聯(lián)立方程組y=?1解得x=2y=5∴直線y=x+3與直線BC交點(diǎn)為(2,5),∵點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部,∴﹣3<a<2;②存在點(diǎn)P,使得∠OPA=90°,理由如下:∵A(﹣3,0),∴AO=3,設(shè)AO的中點(diǎn)M為(?3∵∠OPA=90°,∴PM=12∴(a+32a2+9a+9=0,(a+9a1=?32∴P1(?32,3∴P(?32,【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì),熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),分類討論是解題的關(guān)鍵.【變式4-2】(2022秋?和平區(qū)校級(jí)期中)如圖1,直線y=34x和直線y=?12x+b相交于點(diǎn)A,直線y=?12x+b與x軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P在線段AC上,PD⊥x軸于點(diǎn)(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為;(2)當(dāng)QP=OA時(shí),求Q點(diǎn)的坐標(biāo).(3)如圖2,在(2)的條件下,∠OQP平分線交x軸于點(diǎn)M.①求出M點(diǎn)的坐標(biāo).②在線段QM上找一點(diǎn)N,使△AON的周長(zhǎng)最小,直接寫出周長(zhǎng)最小值.【分析】(1)求出A的坐標(biāo)為(4,3),用待定系數(shù)法求出直線AC的表達(dá)式,即可求解;(2)設(shè)P(n,?12n+5),Q(n,34n),則PQ=34n﹣(?12n+5)=54(3)①證明∠OQM=∠OHM,則OH=OQ=82+②作點(diǎn)A關(guān)于直線HM的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接AO交QM于點(diǎn)N,則AN=AN′,此時(shí)△AON的周長(zhǎng)最小,進(jìn)而求解.【解答】解:(1)當(dāng)x=4時(shí),y=34x=3,即點(diǎn)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=?12x+b得:3=﹣2+b故直線AC的表達(dá)式為:y=?12x+5,令y=0,解得故點(diǎn)C(10,0),故答案為:(10,0);(2)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4.3),∴OA=4∵C(10,0),設(shè)P(n,?12n+5),Q(n,3∴PQ=34n﹣(?12n∵QP=OA,∴54n﹣5=5,解得:n∴P(8,1),Q(8,6);(3)①延長(zhǎng)QM交y軸于點(diǎn)H,∵QD∥y軸,則∠OHM=∠MQD,∵∠OQP平分線交x軸于點(diǎn)M,則∠MQO=∠MQD,∴∠OQM=∠OHM,∴OH=OQ=8故點(diǎn)H(0,﹣10),由點(diǎn)H、Q的坐標(biāo)得,直線QH的表達(dá)式為:y=2x﹣10,令y=2x﹣10=0,解得x=5,故點(diǎn)M(5,0);②作點(diǎn)A關(guān)于直線HM的對(duì)稱點(diǎn)A′,∵QM是∠OQD的角平分線,故A′在QD上,連接AO交QM于點(diǎn)N,則AN=AN′,此時(shí)△AON的周長(zhǎng)最小,理由:△AON的周長(zhǎng)=AO+ON+A′N=AO+ON+A′N=AO+A′O最小,由點(diǎn)A、Q的坐標(biāo)知,點(diǎn)A是QO的中點(diǎn),則AQ=AO=5=QA′,則點(diǎn)A′(8,1),則△AON的周長(zhǎng)最小值=AO+A′O=5+82+1故答案為:5+65【點(diǎn)評(píng)】此題屬于一次函數(shù)綜合題,涉及的知識(shí)有:一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),點(diǎn)的對(duì)稱性,平行線的性質(zhì)等,利用點(diǎn)的對(duì)稱性求線段和的最小值,是解本題的關(guān)鍵.【變式4-3】(2022秋?常州期末)在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=?43x+43的圖象l1與x軸交于點(diǎn)A,一次函數(shù)y=x+6的圖象l2與x軸交于點(diǎn)B,與l1交于點(diǎn)P.直線l3過點(diǎn)A且與x軸垂直,(1)分別求出點(diǎn)A、P的坐標(biāo);(2)設(shè)直線PC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,且滿足函數(shù)值y隨x的增大而增大.若△PCA的面積為15,分別求出k、b的值;(3)是否存在點(diǎn)C,使得2∠PCA+∠PAB=90°?若存在,直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.【分析】(1)令y=0,即可求解點(diǎn)A的坐標(biāo),聯(lián)立y=?43x+(2)由(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)可知l3為直線x=1,可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,t),根據(jù)直線PC的單調(diào)性可知k>0即t>4,再根據(jù)三角形的面積公式解得t,把點(diǎn)C、P的坐標(biāo)代入y=kx+b求解即可;(3)過點(diǎn)P作PE⊥l3于點(diǎn)E,由勾股定理求得AP,由2∠PCA+∠PAB=90°和直角三角形的性質(zhì)可得∠PAE=2∠PCA,分兩種情況討論:①當(dāng)點(diǎn)C1在x軸下方時(shí),②當(dāng)點(diǎn)C2在x軸上方時(shí),由等腰三角形的性質(zhì)求解即可.【解答】解:(1)令y=0,得?4解得x=1,∴A(1,0),聯(lián)立y=?4解得x=?2y=4∴P(﹣2,4).(2)點(diǎn)A(1,0)可知l3為直線x=1,設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,t),∵函數(shù)值y隨x的增大而增大,P(﹣2,4),∴k>0,t>4,∴S△PCA∴t=10,∴C(1,10),將P(﹣2,4)、C(1,10)代入y=kx+b,得?2k+b=4k+b=8解得k=2b=8∴k=2,b=8.(3)過點(diǎn)P作PE⊥l3于點(diǎn)E,∵P(﹣2,4),A(1,0),∴E(1,4),∵l3⊥x軸,∴∠AEP=∠EAO=90°,∴PE=1﹣(﹣2)=3,AE=4,在Rt△AEP中,AP=A∵2∠PCA+∠PAB=90°,∠PAE+∠PAB=90°,∴∠PAE=2∠PCA,①當(dāng)點(diǎn)C1在x軸下方時(shí),連接PC1,∵∠PAE=∠PC1A+∠APC1=2∠PC1A,∴AC1=AP=5,∴C1(1,﹣5),②當(dāng)點(diǎn)C2在x軸上方時(shí),連接PC2,∵∠PC2A=∠PC1A,∴PC1=PC2,又∵PE⊥C1C2,∴EC1=EC2,∵EC1=AE+AC1=4+5=9,∴EC2=9,∴AC2=AE+EC2=4+9=13,∴C2(1,13),綜上,存在,C(1,﹣5)或C(1,13).【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),求一次函數(shù)解析式,勾股定理,等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.【變式4-4】(2022秋?市中區(qū)校級(jí)期末)如圖,直線y=﹣x+4和直線y=2x+1相交于點(diǎn)A,分別與y軸交于B,C兩點(diǎn).(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)在x軸上有一

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