高考數(shù)學(xué)大題精做專題02各類角的證明與求解(第三篇)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第三篇立體幾何專題02各類角的證明與求解類型對應(yīng)典例平移法作異面直線所成角典例1利用三余弦公式求解異面直線所成角典例2定義法求解線面角典例3轉(zhuǎn)化法求線面角典例4常規(guī)二面角的求解典例5附加條件的二面角求解典例6【典例1】【天津市南開區(qū)2019屆高三第二學(xué)期模擬】如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E分別是AC，BC的中點，F(xiàn)在SE上，且SF=2FE.（Ⅰ）求異面直線AF與DE所成角的余弦值；（Ⅱ）求證：AF⊥平面SBC；（Ⅲ）設(shè)G為線段DE的中點，求直線AG與平面SBC所成角的余弦值。【典例2】【天津市紅橋區(qū)2019屆高三一?！咳鐖D，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，，.（1）求證：平面BCD；（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；（3）求點E到平面ACD的距離?！镜淅?】【2020屆河北省衡水中學(xué)模擬】如圖，四棱錐中，平面，，，，為的中點.（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求異面直線與所成角的余弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.【典例4】【甘肅省張掖市2020屆高三診斷】如圖，在三棱錐中，，，，，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【典例5】【湖南省湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)、岳陽市第一中等六校2020屆聯(lián)考】在中，，．已知，分別是，的中點．將沿折起，使到的位置且二面角的大小是．連接，，如圖：（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求平面與平面所成二面角的大?。镜淅?】【2020屆重慶育才中學(xué)高三入學(xué)考試】已知長方形中，，，現(xiàn)將長方形沿對角線折起，使，得到一個四面體，如圖所示.（1）試問：在折疊的過程中，異面直線與能否垂直？若能垂直，求出相應(yīng)的的值；若不垂直，請說明理由；（2）當(dāng)四面體體積最大時，求二面角的余弦值.【針對訓(xùn)練】1.【天津市河西區(qū)2019屆高三一模】如圖，已知三棱錐中，平面平面ABC，，，BD=3，AD=1，AC=BC，M為線段AB的中點.（Ⅰ）求證：平面ACD；（Ⅱ）求異面直線MD與BC所成角的余弦值；（Ⅲ）求直線MD與平面ACD所成角的余弦值.2.【湖師范大學(xué)附屬中學(xué)2020屆模擬】如圖，在直三棱柱中，D為AC邊的中點，，，.（1）求證：AB1/∥平面BDC1；（2）求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值.3.【天津市十二重點中學(xué)2019屆高三下學(xué)期畢業(yè)班聯(lián)考】如圖所示，在四棱錐中，平面，，是線段的中垂線，，為線段上的點．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）若為的中點，求異面直線與所成角的正切值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的大?。?.【湖南省長沙市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期高考模擬卷】如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且平面ABCD⊥平面DCE．AF∥DE，且AF＝DE＝2，BF＝2．（1）求證：AC⊥BE；（2）若點F到平面DCE的距離為，求直線EC與平面BDE所成角的正弦值．5.【2020屆山西長治聯(lián)考】如圖所示，和所在平面互相垂直，且，，，分別為，的中點.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.6.【安徽省安慶市2020屆高三模擬】如圖，四邊形是矩形，沿對角線將折起，使得點在平面上的射影恰好落在邊上.（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)時，求二面角的余弦值.備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第三篇立體幾何專題02各類角的證明與求解類型對應(yīng)典例平移法作異面直線所成角典例1利用三余弦公式求解異面直線所成角典例2定義法求解線面角典例3轉(zhuǎn)化法求線面角典例4常規(guī)二面角的求解典例5附加條件的二面角求解典例6【典例1】【天津市南開區(qū)2019屆高三第二學(xué)期模擬】如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E分別是AC，BC的中點，F(xiàn)在SE上，且SF=2FE.（Ⅰ）求異面直線AF與DE所成角的余弦值；（Ⅱ）求證：AF⊥平面SBC；（Ⅲ）設(shè)G為線段DE的中點，求直線AG與平面SBC所成角的余弦值?！舅悸芬龑?dǎo)】（Ⅰ）由題意可知DE∥AB，故∠FAB或其補角為異面直線AF與DE所成角；（Ⅱ）由（I）知AF⊥SE，易證BC⊥AF，從而AF⊥平面SBC；（Ⅲ）延長AG交BC于P點，連結(jié)PF.由（II）知AF⊥平面SBC，所以PF為AP在平面SBC上的投影，故∠APF即為直線AG與平面SBC所成角【詳解】解（I）.連結(jié)BF.在△ABC中，D，E分別是AC，BC的中點，∴DE∥AB，∴∠FAB或其補角為異面直線AF與DE所成角由AC=AB=SA=2，AC⊥AB，E是BC的中點，得AE=∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AE.在Rt△SAE中，SE=，可得∵SA⊥底面ABC，∴.SA⊥BC，又BC⊥AE，∴BC⊥平面SAE，∴BC⊥SE，∵∴BF=∴即異面直線AF與DE所成角的余弦值。（II）.由（I）知，∴AF⊥SE.∵BC⊥平面SAE，所以BC⊥AF.又SEBC=E，.AF⊥平面SBC.（III）.延長AG交BC于P點，連結(jié)PF.由（II）知AF⊥平面SBC，∴PF為AP在平面SBC上的投影，∴∠APF即為直線AG與平面SBC所成角∵G為線段DE的中點，∴CP=2PE，又SF=2FE，.∴,即直線AG與平面SBC所成角的余弦值為【典例2】【天津市紅橋區(qū)2019屆高三一模】如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，，.（1）求證：平面BCD；（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；（3）求點E到平面ACD的距離。【思路引導(dǎo)】（1）連接OC，由BO＝DO，AB＝AD，知AO⊥BD，由BO＝DO，BC＝CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由題設(shè)知，AC＝2，故AO2+CO2＝AC2，由此能夠證明AO⊥平面BCD；（2）取AC的中點M，連接OM、ME、OE，由E為BC的中點，知ME∥AB，OE∥DC，故直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角．在△OME中，，由此能求出異面直線AB與CD所成角大小的余弦；（3）設(shè)點E到平面ACD的距離為h．在△ACD中，，故，由AO＝1，知，由此能求出點E到平面ACD的距離．【詳解】（1）證明：連接OC，∵BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD，∵BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD．在△AOC中，由題設(shè)知，AC＝2，∴AO2+CO2＝AC2，∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC．∵AO⊥BD，BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD．（2）解：取AC的中點M，連接OM、ME、OE，由E為BC的中點，知ME∥AB，OE∥DC，∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角．在△OME中，，∵OM是直角△AOC斜邊AC上的中線，∴，∴，∴異面直線AB與CD所成角大小的余弦為（3）解：設(shè)點E到平面ACD的距離為h．，，在△ACD中，，∴，∵AO＝1，，∴，∴點E到平面ACD的距離為．【典例3】【2020屆河北省衡水中學(xué)模擬】如圖，四棱錐中，平面，，，，為的中點.（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求異面直線與所成角的余弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）由線面平行的性質(zhì)可得，由勾股定理可得，從而可得平面，進而可得結(jié)果；（Ⅱ）取的中點為，連接，可證明為平行四邊形，，是與所成的角，利用余弦定理可得結(jié)果；(Ⅲ)作于，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，連接，則就是直線與平面所成角，求出與的值，進而可得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）平面平面，

，，

，

又平面，平面，平面平面；（Ⅱ）取的中點為，連接，則，為平行四邊形，，是與所成的角，，，，又直角三角形中，所以，，即異面直線與所成角的余弦值為；(Ⅲ)作，為垂足.

由(Ⅰ)知平面平面，

平面平面，

平面，連接，則

就是直線與平面所成角，在中,，

，

即直線與平面所成角的正弦值為.【典例4】【甘肅省張掖市2020屆高三診斷】如圖，在三棱錐中，，，，，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【思路引導(dǎo)】（1）要證平面BDE⊥平面ACD，需證BE⊥面ACD，由數(shù)量關(guān)系可得，則可求證．（2）用等體積方法求出C到面ABD的距離，則可求直線AC與平面ABD所成角的正弦值．【詳解】（1）由已知得，，又，∴.又∵，∴面，∵面，∴面面.（2）設(shè)到平面的距離為，由，得，則.設(shè)與平面所成角為，則，∴與平面所成角的正弦值為.【典例5】【湖南省湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)、岳陽市第一中等六校2020屆聯(lián)考】在中，，．已知，分別是，的中點．將沿折起，使到的位置且二面角的大小是．連接，，如圖：（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求平面與平面所成二面角的大小．高三下學(xué)期聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）法一：由．設(shè)的中點為，連接．設(shè)的中點為，連接，．而即為二面角的平面角．，推導(dǎo)出．由，，從而平面．由，得平面，從而，即．進而平面．推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形．從而，平面，由此能證明平面平面．法二：以為原點，在平面中過作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面平面．（Ⅱ）以為原點，在平面中過.作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面與平面所成二面角大小．【詳解】（Ⅰ）證法一：是的中點，．設(shè)的中點為，連接．設(shè)的中點為，連接，．由題意得，，即為二面角的平面角．，為的中點．，為等邊三角形，．，，，平面．，平面，，即．，平面．，分別為，的中點．，四邊形為平行四邊形．，平面，又平面．平面平面．法二：如圖，以為原點，為軸，在平面中過作的垂線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)．則，，，，．設(shè)平面的法向量為，，，，令，則，設(shè)平面的法向量為，，，，取，得．，平面平面．解：（Ⅱ）如圖，以為原點，為軸，在平面中過作的垂線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)．則，，，，．平面的法向量設(shè)平面的法向量為，，，，取，得．設(shè)平面與平面所成的二面角的平面角為，由圖形觀察可知，平面與平面所成的二面角的平面角為銳角．平面與平面所成二面角大小為．【典例6】【2020屆重慶育才中學(xué)高三入學(xué)考試】已知長方形中，，，現(xiàn)將長方形沿對角線折起，使，得到一個四面體，如圖所示.（1）試問：在折疊的過程中，異面直線與能否垂直？若能垂直，求出相應(yīng)的的值；若不垂直，請說明理由；（2）當(dāng)四面體體積最大時，求二面角的余弦值.【思路引導(dǎo)】（1）若AB⊥CD，得AB⊥面ACD，由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,解得a2=1，成立;（2）四面體A﹣BCD體積最大時面ABD⊥面BCD，以A為原點，在平面ACD中過O作BD的垂線為x軸，OD為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣B的余弦值．【詳解】(1)若AB⊥CD，因為AB⊥AD，AD∩CD＝D，所以AB⊥面ACD?AB⊥AC.由于AB=1,AD=BC=,AC=,由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,所以12＋a2＝()2?a＝1,所以在折疊的過程中，異面直線AB與CD可以垂直,此時的值為1(2)要使四面體A－BCD體積最大，因為△BCD面積為定值，所以只需三棱錐A－BCD的高最大即可，此時面ABD⊥面BCD.過A作AO⊥BD于O，則AO⊥面BCD，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，則易知,顯然，面BCD的法向量為,設(shè)面ACD的法向量為＝(x，y，z),因為所以，令y＝，得＝(1，，2)，故二面角A－CD－B的余弦值即為.【針對訓(xùn)練】1.【天津市河西區(qū)2019屆高三一?！咳鐖D，已知三棱錐中，平面平面ABC，，，BD=3，AD=1，AC=BC，M為線段AB的中點.（Ⅰ）求證：平面ACD；（Ⅱ）求異面直線MD與BC所成角的余弦值；（Ⅲ）求直線MD與平面ACD所成角的余弦值.【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）由題意結(jié)合幾何關(guān)系可得，結(jié)合，和線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；（Ⅱ）取AC中點N，連接MN，DN，易知（或其補角）為異面直線MD與BC所成的角，據(jù)此結(jié)合幾何性質(zhì)可得異面直線MD與BC所成角的余弦值.（Ⅲ）結(jié)合（Ⅱ）可知為直線MD與平面ACD所成的角，據(jù)此可得線面角的余弦值.【詳解】（Ⅰ）∵平面平面ABC于AB，，平面ABD，∴平面ABC，∴，又，，∴平面ACD.（Ⅱ）取AC中點N，連接MN，DN，∵M是AB中點，∴，∴（或其補角）為異面直線MD與BC所成的角，由（Ⅰ）知平面ACD，∴平面ACD，，在中，，，∴，即異面直線MD與BC所成角的余弦值為.（Ⅲ）由（Ⅱ）為直線MD與平面ACD所成的角，在中，，∴.2.【湖師范大學(xué)附屬中學(xué)2020屆模擬】如圖，在直三棱柱中，D為AC邊的中點，，，.（1）求證：AB1/∥平面BDC1；（2）求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值.【思路引導(dǎo)】（1）連接B1C交BC1于點E連接DE，推導(dǎo)出DE/∥AB1由此證明AB1/∥平面BDC1(2)由異面直線AB1與BC1所成角即DE與BC1所成角．由此能求出異面直線AB1與BC1所成角的余弦值．【詳解】（1）.如圖，連接B1C交BC1于點E，連接DE，由直三棱柱ABC-A1B1C1可知，點E為B1C的中點，又D為AC的中點，所以DE/∥AB1，且平面BDC1，平面BDC1，所以AB1/∥平面BDC1（2）.由（1）可知異面直線AB1與BC1所成角即DE與BC1所成角.因為，，所以，.又因為，，所以，所以．由，，得在△EC1D中，，故所求角的余弦值為.3.【天津市十二重點中學(xué)2019屆高三下學(xué)期畢業(yè)班聯(lián)考】如圖所示，在四棱錐中，平面，，是線段的中垂線，，為線段上的點．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）若為的中點，求異面直線與所成角的正切值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的大?。舅悸芬龑?dǎo)】（Ⅰ）根據(jù)線面垂直得線線垂直，再根據(jù)線線垂直得線面垂直，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論，（Ⅱ）先根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得線線平行，即得異面直線所成角的角或補角，再根據(jù)直角三角形求結(jié)果，（Ⅲ）作,根據(jù)線面垂直判定定理得面，即得線面角，最后根據(jù)直角三角形求結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）面,面又，面又面面面(II)連結(jié),分別為邊的中點，為異面直線與所成角或其補角在中，所以異面直線與所成角的正切值為.(III)連結(jié)，作交于點,由(I)可知面面面面=面面=面，為斜線在面內(nèi)的射影,為線與面所成角,在中，直線與面所成角為.4.【湖南省長沙市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期高考模擬卷】如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且平面ABCD⊥平面DCE．AF∥DE，且AF＝DE＝2，BF＝2．（1）求證：AC⊥BE；（2）若點F到平面DCE的距離為，求直線EC與平面BDE所成角的正弦值．【思路引導(dǎo)】（1）由題意及勾股數(shù)可證得平面平面，再由面面垂直的性質(zhì)可證DE與平面ABCD垂直,可得AC⊥DE，再結(jié)合菱形中的垂直證得平面，從而得到結(jié)論；（2）設(shè)，連接.由（1）平面，則是在平面內(nèi)的射影，可得與平面所成的角為.由點F到平面DCE的距離可得菱形中，，可求得OC，在中，可求得EC，則可得結(jié)果.【詳解】（1）∵，，∴，∴，即.∵，，∴.∵平面平面，平面，平面平面，∴平面，∴AC⊥DE.①∵四邊形為菱形，∴.②由①②，且，∴平面.∴.（2）設(shè)，連接.由（1）平面，∴是在平面內(nèi)的射影，∴與平面所成的角為.∵，平面，平面，∴平面，∴點到平面的距離等于點到平面的距離.在平面內(nèi)作，交延長線于.∵平面平面，∴平面，∴.（或轉(zhuǎn)化為點到平面的距離）∵，∴，∴菱形中，，∴.在中，，∴.∴與平面所成角的正弦值為.5.【2020屆山西長治聯(lián)考】如圖所示，和所在平面互相垂直，且，，，分別為，的中點.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.【思路引導(dǎo)】（1）（方法一）過E作EO⊥BC，垂足為O，連OF，由△ABC≌△DBC可證出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，即可證明EF⊥BC.（方法二）由題意，以B為坐標(biāo)原點，在平面DBC內(nèi)過B左垂直BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.易得,所以，因此,從而得；（2）（方法一）在圖1中，過O作OG⊥BF，垂足為G，連EG，由平面ABC⊥平面BDC，從而EO⊥平面BDC，從而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂線定理知EG垂直BF，因此∠EGO為二面角E-BF-C的平面角；在△EOC中，EO=EC=BC·cos30°=，由△BGO∽△BFC知，,因此tan∠EGO=,從而sin∠EGO=，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.（方法二）在圖2中，平面BFC的一個法向量為，設(shè)平面BEF的法向量，又,由得其中一個，設(shè)二面角E-BF-C的大小為，且由題意知為銳角，則，因此sin∠EGO=，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.解：（1）證明：（方法一）過E作EO⊥BC，垂足為O，連OF，由△ABC≌△DBC可證出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，又EF面EFO，所以EF⊥BC.（方法二）由題意，以B為坐標(biāo)原點，在平面DBC內(nèi)過B左垂直BC的直線為x軸，BC所在直線