高中數(shù)學(xué)選擇性必修二課件：§5 1 第2課時 導(dǎo)數(shù)的幾何意義(人教A版)

第五章

§5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義第2課時導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)習(xí)目標XUEXIMUBIAO1.了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.會求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).3.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求曲線上某點處的切線方程.內(nèi)容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點練1知識梳理PARTONE知識點一導(dǎo)數(shù)的幾何意義當(dāng)點B沿曲線趨近于點A時，割線AB繞點A轉(zhuǎn)動，它的極限位置為直線AD，直線AD叫做此曲線在點A處的

.于是，當(dāng)Δx→0時，割線AB的斜率無限趨近于過點A的切線AD的斜率k，即k＝

＝

.f′(x0)切線2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在點x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率.也就是說，曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率是

.相應(yīng)地，切線方程為

.f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)知識點二導(dǎo)函數(shù)的定義從求函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)的過程可以看出，當(dāng)x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數(shù).這樣，當(dāng)x變化時，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的

(簡稱導(dǎo)數(shù)).y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)記作

或

，即f′(x)＝y(tǒng)′＝

.導(dǎo)函數(shù)f′(x)y′特別提醒：

區(qū)別聯(lián)系f′(x0)f′(x0)是具體的值，是數(shù)值在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，因此求函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)，一般先求導(dǎo)函數(shù)，再計算導(dǎo)函數(shù)在這一點的函數(shù)值f′(x)f′(x)是函數(shù)f(x)在某區(qū)間I上每一點都存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個新函數(shù)，是函數(shù)1.函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是一個常數(shù).(

)2.函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在點x＝x0處的函數(shù)值.(

)3.函數(shù)f(x)＝0沒有導(dǎo)數(shù).(

)4.直線與曲線相切，則直線與該曲線只有一個公共點.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√××1.函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是一個常數(shù).(

)2.函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在點x＝x0處的函數(shù)值.(

)3.函數(shù)f(x)＝0沒有導(dǎo)數(shù).(

)4.直線與曲線相切，則直線與該曲線只有一個公共點.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√××2題型探究PARTTWO一、求切線方程例1

已知曲線C：y＝f(x)＝x3＋x.(1)求曲線C在點(1,2)處切線的方程；曲線C在點(1,2)處切線的斜率為k＝f′(1)＝3×12＋1＝4.所以曲線C在點(1,2)處的切線方程為y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.(2)設(shè)曲線C上任意一點處切線的傾斜角為α，求α的取值范圍.解曲線C在任意一點處切線的斜率為k＝f′(x)＝tanα，所以tanα＝3x2＋1≥1.又α∈[0，π)，反思感悟求曲線在某點處的切線方程的步驟跟蹤訓(xùn)練1

曲線y＝x2＋1在點P(2,5)處的切線與y軸交點的縱坐標是____.－3∴k＝y(tǒng)′|x＝2＝4.∴曲線y＝x2＋1在點P(2,5)處的切線方程為y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.∴切線與y軸交點的縱坐標是－3.跟蹤訓(xùn)練1

曲線y＝x2＋1在點P(2,5)處的切線與y軸交點的縱坐標是____.－3∴k＝y(tǒng)′|x＝2＝4.∴曲線y＝x2＋1在點P(2,5)處的切線方程為y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.∴切線與y軸交點的縱坐標是－3.二、求切點坐標例2

過曲線y＝x2上某點P的切線滿足下列條件，分別求出P點.(1)平行于直線y＝4x－5；設(shè)P(x0，y0)是滿足條件的點.∵切線與直線y＝4x－5平行，∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)是滿足條件的點.(2)垂直于直線2x－6y＋5＝0；解∵切線與直線2x－6y＋5＝0垂直，(3)與x軸成135°的傾斜角.解∵切線與x軸成135°的傾斜角，∴其斜率為－1.即2x0＝－1，反思感悟求切點坐標的一般步驟(1)設(shè)出切點坐標.(2)利用導(dǎo)數(shù)或斜率公式求出斜率.(3)利用斜率關(guān)系列方程，求出切點的橫坐標.(4)把橫坐標代入曲線或切線方程，求出切點縱坐標.跟蹤訓(xùn)練2已知曲線f(x)＝x2－1在x＝x0處的切線與曲線g(x)＝1－x3在x＝x0處的切線互相平行，求x0的值.解對于曲線f(x)＝x2－1，對于曲線g(x)＝1－x3，經(jīng)檢驗，均符合題意.三、利用圖象理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義例3

已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系中正確的是A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B.0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3)C.0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D.0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)√f′(2)為函數(shù)f(x)的圖象在點B(2，f(2))處的切線的斜率，f′(3)為函數(shù)f(x)的圖象在點A(3，f(3))處的切線的斜率，根據(jù)圖象可知0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2).反思感悟?qū)?shù)的幾何意義就是切線的斜率，所以比較導(dǎo)數(shù)大小的問題可以用數(shù)形結(jié)合思想來解決.(1)曲線f(x)在x0附近的變化情況可通過x0處的切線刻畫.f′(x0)>0說明曲線在x0處的切線的斜率為正值，從而得出在x0附近曲線是上升的；f′(x0)<0說明在x0附近曲線是下降的.(2)曲線在某點處的切線斜率的大小反映了曲線在相應(yīng)點處的變化情況，由切線的傾斜程度，可以判斷出曲線升降的快慢.跟蹤訓(xùn)練3

若函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象可能是√解析依題意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函數(shù)，則在函數(shù)f(x)的圖象上，各點的切線的斜率隨著x的增大而增大，觀察四個選項的圖象，只有A滿足.核心素養(yǎng)之直觀想象與數(shù)學(xué)運算HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANGYUSHUXUEYUNSUAN過某點的曲線的切線典例求過點(－1,0)與曲線y＝x2＋x＋1相切的直線方程.則切線的斜率為解得x0＝0或x0＝－2.當(dāng)x0＝0時，切線斜率k＝1，過(－1,0)的切線方程為y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0.當(dāng)x0＝－2時，切線斜率k＝－3，過(－1,0)的切線方程為y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.故所求切線方程為x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.素養(yǎng)提升(1)首先要理解過某點的含義，切線過某點，這點不一定是切點.(2)過點(x1，y1)與曲線y＝f(x)相切的直線方程的求法步驟①設(shè)切點(x0，f(x0)).③解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，從而寫出切線方程.(3)本例考查了切線的含義及切線方程的求法.體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).3隨堂演練PARTTHREE1.已知曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為2x－y＋2＝0，則f′(1)等于A.4 B.－4 C.－2 D.212345√解析由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f′(1)＝2.123452.(多選)下面說法不正確的是A.若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處沒有切線B.若曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處有切線，則f′(x0)必存在C.若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線斜率不存在D.若曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處沒有切線，則f′(x0)有可能存在√解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線的定義知曲線在(x0，y0)處有導(dǎo)數(shù)，則切線一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D錯誤.√√3.曲線f(x)＝

在點(3,3)處的切線的傾斜角α等于A.45° B.60° C.135° D.120°12345√所以f′(3)＝－1.又切線的傾斜角α的范圍為0°≤α<180°，所以所求傾斜角為135°.123454.已知曲線y＝2x2＋4x在點P處的切線斜率為16，則P點坐標為______.(3,30)令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).5.已知直線y＝4x＋a(a<0)和曲線y＝x3－2x2＋3相切，則切點坐標為_____，實數(shù)a的值為_____.12345(2,3)－512345解析設(shè)直線與曲線相切于點P(x0，y0)，則當(dāng)切點為(2,3)時，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，因此切點坐標為(2,3)，a的值為－5.1.知識清單：(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義.(2)導(dǎo)函數(shù)的概念.(3)切線方程.2.方法歸納：方程思想、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：切線過某點，這點不一定是切點.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時對點練PARTFOUR1.設(shè)f′(x0)＝0，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線A.不存在 B.與x軸平行或重合C.與x軸垂直 D.與x軸斜交基礎(chǔ)鞏固√12345678910111213141516解析因為f′(x0)＝0，所以曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線斜率為0.2.已知曲線y＝2x2上一點A(2,8)，則在點A處的切線斜率為A.4 B.16 C.8 D.2√12345678910111213141516解析設(shè)切點為(x0，y0)，3.若曲線f(x)＝x2的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為A.4x－y－4＝0 B.x＋4y－5＝0C.4x－y＋3＝0 D.x＋4y＋3＝012345678910111213141516√由題意可知，切線斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.所以切點坐標為(2,4)，切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故選A.4.已知函數(shù)f(x)滿足f′(x1)>0，f′(x2)<0，則在x1和x2附近符合條件的f(x)的圖象大致是12345678910111213141516√解析由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的圖象在x1處切線的斜率為正，在x2處切線的斜率為負.5.(多選)下列各點中，在曲線y＝x3－2x上，且在該點處的切線傾斜角為的是A.(0,0) B.(1，－1)

C.(－1,1) D.(1,1)√12345678910111213141516√解析設(shè)切點坐標為(x0，y0)，所以x0＝±1，當(dāng)x0＝1時，y0＝－1.當(dāng)x0＝－1時，y0＝1.6.已知函數(shù)y＝f(x)在點(2,1)處的切線與直線3x－y－2＝0平行，則y′|x＝2＝____.123456789101112131415163解析因為直線3x－y－2＝0的斜率為3，所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知y′|x＝2＝3.7.已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲線f(x)在x＝1處的切線在y軸上的截距為－1，則實數(shù)a的值為____.解析由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得切線的斜率為k＝f′(1)＝4.又切線在y軸上的截距為－1，所以曲線f(x)在x＝1處的切線方程為y＝4x－1，從而可得切點坐標為(1,3)，所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2.21234567891011121314151612345678910111213141516－1＝f′(1)＝－1.123456789101112131415169.在拋物線y＝x2上哪一點處的切線平行于直線4x－y＋1＝0？哪一點處的切線垂直于這條直線？設(shè)拋物線上點P(x0，y0)處的切線平行于直線4x－y＋1＝0，則

＝2x0＝4，解得x0＝2，設(shè)拋物線上點Q(x1，y1)處的切線垂直于直線4x－y＋1＝0，12345678910111213141516故拋物線y＝x2在點(2,4)處的切線平行于直線4x－y＋1＝0，123456789101112131415161234567891011121314151610.已知直線l1為曲線y＝x2＋x－2在點(1,0)處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1⊥l2，求直線l2的方程.12345678910111213141516所以y′|x＝1＝3，所以直線l1的方程為y＝3(x－1)，即y＝3x－3，所以直線l2的方程為3x＋9y＋22＝0.11.若曲線y＝x＋

上任意一點P處的切線斜率為k，則k的取值范圍是A.(－∞，－1) B.(－1,1)

C.(－∞，1) D.(1，＋∞)綜合運用√1234567891011121314151612.已知函數(shù)y＝ax2＋b在點(1,3)處的切線斜率為2，則a＝____，b＝____.1234567891011121314151612解析由題意知a＋b＝3，∴a＝1，b＝2.1234567891011121314151613.若點P是拋物線y＝x2上任意一點，則點P到直線y＝x－2的最小距離為_______.解析由題意可得，當(dāng)點P到直線y＝x－2的距離最小時，點P為拋物線y＝x2的一條切線的切點，且該切線平行于直線y＝x－2，設(shè)y＝f(x)＝x2，1234567891011121314151614.若拋物線y＝x2－x＋c上一點P的橫坐標是－2，在點P處的切線恰好過坐標原點，則實數(shù)c的值為____.4在點P處的切線斜率為2×(－2)－1＝－5.因為點P的橫坐標是－2，所以點P的縱坐標是6＋c，12345678910111213141516拓廣探究12345678910111213141516y＝0或3x－y－2＝